信阳市高中2022-2023学年高二下学期7月月考
数 学 试 卷
考生注意:
1.开考前,考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上,并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动,用橡皮檫干净后,再涂选其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在试卷上无效。
3.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合,,则能使成立的实数a的取值的集合是( ).
A. B. C. D.
2. 若关于x的不等式的解集为,则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
3. 设函数则的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
4. 在中,点P是AB上一点,且,又,则t的值为( )
A. B. C. D.
5. 把复数与对应的向量,分别按逆时针方向旋转和后,重合于向量且模相等,已知,则复数的代数式和它的辐角主值分别是( )
A., B.,
C., D.,
6. 在一次模拟考试后,从高三某班随机抽取了20名学生的数学成绩,其分布如下:
分组
频数 1 2 6 7 3 1
分数在130分(包括130分)以上者为优秀,据此估计该班的优秀率约为( )
A.10% B.20% C.30% D.40%
7. 圆与圆外切,则m的值为( )
A.2 B.-5 C.2或-5 D.-1或-2
8. 在等腰三角形AOB中,,、,点B在x轴的正半轴上,则直线AB的点斜式方程为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.
9. 已知与是共轭复数,以下4个命题一定正确的是( )
A. B. C. D.
10. 如图,在正方体中,M,N分别为棱,的中点,给出下列结论,其中正确的结论为( ).
A.直线AM与是相交直线 B.直线AM与BN是平行直线
C.直线BN与是异面直线 D.直线MN与AC所成的角为
11. 若定义在R上的函数,对任意两个不相等的实数,,都有,则称函数为“H函数”,下列函数是“H函数”的有( ).
A. B.
C. D.
12. 将甲 乙 丙 丁4名医生随机派往①,②,③三个村庄进行义诊活动,每个村庄至少派1名医生,A表示事件“医生甲派往①村庄”;B表示事件“医生乙派往①村庄”;C表示事件“医生乙派往②村庄”,则( )
A.事件A与B相互独立 B.事件A与C不相互独立
C. D.
三、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.
13. 已知函数若有三个零点,则实数m的取值范围是 .
14. 甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队贏得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4:1获胜的概率是____________.
15. 已知函数有两个极值点,则实数a的取值范围是______.
16. 在一次通用技术实践课上,木工小组需要将正方体木块截去一角,要求截面经过面对角线AC上的点P(如图),且与平面平行,已知,,则截面面积等于________.
四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (10分)
已知数列的首项,.
(1)若,证明数列是等比数列,并求的通项公式;
(2)若对一切都成立,求t的取值范围.
18. (12分)
如图,在三棱台中,平面平面,,.
(1)求证:;
(2)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值.
19. (12分)
已知直线和圆.
(1)求证:对任意实数m,直线l和圆C总有两个不同的交点.
(2)设直线l和圆C交于A,B两点.
①若,求l的倾斜角;
②求弦AB的中点M的轨迹方程.
(12分)
某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化.如图,已知空地的一边是直路AB,余下的外围是抛物线的一段,AB的中垂线恰是该抛物线的对称轴,O是AB的中点.拟在这块地上划出一个等腰梯形ABCD区域种植草坪,其中A,B,C,D均在该抛物线上.经测量,直路AB段长为60米,抛物线的顶点P到直路AB的距离为40米.以O为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系.
(1)求该段抛物线的方程;
(2)当CD长为多少米时,等腰梯形草坪ABCD的面积最大?
21. (12分)
设函数.
(1)设,求函数的最大值和最小值;
(2)设函数为偶函数,求的值,并求函数的单调增区间.
22. (12分)
已知函数(其中为自然对数的底数).
(1)求证:当时,;
(2)若不等式对任意恒成立,求实数a的值.信阳市高中2022-2023学年高二下学期7月月考
数 学 答 案
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 答案:C
解析:解:由知,且,解得.
2. 答案:D
解析:因为不等式的解集为,所以二次项的系数小于0,即.
3. 答案:C
解析:因为所以,所以,故选C.
4. 答案:A
解析:由题意可得,又,.
故选:A
5. 答案:B
解析:由题可知,
则,
,
可知对应的坐标为,则它的辐角主值为.
故选:B.
6. 答案:B
解析:由题表可知,优秀的人数为,则优秀率为,故据此估计该班的优秀率约为20%.故选B.
7. 答案:C
解析:由圆与圆,
得,,圆的半径为3,圆的半径为2,
因为两圆外切,所以,化简得,
所以,所以或,
故选:C.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.
8. 答案:D
解析:设线段OB的中点为M,连接AM,
,则轴,则点,故点,
所以,直线AB的斜率为,
所以直线AB的点斜式方程为.
故选:D.
9. 答案:AC
解析:设,,,
由,,所以,所以A正确;
则,,所以B不正确;
由,所以C正确;
由不一定是实数,
所以D不一定正确.
故选:AC.
10. 答案:CD
解析:在正方体中,M,N分别为棱,的中点.
在A中,直线AM与是异面直线,故A错误;
在B中,直线AM与BN是异面直线,故B错误;
在C中,直线BN与是异面直线,故C正确;
在D中,以D为原点,DA为x轴、DC为y轴,为z轴建立空间直角坐标系,如图,设正方体棱长为2,
则,,,,,,
则,所以直线MN与AC所成的角为,故D正确.
11. 答案:BC
解析:由题意可知是R上的增函数.
对于A,由,得,所以在区间上为增函数,故A中函数不是“H函数”;
对于B,,又,所以恒成立,故B中函数是“H函数”;
对于C,恒成立,故C中函数是“H函数”;
对于D,易知为偶函数,所以它不可能为R上的增函数,故D中函数不是“H函数”.
12. 答案:BD
解析:将甲、乙、丙、丁4名医生派往①,②,③三个村庄义诊的试验有个基本事件,它们等可能,
事件A含有的基本事件数为,则,同理,
事件AB含有的基本事件数为,则,事件AC含有的基本事件数为,则,
对于A,,即事件A与B相互不独立,A不正确;
对于B,,即事件A与C相互不独立,B正确;
对于C,,C不正确;
对于D,,D正确.
故选:BD.
三、填空题:每小题5分,共4小题,共20分.
13. 答案:
解析:有三个零点,根据题意可得时,函数有一个零点;时,函数有两个零点.当时,,恒成立,故;当时,,要使得有两个零点,需满足,解得,,综上可得,故答案为.
14. 答案:0.18
解析:记事件M为甲队以4:1获胜,则甲队共比赛五场,且第五场甲队获胜,前四场甲队胜三场负一场,所以.
15. 答案:
解析:函数的定义域为,导函数,
由已知有两个不相等的正实数根,
所以有两个不相等正实数根,
令,则,
由,得.
当时,,函数在上单调递增;
当时,,函数在上单调递减.
又,,
当时,,当时,,
当时,,
由以上信息可得,函数的图象大致如下:
所以a的取值范围是.
故答案为:.
16. 答案:
解析:如图,连接BD交AC于点O,连接,.由题易知平面平面,故截面平行于平面.过点P作与BD平行的直线分别交AD,AB于点M,N.在上取点Q使.,,,.又,
,,平面平面.易得,故,.
四、解答题:本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (10分)答案:(1)证明见解析,的通项公式
(2)
解析:(1)显然,且,,
所以数列是首项为、公比为的等比数列,
从而,解得.
(2)由(1)知,
所以,
由,得,
即,
所以,解得.
18. (12分)
(1)答案:证明见解析
解析:如图,过点D作,交直线AC于点O,连接OB.
由,,得.
由平面平面ABC得平面ABC,所以.
由,,得.
所以平面BDO,故.
在三棱台中,,所以.
(2)答案:
解析:在三棱台中,,
所以直线DF与平面DBC所成的角等于直线CO与平面DBC所成的角,记为.
如图,以O为原点,分别以射线OC,OD为y轴、z轴的正半轴,建立空间直角坐标系.
设,由题意知,,,,
因此,,.
设平面BCD的法向量,
由即可取.
所以.
因此,直线DF与平面DBC所成角的正弦值为.
19. (12分)答案:(1)证明见解析
(2)①或
②,其中
解析:(1)解法1:将代入得,,
故直线l和圆C总有两个不同的交点.
解法2:圆心到直线l的距离,
于是直线l和圆C总有两个不同的交点.
解法3:由已知,直线,所以直线l恒过定点,
因为,所以点P在圆C内,
于是直线l和圆C总有两个不同的交点.
(2)①圆心到直线l的距离,
由弦长公式,代入计算可得,
于是l的倾斜角为或.
②解法1:由
消去m得,其中.
解法2:设,连接CM,CA,则有.
代入整理得弦AB的中点M的轨迹方程为,
又直线不包含,故轨迹方程应剔除点.
20. (12分)答案:(1),
(2)20米时,等腰梯形草坪ABCD的面积最大
解析:(1)设该抛物线的方程为,由条件知,,,
所以,解得,故该段抛物线的方程为,.
(2)由(1)可设,所以梯形ABCD的面积,,设,,则,令,解得,当时,在上是增函数;当时,在上是减函数.所以当时,取得极大值,也是最大值.故当CD长为20米时,等腰梯形草坪ABCD的面积最大.
21. (12分)
(1)答案:函数的最大值为,最小值为-3.
解析:据题,得,,
因为,,,
所以,
所以函数的最大值为,最小值为-3.
(2)答案:,增区间为
解析:据题,,
结合该函数为偶函数,得到,得,,
结合,得到,
此时,,
令,解得,
从而得到其增区间为.
22. (12分)答案:(1)见解析
(2)实数a的值为2
解析:(1),
当时,,,则;
当时,,,则,
在上单调递增,
,
而,
,.
(2)令,则对任意恒成立,
若,则,与题意不符.
故只需考虑时的情况,,,,令,则,显然当时,,
故在上单调递增,
①当时,则,,故存在,使得,且当时,单调递减,
,与题意不符;
②当时,则,当时,,,
故,在上单调递增.又,故存在,使得,当时,单调递增,,与题意不符;
③当时,则,当时,,当时,,故在上单调递减,在上单调递增,
恒成立.
综上,实数a的值为2.