陕西省榆林市2022-2023学年高二下学期过程性评价质量检测(期末)理科数学试题（含答案）

榆林市2022~2023学年度第二学期普通高中过程性评价质量检测
高二年级数学（理科）试题
注意事项：
1.本试卷共4页，全卷满分150分，答题时间120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收.
一 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知向量，若与共线，则实数的值为（ ）
A.-3 B. C.3 D.1
3.等差数列的前项和为，且，则（ ）
A.30 B.40 C.60 D.80
4.下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
5.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图：则（ ）
A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
C.讲座前问卷答题的正确率的方差小于讲座后正确率的方差
D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
6.在区间上随机抽取一个实数，则满足的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.设是两条直线，是两个平面，若 ，则下列说法一定正确的是（ ）
A. B.
C.是两条异面直线 D.
8.已知函数的部分图像如图所示，则（ ）
A. B. C. D.
9.已知为双曲线上两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
10.从6名男医生 4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男 女医生都有，则不同的组队方案共有（ ）
A.108种 B.96种 C.60种 D.36种
11.将边长为的菱形沿对角线折成直二面角，得到四面体，则四面体的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
12.若函数存在最小值，且其最小值记为，则的最大值是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
二 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知是虚数单位，复数，则的虚部为__________.
14.已知抛物线的焦点为，点在上，若到直线的距离为7，则__________.
15.函数是定义在上的偶函数，满足，若时，，则__________.
16.我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则__________.
三 解答题：共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（本小题满分12分）
在中，角的对边分别是，满足.
（1）求；
（2）若，求的面积.
18.（本小题满分12分）
某学校组织学生参加“一带一路”知识竞赛，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采用分层随机抽样的方法抽取了100名学生进行调查，分数分布在分之间，根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示.将分数不低于750分的学生称为“高分选手”.
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）现采用分层随机抽样的方法从分数落在内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高分选手”的学生人数为随机变量，求的分布列及数学期望.
19.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面分别是的中点.
（1）求证：；
（2）若，求平面与平面所成角的余弦值.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆的焦距为2，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于两点，为坐标原点，且，求实数的值.
21.（本小题满分12分）
已知函数恰有两个零点.
（1）求实数的取值范围；
（2）若函数，求证：在上单调递减；
（3）证明：.
（二）选考题：共10分.考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）设射线与曲线交于点，与直线交于点，求的值.
23.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】
设函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若，求证：.
榆林市20222023学年度第二学期普通高中过程性评价质量检测
高二年级数学（理科）试题参考答案及评分标准
一 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.D 2.C 3.D 4.D 5.B 6.A 7.B 8.C 9.B 10.B 11.C 12.A
二 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14.5 15.2 16.2
三 解答题：共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.第题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.解：（1），
，
又，
，
.
（2）由（1）可知，
根据余弦定理，即，
即，即，
又，则，即，
的面积.
18.解：（1）由题意知，
解得.
（2）由题意，从中抽取7人，从中抽取3人，
随机变量的所有可能取值有.
，
随机变量的分布列为：
0 1 2 3
.
19.解：（1）证明：平面 平面，
，
底面为正方形，，
又，且 平面 平面，
平面，
又 平面.
（2）由（1）可知，两两垂直，
以点为原点，分别以所在直线为轴 轴 轴，建立如
图所示的空间直角坐标系，
则，
又分别是的中点，
.
，
设平面的法向量为，
则即取，则.
平面的一个法向量为，
易知平面的一个法向量为，
.
平面与平面所成角的余弦值为.
20.解：（1）依题意有解得.
椭圆的方程为.
（2）联立消去得，
由，解得.
设，
则，
，
.
，
即，
解得（经检验符合题意）.
21.解：（1）.
当时，；当时，.
函数在上单调递增；在上单调递减.
.
又当时，；当时，，
，即.
实数的取值范围为.
（2）证明：，
，
，
又时，有，
，
在上单调递增，从而，
在上单调递减.
（3）证明：由（1）知，，
要证，只需证，
在上单调递减，
只需证.
，
只需证，其中.
只需证，其中.
由（2）知，当时，，
.
.
（二）选考题：共10分.考生从22 23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.解：（1）由曲线C的参数方程（为参数），
消去参数可得，即，
根据
可得曲线的极坐标方程为.
（2）设点的极坐标为，点的极坐标为，
将代入曲线的极坐标方程可得，
又，解得.
将代入直线的极坐标方程可得，解得，
.
22.解：（1）
又，
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，无解.
不等式的解集为.
（2）证明：若，
则；
若，则.
，
又由（1）易知，
成立.