2022-2023学年云南省保山九中高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年云南省保山九中高一（下）期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 已知向量，，则( )
A. B. C. D.
3. 设，，，则( )
A. B. C. D.
4. 已知某圆柱的高为，底面周长为，则该圆柱的体积为( )
A. B. C. D.
5. 设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点( )
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
7. 长方体的体积是，若为的中点，则三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
8. 关于的不等式的解集为，则的取值范围是( )
A. B.
C. D. ，
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列有关复数的说法中其中为虚数单位，正确的是( )
A.
B. 复数的虚部为
C. 若，则复平面内对应的点位于第二象限
D. 复数为实数的充要条件是
10. 已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列说法中正确的是( )
A. 若，，则直线平行于平面内的无数条直线
B. 若，，，则与是异面直线
C. 若，，则
D. 若，，则，一定相交
11. 在中，角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是( )
A. 若，则为锐角三角形
B. 若为锐角三角形，则
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，则是等腰三角形
12. 已知函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为，则以下说法正确的是( )
A.
B. 若为偶函数，则
C. 若在区间上单调递增，则的最大值为
D. 若的一个对称中心为，则
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. ______ ．
14. 不等式的解是 ．
15. 在中，若，，，则______．
16. 如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知集合，，．
求，；
若，求的取值范围．
18. 本小题分
已知向量，满足，．
若，求；
若与的夹角为，求
19. 本小题分
已知函数，且．
求的值；
判断函数的奇偶性；
求证：在区间上单调递减．
20. 本小题分
已知函数．
求的最小正周期和单调递减区间；
当时，求函数的最大值以及取得最大值时的值．
21. 本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且．
求的大小；
若．
(ⅰ)求的面积；
(ⅱ)求．
22. 本小题分
如图，在长方体中，，．
Ⅰ求证：
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
则．
故选：．
利用交集定义直接求解．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
故，
先计算处的坐标，再利用坐标模长公式即可．
本题主要考查利用向量坐标求模，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
根据对数函数的单调性可得出，然后即可得出，，的大小关系．
本题考查了对数函数的单调性，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：某圆柱的高为，底面周长为，，，故圆柱的体积为．
故选：．
根据，得，再结合圆柱的体积公式计算即可．
本题考查圆柱的体积公式，属于基础题．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了同角三角函数间的基本关系，充要条件的判定，属于基础题．
利用同角三角函数间的基本关系，充要条件的定义判定即可．
【解答】
解：，
当时，则，充分性成立，
当时，则，必要性不成立，
是的充分不必要条件，
故选A．

6.【答案】
【解析】解：把图象上所有的点向右平移各单位可得的图象．
故选：．
由已知结合正弦函数图象的平移即可求解．
本题主要考查了正弦函数的图象平移，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：长方体的体积为，
三棱锥的体积为．
故选：．
利用三棱锥的体积公式结合已知求解即可．
本题考查三棱锥的体积，考查运算求解能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：若，则不等式为，符合题意，
若，则有，得，
综上，的取值范围为．
故选：．
根据题意分别讨论是否为，再利用一元二次不等式的解法，从而可解．
本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：对于：，故A正确；
对于：复数的虚部为，故B错误；
对于：，所以，
则复平面内对应的点为位于虚轴，故C错误；
对于：若复数为实数，
则，
设，，若，即，所以，则复数为实数，
故复数为实数的充要条件是，故D正确．
故选：．
根据复数的乘方判断，根据复数的定义判断，根据复数的几何意义判断，根据充要条件的定义判断．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，
对于，若，，则直线与平面内与平行的无数条直线都平行，故A正确；
对于，若，，，则与是相交、平行或异面，故B错误；
对于，若，，则由面面平行的性质得，故C正确；
对于，若，，则，相交或平行，故D错误．
故选：．
对于，直线与平面内与平行的无数条直线都平行；对于，与是相交、平行或异面；对于，由面面平行的性质得；对于，，相交或平行．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：由于，则，由于，所以，不一定说明为锐角三角形，故A错误；
对于：为锐角三角形，则，所以，故，整理得，故B正确；
对于：若，且、，则或，则整理得：或，为等腰三角形或直角三角形，故C错误；
对于：若，利用正弦定理：，化简得：，所以，故A，则是等腰三角形，故D正确．
故选：．
直接利用三角函数关系的变换，正弦定理和余弦定理判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理和余弦定理，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：，图象的相邻两对称轴间的距离为，
则，，，A错误；
若为偶函数，则，，，
，，，B正确；
项：，，
在区间上单调递增，
，，
，且，
又，，
则的最大值为，C正确；
项：，
，，，不存在．
故选：．
项，根据相邻两对称轴间的距离为，可得周期，确定；项，为偶函数，则，看确定，项，根据函数的单调性来求即可；项，根据求确定．
本题考查三角函数的性质，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
根据已知条件，结合复数的运算法则，以及求解．
本题主要考查复数的运算法则，属于基础题．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查分式不等式的求解，是基础题．
根据分式不等式的解法进行求解即可．
【解答】
解：不等式即为，等价于，
解得，
则不等式的解集为，
故答案为：．

15.【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
由已知利用余弦定理即可计算得到的值．
【解答】
解：在中，，，，
由余弦定理可得：，即：．
整理可得：，解得：或舍去．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：设球的半径为，则，
解得或舍去，
球的体积．
故答案为：．
设球的半径为，依题意即可求出，再根据球的体积公式计算可得．
本题考查球的体积计算，考查运算求解能力，属于基础题．
17.【答案】解：集合，，
，；
若，则，
，
当时，，解得，
当时，，解得，
综上，的取值范围是．
【解析】求出集合，，利用交集和并集定义能求出和；
若，则，当时，，当时，，由此能求出的取值范围．
本题考查集合的运算，考查交集、并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：若方向相同，则；
若方向相反，则；
由已知可得，，
所以．
【解析】分为方向相同，以及方向相反，分别计算，即可得出答案；
根据数量积的定义求出，然后根据数量积的运算律，展开即可得出答案．
本题考查了平面向量数量积的计算，属于中档题．
19.【答案】解：由已知有，解得，的值为．
函数的定义域为，
又，函数是奇函数．
证明：任取，，设，
则
，
，，且，，，即，
，即，
在区间上单调递减．
【解析】代入法，将代入表达式即可求解的值；
根据函数奇偶性的定义，将代入的表达式，根据与的关系即可得出的奇偶性；
利用单调性的定义证明，任取两个自变量，将其函数值作差与对比，进而得到单调性．
本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断和证明，求函数的值，属于中档题．
20.【答案】解：，
所以，函数的最小正周期为，
令，，解得，，
因此，函数的单调递减区间为，；
当时，，当时，
即时，函数取得最大值，最大值为．
【解析】先利用二倍角公式化简，再利用的性质对应来求即可；利用换元法的思想求函数的最值．
本题考查三角函数的性质，二倍角公式，属于基础题．
21.【答案】解：，
由正弦定理得．
，
，，
，，
；
若，，
由余弦定理得，
即，，，
的面积为；
(ⅱ)由正弦定理，得，
，，
，
，
．
【解析】由正弦定理进行化简可求，进而可求；
利用余弦定理先求，然后利用三角形的面积公式求解；
利用正弦定理求出，再利用二倍角公式求出，，求解即可．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，两角差的余弦公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
22.【答案】解：Ⅰ证明：在长方体中，，，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
，，
，．
Ⅱ，，，，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
设直线与平面所成角为，
则直线与平面所成角的正弦值为：
．
【解析】Ⅰ以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明．
Ⅱ求出平面的法向量，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值．
本题考查线面垂直、线线垂直的判定与性质、线面角的正弦值的求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
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