高二数学参考答案及评分标准
2023.7
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1. B 2. D 3. C 4. B 5. C 6. B 7. C 8. A
二、多项选择题(每小题5分，共20分)
9. ACD 10. AC 11. ABD 12. BCD
三、填空题(每小题5分，共20分)
13. AC,A C ,A D,B C,AB ,DC 中的任意一条即可
15.≤ 16.(985,211)
四、解答题：本大题共 6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(1)证明:因为 P,Q分别为A C ,B C 的中点,
所以
又因为 则
所以
所以
故四边形 PMNQ为梯形, 3分
又因为三角形ABC为边长为2的正三角形，
所以△ABC 的面积为
△A B C 的面积为
又
所以三棱柱ABC-A B C 的表面积 6分
(2)解：因为三棱台PQC -MNC的高.AA =2,
由题可得，
8分
所以三棱台PQC -MNC的体积为：
10分
18.解:(1)设|an|的公比为q,
由 得
即 解得 或 2分
又由题意知|a }递增数列，所以
所以 4分
所以b =a =1,b =a -1=2,
所以等差数列{b }的公差为1，故 6分
(2)因为 7分
所以 8分
所以
12分
19.证明:(1)设AB∩CD=M,连结B M,
则O B ∥AB,即O B ∥OM,且.B O =1,
因为圆O 的半径为 2，且△ACD为正三角形，
所以 所以
因为O为正三角形ACD的外心，所以AM⊥CD，
所以
又因为 所以OM=1, 3分
所以
所以四边形 B O OM为平行四边形，
所以OO ∥B M,又因为 B M 平面 B CD,OO 平面B CD,
所以OO ∥平面B CD. 5分
(2)由圆台的性质知,OO ⊥平面ACD,
又因为 OO ∥B M,|所以B M⊥平面ACD,
由(1)可知AM⊥CD, 7分
以M为原点， 的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则
设平面AB D的法向量为 n=(x,y,z),
则
令y=1得, 10分
设直线 CD与平面AB D所成的角为θ，
则
所以直线 CD与平面AB D所成角的正弦值为 12分
20.(1)依题意得，当投入的专项资金不低于 20万元时，
即 时, 且n∈N°),
此时|a |是首项为 800,公比为 的等比数列，
{b }是首项为40,公差为80的等差数列, 3分
所以
得 解得 n≥7,且n∈N',
所以 6分
n∈N',
(2)由(1)可知当1≤n≤6时,总利润
因为 9分
设
则f(x)为单调递增函数，
f(2)<0,f(3)=0,f(4)>0,
所以S >S =S ,S 又因为 S <0,S = -135<0,
所以当1≤n≤6时,S <0,即前6年未盈利,
当n≥7时,
令Sn>0,得 n≥7,
综上，至少要经过7年后销售总收入才能超过专项资金的总投入… 12分
21.(1)因为AD∥BC,
所以∠PDA为异面直线 PD与BC所成的角，
所以∠PDA=45°, 1分
又因为∠APD=90°,
所以
又因为
所以AB +AP =BP ,
所以BA⊥AP, 3分
又因为BA⊥AD,AP∩AD=A,
所以BA⊥平面APD, 4分
BA 平面ABCD,
所以平面 APD⊥平面ABCD,交线为 AD,
取AD中点O,则PO⊥AD,
所以PO⊥平面ABCD,
即PO 就是点P到平面ABCD的距离.
又因为 PO=1,
所以点 P到平面 ABCD的距离为1… 5分
(2)延长DE,AB,设DE∩AB=G,
所以平面 PAB与平面PDE的交线l即为直线 PG，
又PO⊥平面ABCD,
故以O为坐标原点， 方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 7分
则 P(0,0,1),G(4,-1,0),A(0,-1,0),B(2,-1,0),D(0,1,0),
设 则Q(4λ,-λ,1-λ),
因为BA⊥平面APD,PD 平面APD,
所以BA⊥PD,
又因为 PD⊥AP,BA∩AP=A,
所以PD⊥平面 PAB,
所以平面 QAB的一个法向量
设平面 QCD的法向量n =(x ,y ,z ),
因为
由
得
令y =1-λ,
得n =(0,1-λ,λ +1), 9分
所以
解得 11分
12分
22.解:(1)因为点 在直线 y=x上,
所以
令n=1,则
解得a =21或a = -4(舍), 2分
且
故
所以数列|b。}是以 为首项，2为公比的等比数列… 4分
(2)由(1)知, 5分
所以 7分
(3)由(2)知,
所以 8分
又
故 10分
所以
11分
故
要使上式为定值，只需
故
所以当 时, 为定值1. 12分潍坊市2022-2023学年高二下学期期末统考
数学
2023.7
本试卷共4页.满分150分.考试时间120分钟.注意事项：
1.答题前，考生务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束，考生必须将试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知等差数列中，，，则
A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知直四棱柱的高为1，其底面四边形水平放置的斜二测直观图为平行四边形，，，则该直四棱柱的体积为
A. B. C.2 D.4
3.在空间直角坐标系中，为原点，已知点，，则
A.点关于点的对称点为
B.点关于轴的对称点为
C.点关于轴的对称点为
D.点关于平面的对称点为
4.已知为正项等比数列，若，，则
A.6 B.4 C.2 D.
5.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则
A.若，，，则
B.若，，，则
C.若，，，则
D.若，，，则
6.设，，，是各项均不为零的等差数列，且公差，若将此数列删去得到的新数列（按原来的顺序）是等比数列，则的值为
A. B. C. D.-1
7.若数列的前项积，则的最大值与最小值的和为
A.-3 B.-1 C.2 D.3
8.如图，在直三棱柱中，，四边形是边长为1的正方形，，是上的一个动点，过点作平面平面，记平面截四棱锥所得图形的面积为，平面与平面之间的距离为，则函数的图象大致是
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9.已知为等差数列的前项和，若，，则
A.数列的公差为-2 B.
C. D.数列为递减数列
10.已知某圆锥的顶点为，其底面半径为，侧面积为，若，是底面圆周上的两个动点，则
A.圆锥的母线长为2 B.圆锥的侧面展开图的圆心角为
C. 与圆锥底面所成角的大小为 D. 面积的最大值为
11.斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为"兔子数列".斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，，记是数列的前项和，则
A. B.
C. D.
12.如图，四个半径为2的实心小球两两相切，则
A.这四个实心小球所形成的空隙内可以放入一个半径为的小球
B.这四个实心小球所形成的空隙内可以放入一个棱长为的正方体
C.存在一个侧面积为的圆柱可以放进这四个实心小球所形成的空隙内
D.这四个实心小球可以放入一个半径为的大球内部
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置
13.如图，在正方体中，与垂直的面对角线可以是__________.（写出一条即可）
14.已知数列满足，，则__________.
15.在四棱锥中，为等边三角形，且平面平面，记直线与平面所成的角为，二面角的大小为，则___________（填“>”“<” “≥” “≤”）.
16.如图，将正整数按下表的规律排列，把行与列交叉处的那个数称为某行某列的元素，记作，如第2行第4列的数是15，记作，则有序数对是____________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.（10分）
在正三棱柱中，，，分别为，的中点，点，分别在棱和上，且.
（1）证明：四边形为梯形，并求三棱柱的表面积；
（2）求三棱台的体积.
18.（12分）
已知递增等比数列的前项和为，且，，等差数列满足，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若请判断与的大小关系，并求数列的前20项和.
19.（12分）
在如图所示的圆台中，是下底面圆的直径，是上底面圆的直径，，，，为圆的内接正三角形.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20.（12分）
中小微企业是国民经济的重要组成部分，某小微企业准备投入专项资金进行技术创新，以增强自身的竞争力.根据规划，本年度投入专项资金800万元，可实现销售收入40万元；以后每年投入的专项资金是上一年的一半，销售收入比上一年多80万元.同时，当预计投入的专项资金低于20万元时，就按20万元投入，销售收入则与上一年销售收入相等.
（1）设第年（本年度为第一年）投入的专项资金为万元，销售收入为万元，请写出，的表达式；
（2）至少要经过多少年后，总销售收入就能超过专项资金的总投入
21.（12分）
如图（1），已知四边形是边长为2的正方形，点在以为直径的半圆弧上，点为的中点.现将半圆沿折起，如图（2），使异面直线与所成的角为45°，此时.
（1）证明：平面，并求点到平面的距离；
（2）若平面平面，，当平面与平面所成角的余弦值为时，求的长度.
22.（12分）
已知正项数列中，，点在直线上，，其中.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）设为数列的前项和，求；
（3）记，数列的前项和为，试探究是否存在非零常数和，使得为定值 若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由.
