专题03 空间向量及其运算的坐标表示-【夯实基础】2023-2024高二数学同步限时训练(人教A版2019选择性必修第一册)（含解析)
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| 名称 | 专题03 空间向量及其运算的坐标表示-【夯实基础】2023-2024高二数学同步限时训练(人教A版2019选择性必修第一册)（含解析) |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 5.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-13 11:58:35 | ||
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文档简介
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【夯实基础】2023-2024高二数学同步限时训练（新人教A版2019）专题03 空间向量及其运算的坐标表示
一、单选题
1．已知，，若，则等于（ ）
A．1 B．2 C． D．3
2．下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
3．已知，，若，则点的坐标为
A． B． C． D．
4．已知且，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．已知＝(1，－2，1)，＝(－1，2，－1)，则＝（ ）
A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2)
C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)
6．已知，，则的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
7．已知向量，，且与夹角的余弦值为，则的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
8．设x，，向量，，且，，则（ ）
A． B． C．3 D．4
9．如图，为正方体的棱上一点，且，为棱上一点，且，则 （ ）
A． B．2:6 C． D．
10．已知，，则以为邻边的平行四边形的面积为（ ）
A． B．
C．4 D．8
11．与向量共线的单位向量是（ ）．
A． B．
C．和 D．和
12．若，，，，，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
13．如图，将边长为1的正方形沿对角线折成直二面角，若点满足，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
14．已知空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
15．已知空间向量，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．与夹角的余弦值为
16．如图，棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方体表面BCC1B1上的一个动点，E，F分别为BD1的三等分点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
17．已知向量，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
18．(多选)已知，且∥，则（ ）
A．x＝ B．x＝
C．y＝－ D．y＝－4
19．已知向量，下列等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
20．已知向量，下列等式中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
21．在三棱锥中，三条侧棱，，两两垂直，，，且的面积为，则的长为___________.
22．已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是___.
23．在空间直角坐标系中，若三点A（1，-1，a），B(2，a，0)，C(1，a，-2)满足：，则实数a的值为_________.
24．已知空间向量，，若，则____________.
25．已知， ，若，则________．
26．在空间直角坐标系Oxyz中，A（1，2，3），B（2，1，2），P（l，1，2），点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标是________．
27．若，，，且，则________.
28．已知，且与的夹角为钝角，则实数k的取值范围为_____．
29．在空间直角坐标系中，已知，，点分别在轴，轴上，且，那么的最小值是______.
30．如图所示，正方体的棱长为是它内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，为正方体表面上的动点，当弦的长度最大时，的取值围是_______________________．
31．已知直四棱柱的高为4，底面边长均为2，且，P是侧面内的一点，若，则的最小值为___________.
32．已知为单位正交基底，且，，则向量与向量的坐标分别为___________ ___________.
33．在单位正方体中，、分别为、的中点，则___________；___________.
四、解答题
34．如图，在直三棱柱ABC A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标．
35．如图，在长方体中，，，，为棱的中点，分别以所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系．
（1）求点的坐标；
（2）求点的坐标．
36．已知，，求，，，，．
37．已知，，．求：
（1）；
（2）．
38．如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点．
（1）求的长；
（2）求cos<>的值；
（3）求证：A1B⊥C1M．
39．如图，建立空间直角坐标系．正方体的棱长为1，顶点位于坐标原点．
（1）若是棱的中点，是棱的中点，是侧面的中心，则分别求出向量，，的坐标；
（2）在（1）的条件下，分别求出，的值．
40．从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，求异面直线与所成角的余弦值.
问题：如图，在长方体中，以D为原点建立空间直角坐标系，已知，___________.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分.
41．在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4)．
（1）求点P关于x轴的对称点的坐标；
（2）求点P关于xOy平面的对称点的坐标；
（3）求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标
42．已知，，求：
（1）；
（2）；
（3）；
（4），
43．如图，在正方体中，M，N分别为棱和的中点，求CM和所成角的余弦值．
44．如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）中，，，棱，为的中点.
（1）求的长；
（2）求与所成角的余弦值.
45．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．
(1)若，且分别与，垂直，求向量的坐标；
(2)若∥，且，求点P的坐标．
46．已知点，，．
（1）若D为线段的中点，求线段的长；
（2）若，且，求a的值，并求此时向量与夹角的余弦值．
47．已知向量=(1，1，0)，=.
(1)若()∥()，求实数k；
(2)若向量与所成角为锐角，求实数k的范围.
48．已知空间三点.
（1）若点在直线上，且，求点的坐标；
（2）求以为邻边的平行四边形的面积.
参考答案：
1．B
【解析】由条件，求的值.
【详解】，，
即，解得：.
故选：B
2．A
【分析】根据空间向量平行与垂直坐标公式判断即可．
【详解】由，，得，所以，则A正确，B错；
由，，得，且，所以不平行也不垂直，则C，D错．
故选：A
3．D
【详解】设点为，又
∴，
∵，
∴
即, D点坐标
故选D
4．C
【解析】由空间向量数量积的坐标运算求解．
【详解】由已知，解得．
故选：C．
5．A
【分析】根据空间向量的坐标运算直接计算结果.
【详解】解析：．
故选：A
6．B
【分析】利用空间向量坐标的减法求出，然后利用求模公式求出.
【详解】解：
当时，取最小值.
故选：B
7．A
【解析】根据题中条件，由向量夹角的坐标表示，列出等量关系求解，即可得出结果.
【详解】因为向量，，与夹角的余弦值为，
所以，
整理得(其中)，解得（负值舍去）.
故选：A.
8．C
【分析】根据，，解得x，y，然后由空间向量的模公式求解.
【详解】因为向量，，且，，
所以，，
解得，
所以向量，，
所以，
所以，
故选：C
9．A
【分析】以为坐标原点，射线，，的方向分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为，分别求得，，然后根据，由求解.
【详解】如下图，以为坐标原点，射线，，的方向分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为，则，，，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
解得，
∴，，
∴．
故选：A
【点睛】本题主要考查空间向量垂直的坐标运算，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于基础题.
10．A
【分析】首先计算两个向量的夹角的余弦值，再转化为正弦值，利用面积公式计算.
【详解】解析：设向量的夹角为θ，，，
于是＝．由此可得．
所以以为邻边的平行四边形的面积为.
故选：A
11．D
【分析】根据向量共线的性质求解即可.
【详解】解：，，
，，
且，，
故与向量共线的单位向量是或，
故选：D
【点睛】本题主要考查了空间向量共线定理的应用，属于基础题.
12．C
【解析】根据空间向量模的坐标表示，由题中条件，得到，推出，配方整理，即可求出最小值.
【详解】因为，，，，，
所以，则，即，
所以，
当且仅当，即时，取得最小值，则的最小值为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：
求解本题的关键在于利用空间向量模的坐标表示，用表示出，即，配方整理，即可求解.
13．A
【分析】根据题意建立合适空间直角坐标系，根据向量关系求解出的坐标，则可求.
【详解】记正方形的对角线交于点，连接，所以，
因为二面角为直二面角，且，平面平面，
所以平面，建立空间直角坐标系如下图所示：
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
故选：A.
14．C
【分析】设，根据点在直线上，求得，再结合向量的数量积和二次函数的性质，求得时，取得最小值，即可求解.
【详解】设，
由点在直线上，可得存在实数使得，
即，可得,
所以,
则，
根据二次函数的性质，可得当时，取得最小值，此时.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了空间向量的共线定理，空间向量的数量积的运算，其中解答中根据向量的数量积的运算公式，得出关于的二次函数是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
15．A
【分析】类比平面向量的计算办法，判断两向量是否平行可得，，故A错；
以及，故B正确；向量乘积为0即垂直，故C对；
用可判断D对.
【详解】因为，，而，故A不正确；
因为，，所以，故B正确；
因为，故C正确；
又，故D正确.
故选：A
16．D
【解析】过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点，证明此时的使得最小，建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，的最小值为.
【详解】过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点.
可以证明此时的使得最小：任取(不含)，此时.
在点D处建立如图所示空间直角坐标系，
则，因为E，F分别为BD1的三等分点，所以,
又点F距平面的距离为1，所以,
的最小值为.
故选：D
17．BC
【分析】利用向量坐标运算法则直接求解．
【详解】解：向量，
，，，故正确；
，1，，故错误；
，故错误；
，故正确．
故选：．
18．BD
【分析】先由已知条件求出和的坐标，再由∥，可得3(1＋2x)＝4(2－x)且3(4－y)＝4(－2y－2)，从而可求出的值
【详解】解：因为
所以，，
因为 ∥，
所以3(1＋2x)＝4(2－x)且3(4－y)＝4(－2y－2)，所以x＝，y＝－4．
故选：BD
19．BCD
【分析】根据条件可得出，然后可看出选项A的等式的左边是向量，右边是实数，显然该等式不成立；进行数量积的运算即可判断选项B，C都正确；根据和即可判断选项D正确．
【详解】，
∴，
A：，∴该等式错误；
B：，，∴该等式正确；
C：，∴该等式正确；
D：，
，
∴，∴该等式正确．
故选：BCD．
20．BCD
【解析】根据数量积的结果是实数判断A；根据向量的线性运算、数量积运算、模长公式判断BCD.
【详解】A.左边为向量，右边为实数，显然不相等，不正确；
B.左边
右边，左边=右边，因此正确.
C.
左边，右边左边=右边，因此正确.
D.由C可得左边=，
左边=右边，因此正确.
故选：BCD
21．2
【解析】依题意建立空间直角坐标系，设，表示出，，根据得到方程，计算可得；
【详解】解：依题意建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，所以，，所以，即，所以，解得
故答案为：
【点睛】本题考查空间向量的应用，对于三角形的面积可以利用向量法进行转化计算；
22．∪
【分析】根据题意得出且与不共线，然后根据向量数量积的定义及向量共线的条件求出x的取值范围.
【详解】∵与的夹角为钝角，且与不共线，
即，且，
解得，且，
∴x的取值范围是∪.
故答案为：∪.
23．
【解析】先根据点的坐标得到，的坐标表示，再根据向量垂直对应的数量积为零计算出的值即可.
【详解】由题意，
所以，
解得.
故答案为：
24．
【解析】根据向量平行，则存在，使得，即可得到方程组，解得即可；
【详解】解：因为，，且
所以存在，使得，所以
即解得
所以
故答案为：
25．
【分析】直接利用空间向量的数量积计算可得；
【详解】解：因为，
所以，，，
又
所以
所以，解得或
因为，所以，
所以，
故答案为：
【点睛】本题考查空间向量的数量积的运算，考查运算求解能力，是基础题.本题解题的关键在于注意到夹角为钝角，其数量积为负值，进而舍去正值.
26．
【分析】由题意设点Q的坐标，求出的表达式，根据二次函数的性质计算出的最小值，进而得出点Q的坐标.
【详解】由题意知，点Q在直线OP上运动，，
设，
则
，
所以当时，取得最小值，
此时点Q的坐标为
故答案为：
27．或.
【分析】设，根据，且，列出方程组，即可求解.
【详解】设，因为，且，可得，
解得或，
即或.
故答案为：或.
28．
【解析】利用去掉反向的情形即得．
【详解】由，，
所以，解得
若与反向，则
则，所以
所以与的夹角为钝角则且
综上的范围是．
故答案为：
【点睛】思路点睛：本题考查向量的夹角与向量的数量积的关系，根据向量夹角求参数时，可由是两个非零向量，则夹角是锐角时，，夹角是钝角时，，反之要注意可能同向也可能反向．属于中档题.
29．
【解析】设，0，，，，，则，，由，知．所以，由此能求出其最小值．
【详解】设，0，，，，，
，0，，，1，-，
，，
，
，
即．
，
．（当时取最小值）
故答案为：
【点睛】方法点睛：求最值常用的方法有：（1）函数法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法.要根据已知条件灵活选择方法求解.
30．
【分析】首先确定弦过球心，再通过建立空间直角坐标系，利用坐标法得到，再通过构造几何意义求的最大值和最小值.
【详解】当弦的长度最大时，弦过球心，
如图，建立空间直角坐标系，不妨设是上下底面的中心，
则，，
，，，
则
，
而表示点和定点距离的平方，很显然正方体的顶点到定点距离的平方最大，最大值是 正方体面的中心到定点的距离的平方最小，最小值是，所以的最小值是，最大值是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题第一个关键点是确定过球心，利用对称性设，，第二个关键点是构造两点间距离的几何意义求最大值和最小值.
31．
【分析】根据题意，以点为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，进而由得，令，，再根据三角函数求解即可.
【详解】直四棱柱的高为4，底面边长均为2，且
故平面，四边形为菱形，，
故如图建立空间直角坐标系，则，，，设点，
则，由于，
所以，即：，
故令，，
所以
，
所以
故答案为：
【点睛】本题考查利用坐标法求解空间距离最值问题，解题的关键在于建立如图的空间直角坐标系，得点满足，进而根据三角恒等变换求解，考查运算求解能力，是中档题.
32．
【解析】利用向量坐标运算性质即可得出．
【详解】∵，，
∴，
∴，
∴
，
则．
故答案为：，
33．
【分析】以为原点，、、所在直线分别为轴 轴 轴建立直角坐标系，利用空间向量法可求得以及的长.
【详解】以为原点，、、所在直线分别为轴 轴 轴建立直角坐标系，
则、、，则，，，
，
.
故答案为：；.
34．＝(1，－1，1)，＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)．
【分析】以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz，利用空间向量坐标表示公式进行求解即可.
【详解】由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz，如图所示．
则B(0，1，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，2)，N(1，0，1)，
∴＝(1，－1，1)，＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)．
35．（1），，，，，，，；（2）.
【分析】（1）根据顶点位置依次判断即可得到结果；
（2）由中点坐标公式计算可得结果.
【详解】（1）为坐标原点，则，
点在轴的正半轴上，且，，
同理可得：，．
点在坐标平面内，，，，
同理可得：，，
与的坐标相比，点的坐标中只有坐标不同，，．
综上所述：，，，，，，，.
（2）由（1）知：，，
则的中点为，即.
36．；；；；
.
【分析】根据空间向量运算的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】；
；
；
；
.
37．（1）9，（2）
【分析】（1）先求出，再利用数量积运算性质求解即可；
（2）直接利用向量坐标的加减法运算性质求解
【详解】解：（1）因为，，
所以，
因为，
所以，
（2）因为，，，
所以
38．（1）；（2）；（3）证明见解析．
【分析】（1）求得长即求向量的模长问题，利用模的计算公式计算出结果.
（2）求向量的夹角问题，由，在坐标系中读出的坐标，根据坐标减法求出，，，并求出其模长，再次根据夹角公式可以求解.
（3）要证明，只需要证明，根据各个点坐标进行向量计算可证.
【详解】解：以为原点，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
（1）
（2）
（3）
39．（1），，；（2），.
【分析】（1）根据题意，易得点O，E，F，G的坐标，进而求得向量的坐标；
（2）由（1）的结果，利用空间向量的加法和数量积坐标运算以及向量的模公式求解.
【详解】（1）因为是棱的中点，是棱的中点，是侧面的中心，
所以，，，．
所以，，，．
（2）由（1）可得．
又，
所以．
40．条件选择见解析；值为：.
【解析】选①，根据向量数量积等于可得，再利用空间向量数量积的坐标运算求夹角即可；选②，设，根据向量数量积可得，再利用空间向量数量积的坐标运算求夹角即可；选③，根据题意可得，可得，再利用空间向量数量积的坐标运算求夹角即可.
【详解】解：选①.
∵，
∴，
∴，
即.
∴，
∴，
∵，
∴异面直线与所成角的余弦值为.
选②.
设，其中，
从而，
∴.
∵，∴，
由于，所以.
∴，
∴，
∴异面直线与所成角的余弦值为.
选③.
，
∴，
∴.
解法同①.
41．（1）(－2，－1，－4)；（2）(－2，1，－4)；（3）(6，－3，－12)．
【分析】(1)由点关于x轴对称点的特点即可求出点的坐标.
(2) 由点关于xOy平面对称点的特点即可求出点的坐标.
(3) 设对称点为P3(x，y，z)，由M为线段PP3的中点，结合中点坐标公式即可求出对称点的坐标.
【详解】（1）由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)．
（2）由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2，1，－4)．
（3）设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点．由中点坐标公式，
可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，
所以P3(6，－3，－12)．
42．（1），（2），（3），（4）.
【分析】根据空间向量的坐标运算算出答案即可.
【详解】因为，
（1）所以，
（2）
（3）
（4）
43．
【分析】以D为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求解.
【详解】
以D为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，不妨设正方体边长为2，则
所以,
设CM和所成角为，则,
所以CM和所成角的余弦值为.
44．（1）；（2）.
【分析】以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.
（1）利用空间中两点间的距离公式可求得的长；
（2）利用空间向量法可求得与所成角的余弦值.
【详解】如图，以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.
（1）依题意得、，因此，，
因此，线段的长为；
（2）依题意得、、、，
，，
所以，，
故与所成角的余弦值为.
45．（1）或；（2）或
【分析】(1)=（﹣2，﹣1，3），=（1，﹣3，2）．设=（x，y，z），由于||=，且分别与、垂直，可得，解出即可．(2) 设,
，解之即得的值，即得＝(6，－4，－2)或＝(－6,4,2)．再求出点P的坐标.
【详解】(1)=（﹣2，﹣1，3），=（1，﹣3，2）．
设=（x，y，z），
∵||=，且分别与、垂直，
∴，
解得，或．
∴=（1，1，1），（﹣1，﹣1，﹣1）．
(2)因为∥，所以可设．
因为＝(3，－2，－1)，
所以＝(3λ，－2λ，－λ)．
又因为，
所以，
解得λ＝±2.
所以＝(6，－4，－2)或＝(－6,4,2)．
设点P的坐标为(x，y，z)，则＝(x，y－2，z－3)．
所以或
解得或
故所求点P的坐标为(6，－2,1)或(－6,6,5)．
【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，考查向量平行和垂直的坐标表示，考查向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
46．（1）；（2）．
【分析】（1）根据题意，求得，得到，结合向量的模的计算公式，即可求解；
（2）利用向量的数量积的公式，求得，得到，再结合空间向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）由题意，点，且点D为线段的中点，
可得，则，所以，
即线段的长为．
（2）由点，，则，
所以，解得，所以，
则，
即向量与夹角的余弦值为．
【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示及运算，以及空间向量的数量积和夹角公式的应用，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
47．(1)
(2)，且
【分析】（1）先由向量的坐标运算求出和，再利用两向量共线进行求解；
（2）利用数量积为正求出的范围，再去掉两向量共线的情形.
(1)
解：由题意知，=（，1，2k），=（1，2，2），
那么当（）∥（）时，
，
可得.
(2)
解：由（1）知，=（，1，2k），=（1，2，2），
若向量与所成角为锐角时，
则（）·（），
即，
即得，又当k=时，（）∥（），
可得实数k的范围为，且.
48．（1）；（2）.
【分析】（1）由点在直线上，可设，利用可求出，进而得出点的坐标；
（2）由求出，进而求出，即可利用面积公式求解.
【详解】解：（1），点在直线上，
设，
，
，
，
，，.
（2），
，
，，
，
所以以为邻边得平行四边形的面积为.
【点睛】本题考查空间向量的相关计算，属于基础题.
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【夯实基础】2023-2024高二数学同步限时训练（新人教A版2019）专题03 空间向量及其运算的坐标表示
一、单选题
1．已知，，若，则等于（ ）
A．1 B．2 C． D．3
2．下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
3．已知，，若，则点的坐标为
A． B． C． D．
4．已知且，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．已知＝(1，－2，1)，＝(－1，2，－1)，则＝（ ）
A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2)
C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)
6．已知，，则的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
7．已知向量，，且与夹角的余弦值为，则的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
8．设x，，向量，，且，，则（ ）
A． B． C．3 D．4
9．如图，为正方体的棱上一点，且，为棱上一点，且，则 （ ）
A． B．2:6 C． D．
10．已知，，则以为邻边的平行四边形的面积为（ ）
A． B．
C．4 D．8
11．与向量共线的单位向量是（ ）．
A． B．
C．和 D．和
12．若，，，，，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
13．如图，将边长为1的正方形沿对角线折成直二面角，若点满足，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
14．已知空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
15．已知空间向量，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．与夹角的余弦值为
16．如图，棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方体表面BCC1B1上的一个动点，E，F分别为BD1的三等分点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
17．已知向量，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
18．(多选)已知，且∥，则（ ）
A．x＝ B．x＝
C．y＝－ D．y＝－4
19．已知向量，下列等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
20．已知向量，下列等式中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
21．在三棱锥中，三条侧棱，，两两垂直，，，且的面积为，则的长为___________.
22．已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是___.
23．在空间直角坐标系中，若三点A（1，-1，a），B(2，a，0)，C(1，a，-2)满足：，则实数a的值为_________.
24．已知空间向量，，若，则____________.
25．已知， ，若，则________．
26．在空间直角坐标系Oxyz中，A（1，2，3），B（2，1，2），P（l，1，2），点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标是________．
27．若，，，且，则________.
28．已知，且与的夹角为钝角，则实数k的取值范围为_____．
29．在空间直角坐标系中，已知，，点分别在轴，轴上，且，那么的最小值是______.
30．如图所示，正方体的棱长为是它内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，为正方体表面上的动点，当弦的长度最大时，的取值围是_______________________．
31．已知直四棱柱的高为4，底面边长均为2，且，P是侧面内的一点，若，则的最小值为___________.
32．已知为单位正交基底，且，，则向量与向量的坐标分别为___________ ___________.
33．在单位正方体中，、分别为、的中点，则___________；___________.
四、解答题
34．如图，在直三棱柱ABC A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标．
35．如图，在长方体中，，，，为棱的中点，分别以所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系．
（1）求点的坐标；
（2）求点的坐标．
36．已知，，求，，，，．
37．已知，，．求：
（1）；
（2）．
38．如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点．
（1）求的长；
（2）求cos<>的值；
（3）求证：A1B⊥C1M．
39．如图，建立空间直角坐标系．正方体的棱长为1，顶点位于坐标原点．
（1）若是棱的中点，是棱的中点，是侧面的中心，则分别求出向量，，的坐标；
（2）在（1）的条件下，分别求出，的值．
40．从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，求异面直线与所成角的余弦值.
问题：如图，在长方体中，以D为原点建立空间直角坐标系，已知，___________.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分.
41．在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4)．
（1）求点P关于x轴的对称点的坐标；
（2）求点P关于xOy平面的对称点的坐标；
（3）求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标
42．已知，，求：
（1）；
（2）；
（3）；
（4），
43．如图，在正方体中，M，N分别为棱和的中点，求CM和所成角的余弦值．
44．如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）中，，，棱，为的中点.
（1）求的长；
（2）求与所成角的余弦值.
45．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．
(1)若，且分别与，垂直，求向量的坐标；
(2)若∥，且，求点P的坐标．
46．已知点，，．
（1）若D为线段的中点，求线段的长；
（2）若，且，求a的值，并求此时向量与夹角的余弦值．
47．已知向量=(1，1，0)，=.
(1)若()∥()，求实数k；
(2)若向量与所成角为锐角，求实数k的范围.
48．已知空间三点.
（1）若点在直线上，且，求点的坐标；
（2）求以为邻边的平行四边形的面积.
参考答案：
1．B
【解析】由条件，求的值.
【详解】，，
即，解得：.
故选：B
2．A
【分析】根据空间向量平行与垂直坐标公式判断即可．
【详解】由，，得，所以，则A正确，B错；
由，，得，且，所以不平行也不垂直，则C，D错．
故选：A
3．D
【详解】设点为，又
∴，
∵，
∴
即, D点坐标
故选D
4．C
【解析】由空间向量数量积的坐标运算求解．
【详解】由已知，解得．
故选：C．
5．A
【分析】根据空间向量的坐标运算直接计算结果.
【详解】解析：．
故选：A
6．B
【分析】利用空间向量坐标的减法求出，然后利用求模公式求出.
【详解】解：
当时，取最小值.
故选：B
7．A
【解析】根据题中条件，由向量夹角的坐标表示，列出等量关系求解，即可得出结果.
【详解】因为向量，，与夹角的余弦值为，
所以，
整理得(其中)，解得（负值舍去）.
故选：A.
8．C
【分析】根据，，解得x，y，然后由空间向量的模公式求解.
【详解】因为向量，，且，，
所以，，
解得，
所以向量，，
所以，
所以，
故选：C
9．A
【分析】以为坐标原点，射线，，的方向分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为，分别求得，，然后根据，由求解.
【详解】如下图，以为坐标原点，射线，，的方向分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为，则，，，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
解得，
∴，，
∴．
故选：A
【点睛】本题主要考查空间向量垂直的坐标运算，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于基础题.
10．A
【分析】首先计算两个向量的夹角的余弦值，再转化为正弦值，利用面积公式计算.
【详解】解析：设向量的夹角为θ，，，
于是＝．由此可得．
所以以为邻边的平行四边形的面积为.
故选：A
11．D
【分析】根据向量共线的性质求解即可.
【详解】解：，，
，，
且，，
故与向量共线的单位向量是或，
故选：D
【点睛】本题主要考查了空间向量共线定理的应用，属于基础题.
12．C
【解析】根据空间向量模的坐标表示，由题中条件，得到，推出，配方整理，即可求出最小值.
【详解】因为，，，，，
所以，则，即，
所以，
当且仅当，即时，取得最小值，则的最小值为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：
求解本题的关键在于利用空间向量模的坐标表示，用表示出，即，配方整理，即可求解.
13．A
【分析】根据题意建立合适空间直角坐标系，根据向量关系求解出的坐标，则可求.
【详解】记正方形的对角线交于点，连接，所以，
因为二面角为直二面角，且，平面平面，
所以平面，建立空间直角坐标系如下图所示：
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
故选：A.
14．C
【分析】设，根据点在直线上，求得，再结合向量的数量积和二次函数的性质，求得时，取得最小值，即可求解.
【详解】设，
由点在直线上，可得存在实数使得，
即，可得,
所以,
则，
根据二次函数的性质，可得当时，取得最小值，此时.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了空间向量的共线定理，空间向量的数量积的运算，其中解答中根据向量的数量积的运算公式，得出关于的二次函数是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
15．A
【分析】类比平面向量的计算办法，判断两向量是否平行可得，，故A错；
以及，故B正确；向量乘积为0即垂直，故C对；
用可判断D对.
【详解】因为，，而，故A不正确；
因为，，所以，故B正确；
因为，故C正确；
又，故D正确.
故选：A
16．D
【解析】过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点，证明此时的使得最小，建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，的最小值为.
【详解】过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点.
可以证明此时的使得最小：任取(不含)，此时.
在点D处建立如图所示空间直角坐标系，
则，因为E，F分别为BD1的三等分点，所以,
又点F距平面的距离为1，所以,
的最小值为.
故选：D
17．BC
【分析】利用向量坐标运算法则直接求解．
【详解】解：向量，
，，，故正确；
，1，，故错误；
，故错误；
，故正确．
故选：．
18．BD
【分析】先由已知条件求出和的坐标，再由∥，可得3(1＋2x)＝4(2－x)且3(4－y)＝4(－2y－2)，从而可求出的值
【详解】解：因为
所以，，
因为 ∥，
所以3(1＋2x)＝4(2－x)且3(4－y)＝4(－2y－2)，所以x＝，y＝－4．
故选：BD
19．BCD
【分析】根据条件可得出，然后可看出选项A的等式的左边是向量，右边是实数，显然该等式不成立；进行数量积的运算即可判断选项B，C都正确；根据和即可判断选项D正确．
【详解】，
∴，
A：，∴该等式错误；
B：，，∴该等式正确；
C：，∴该等式正确；
D：，
，
∴，∴该等式正确．
故选：BCD．
20．BCD
【解析】根据数量积的结果是实数判断A；根据向量的线性运算、数量积运算、模长公式判断BCD.
【详解】A.左边为向量，右边为实数，显然不相等，不正确；
B.左边
右边，左边=右边，因此正确.
C.
左边，右边左边=右边，因此正确.
D.由C可得左边=，
左边=右边，因此正确.
故选：BCD
21．2
【解析】依题意建立空间直角坐标系，设，表示出，，根据得到方程，计算可得；
【详解】解：依题意建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，所以，，所以，即，所以，解得
故答案为：
【点睛】本题考查空间向量的应用，对于三角形的面积可以利用向量法进行转化计算；
22．∪
【分析】根据题意得出且与不共线，然后根据向量数量积的定义及向量共线的条件求出x的取值范围.
【详解】∵与的夹角为钝角，且与不共线，
即，且，
解得，且，
∴x的取值范围是∪.
故答案为：∪.
23．
【解析】先根据点的坐标得到，的坐标表示，再根据向量垂直对应的数量积为零计算出的值即可.
【详解】由题意，
所以，
解得.
故答案为：
24．
【解析】根据向量平行，则存在，使得，即可得到方程组，解得即可；
【详解】解：因为，，且
所以存在，使得，所以
即解得
所以
故答案为：
25．
【分析】直接利用空间向量的数量积计算可得；
【详解】解：因为，
所以，，，
又
所以
所以，解得或
因为，所以，
所以，
故答案为：
【点睛】本题考查空间向量的数量积的运算，考查运算求解能力，是基础题.本题解题的关键在于注意到夹角为钝角，其数量积为负值，进而舍去正值.
26．
【分析】由题意设点Q的坐标，求出的表达式，根据二次函数的性质计算出的最小值，进而得出点Q的坐标.
【详解】由题意知，点Q在直线OP上运动，，
设，
则
，
所以当时，取得最小值，
此时点Q的坐标为
故答案为：
27．或.
【分析】设，根据，且，列出方程组，即可求解.
【详解】设，因为，且，可得，
解得或，
即或.
故答案为：或.
28．
【解析】利用去掉反向的情形即得．
【详解】由，，
所以，解得
若与反向，则
则，所以
所以与的夹角为钝角则且
综上的范围是．
故答案为：
【点睛】思路点睛：本题考查向量的夹角与向量的数量积的关系，根据向量夹角求参数时，可由是两个非零向量，则夹角是锐角时，，夹角是钝角时，，反之要注意可能同向也可能反向．属于中档题.
29．
【解析】设，0，，，，，则，，由，知．所以，由此能求出其最小值．
【详解】设，0，，，，，
，0，，，1，-，
，，
，
，
即．
，
．（当时取最小值）
故答案为：
【点睛】方法点睛：求最值常用的方法有：（1）函数法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法.要根据已知条件灵活选择方法求解.
30．
【分析】首先确定弦过球心，再通过建立空间直角坐标系，利用坐标法得到，再通过构造几何意义求的最大值和最小值.
【详解】当弦的长度最大时，弦过球心，
如图，建立空间直角坐标系，不妨设是上下底面的中心，
则，，
，，，
则
，
而表示点和定点距离的平方，很显然正方体的顶点到定点距离的平方最大，最大值是 正方体面的中心到定点的距离的平方最小，最小值是，所以的最小值是，最大值是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题第一个关键点是确定过球心，利用对称性设，，第二个关键点是构造两点间距离的几何意义求最大值和最小值.
31．
【分析】根据题意，以点为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，进而由得，令，，再根据三角函数求解即可.
【详解】直四棱柱的高为4，底面边长均为2，且
故平面，四边形为菱形，，
故如图建立空间直角坐标系，则，，，设点，
则，由于，
所以，即：，
故令，，
所以
，
所以
故答案为：
【点睛】本题考查利用坐标法求解空间距离最值问题，解题的关键在于建立如图的空间直角坐标系，得点满足，进而根据三角恒等变换求解，考查运算求解能力，是中档题.
32．
【解析】利用向量坐标运算性质即可得出．
【详解】∵，，
∴，
∴，
∴
，
则．
故答案为：，
33．
【分析】以为原点，、、所在直线分别为轴 轴 轴建立直角坐标系，利用空间向量法可求得以及的长.
【详解】以为原点，、、所在直线分别为轴 轴 轴建立直角坐标系，
则、、，则，，，
，
.
故答案为：；.
34．＝(1，－1，1)，＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)．
【分析】以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz，利用空间向量坐标表示公式进行求解即可.
【详解】由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C xyz，如图所示．
则B(0，1，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，2)，N(1，0，1)，
∴＝(1，－1，1)，＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)．
35．（1），，，，，，，；（2）.
【分析】（1）根据顶点位置依次判断即可得到结果；
（2）由中点坐标公式计算可得结果.
【详解】（1）为坐标原点，则，
点在轴的正半轴上，且，，
同理可得：，．
点在坐标平面内，，，，
同理可得：，，
与的坐标相比，点的坐标中只有坐标不同，，．
综上所述：，，，，，，，.
（2）由（1）知：，，
则的中点为，即.
36．；；；；
.
【分析】根据空间向量运算的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】；
；
；
；
.
37．（1）9，（2）
【分析】（1）先求出，再利用数量积运算性质求解即可；
（2）直接利用向量坐标的加减法运算性质求解
【详解】解：（1）因为，，
所以，
因为，
所以，
（2）因为，，，
所以
38．（1）；（2）；（3）证明见解析．
【分析】（1）求得长即求向量的模长问题，利用模的计算公式计算出结果.
（2）求向量的夹角问题，由，在坐标系中读出的坐标，根据坐标减法求出，，，并求出其模长，再次根据夹角公式可以求解.
（3）要证明，只需要证明，根据各个点坐标进行向量计算可证.
【详解】解：以为原点，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
（1）
（2）
（3）
39．（1），，；（2），.
【分析】（1）根据题意，易得点O，E，F，G的坐标，进而求得向量的坐标；
（2）由（1）的结果，利用空间向量的加法和数量积坐标运算以及向量的模公式求解.
【详解】（1）因为是棱的中点，是棱的中点，是侧面的中心，
所以，，，．
所以，，，．
（2）由（1）可得．
又，
所以．
40．条件选择见解析；值为：.
【解析】选①，根据向量数量积等于可得，再利用空间向量数量积的坐标运算求夹角即可；选②，设，根据向量数量积可得，再利用空间向量数量积的坐标运算求夹角即可；选③，根据题意可得，可得，再利用空间向量数量积的坐标运算求夹角即可.
【详解】解：选①.
∵，
∴，
∴，
即.
∴，
∴，
∵，
∴异面直线与所成角的余弦值为.
选②.
设，其中，
从而，
∴.
∵，∴，
由于，所以.
∴，
∴，
∴异面直线与所成角的余弦值为.
选③.
，
∴，
∴.
解法同①.
41．（1）(－2，－1，－4)；（2）(－2，1，－4)；（3）(6，－3，－12)．
【分析】(1)由点关于x轴对称点的特点即可求出点的坐标.
(2) 由点关于xOy平面对称点的特点即可求出点的坐标.
(3) 设对称点为P3(x，y，z)，由M为线段PP3的中点，结合中点坐标公式即可求出对称点的坐标.
【详解】（1）由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)．
（2）由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2，1，－4)．
（3）设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点．由中点坐标公式，
可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，
所以P3(6，－3，－12)．
42．（1），（2），（3），（4）.
【分析】根据空间向量的坐标运算算出答案即可.
【详解】因为，
（1）所以，
（2）
（3）
（4）
43．
【分析】以D为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求解.
【详解】
以D为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，不妨设正方体边长为2，则
所以,
设CM和所成角为，则,
所以CM和所成角的余弦值为.
44．（1）；（2）.
【分析】以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.
（1）利用空间中两点间的距离公式可求得的长；
（2）利用空间向量法可求得与所成角的余弦值.
【详解】如图，以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.
（1）依题意得、，因此，，
因此，线段的长为；
（2）依题意得、、、，
，，
所以，，
故与所成角的余弦值为.
45．（1）或；（2）或
【分析】(1)=（﹣2，﹣1，3），=（1，﹣3，2）．设=（x，y，z），由于||=，且分别与、垂直，可得，解出即可．(2) 设,
，解之即得的值，即得＝(6，－4，－2)或＝(－6,4,2)．再求出点P的坐标.
【详解】(1)=（﹣2，﹣1，3），=（1，﹣3，2）．
设=（x，y，z），
∵||=，且分别与、垂直，
∴，
解得，或．
∴=（1，1，1），（﹣1，﹣1，﹣1）．
(2)因为∥，所以可设．
因为＝(3，－2，－1)，
所以＝(3λ，－2λ，－λ)．
又因为，
所以，
解得λ＝±2.
所以＝(6，－4，－2)或＝(－6,4,2)．
设点P的坐标为(x，y，z)，则＝(x，y－2，z－3)．
所以或
解得或
故所求点P的坐标为(6，－2,1)或(－6,6,5)．
【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，考查向量平行和垂直的坐标表示，考查向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
46．（1）；（2）．
【分析】（1）根据题意，求得，得到，结合向量的模的计算公式，即可求解；
（2）利用向量的数量积的公式，求得，得到，再结合空间向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）由题意，点，且点D为线段的中点，
可得，则，所以，
即线段的长为．
（2）由点，，则，
所以，解得，所以，
则，
即向量与夹角的余弦值为．
【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示及运算，以及空间向量的数量积和夹角公式的应用，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
47．(1)
(2)，且
【分析】（1）先由向量的坐标运算求出和，再利用两向量共线进行求解；
（2）利用数量积为正求出的范围，再去掉两向量共线的情形.
(1)
解：由题意知，=（，1，2k），=（1，2，2），
那么当（）∥（）时，
，
可得.
(2)
解：由（1）知，=（，1，2k），=（1，2，2），
若向量与所成角为锐角时，
则（）·（），
即，
即得，又当k=时，（）∥（），
可得实数k的范围为，且.
48．（1）；（2）.
【分析】（1）由点在直线上，可设，利用可求出，进而得出点的坐标；
（2）由求出，进而求出，即可利用面积公式求解.
【详解】解：（1），点在直线上，
设，
，
，
，
，，.
（2），
，
，，
，
所以以为邻边得平行四边形的面积为.
【点睛】本题考查空间向量的相关计算，属于基础题.
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