专题01 空间向量及其运算-【夯实基础】2023-2024高二数学同步限时训练(人教A版2019选择性必修第一册)（含解析)

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【夯实基础】2023-2024高二数学同步限时训练（新人教A版2019）专题01 空间向量及其运算
一、单选题
1．（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（安徽省蚌埠市2022-2023学年高二上学期期末理科数学试题）已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M，A，B，C共面的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（专题1.1空间向量及其运算-2023-2023学年高二数学同步课堂帮帮帮（人教A版2023选择性必修第一册））已知为空间任意一点，若，则四点（ ）
A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断
4．（2023秋·高二课时练习）下列命题中，假命题是（ ）
A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
5．（2023春·宁夏吴忠·高二青铜峡市高级中学校考阶段练习）在底面是正方形的四棱柱中，，， ，则（ ）
A． B． C． D．2
6．（2023·全国·高一专题练习）已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD＝2，AC＝4，则EG2＋HF2的值是（ ）
A．5 B．10
C．12 D．不能确定
7．（2023秋·高二课时练习）如图，在平行六面体中，M为与的交点，若．则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023秋·高二课时练习）对于空间任意一点和不共线的三点，，，有如下关系：
，则（ ）
A．四点，，，必共面 B．四点，，，必共面
C．四点，，，必共面 D．五点，，，，必共面
9．（2023秋·湖南长沙·高二长沙市雅礼实验中学校考阶段练习）下列说法中正确的是（　　）
A．若，则、的长度相等，方向相同或相反
B．若向量是向量的相反向量，则
C．空间向量的减法满足结合律
D．在四边形中，一定有
10．（2023·江苏·高二专题练习）下列说法中正确的是（ ）
A．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同
B．若非零向量和是共线向量，则、、、四点共线
C．在空间中，任意两个单位向量都相等
D．零向量与任意向量平行
11．（2023春·广东江门·高二校考期中）如图，平行六面体，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．3
12．（2023秋·高二课时练习）在下列命题中：
①若向量共线，则向量所在的直线平行；
②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；
③若三个向量两两共面，则向量共面；
④已知空间的三个向量则对于空间的任意一个向量总存在实数使得.
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
13．（2023秋·陕西西安·高二西安中学校考期末）给出下列命题：
①若空间向量满足，则；
②空间任意两个单位向量必相等；
③对于非零向量，由，则；
④在向量的数量积运算中.
其中假命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．（2023·江苏·高三专题练习）下列说法：
①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；
②若向量，满足，且与同向，则；
③若两个非零向量与满足，则，为相反向量；
④的充要条件是A与C重合，B与D重合.
其中错误的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
15．（2023秋·江苏淮安·高二校考阶段练习）是空间四点，有以下条件：
①； ②；
③； ④，
能使四点一定共面的条件是______
16．（2023秋·山东威海·高二统考期末）已知四面体ABCD的每条棱长都等于1，点G是棱CD的中点，则_______.
17．（2023秋·广东江门·高二江门市棠下中学校考阶段练习）已知P是棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1内(含正方体表面)任意一点，则的最大值为______.
18．（2023秋·广东广州·高二广州市第一一三中学校考阶段练习）如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处，已知库底与水坝所成的二面角为，测得从到库底与水坝的交线的距离分别为米、米，米，则甲乙两人相距_______米.
19．（2023秋·河南平顶山·高二汝州市第一高级中学校考阶段练习）如图，在一个直二面角的棱上有两点，，，分别是这个二面角的两个面内垂直于的线段，且，，，则__________．
20．（2023秋·天津北辰·高二天津市第四十七中学校考阶段练习）如图，在平行六面体中，，为的中点，则___________.
21．（2023秋·河南周口·高二校考阶段练习）如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于1，点，，分别是，，的中点，则___________.
22．（2023·高二课时练习）若平面向量为单位向量，， 空间向量满足，，，则对任意的实数，的最小值为___________．
23．（2023秋·广东佛山·高二佛山市南海区桂城中学校考阶段练习）已知球内切于正四面体，且正四面体的棱长为，线段是球的一条动直径（，是直径的两端点），点是正四面体的表面上的一个动点，则的最大值是__．
24．（2023秋·云南大理·高二校考阶段练习）设空间任意一点和不共线三点，且点满足向量关系，若四点共面，则______．
三、解答题
25．（2023·高二课时练习）如图，E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点、化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
26．（2023·全国·高二专题练习）已知M，G分别是空间四边形ABCD的两边BC，CD的中点，化简下列各式：
（1）；
（2）；
（3）．
27．（2023·高二课时练习）如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于a，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点．求：
（1）； （2）； （3）； （4）；
（5）； （6）．
28．（2023·高二课时练习）如图所示，已知是所在平面外一点，，求证：在平面上的射影是的垂心．
29．（2023·高二课时练习）举出一些表示三个不同在一个平面内的向量的实例．
30．（2023·高二课时练习）如图，已知平行六面体，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
31．（2023·高二课时练习）如图，在四面体OABC中，，，E，F，G，H分别是OA，OB，BC，CA的中点．求证：四边形EFGH是矩形．
32．（2023秋·高二课时练习）已知空间四边形OABC中，，且OA=OB=OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC．
33．（2023秋·广东阳江·高二校联考期中）如图所示，在平行六面体中，AB＝AD＝A＝1，∠AD＝∠AB＝∠BAD＝60°，求：
（1）A的长；
（2）B的长.
34．（2023·高二课时练习）如图，在长方体中，E、F分别为棱、AB的中点．
（1）写出与向量相等的向量；
（2）写出与向量相反的向量；
（3）写出与向量平行的向量．
35．（2023秋·高二课时练习）如图，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形.
36．（2023·全国·高二专题练习）如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，
请化简：（1）＋＋；
（2）＋＋．
37．（2023秋·高二课时练习）已知，，三点不共线，对平面外的任一点，若点满足.
（1）判断，，三个向量是否共面；
（2）判断点是否在平面内.
38．（2023秋·高二课时练习）如图，在平行四边形中，，，，沿着它的对角线将折起，使与成角，求此时，之间的距离．
39．（2023·高二课时练习）已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外的任意一点，若，试判断向量，，是否共面，并判断点P是否在平面ABC内．
40．（2023·全国·高二专题练习）如图所示，在空间四边形中，两两成角，且，为的中点，为的中点，试求间的距离．
41．（2023秋·高二课时练习）如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．
参考答案：
1．A
【分析】通过相等向量进行平移，将平移后可以首尾相接，最后得出结果即可.
【详解】由题图观察，平移后可以首尾相接，故有.
故选：A.
2．D
【解析】根据点与点共面，可得，验证选项，即可得到答案.
【详解】设，若点与点共面，则，
只有选项D满足.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了向量的共面定理的应用，其中熟记点与点共面时，
且，则是解答的关键.
3．B
【分析】由空间向量共面定理的推论可得，若，满足，则四点共面可判断.
【详解】由空间向量共面定理的推论若，满足，则四点共面，
，而，故四点共面.
故选：B.
4．D
【分析】根据向量的定义即可判断出答案.
【详解】A.向量是有向线段，不能比较大小.真命题.
B.两向量相等：方向相同，模长相等.起点相同，则终点也相同.真命题.
C.零向量：模长为0的向量.真命题.
D.共线的单位向量是相等向量或相反向量. 假命题.
故选：D.
【点睛】本题考查向量的定义，属于基础题.向量：有向线段.既有大小也有方向.
5．A
【解析】根据空间向量的运算法则，先得到，再由空间向量模的计算公式，结合题中条件，即可得出结果.
【详解】因为四棱柱中，底面是正方形，，，，
则，
所以
.
故选：A.
6．B
【分析】根据中位线定理判断四边形EFGH是平行四边形，再由计算可得解.
【详解】如图所示，由三角形中位线的性质可得,.
所以四边形EFGH是平行四边形，
因为，
所以 .
故选：B.
7．A
【分析】利用向量运算的三角形法则 平行四边形法则表示出即可．
【详解】，
，
，
，
故选：A．
8．B
【分析】根据题意，得到，判定，，共面，进而可得出结果.
【详解】因为，所以，
即，
根据共面向量基本定理，可得，，共面，
所以，，，，四点共面．
故选：B．
【点睛】本题主要考查空间向量的方法判定四点共面，熟记共面向量基本定理即可，属于基础题型.
9．B
【分析】根据向量的概念可判断A选项的正误；利用相反向量的概念可判断B选项的正误；利用空间向量的线性运算法则可判断C选项的正误；利用向量加法的平行四边形法则可判断D选项的正误.
【详解】对于A，向量的模相等指的是向量的长度相等，方向具有不确定性，因而不一定方向相同或相反，所以A错误；
对于B，相反向量指的是大小相等，方向相反的两个向量，因而相反向量满足模长相等，所以B正确；
对于C，空间向量减法结合律指的是，因而由运算可得空间向量减法不满足结合律，所以C错误；
对于D，满足的一定是平行四边形，一般四边形是不满足的，因而D错误.
故选：B.
【点睛】本题考查空间向量有关概念的理解，同时也考查了空间向量的线性运算，属于基础题.
10．D
【分析】本题首先可通过相等向量的相关性质得出A错误，然后根据共线向量平行或者重合判断出B错误，再然后通过单位向量的方向不一定相同判断出C错误，最后根据零向量与任意向量平行判断出D正确.
【详解】A项：因为两个向量起点相同且是相等的向量，所以终点必相同，A错误；
B项：若非零向量和是共线向量，则和平行或者重合，
故、、、四点不一定在同一条直线上，B错误；
C项：单位向量的模相等，但方向不一定相同，C错误；
D项：零向量与任意向量平行，D正确，
故选：D.
11．C
【解析】利用空间向量加法的几何意义，结合空间向量数量积的定义，直接求解即可.
【详解】，
，
因此有：，所以的长.
故选：C．
12．A
【分析】根据空间向量的共线与共面以及基本定理即可求解
【详解】对于①：向量共线，所在的直线也可能重合，故①不正确；
对于②：根据自由向量的意义知，空间任意两向量都共面，故②不正确；
对于③：三个向量中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；
对于④：只有当不共面时，空间任意一向量才能表示为，故④不正确，
综上可知四个命题中正确的个数为0，
故选：A.
13．D
【解析】结合向量的性质，对四个命题逐个分析，可选出答案.
【详解】对于①，空间向量的方向不一定相同，即不一定成立，故①错误；
对于②，单位向量的方向不一定相同，故②错误；
对于③，取，，，满足，且，但是，故③错误；
对于④，因为和都是常数，所以和表示两个向量，若和方向不同，则和不相等，故④错误.
故选：D.
【点睛】本题考查向量的概念与性质，考查向量的数量积，考查学生的推理论证能力，属于基础题.
14．C
【分析】①错误. 两个空间向量相等，但与起点和终点的位置无关；②错误. 向量不能比较大小；③正确. ，为相反向量；④错误. A与C，B与D不一定重合.
【详解】①错误.两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关.
②错误.向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.
③正确. ，得，且，为非零向量，所以，为相反向量.
④错误. 由，知，且与同向，但A与C，B与D不一定重合.
故选：C
【点睛】易错点睛：向量是一个既有大小，又有方向的矢量，考虑向量的问题时，一定要注意这一点.
15．④
【分析】利用空间向量共面定理即可判断.
【详解】对于④，，由空间向量共面定理可知四点一定共面，①②③不满足共面定理的条件.
故答案为：④
【点睛】本题考查空间向量共面定理，属于基础题.
16．
【分析】由题意，，根据数量积的定义及运算律即可求解.
【详解】解：因为四面体ABCD的每条棱长都等于1，点G是棱CD的中点，
所以，且，，，
所以
，
故答案为：.
17．2
【分析】利用向量在上的投影的最大值可求得结果.
【详解】由题意画出图形，如图所示，

因为，且是向量在上的投影，
所以当P在棱C1C上时，投影最大，所以的最大值为.
故答案为：2
【点睛】关键点点睛：利用向量在上的投影的最大值求解是解题关键.
18．70
【分析】由平方即可求解.
【详解】由题意，，
，
，
米，米，米，库底与水坝所成的二面角为，
，
米.
故答案为：70.
19．
【分析】求的长转为求，而，按照向量的模长求法，即可求解.
【详解】由已知，可得，，，
，
，
．
故答案为．
20．6
【分析】根据，结合向量间的夹角已知，模长已知，两边同时平方，从而求得.
【详解】设因为
所以
解得
故答案为：6
21．
【分析】设，然后以为基底向量将，表示出来，再由向量的数量积运算可得答案.
【详解】设，则且两两夹角为
所以
，
所以
故答案为：
22．
【分析】由，求出的最小值.
【详解】
即，当且仅当取等号
即的最小值为
故答案为：
【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于由，结合不等式的性质得出最值.
23．8
【分析】先算出内切球的半径，（为正四面体的棱长），然后再利用向量数量积进行运算．
【详解】解：由正四面体棱长为，其内切圆的半径为，
由题意，，是直径的两端点，可得，，
则，
当点在正四面体顶点时，最大，且最大值为，
则的最大值为，
故答案为：．
24．
【分析】先根据不共线三点，用平面向量基底表示;再根据平面向量基本定理表示，求和即得结果.
【详解】因为四点共面，三点不共线，
所以
因为，
因为是任意一点，故可不共面，所以，
故.
故答案为：1
【点睛】本题考查用基底表示向量以及平面向量基本定理应用，考查基本分析求解能力，属基础题.
25．（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】根据空间向量加减运算的运算法则计算即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
26．（1）；（2）；（3）.
【分析】利用空间向量的加减法及数乘运算化简即可.
【详解】解：(1)如图所示，.
(2)取BD的中点H，连接MG，GH.
因为M，G分别为BC，CD的中点，
所以MG＝BH，MG∥BH，
所以BMGH为平行四边形，
所以，
从而.
(3)分别取AB，AC的中点S，N，连接SM，AM，MN，
则易证得ASMN为平行四边形，
所以，
所以.
【点睛】本题主要考查空间向量的线性运算，在处理向量加法时往往需要结合利用平行四边形法则，借助线段中点实现化简.
27．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）
【分析】根据空间向量数量积的定义计算即可.
【详解】四面体ABCD的所有棱长都等于a，任意两条棱所在直线的夹角为，
E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，，
（1）；
（2）；
（3）；
（4），则直线BD与直线BC所成角就是直线EF与直线BC所成角，
又，；
（5），则直线AC与直线AB所成角就是直线FG与直线BA所成角，
；
（6）取BD中点M，连接AM，CM，
则，，平面ACM，
又平面ACM，，
，，
又，，，
可知，
.
28．证明见解析
【分析】根据垂直关系得数量积为0，进而得平面，可得，得，同理可证，，从而得证.
【详解】∵，
∴，，，平面，
∴．
由题意可知，平面，
∴，，，
∴，
∴．
同理可证，．
∴是的垂心．
29．实例见解析；
【分析】在空间几何体中，从一点出发的不同面的向量即可.
【详解】在三棱锥中，，，不同在一个平面内；
长方体中，从一个顶点A引出的三个向量，，不同在一个平面内.
30．（1），向量如图所示；（2），向量如图所示；（3），向量如图所示；（4），向量如图所示；
【分析】根据平行六面体基本性质及空间向量基本运算化简每个小题即可.
【详解】（1），向量如图所示；
（2）在平行六面体中，有，，
故，向量如图所示；
（3）由知，取的中点为E，
，向量如图所示；
（4）由（2）知，取的三等分点F点，
，向量如图所示；
31．证明见解析；
【分析】取的中点D，联结OD，CD，证得平面，，从而有；又E，F，G，H分别是OA，OB，BC，CA的中点．从而有，结合，证得四边形EFGH是矩形．
【详解】取的中点D，联结OD，CD，
由，知，
，，又，
故平面，又平面，
因此
又E，F，G，H分别是OA，OB，BC，CA的中点．
则，，
故，四边形EFGH是平行四边形
同理，且，又
所以，四边形EFGH是矩形
32．证明见解析
【分析】取定基底向量，并分别记为，再用基底表示出和，然后借助数量积即可计算作答.
【详解】在空间四边形OABC中，令，则，
令，G是MN的中点，如图，
则，，
于是得
，
因此，，
所以OG⊥BC.
33．（1）；（2）.
【分析】（1）利用，然后平方转化为向量的数量积计算；
（2）利用，然后平方转化为向量的数量积计算；
【详解】（1）
＝1＋1＋1＋2×1×1×＋2×1×1×＋2×1×1×＝6.
∴A＝＝.
（2）)
＝1＋1＋1＋2×1×1×(－)＋2×1×1×＋2×1×1×(－)＝2.
∴＝.
34．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）由相等向量的定义可判断；
（2）由相反向量的定义可判断；
（3）由平行向量的定义可判断.
【详解】（1）由相等向量的定义知，大小相等，方向相同的两个向量为相等向量，
所以与向量相等的向量为；
（2）由相反向量的定义知，大小相等，方向相反的两个向量为相反向量，
所以与向量相反的向量为；
（3）由平行向量的定义知，方向相同或相反的两个向量为平行向量，
所以与向量平行的向量为.
35．证明见解析
【分析】根据题意证明和平行且不相等即可.
【详解】解：∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴，
则，
∴且.
又F不在直线EH上，∴四边形EFGH是梯形.
36．（1）（2）.
【分析】（1）根据向量的加法法则直接可得答案；
（2）由条件可得，然后可算出答案.
【详解】（1）＋＋
（2）因为E，F，G分别为BC，CD，DB的中点．
所以
所以＋＋
37．（1）共面；（2）点在平面内.
【分析】（1）由向量的线性关系可得，由向量减法有，由空间向量共面定理，知共面.
（2）由（1）结论，有四点共面，即可知在平面内.
【详解】（1）由题意，知：，
∴，即，
故共面得证.
（2）由（1）知：共面且过同一点.
所以四点共面，从而点在平面内.
38．或
【分析】根据与成角，得到或，然后由，两边平方求解.
【详解】因为，
所以，．
因为与成角，
所以或．
因为，
所以，
所以．
当时，，即；
当时，，即．
综上，可知，之间的距离为或．
【点睛】方法点睛：求长度(距离)，运用公式，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题求解；
39．见解析
【分析】由共面向量充要条件，想要判断向量，，是否共面，只需要找出有序实数对（），使得，而题中可化为，从而确定三个向量共面，也能判断点P是在平面ABC内．
【详解】因为，
所以，即，
所以向量，，共面.
因为，，有共同的起点P，且A，B，C三点不共线，
所以P，A，B，C共面，即点P在平面ABC内.
【点睛】共面向量定理是解决空间向量共面问题的重要方法．找出有序实数对（），使得.
40．
【分析】利用空间向量线性运算可得，由向量数量积的运算律可求得，进而得到结果.
【详解】，
，
，即间的距离为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查空间中两点间距离的求解，解题关键是能够将问题转化为空间向量模长的求解，从而利用空间向量的线性运算和数量积运算将问题转化为已知模长和夹角的向量问题的求解.
41．证明见解析
【分析】把用基底表示后证明它们共线，再由共顶点可得三点共线．
【详解】证明： 连接，．
∵
，
，
∴，∴．
又，∴，，三点共线．
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