2022-2023学年江西省萍乡市稳派联考高二（下）月考数学试卷（5月份）（含解析）

2022-2023学年江西省萍乡市稳派联考高二（下）月考数学试卷（5月份）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 抛物线的焦点到准线的距离为( )
A. B. C. D.
3. 已知数列满足，则下列各数中属于数列中的项的是( )
A. B. C. D.
4. 二项式的展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
5. 圆：与圆：的位置关系是( )
A. 相交 B. 相离 C. 外切 D. 内切
6. 半正多面体又称“阿基米德多面体”，它是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美把正四面体的每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，得到一个有八个面的半正多面体，如图，点，，，，为该半正多面体的顶点，若，，，则( )
A.
B.
C.
D.
7. 函数有个不同的零点，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8. 已知数列为等比数列，函数的导函数为，，若，的公比，则当的前项乘积最小时，的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
10. 下列结论正确的是( )
A. 已知事件，，，则
B. 椭圆的离心率为
C. 若随机变量，则
D. 已知点，，，则平面的一个法向量的坐标可以是
11. 已知数列满足，，，且其前项和为，则( )
A. 存在，使得
B. 存在，使得
C. 存在，，且，使得
D.
12. 已知函数有两个不同的极值点，，则( )
A. 的取值范围是 B. 是极小值点
C. 时， D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为______ ．
14. 古镇旅游是近年旅游的热点，某旅游短视频博主准备到江西婺源古村落、瑶里古镇、驿前古镇、河口古镇、密溪古村五个地方去打卡，每个地方打卡一次，则先去婺源古村落打卡，且瑶里古镇不最后去打卡的方法数为______ 用数字作答
15. 若定义域为的函数满足，则不等式的解集为______ ．
16. 已知数列满足，，则数列的前项的和为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知等比数列的公比，且．
求的前项和；
若等差数列的前项分别为，，求的前项和．
18. 本小题分
已知函数．
求曲线在处的切线的方程；
求过原点与曲线相切的直线的方程．
19. 本小题分
已知双曲线：的右焦点为，且的一条渐近线经过点．
求的标准方程；
是否存在过点的直线与交于不同的，两点，且线段的中点为若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
20. 本小题分
已知函数．
证明：，有；
设，讨论的单调性．
21. 本小题分
随着用户对生鲜电商行业的信任度加深，生鲜电商行业市场规模迅速扩大，已知年中国消费者偏好的生鲜电商平台前三名分别为，，，下图每个圆形区域内数字之和表示中国消费者偏好该平台的用户数占中国生鲜电商平台所有用户数的比例以下简称占比，两个圆的公共区域内的数字之和表示中国消费者同时偏好这两个平台的占比，三个圆的公共区域内的数字表示中国消费者同时偏好这因三个平台的占比．
从中国生鲜电商平台所有用户中随机抽取人，求该用户偏好平台，也偏好平台的概率；
从偏好平台的所有用户中随机抽取人，求这人中至少有人也偏好平台的概率；
从中国生鲜电商平台所有用户中随机抽取人，记抽取的人中偏好的人数为，求的分布列与数学期望．
22. 本小题分
在，，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答下列问题．
已知数列的前项和为，，且满足_____．
证明：数列是等差数列，并求的通项公式；
设，数列的前项和为．
求；
判断是否存在互不相等的正整数，，使得，，成等差数列且，，成等比数列，若存在，求出满足条件的所有，，的值；若不存在，请说明理由注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，
，
则．
故选：．
求出集合，利用交集定义能求出．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据题意可知焦点，准线方程，
焦点到准线的距离是
故选D．
根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线的方程，进而利用点到直线的距离求得焦点到准线的距离．
本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线标准方程的理解和运用．属基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，若，解可得，无整数解，故不是数列中的项，
对于，若，解可得，无整数解，故不是数列中的项，
对于，若，解可得，无整数解，故不是数列中的项，
对于，若，解可得，故是数列中第项．
故选：．
根据题意，由数列的通项公式依次分析选项，综合可得答案．
本题考查数列的表示方法，注意数列的通项公式，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：根据二项展开式，当时，展开式为常数项．
故选：．
直接利用二项展开式和组合数求出结果．
本题考查的知识要点：二项展开式，组合数，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：的标准方程为，则圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
则．
即两圆外切．
故选：．
求出两圆的圆心和半径，计算圆心距离与半径的关系进行判断即可．
本题主要考查圆圆位置关系的判断，求出圆心和圆心距，利用圆心距和两圆半径之间的关系进行求解是解决本题的关键，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：连接，，，如下图所示，
，所以．
故选：．
连接，，，利用平面向量基本定理即可求解．
本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：因为有个不同的零点，
则有个不等于，且不相等的零点，
因为，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以
当时，；当时，，
又，
所以实数的取值范围是，
故选：．
由题意，结合所给函数解析式，将函数有三个不同的零点转化成有个不等于，且不相等的零点，对函数进行求导，利用导数的几何意义得到函数的单调性和极值，进而即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值以及函数零点问题，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
8.【答案】
【解析】解：设，
则，
则，
因为数列为等比数列，
所以，
由，，
可得，
则，
所以，
当时，，
当时，，
所以当的前项乘积最小时，的值为或．
故选：．
设，根据题意可得，可求得，再分析数列的单调性，即可得出答案．
本题考查数列与函数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：，，．
故选：．
根据基本初等函数和复合函数的求导公式求导即可．
本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：事件，，，则，故A错误；
椭圆，则，，故该椭圆的离心率为，故B正确；
若随机变量，则，故C错误；
已知点，，，
则，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
故平面的一个法向量的坐标可以是，故D正确．
故选：．
根据条件概率公式即可判断；根据椭圆的离心率，即可判断；根据正态分布的对称性，即可判断；根据平面法向量，即可判断．
本题考查条件概率，椭圆的离心率，正态分布的应用，平面法向量，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：由，，可得，
，，，，，，
由此可知，数列从第三项起，，，循环出现，
选项A，存在，，可得，故A正确；
选项B，因为且，故，故B错误；
选项C，因为，所以，故C正确；
选项D，，故D正确．
故选：．
由题设，可推得数列从第三项起，成周期性变化，根据数据分布规律即可判定各选项．
本题考查数列递推式，属基础题．
12.【答案】
【解析】解：已知，函数定义域为，
可得，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，恒成立，
所以，单调递增，无极值点；
当时，令，
解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以在处取得极大值，，
要使函数有两个极值点，
此时，
即，
解得，故选项A错误；
因为，
所以函数在上单调递减；在上单调递增；
在上单调递减，
所以上为极小值点，故选项B正确；
因为当时，函数单调递减，
所以，故选项C正确；
易知，
所以，
即，
，
得，故选项D正确．
故选：．
由题意，对函数进行求导，构造函数，对进行求导，结合导数的几何意义，分别讨论当和这两种情况下的单调性即可判断选项B和选项C；利用极值点的定义即可判断选项A，由，列出等式即可判断选项D．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了分类讨论和逻辑推理能力．
13.【答案】
【解析】解：命题“，”为真命题，
则判别式，解得，
故实数的取值范围为．
故答案为：．
根据全称命题的定义和性质结合不等式进行求解即可．
本题主要考查全称命题的定义，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：先去婺源古村落打卡，则婺源古村落排在第一位，
瑶里古镇不最后去打卡，则瑶里古镇排在第二位或第三位或第四位，共有种选择，
其余景点全排列，则有种选择，
根据分步乘法计数原理可知，根据种选择．
故答案为：．
先去婺源古村落打卡，则婺源古村落排在第一位，瑶里古镇不最后去打卡，则瑶里古镇排在第二位或第三位或第四位，共有种选择，其余景点全排列，计算即可．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由题意设，，则，
，，
在上恒成立，即在上单调递增，
又不等式，即，
，
，解得，
不等式的解集为．
故答案为：．
由题意设，，则，结合题意可得在上单调递增，不等式，即，即，利用单调性求解，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：依题意，由，
可得，
两式相加，可得，
故数列的前项的和为：
．
故答案为：．
先根据题干中递推公式可得，两式相加可得，再运用分组求和法与等差数列的求和公式即可计算出数列的前项的和．
本题主要考查根据数列递推公式求前项和问题．考查了整体思想，转化与化归思想，分组求和法，等差数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
17.【答案】解：等比数列的公比，且，
所以，解得；
故，
所以．
等差数列的前项分别为，，
所以公差，所以．
【解析】直接利用等比数列的性质求出首项，进一步求出数列的和；
利用等差数列的性质求出首项和公差，进一步求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的求和，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：由，得．
，，
曲线在处的切线的方程为，
即；
设切点坐标为，
则切点处的切线方程为，
把代入，可得．
过原点与曲线相切的直线的方程为．
【解析】求出原函数的导函数．
求出与的值，再由直线方程的点斜式得答案；
设切点坐标为，利用导数写出过切点的切线方程，代入原点坐标，求解值，则答案可求．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是中档题．
19.【答案】解：已知双曲线的右焦点为，
所以，
又双曲线的一条渐近线经过点，
所以，
整理得，
联立，解得，，
所以的标准方程为；
假设存在符合条件的直线，
此时直线的斜率存在，
不妨设直线的斜率为，，，
此时，，
两式相减得，
因为，，
所以，
又线段的中点为，
所以，，
此时，
解得，
则直线的方程为，
即，
联立，消去并整理得，
因为，
所以方程没有实根，
则假设不成立，
故不存在过点的直线与交于，两点，使得线段的中点为．
【解析】由题意，根据双曲线的焦点以及渐近线方程经过点，列出等式即可求出的标准方程；
假设存在符合条件的直线，此时直线的斜率存在，设直线的斜率为，，，整理得，根据，，得到，因为的中点为，解得，进而得到直线的方程，将直线的方程与双曲线方程联立，利用根的判别式进行判断即可．
本题考查双曲线的性质和直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力．
20.【答案】解：证明：由题意得，且函数定义域为，
由得，由得，由得，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得极小值也是最小值，
，
，有；
由题意得，则，
，由得或，
当，即时，由得，由得或；
当，即时，恒成立，即在上单调递增；
当，即时，由得，由得或，
综上所述，当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减．
【解析】由题意得，且函数定义域为，利用导数可得函数的单调性，求出最小值，即可证明结论；
由题意得，则，分类讨论，，，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：从中国生鲜电商平台所有用户中随机抽取人，
则该用户偏好平台，也偏好平台的概率为；
从偏好平台的所有用户中随机抽取人，
则该用户也偏好平台的概率，
所以人中至少有人也偏好平台的概率为；
从中国生鲜电商平台所有用户中随机抽取人，
则该用户偏好的概率，
所以，
而的所有取值为，，，，，
；
；
；
；
；
所以的分布列为：
则．
【解析】由题意，根据所给图形进行求解即可；
先求出偏好平台的所有用户中也偏好平台的概率，再求解即可；
先求该用户偏好的概率，得到，列出分布列，代入均值的计算公式中进行求解即可．
本题考查离散型随机变量的分布列以及数学期望，考查了逻辑推理、数据分析和运算能力．
22.【答案】解：证明：若选，
由，得，两式相减得，
整理得，所以，两式相减得，
所以是等差数列，又，，所以的公差为，．
若选，
由得，，两式相减得，
因为，所以，所以，又，所以，
所以，
，所以，
数列是以为公差的等差数列．
由得，所以，
所以．
不存在，
证明：假设存在互不相等的正整数，，成等差数列且，，成等比数列，
则，且，因为，所以，
所以，所以，这与，，互不相等矛盾，所以不存在互不相等的正整数，，成等差数列且，，成等比数列．
【解析】根据所选条件求出数列通项公式即可；结合得到的通项公式，而后求和即可；假设存在，反证即可．
本题主要考查递推法求数列的通项公式，属中档题．
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