专题08 圆的方程-【夯实基础】2023-2024高二数学同步限时训练(人教A版2019选择性必修第一册)（含解析)

中小学教育资源及组卷应用平台
【夯实基础】2023-2024高二数学同步限时训练（新人教A版2019）专题08 圆的方程
一、单选题
1．若方程表示一个圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．若方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，则λ的取值范围是（ ）
A．(1，＋∞) B．
C．(1，＋∞)∪ D．R
3．若方程表示一个圆，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．若直线过圆的圆心，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．圆关于原点对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．方程y＝表示的曲线是（ ）
A．一个圆 B．两条射线
C．半个圆 D．一条射线
7．以，为直径的圆的方程是
A． B．
C． D．
8．已知直线平分圆，且与直线垂直，则直线的方程是（）
A． B．
C． D．
9．点与圆的位置关系是（ ）．
A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不能确定
10．已知点，，，则外接圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
11．圆心为，半径是的圆标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
12．已知圆的方程，那么圆心和半径分别为（ ）
A． B．
C． D．
13．圆的方程为，则圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
14．当取不同的实数时，由方程可以得到不同的圆，则（ ）
A．这些圆的圆心都在直线上
B．这些圆的圆心都在直线上
C．这些圆的圆心都在直线或上
D．这些圆的圆心不在同一条直线上
15．已知圆，若直线过圆心，则实数（ ）
A．0 B． C． D．1
16．若实数、满足，则的最大值是（ ）．
A． B．20 C．0 D．
17．若原点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
18．“”是“点在圆外”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
19．已知直线过点，则（ ）
A． B．
C． D．
20．已知圆，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（ ）
A． B．6
C． D．
21．圆的圆心坐标和半径长依次为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
22．已知圆，则（ ）
A．圆心C在一条平行于x轴的定直线上运动，且其半径存在最小值
B．圆心C在一条平行于y轴的定直线上运动，且其半径存在最小值
C．圆心C在一条平行于x轴的定直线上运动，且其半径存在最大值
D．圆心C在一条平行于y轴的定直线上运动，且其半径存在最大值
23．圆心在y轴上，半径长为，且过点的圆的方程为（ ）
A．
B．
C．或
D．或
24．圆关于直线称的圆是（ ）
A． B．
C． D．
25．圆关于原点对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
26．点与圆的位置关系是（ ）．
A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．不能确定
27．点在圆的（ ）
A．圆上 B．圆内
C．圆外 D．无法判定
28．如果复数z满足，那么的最大值是（ ）
A． B．
C． D．
29．如果直线和函数的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
30．直线与圆有公共点；点在圆外，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
31．（多选）点在圆的内部，则的取值不可能是（ ）
A． B．
C． D．
32．(多选)由方程x2＋y2＋x＋(m－1)y＋m2＝0所确定的圆的面积不能为（ ）
A．π B．π
C．π D．2π
33．设有一组圆，下列命题正确的是（ ）．
A．不论如何变化，圆心始终在一条直线上
B．所有圆均不经过点
C．经过点的圆有且只有一个
D．所有圆的面积均为
三、填空题
34．若点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0的内部(不包括边界)，则a的取值范围是________．
35．如果点在圆内部，那么a的取值范围是________.
36．顶点坐标分别为，，．则外接圆的标准方程为______．
37．已知圆C:，当m变化时，圆C上的点与原点的最短距离是_________.
38．已知复数z满足，则的最大值为________．
39．圆关于直线对称的圆的方程为____________.
40．若，则的取值范围为___________.
41．已知，点在直线上，点在圆上，则的最小值是________.
四、解答题
42．已知圆的标准方程是，借助计算工具计算，判断下列各点在圆上、圆外，还是在圆内．
（1）；
（2）；
（3）．
43．已知圆心为点C(－3，－4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P1(－1，0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和圆的位置关系．
44．在平面直角坐标系中，已知四点，，，.
（1）这四点是否在同一个圆上 如果是，求出这个圆的方程；如果不是，请说明理由；
（2）求出到点，，，的距离之和最小的点的坐标.
45．已知点在圆上运动.
（1）求的最大值；
（2）求的最小值.
46．已知动点M到点A（2，0）的距离是它到点B（8，0）的距离的一半，求：
（1）动点M的轨迹方程；
（2）若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．
47．圆过点A(1，－2)，B(－1，4)，求：
（1）周长最小的圆的方程；
（2）圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程．
48．求下列各圆的圆心坐标和半径，并画出它们的图形.
（1）；（2）；
（3）；（4）．
49．在半面直角坐标系中，如果点P的坐标满足，其中为参数，．证明：点P的轨迹是圆心为，半径为r的圆．
50．已知方程表示一个圆．
（1）求实数的取值范围；
（2）求半径的最大值．
51．求下列各圆的方程
（1）圆心为点，且过点；
（2）过，，三点.
（3）圆心为，半径是；
（4）圆心为，且经过点
（5）已知的三个顶点分别是点，，，求的外接圆的标准方程.
52．已知圆经过点，，从下列3个条件选取一个_______
①过点；②圆恒被直线平分；③与轴相切.
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线与圆相交于、两点，求中点的轨迹方程.
53．已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆.
(1)求实数m的取值范围；
(2)求该圆的半径r的取值范围；
(3)求圆心C的轨迹方程．
54．已知圆经过点和，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求的中点的轨迹方程.
55．已知命题：实数满足，命题：方程表示圆．
（Ⅰ）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
56．已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3).
（1）求|MQ|的最大值和最小值；
（2）求的最大值和最小值.
57．已知，，.
（1）求点到直线的距离；
（2）求的外接圆的方程.
58．圆C过点，，且圆心在直线上.
（1）求圆C的方程；
（2）P为圆C上的任意一点，定点，求线段中点M的轨迹方程.
59．已知圆过三个点，， ．
（1）求圆的方程；
（2）过原点的动直线与圆相交于不同的、两点，求线段的中点 的轨迹．
参考答案：
1．D
【分析】由圆的一般式所满足的条件，得到不等式，解之即可.
【详解】由题意得：，即，
故选：D.
2．A
【分析】根据表示圆的条件D2＋E2―4F＞0，解不等式即可.
【详解】因为方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，所以D2＋E2―4F＞0，
即4λ2＋4λ2―4(2λ2―λ＋1)＞0，解不等式得λ＞1，即λ的取值范围是(1，＋∞)．
故选：A.
3．C
【分析】将方程化为圆的标准形式，要使方程表示圆可得，即可求的取值范围.
【详解】由题设，，
∴要使方程表示圆，则，即.
故选：C
4．D
【分析】先求出圆的圆心坐标，根据圆心在直线上，代入即可求解.
【详解】解：圆，
即，
圆的圆心坐标为：，
将代入，
即，
解得：.
故选：D.
5．B
【解析】由圆的方程确定圆心和半径，求得圆心关于原点对称点的坐标后，半径不变，可得其关于原点对称的圆的方程.
【详解】由圆的方程知：圆心，半径，
圆心关于原点对称的点的坐标为，
则圆关于原点对称的圆的方程为.
故选：B.
6．C
【分析】把方程两边平方，注意变量的取值范围，可得选项．
【详解】由得，即，∴曲线表示圆x2＋y2＝36在x轴上方的半圆．
故选：C.
【点睛】易错点睛：把方程变形化为圆的标准方程（或直线的一般方程），但在变化过程中要注意变量取值范围的变化，如本题有，因此曲线只能是半圆，对直线可能是射线也可能线段，这与变量取值范围有关．
7．A
【分析】设圆的标准方程，利用待定系数法一一求出，从而求出圆的方程.
【详解】设圆的标准方程为，
由题意得圆心为，的中点，
根据中点坐标公式可得，，
又，所以圆的标准方程为：
，化简整理得，
所以本题答案为A.
【点睛】本题考查待定系数法求圆的方程，解题的关键是假设圆的标准方程，建立方程组，属于基础题.
8．D
【解析】根据题意可知直线过圆心，斜率为，即可得到直线的方程．
【详解】因为直线平分圆，且与直线垂直，所以直线过圆心，斜率为，即直线的方程是．
故选：D．
9．C
【分析】先求圆心与已知点之间距离，再与半径比较确定选项.
【详解】因为，所以点在圆外．
故选：C
【点睛】本题考查判断点与圆位置关系，考查基本分析判断能力，属基础题.
10．B
【分析】将A,B,C三点画在坐标系中，根据三角形外接圆圆心到各顶点距离相等，可得外接圆的圆心，进而求解.
【详解】如图所示，易得外接圆的圆心为M(-3,0),
∴半径=5,
∴圆的方程为：
故选:B.
11．A
【解析】根据圆的标准方程即可得结果.
【详解】解：因为圆的圆心为，半径为2，所以圆的标准方程为，
故选：A.
12．A
【解析】根据圆的标准方程，直接求解.
【详解】由圆的标准方程可知，圆心是，半径.
故选：A
13．D
【分析】根据圆的一般方程可求出结果.
【详解】由可知，，
所以，，
所以圆心为.
故选：D.
14．A
【分析】整理出圆的标准方程，求出圆心即可判断.
【详解】由题意知,圆的标准方程：，
圆心，圆心都在直线上．
故选: A
15．B
【解析】有一般式方程得圆心为，进而根据题意得
【详解】解：将圆的一般式方程化为标准方程得：，
所以圆心的坐标为：，由于直线过圆心，
所以，解得.
故选：B.
16．B
【分析】由几何意义知而表示圆上的点到原点距离的平方，然后数形结合即可求解.
【详解】∵，
∴，
∴点为圆上任意一点，
∵在圆上，
而表示圆上的点到原点距离的平方，
由图可知：最大值为圆的直径的平方，
故．
故选：B．
17．C
【分析】根据点圆的位置关系直接列不等式求得答案．
【详解】根据题意，圆的圆心为，半径为，必有，
若原点在圆的外部，
则有，则有，
综合可得：；
故选：C.
18．B
【分析】根据点在圆外得求解集，应用等价法，由集合的包含关系即可判断条件间的充分、必要关系.
【详解】将化为标准方程，得
当点在圆外时，有，解得
∴“”是“点”在圆外”的必要不充分条件.
故选：B.
19．D
【分析】根据题意可知点在单位圆上，所以直线与该圆有交点，由点到直线的距离可得答案.
【详解】由可得点在单位圆上，
所以直线和圆有公共点.
所以圆心到直线的距离，即得到.
故选：D
20．D
【分析】配方，由半径的最小值得参数值，然后求出圆心到原点距离，再加半径可得.
【详解】根据题意，圆，
变形可得．
其圆心为，半径为，则，
当圆的面积最小时，必有，此时．
圆的方程为，
圆心到原点为距离，
则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为．
故选：D．
21．D
【解析】将圆的一般式化为标准方程，写出圆心坐标和半径判定即可.
【详解】解：圆化为标准方程为
所以圆心坐标为，半径为
故选：D.
22．C
【分析】首先将圆的方程化成标准式，表示出圆心坐标及半径，即可判断；
【详解】解：因为
所以，故圆心坐标为，半径
故圆心坐标在直线上运动，，当时半径取得最大值，
故选：C
23．C
【解析】设圆方程为，将点代入即可得结果.
【详解】设圆心为，则圆方程为，将点代入圆方程得
解得或
所以圆方程为或
故选：C
24．B
【分析】首先求出圆心关于直线对称的点的坐标，即可得到对称圆的方程；
【详解】解：圆圆心为，点关于直线的对称点为，
所求圆的方程为.
故选：B
25．A
【分析】求出已知圆的圆心和半径，求出圆心关于原点对称的圆的圆心的坐标，即可得到对称的圆的标准方程．
【详解】解：圆的圆心，半径等于，
圆心关于原点对称的圆的圆心，
故对称圆的方程为，
故选：．
26．A
【详解】将点代入圆方程，得．故点在圆外，
选．
27．A
【解析】直接将点的坐标代入圆的方程即可判断；
【详解】解：将点的坐标代入圆的方程即，∴点在圆上，
故选：A
【点睛】本题考查点与圆的位置关系的判定，属于基础题.
28．A
【分析】复数满足，表示以为圆心，2为半径的圆．表示圆上的点与点的距离，求出即可得出．
【详解】复数满足，表示以为圆心，2为半径的圆．
表示圆上的点与点的距离．
．
的最大值是．
故选：A．
【点睛】本题考查复数的几何意义、圆的方程，求解时注意方程表示的圆的半径为2，而不是．
29．C
【分析】由已知可得．再由由点在圆内部或圆上可得．由此可解得点在以和为端点的线段上运动．由表示以和为端点的线段上的点与坐标原点连线的斜率可得选项．
【详解】函数恒过定点．将点代入直线可得，即．
由点在圆内部或圆上可得，
即．或．所以点在以和为端点的线段上运动．
表示以和为端点的线段上的点与坐标原点连线的斜率．所以，．所以．
故选：C．

【点睛】关键点点睛：解决本题类型的问题，关键在于由已知条件得出所满足的可行域，以及明确所表示的几何意义.
30．B
【分析】找出、成立的等价条件，利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】若直线与圆有公共点，则，可得，即.
若点在圆外，则，即.
，
因此，是的必要不充分条件.
故选：B.
【点睛】方法点睛：判断充分条件和必要条件，一般有以下几种方法：
（1）定义法；
（2）集合法；
（3）转化法.
31．AD
【分析】求出实数的取值范围，即可得出合适的选项.
【详解】由已知条件可得，即，解得.
故选：AD.
32．ACD
【分析】先表示出圆的半径r，可求出r的最大值，即可判断.
【详解】所给圆的半径为
r＝＝．
所以当m＝－1时，半径r取最大值，此时最大面积是．
故选：ACD
33．ABD
【分析】求出圆心坐标和半径后可判断A、D的正误，将B、C选项中的点代入圆的方程得到关于的方程，通过方程的有解与否可判断B、C的正误，
【详解】圆心坐标为，在直线上，A正确；
令，化简得，
∵，∴，无实数根，∴B正确；
由，化简得，
∵，有两不等实根，∴经过点的圆有两个，C错误；
由圆的半径为2，得圆的面积为，D正确．
故选：ABD．
【点睛】本题考查动圆的性质，注意动圆中隐含的确定关系，另外判断动圆是否过确定的点，可转化为方程是否有解来讨论，本题属于中档题.
34．(－∞，1)
【分析】利用点与圆的位置关系即可判断.
【详解】因为点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0的内部且不包括边界，
所以把点(a＋1，a－1)的坐标代入方程左边的代数式后，该代数式的值应小于0，
即(a＋1)2＋(a－1)2－2a(a－1)－4<0，解得a<1．
故答案为：(－∞，1).
【点睛】点与圆的位置关系的代数判断方法:
（1）点与圆外；
（2）点与圆上；
（3）点与圆内；
35．
【分析】由点到圆心距离小于半径可得．
【详解】由题意，解得．
故答案为：．
36．
【分析】设圆的标准方程为，将，，代入计算即可得结果.
【详解】设圆的标准方程为，因为过点，，
所以 解得
则圆的标准方程为
故答案为：
37．1
【详解】解：圆C：（x﹣2）2+（y+m﹣4）2＝1表示圆心为C（﹣2，﹣m+4），半径R＝1的圆，
求得|OC|，
∴m＝4时，|OC|的最小值为2
故当m变化时，圆C上的点与原点的最短距离是﹣R＝2﹣1＝1，
故答案为1．
38．
【分析】由题设知，的最大值即为圆上一点到的最大距离，即可求最大值.
【详解】由题意，若对应坐标为，则等价于，
∴的最大值，即圆上一点到的最大距离，
又圆心到的距离为，
∴的最大值为.
故答案为：.
39．
【解析】根据已知圆的圆心求出关于直线对称的圆的圆心，求出半径，即可得到所求结果.
【详解】由圆可知，圆心，半径，
设点关于直线对称的点为，
则，解得，
所求圆的圆心为，半径为，
圆关于直线对称的圆的方程为，
故答案为：.
40．
【分析】根据，的几何意义，结合图像求出答案即可．
【详解】解：若，则，
则，
此方程表示的是圆心在原点，半径为1的半圆，
如图所示：

的几何意义表示点与点连线的斜率，
如图，，，，
，，
故的取值范围是，
故答案为：．
41．
【分析】求出点A关于直线的对称点B的坐标，可得的最小值.
【详解】可转化为：，则圆心为C(2,1)，半径为.
设A关于直线的对称点B的坐标为(a,b)，则：
的最小值是，
故答案为：
【点睛】本题考查了直线和圆综合问题，考查了学生转化与划归，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.
42．（1）在圆内；（2）在圆外；（3）在圆上.
【分析】分别将三个点代入方程，和等号右边比较即可判断.
【详解】（1），在圆内；
（2），在圆外；
（3），在圆上.
43．答案见解析
【分析】分别计算各点与圆的距离，然后和半径比较即可.
【详解】因为圆心是 且经过原点， 所以圆的半径 ,
所以圆的标准方程是
因为 所以 在圆内;
因为 ,所以 在圆上；
因为 ,所以 在圆外.
44．（1）四点，，，都在圆上；（2）.
【分析】（1）设经过，，三点的圆的方程为，代入点，，的坐标可解得圆的方程，再判断点是否在圆上即可；
（2）由，当且仅当点在线段上时取等号，同理，当且仅当点在线段上时取等号，进而可得当点为，交点时距离之和最小，故求，交点坐标即可.
【详解】（1）设经过，，三点的圆的方程为，
解得，，
因此，经过，，三点的圆的方程为.
由于，故点也在这个圆上.
因此，四点，，，都在圆上.
（2）因为，当且仅当点在线段上时取等号.
同理，，当且仅当点在线段上时取等号.
因此，当点是和的交点时，它到，，，的距离之和最小.
因为直线的方程为，直线的方程为，
联立解得点的坐标为.
45．（1）； （2）.
【分析】（1）设，转化为直线，根据圆心到直线的距离等于半径，即可求解；
（2）设，转化为，根据圆心到直线的距离等于半径，即可求解.
【详解】（1）由题意，点在圆上运动，
设，整理得，则表示点与点连线的斜率，
当该直线与圆相切时，取得最大值和最小值，
又由，解得，所以
所以的最大值为.
（2）设，整理得，
则表示直线在轴上的截距，
当该直线与圆相切时，取得最大值和最小值，
由，解得，所以
所以的最小值为.
46．（1）（2），N的轨迹是以（1，0）为圆心，以2为半径的圆．
【详解】试题分析：解：（1）设动点M（x，y）为轨迹上任意一点，则点M的轨迹就是集合
P ．
由两点距离公式，点M适合的条件可表示为 ，
平方后再整理，得 ． 可以验证，这就是动点M的轨迹方程．
（2）设动点N的坐标为（x，y），M的坐标是（x1，y1）．
由于A（2，0），且Ｎ为线段AM的中点，所以
， ．所以有， ①
由（1）题知，M是圆上的点，
所以M坐标（x1，y1）满足：②
将①代入②整理，得．
所以N的轨迹是以（1，0）为圆心，以2为半径的圆．
考点：本题主要考查求轨迹方程的基本方法—-直接法和相关点法，考查考生的计算能力．
点评：求轨迹方程的基本方法—-直接法和相关点法，应熟练掌握．两道小题有相互对比之效．
47．（1）x2＋(y－1)2＝10；（2）(x－3)2＋(y－2)2＝20.
【分析】（1）根据当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小进行求解即可；
（2）根据垂径定理，通过解方程组求出圆心坐标，进而可以求出圆的方程.
【详解】解：（1）当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即AB中点(0，1)为圆心，半径r＝|AB|＝.故圆的方程为x2＋(y－1)2＝10；
（2）由于AB的斜率为k＝－3，则AB的垂直平分线的斜率为，
AB的垂直平分线的方程是y－1＝x，即x－3y＋3＝0.
由解得
即圆心坐标是C(3，2)．
又r＝|AC|＝＝2.
所以圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.
48．(1)圆心，半径，图见解析；
(2)圆心，半径，图见解析；
(3)圆心，半径，图见解析；
(4)圆心，半径，图见解析；
【分析】结合配方法将圆的一般方程化为标准方程,再求出圆心和半径，进而画出图形即可.
【详解】(1)方程，
所以圆心为，半径为，如图；
(2方程，
所以圆心为，半径为，如图；
(3)方程，
所以圆心为，半径为；不妨设，如图；
(4)方程，
所以圆心为，半径为；不妨设，如图；
49．证明见解析.
【分析】将参数方程化为普通方程可证得结果.
【详解】由可得，所以点的轨迹是圆心为，半径为的圆.
50．（1）；（2）．
【分析】(1)将圆的化成化简成标准方程,再根据方程右边大于0计算即可.
(2)化简可得,再利用二次函数的最值求解即可.
【详解】（1）,即实数的取值范围是；
（2）,当且仅当时,半径取得最大值．
【点睛】本题主要考查了圆的一般方程化为标准方程的方法,同时也考查了二次函数最值的问题.属于基础题.
51．（1）；（2）；（3）（x+3）2+（y﹣4）2＝5；（4）（x+8）2+（y﹣3）2＝25；（5）
【分析】（1）求出圆的半径即得解；
（2）设圆的一般方程为：，解方程组 即得解；
（3）直接写出圆的标准方程得解；
（4）求出圆的半径即得解；
（5）求出圆心和半径即得解.
【详解】（1）由题意知半径,
所以圆的方程为：.
（2）设圆的一般方程为：.将，，代入得：
，
所以圆的方程为：.
（3）∵圆心在C（﹣3，4），半径长是，
故圆的标准方程为（x+3）2+（y﹣4）2＝5.
（4）∵圆心在C（﹣8，3），且经过点M（﹣5，﹣1），
故半径为MC5，
故圆的标准方程为 （x+8）2+（y﹣3）2＝25.
（5）由题意知，为圆的直径，设圆心为，则中点即为，
所以半径为，
故外接圆的标准方程为.
52．（1）；（2）.
【分析】（1）选择①、②、③，分别用待定系数法求圆的方程；
（2）先分析出，M的轨迹落在圆上，根据交点判断范围即可.
【详解】解：选①设圆的方程为，，
由题意可得，解得，
则圆E的方程为即；
选②，直线恒过（1,0）
而圆恒被直线平分，所以恒过圆心，
所以圆心为（1,0），可设圆的标准方程为
由圆经过点，得
则圆E的方程为；
选③，：圆E的方程为；
由题意可得，解得，
则圆E的方程为；
（2）因为M为AB中点，E为圆心，根据垂径定理，得：，
所以点M落在以EP为直径的圆上，其方程为.
即点M的轨迹为以EP为直径的圆落在圆E内的一段弧，
由解得，
所以M的轨迹方程为：
【点睛】（1）待定系数法是求二次曲线的标准方程的最常用方法；
（2）解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．
53．(1) －＜m＜1(2) 0＜r≤ (3) (x－3)2＝(y＋1)( ＜x＜4)．
【详解】试题分析：（1）m满足[-2(m+3)]2+[2(1-4m2)]2-4(16m4+9)>0，即7m2-6m-1<0
∴
（2）半径r=
∵ ∴ 时，∴ 0（3）设圆心P（x，y），
则
消去m得：y=4(x-3)2-1
又，所以
考点：圆的一般方程及通过方程求圆心半径
点评：圆的一般方程：，其中,圆心为,半径为
54．（1）；（2）.
【解析】（1）设圆心的坐标为，由圆的性质列方程可得，计算出圆的半径后即可得解；
（2）设线段中点，，由中点坐标公式可得，化简即可得解.
【详解】（1）设圆心的坐标为，则有，
整理求得，
故圆心为，半径满足，
则圆的方程为；
（2）设线段中点，，
由可知，，
∵点在圆上运动，∴，
∴的轨迹方程为.
【点睛】本题考查了圆的方程的确定及动点轨迹的求解，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.
55．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）利用方程表示圆的条件列式可解得结果；
（Ⅱ）转化为命题对应的集合是命题对应的集合的真子集列式可解得结果.
【详解】（Ⅰ）因为命题为真命题，所以，得.
（Ⅱ）由得，即，
因为是的充分不必要条件所以，
所以， 解得.
【点睛】结论点睛：本题考查由充分不必要条件求参数的取值范围，一般可根据如下规则转化：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．
56．（1）最大值为6，最小值为 2；（2）最大值为2＋，最小值为2－.
【分析】（1）求出圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2，即得解；
（2）可知表示直线MQ的斜率k.直线MQ的方程kx－y＋2k＋3＝0，解不等式≤2即得解.
【详解】（1）由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
∴圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2.
又|QC|＝，∴|MQ|max＝4＋2＝6，
|MQ|min＝4－2＝2.
（2）可知表示直线MQ的斜率k.
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0.
∵直线MQ与圆C有交点，
∴≤2，
可得2－≤k≤2＋，
∴的最大值为2＋，最小值为2－.
57．（1）；（2）.
【解析】（1）由，可求出直线方程，利用点到直线的距离求解；
（2）设外接圆的方程为，利用三点坐标求解.
【详解】（1），
由得直线的方程为.
所以点到直线的距离
（2）设外接圆的方程为，
由题意，得
解得
即的外接圆的方程为.
58．（1）；（2）.
【分析】（1）求得线段垂直平分线的方程，与直线方程联立，求得圆心的坐标，由求得半径，由此求得圆的方程.
（2）设出点坐标，由此求得点坐标，将点的坐标代入圆的方程，化简求得点的轨迹方程.
【详解】（1）直线的斜率，
所以的垂直平分线m的斜率为1.
的中点的横坐标和纵坐标分别为，.
因此，直线m的方程为.即.
又圆心在直线上，所以圆心是直线m与直线的交点.联立方程组
，
解得
所以圆心坐标为，又半径，
则所求圆的方程是.
（2）设线段的中点，
M为线段的中点，则，
解得
代入圆C中得，
即线段中点M的轨迹方程为.
【点睛】本小题主要考查圆的方程的求法，考查动点轨迹方程的求法，属于中档题.
59．（1）；（2）的轨迹是以为圆心，为半径的圆（点在圆内，不与边界重合）．
【解析】（1）设出圆的一般方程，代入三点坐标后可求解；
（2）根据圆的弦中点性质求出的轨迹方程后可得轨迹．
【详解】（1）设圆方程为，
则，解得 ，
所以圆方程为，即；
（2）由（1），设，则由 得，，即 ，，．
又在圆内部，
所以的轨迹是以为圆心， 为半径的圆（点在圆内部）．
【点睛】方法点睛：本题考查求圆的方程，考查动点轨迹．已知圆过三点时一般可设出圆的一般方程，代入三点坐标求出圆的方程，再化为标准方程即可．平面解析几何中的轨迹问题，可通过求出动点轨迹方程，由方程判断轨迹．当然也可由几何性质判断轨迹．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)