专题02 空间向量基本定理-【夯实基础】2023-2024高二数学同步限时训练(人教A版2019选择性必修第一册)（含解析)

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【夯实基础】2023-2024高二数学同步限时训练（新人教A版2019）专题02 空间向量基本定理
一、单选题
1．以下四个命题中正确的是（ ）
A．基底中可以有零向量
B．空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底
C．△ABC为直角三角形的充要条件是
D．空间向量的基底只能有一组
2．下列说法正确的是（ ）
A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B．空间的基底有且仅有一个
C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D．基底中基向量与基底基向量对应相等
3．如图，在空间四边形中，，，，，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
4．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）．
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、
5．已知空间任意一点О和不共线的三点A，B，C，若，则“A，B，C，D四点共面”是“，，”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．如图所示，在正方体中，点是侧面的中心，若，求（ ）
A．1 B． C．2 D．
7．如图，在四面体OABC中，G是的重心，D是OG的中点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知三棱锥中，点为棱的中点，点为的重心，设，，，则向量（ ）
A． B．
C． D．
9．在三棱锥中，，，若，则（ ）
A． B．
C． D．
10．若、、为空间的一个基底，则下列选项中，能构成基底的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
11．设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则（ ）．
A． B． C． D．
12．在平行六面体中，若，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
13．已知四面体ABCD，=，=，=，点M在棱DA上，=，N为BC中点，则＝（ ）
A． B．
C． D．
14．如图，在平行六面体中，点是棱的中点，连接、交于点P，则（ ）
A． B．
C． D．
15．已知矩形，为平面外一点，且平面，、分别为、上的点，且，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
16．设向量是空间一个基底，则一定可以与向量，，构成空间的另一个基底的向量是（ ）
A． B．
C． D．或
17．如图，设，，，若，，则=（ ）
A． B．
C． D．
18．如图，在长方体中，是线段上一点，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
19．在平行六面体中，，，，是的中点，用、、表示为（ ）
A． B． C． D．
20．为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（ ）
A． B．
C． D．
21．O、A、B、C为空间四点，且向量、、不能构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ）
A．、、共线 B．、共线
C．、共线 D．O、A、B、C四点共面
22．下列能使向量，，成为空间的一个基底的关系式是（ ）
A． B．
C． D．
23．在空间四边形中，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
24．设=+，=+，=+，且{，，}是空间的一个基底，给出下列向量组:①{，，}；②{，，}；③{，，}；④{，，++}，则其中可以作为空间的基底的向量组有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
25．如图所示，在四面体ABCD中，为等边三角形，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
26．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，，分别为，上的点，且，，（ ）
A．1 B． C．2 D．
二、多选题
27．下列命题中，正确的命题有（ ）
A．是共线的充要条件
B．若则存在唯一的实数，使得
C．对空间中任意一点和不共线的三点若，则四点共面
D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底
28．设构成空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ）
A．存在不全为零的实数，，，使得
B．对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得
C．在中，能与，构成空间另一个基底的只有
D．存在另一个基底，使得
29．已知三棱锥分别是的中点，为线段上一点，且，设，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
30．三棱柱中，，分别是，上的点，且，.若，，，则的长为________.
四、解答题
31．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，，
（1）用表示；
（2）求对角线的长；
（3）求
32．如图，在平行六面体中，，，，．求与所成角的余弦值．
33．如图，已知正方体，和相交于点O，连接AO，求证．
34．已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：
（1）、、、四点共面，、、、四点共面；
（2）．
35．在平行六面体中，，，，，，，，分别为，的中点．
（1）构成空间的一个基底，用它们表示，，设，，．
（2）求与的夹角．
36．如图，平行六面体的底面是菱形，且，，求证：平面．
37．已知空间四边形OABC中，，且OA=OB=OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC．
38．如图，在直三棱柱'中，，，，分别为，的中点.
（1）求证：；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
39．已知四面体OABC，，．求证：．
参考答案：
1．B
【分析】利用零向量与任意两个非零向量都共面判断A,利用基底的性质判断BD,利用直角不确定判断C
【详解】因为零向量与任意两个非零向量都共面，故A不正确；
△ABC为直角三角形并不一定是可能是也可能是,故C不正确；
空间基底可以有无数多组，故D不正确.
故选：B
2．C
【分析】根据空间向量基本定理判断选项可解.
【详解】项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底, 所以错.
项，空间基底有无数个, 所以错.
项中因为基底不唯一，所以错.
故选.
【点睛】本题考查空间向量基本定理.
如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组使得
3．A
【分析】根据已给条件该题可利用数量积的方法求解要求与夹角的余弦值,可求与的夹角的值,利用代入向量的夹角公式求解即可.
【详解】解：
设异面直线与的夹角为则
故选A
【点睛】本题主要考查了利用向量的数量积求异面直线所成的角,属有一定难度的基础题.解题的关键是将异面直线与的夹角转化为求与的夹角!
4．C
【分析】根据共面向量的定义逐项判断可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，，所以，、、共面，A选项不满足条件；
对于B选项，，所以，、、共面，B选项不满足条件；
对于C选项，假设、、共面，则，
从而可知、、共面，矛盾，C选项满足条件；
对于D选项，，故、、共面，D选项不满足条件.
故选：C.
5．A
【解析】根据空间向量的共面定量，结合充要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由题意，空间中四点A，B，C，D，若
若A，B，C，D四点共面，根据空间向量的共面定量，只需，
又由，，，可得，
所以“，，”时，A，B，C，D四点共面，即必要性成立，
反之不一定成立，即充分性不成立，
所以“A，B，C，D四点共面”是“，，”的必要不充分条件.
故选：A.
6．C
【解析】利用空间向量的加减法运算用来表示，即得结果.
【详解】，
故，，，则．
故选：C.
7．B
【分析】记点E为BC的中点，连接AE，OE，G是的重心，则，又，化简可得选项．
【详解】如图，
记点E为BC的中点，连接AE，OE，
所以，
又G是的重心，则，
所以.
因为，
所以
.
8．A
【解析】作出图形，利用重心的性质可得出关于、、的表达式，再由可得结果.
【详解】连接并延长交于点，连接，则为的中点，且，
，
，
为的中点，.
故选：A.
9．C
【解析】利用向量的线性运算把用表示出来即可得．
【详解】由题意是中点，∴，
又，则，
∴，
若，则．
故选：C．
10．C
【分析】根据空间基底必须不共面即可得出结果．
【详解】A中，，不可为基底；
B中，，不可为基底；
D中，，不可为基底，
故选：C
11．C
【分析】利用空间向量的基本定理可计算得出，由已知条件可得出，进而可求得、、的值，由此可求得结果．
【详解】如下图所示，连接并延长交于点，则点为的中点，
为的重心，可得，
而，
，
所以，，
所以，，因此，．
故选：C
12．D
【分析】根据条件用表示出，结合空间向量基本定理求出a，b，c即可.
【详解】在平行六面体中，，如图，
则有，而，且不共面，
于是得，即，则，
的值等于
故选：D
13．C
【分析】根据给定条件用表示出，再借助向量加法法则即可得解.
【详解】在四面体ABCD中，连接DN，如图所示，
=，=，=，因=，N为BC中点，则，，
于是得.
故选：C
14．B
【分析】分析得出，将利用、加以表示，再利用空间向量的加法可得出关于、、的表达式.
【详解】连接，如下图所示：
，所以，，
因为点为棱的中点，则，
，
因此，.
故选：B.
15．B
【分析】将、用、、加以表示，利用空间向量的减法法则可得出关于、、的表达式，由此可求得的值.
【详解】因为平面，且四边形为矩形，故、、为空间向量的一个基底，
，故，
，则，
因此，，
所以，，，，所以，.
故选：B.
16．C
【分析】判断哪个与不共面即可得．
【详解】由题意和空间向量的共面定理，
结合，
得与是共面向量，
同理与是共面向量，
所以与不能与构成空间的一个基底；
又与和不共面，
所以与构成空间的一个基底．
故选：C．
17．A
【分析】连接、，将向量、利用基向量、、表示，再利用空间向量的减法法则可得出结果.
【详解】连接、，
因为，即，所以，，
因为，即，所以，，
因此，，
故选：A.
18．A
【分析】将利用、、表示，再利用空间向量的加法可得出关于、、的表达式，进而可求得的值.
【详解】连接、，
因为，
因为是线段上一点，且，则，
因此，
因此，.
故选：A.
19．A
【分析】将用、表示，再利用空间向量的减法可得出关于、、的关系式.
【详解】如图所示：
，
，
因此，，
故选：A.
20．C
【分析】直接利用基底的定义和共线向量的应用求出结果．
【详解】解：对于、、为空间的一组基底，
所以对于与共线，故选项错误．
对于与共线，故选项错误．
对于和不共线向量，所以可以作为基底，故选项正确．
对于，所以不可以作为向量的基底，故选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查的知识要点：基底的定义，共线向量，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
21．D
【解析】根据向量、、不能构成空间的一个基底知向量共面，即可得出结论.
【详解】因为O、A、B、C为空间四点，且向量、、不能构成空间的一个基底，
所以、、共面，
所以O、A、B、C四点共面，
故选：D
22．C
【分析】根据平面向量基本定理及空间中四点共面的充要条件，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】对于A：由，可得M，A，B，C四点共面，即共面，
所以选项A无法构成基底，选项C可以构成基底；
对于B：因为，由平面向量基本定理，可得共面，无法构成基底，故B错误；
同理选项D中，共面，故D错误.
故选：C
23．C
【解析】由可表示出.
【详解】
.
故选：C.
24．C
【分析】借助长方体，结合题设向量间的线性关系，将它们转化到长方体中对应线段上，再判断各项向量组中的向量是否共面，即可确定是否可以作为基底.
【详解】结合长方体，如图可知：向量共面，不共面，不共面，，也不共面，
故选：C.
25．D
【分析】由空间向量的加法可得出，利用空间向量数量积的运算可求得的值.
【详解】依题意，，
因为为等边三角形，，，，，
所以，，，
，
所以，
.
故选：D.
26．B
【分析】根据给定条件选定基底向量，并表示出，再利用向量运算即可得解.
【详解】在四棱锥中，底面为平行四边形，连接AC，如图，，，
则
，
又，，，
则，，
因此，
.
故选：B
27．CD
【分析】利用向量的模相等关系，结合充要条件判断A；利用平面向量的基本定理判断B；利用共线向量定理判断C；结合空间向量的基底的概念判断D．
【详解】对于当时，共线成立，但当同向共线时
所以是共线的充分不必要条件，故不正确
对于B，当时，，不存在唯一的实数使得，故B不正确
对于C，由于，而，根据共面向量定理知四点共面，故C正确
对于D，若为空间的一个基底，则不共面，
由基底的定义可知，不共面，
则构成空间的另一个基底，故D正确．
故选：CD
28．BCD
【分析】利用空间向量基底的意义逐一分析各选项即可判断作答.
【详解】对于A，假设存在不全为零的实数x，y，z，使得，不妨令，
则，此时共面，不能构成空间的一个基底，与题意矛盾，A不正确；
对于B，根据空间向量基本定理可得，对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得，B正确；
对于C，因为，，即都不能与，构成空间另一个基底，
设，若，则，有，
即与，构成空间另一个基底，则在中，能与，构成空间另一个基底的只有，C正确；
对于D，由向量运算的几何意义知，在平行六面体中，令，则，如图，
将平行六面体绕对角线旋转，则基底变为另一基底，可以有成立 ，
则存在另一个基底，使得，D正确．
故选：BCD
29．ABD
【分析】根据三角形内中点的结论及向量加法、减法的三角形法则逐个分析选项即可得出答案.
【详解】如图，因为为的中点，所以，故选项A正确；
，故选项B正确；
，故选项C错误；
，故选项D正确.
故选：ABD.
30．
【解析】由题意画出图形，设，，，将用，，表示出来，求的模长即可求解.
【详解】
如图设，，，
所以
，
因为
,
所以，
故答案为：
【点睛】本题解题的关键是将用从点出发的一组基底，，表示出来计算其模长即可.
31．（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）根据几何关系，结合向量的运算法则，即可容易表示目标向量；
（2）用基向量表示，再用数量积的运算法则求解即可；
（3）根据（2）中所求，结合向量夹角余弦值的计算公式，代值即可.
【详解】（1）连接，如图：
因为，，
在，根据向量减法法则可得：
因为底面是平行四边形
故
因为 且
又为线段中点
在中
（2）因为顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是
故
由（1）可知
故平行四边形中
故：
故
（3）因为，
又
【点睛】本题考查用基向量表示空间向量，涉及空间向量数量积的运算、模长的求解以及夹角的求解，属综合基础题.
32．0
【分析】第一步选好基底，第二步将向量与分别用基底表示出来，再用夹角公式即可.
【详解】取基底，,
,
所以
.
设与的夹角为，则，
所以与所成角的余弦值为0.
33．证明见解析.
【分析】建立空间直角坐标系，由空间向量即可得证.
【详解】在正方体，可建立如图所示空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，则,
所以，，
所以即.
34．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）证明出、、为共面向量，结合、、有公共点可证得、、、四点共面，同理可证得、、、四点共面；
（2）证得，再由和无公共点可证得．
【详解】（1）因为，所以，、、为共面向量，
因为、、有公共点，故、、、四点共面，
因为，则、、为共面向量，
因为、、有公共点，故、、、四点共面；
（2），，，
，，
因为、无公共点，故.
35．（1），；（2）．
【分析】（1）运用空间向量的加减法可表示，，代入可得答案；
（2）根据（1）的结论，利用空间向量的数量积运算求得，由空间向量垂直的条件可得答案.
【详解】（1）因为，，
所以，；
（2）因为
，
所以，
所以与的夹角为.
36．证明见解析
【分析】利用空间向量的数量积计算得出，可得出，同理可得出，结合线面垂直的判定定理可证得结论成立.
【详解】设，，，
由于四边形为菱形，则，即，
所以，，同理可得，
由题意可得，，
所以，，所以，，
同理可证，
因为，因此，平面.
37．证明见解析
【分析】取定基底向量，并分别记为，再用基底表示出和，然后借助数量积即可计算作答.
【详解】在空间四边形OABC中，令，则，
令，G是MN的中点，如图，
则，，
于是得
，
因此，，
所以OG⊥BC.
38．（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）利用向量的基底表示计算，设，，，根据它们的模长相等和两两之间互相垂直可得数量积为零，将和表示成，计算得，可得；（2）将表示为的形式，然后计算，以及它们的模长，再代入计算余弦值即可.
【详解】设，，，
根据题意得，且
∴，.
∴，
∴，即.
（2）∵，∴，，
∵，
∴.
∴异面直线与所成角的余弦值为.
【点睛】利用向量的基本定理计算需要注意：
（1）选择向量的基底，在空间中需要选择不共面的三个向量作为基底向量；
（2）判断基底向量的模长以及计算出它们两两之间的数量积；
（3）将所求向量表示为基底向量的形式，即，然后计算所求向量的数量积即可.
39．证明见解析.
【分析】利用向量的运算，计算出，从而证明
【详解】
因为,
所以,
因为，，
所以，
所以，即.
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