专题06 直线的方程-【夯实基础】2023-2024高二数学同步限时训练(人教A版2019选择性必修第一册)（含解析)
文档属性
| 名称 | 专题06 直线的方程-【夯实基础】2023-2024高二数学同步限时训练(人教A版2019选择性必修第一册)（含解析) |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 4.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-13 23:31:02 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
【夯实基础】2023-2024高二数学同步限时训练（新人教A版2019）专题06 直线的方程
一、单选题
1．若直线（）经过第一、二、三象限，则系数满足的条件为（ ）
A．同号
B．
C．
D．
2．在直角坐标系中，直线经过（ ）
A．一、二、三象限 B．一、二、四象限
C．一、三、四象限 D．二、三、四象限
3．直线：必过定点（ ）
A． B． C． D．
4．已知直线，当变化时，所有直线都恒过点（ ）
A．
B．
C．
D．
5．若，则直线可能是（ ）
A． B． C． D．
6．已知直线，当变化时，所有直线都恒过点（ ）
A．
B．
C．
D．
7．不论m为何实数，直线(m-1)x-y+2m+1=0恒过定点
A． B．(-2，0) C．(-2，3) D．(2，3)
8．直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）＝0（k∈R）所经过的定点是（ ）
A．（5，2） B．（2，3） C．（﹣，3） D．（5，9）
9．直线恒过定点（ ）
A． B．
C． D．
10．经过点(－，2)，倾斜角是30°的直线的方程是（ ）
A．y＋(x－2) B．y＋2＝(x－)
C．y－2(x＋) D．y－2＝(x＋)
11．已知直线l经过点，且与直线垂直，则直线l在y轴上的截距为（ ）
A． B． C．2 D．4
12．方程表示的直线可能是
A． B． C． D．
13．已知函数的图象恒过定，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
14．已知两点A(3，0)，B(0，4)，动点P(x，y)在线段AB上运动，则xy的最大值为（ ）
A．2 B．3
C．4 D．5
15．直线不经过的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
16．在同一平面直角坐标系中，两直线与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
17．直线过定点
A．（1，-3） B．（4，3） C．（3，1） D．（2，3）
18．直线恒过一定点，则此定点为（ ）
A． B． C． D．
19．A、B两点的坐标分别为和，则线段AB的垂直平分线方程为（ ）
A． B． C． D．
20．过点且斜率为的直线在轴上的截距是（ ）
A． B． C． D．
21．经过两条直线和的交点，并且与直线平行的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
22．过点，倾斜角为150°的直线方程为（ ）
A．y－2＝－ (x＋4)
B．y－(－2)＝－ (x－4)
C．y－(－2)＝ (x－4)
D．y－2＝ (x＋4)
23．已知直线恒过定点，点也在直线上，其中，均为正数，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．6
24．下列命题中正确的是（ ）
A．经过点的直线都可以用方程表示
B．经过定点的直线都可以用方程表示
C．经过任意两个不同点的直线都可用方程表示
D．不经过原点的直线都可以用方程表示
25．一条光线沿直线入射到轴后反射，则反射光线所在的直线方程为（ ）.
A． B．
C． D．
二、多选题
26．直线y＝ax＋可能是（ ）
A． B． C． D．
27．三条直线，，构成三角形，则的值不能为（ ）
A． B．
C． D．－2
三、填空题
28．过点的直线分别与轴、轴的正半轴交于、两点，则（为坐标原点）面积取得最小值时直线方程为____________.
29．在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点.若光线经过的重心，则长为___________
30．若直线不过第一象限，则实数取值范围是__________．
四、解答题
31．已知点、，直线.
（1）求线段的中点坐标及直线的斜率；
（2）若直线过点，且与直线平行，求直线的方程.
32．在中，已知点，，且边的中点在轴上，边的中点在轴上.求：
（1）点的坐标；
（2）直线的方程；
（3）直线与两坐标轴围成三角形的面积.
33．已知直线： ().
（1）证明：直线过定点；
（2）若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为(为坐标原点)，求的最小值并求此时直线的方程．
34．直线l经过点，
（1）直线l与两个坐标轴围成的三角形的面积是4的直线方程.
（2）直线l与两个坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小时的直线方程.
35．已知直线与直线平行，并且直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的一般式方程.
36．已知△ABC在第一象限，若A(1,1)，B(5,1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求：
(1)边AB所在直线的方程；
(2)边AC和BC所在直线的点斜式方程．
37．根据下列条件，写出直线的方程，并把它化为一般式.
（1）经过点，斜率是；
（2）经过点，平行于x轴；
（3）经过点，；
（4）在x轴、y轴上的截距分别是，．
38．三角形的三个顶点是，，．
（1）求边上的高所在直线的方程；
（2）求边上的中线所在直线的方程．
39．求满足下列条件的直线的方程.
（1）经过点，且与直线平行；
（2）经过点，且平行于过和两点的直线；
（3）经过点，且与直线垂直．
40．写出下列直线的方程.
（1）经过点，斜率是；
（2）经过点，倾斜角是；
（3）求过点，斜率是直线的斜率的的直线方程.
（4）求经过点，且在轴上的截距等于在轴上截距的倍的直线方程.
（5）求过，两点的直线的方程.
41．已知直线l：
（1）若直线l的斜率是2，求m的值；
（2）当直线l与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积最大时，求此直线的方程．
42．的三个顶点是，，，求：
（1）边BC上的中线所在直线的方程；
（2）边BC上的高所在直线的方程；
（3）边BC的垂直平分线的方程．
43．已知直线l的斜率为－1，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线l的方程．
44．在平面直角坐标系中，直线过定点，且与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点.
（1）当取得最小值时，求直线的方程；
（2）求面积的最小值.
45．设直线的方程为.
（1）求证：不论为何值，直线必过一定点；
（2）若直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于点，，当面积最小时，求的周长及此时的直线方程；
（3）当直线在两坐标轴上的截距均为正整数且a也为正整数时，求直线的方程.
46．过点作直线，直线与，轴的正半轴分别交于，两点，为原点．
（1）若的面积为9，求直线的方程；
（2）若的面积为，求的最小值，并求出此时直线的方程．
47．已知函数与直线均过定点，且直线在轴上的截距依次为和.
（1）若直线在轴上的截距相等，求直线的方程；
（2）若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于两点，求直线与两坐标轴正半轴围成三角形面积最小时直线的方程.
48．已知直线方程为，.
（1）求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标；
（2）若直线在轴，轴上的截距相等，求直线的方程.
49．在平面直角坐标系中，已知射线：，：．过点作直线分别交射线于点A，B．
（1）当的中点在直线上时，求直线的方程；
（2）当的面积取最小值时，求直线的方程；
（3）当取最小值时，求直线的方程．
50．如图，过点作直线，分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于点A，B．当直线在什么位置时，的面积最小？最小面积是多少？
参考答案：
1．B
【分析】将直线方程转化为斜截式，再利用直线斜率与截距的意义即可得出.
【详解】由题意得，直线，即，
直线经过第一、二、三象限，
所以,，即，，
故选：B.
2．A
【分析】根据直线方程得到其与坐标轴的交点，从而可得出结果.
【详解】由，令可得，；令可得；
即直线过点，，
所以直线经过一、二、三象限.
故选：A.
3．D
【分析】根据直线方程可直接得出.
【详解】由直线方程可得过定点.
故选：D.
4．D
【分析】将直线方程整理为，从而可得直线所过的定点.
【详解】可化为，∴直线过定点，
故选：D.
5．C
【分析】将直线转化为斜截式，结合斜率和纵截距的正负可得解.
【详解】由题意知，直线方程可化为,
，
故直线的斜率小于0，在y轴上的截距大于0．
故选:C．
【点睛】本题主要考查了直线的一般方程转化为斜截式方程判断图像，属于基础题.
6．D
【分析】将直线方程整理为，从而可得直线所过的定点.
【详解】可化为，∴直线过定点，
故选：D.
7．C
【分析】将直线(m 1)x y+2m+1=0可为变为m(x+2)+( x y+1)=0，令求两定直线的交点此点即为直线恒过的定点．
【详解】直线(m 1)x y+2m+1=0可为变为m(x+2)+( x y+1)=0
令，解得.
故无论m为何实数，直线(m 1)x y+2m+1=0恒通过一个定点( 2,3)
故选C.
【点睛】探索曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为的形式，根据 求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.
8．B
【分析】将原方程重新合并同类项，即将含有的项合并，其它合并，由此列方程解出定点的坐标.
【详解】直线方程可化为，故，解得定点坐标为，故选B.
【点睛】本小题主要考查含有参数的直线方程经过的定点问题，主要的方法是重新合并同类项，属于基础题.
9．B
【分析】由时，可得到定点坐标.
【详解】当，即时，，直线恒过定点.
故选：B.
10．C
【分析】根据k=tan30°求出直线斜率，再利用点斜式即可求解.
【详解】直线的斜率k=tan30°=，
由直线的点斜式方程可得y－2＝ (x＋)，
故选：C．
11．B
【解析】由直线l与直线垂直，且直线的斜率为2，故可得直线l的斜率为，又直线l经过点，利用点斜式整理即可得解.
【详解】易知的斜率为2，
故直线l的斜率为，
根据点斜式可得直线l的方程为，
整理可得，
故直线l在y轴上的截距为，
故选：B.
12．C
【解析】分和两种情况讨论，即得答案.
【详解】由题意，排除.
当时，，此时直线与轴的交点在轴的负半轴上，排除.
当时，，此时直线与轴的交点在轴的正半轴上，排除，选.
故选：.
【点睛】本题考查由直线方程识别图象，考查分类讨论，属于基础题.
13．D
【分析】求出定点的坐标，可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】，所以，函数的图象恒过定点，
由于点在直线上，则，则，
，则，
，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：D.
【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，同时也考查了直线过定点的问题，考查计算能力，属于基础题.
14．B
【分析】由已知求出直线方程，得出，代入即可求解.
【详解】解析：可得直线AB的方程为，则可得，，
则，
当时，取得最大值为3.
故选：B.
15．C
【分析】根据直线图象即可判断．
【详解】画出直线方程得：
故直线不过第三象限，
故选：C
16．D
【分析】将直线的方程转化截距离式，得出两直线在轴上的截距与在轴上的截距的关系可得选项.
【详解】直线化为在轴上的截距为，在轴上的截距为；
直线化为在轴上的截距为，在轴上的截距，
所以两直线中一直线在轴上的截距与另一直线在轴上的截距互为相反数，
对于A选项：两直线中一直线在轴上的截距与另一直线在轴上的截距同为正数，不满足题意；
对于B选项：两直线中一直线在轴上的截距与另一直线在轴上的截距同为负数，不满足题意；
对于C选项：两直线中一直线在轴上的截距与另一直线在轴上的截距同为负数，不满足题意；
对于D选项：两直线中一直线在轴上的截距与另一直线在轴上的截距均异号，满足题意，
故选：D.
【点睛】本题考查直线的截距离式的理解与辨析，属于基础题.
17．C
【详解】试题分析：将化为，
联立，得，即直线过定点．
考点：直线过定点问题．
18．D
【解析】法一：利用分离参数法；法二：令参数，得到一条直线，令，得到另一条直线，解出两条直线的交点，再代入原方程验证即可.
【详解】解：法一：直线可变形为：，若该方程对任意都成立，
则，即，直线恒过点，
故选：D.
法二：在方程中，令得：，即，
令得：，将代入得，
将代入，得恒成立，
∴直线恒过点，
故选：D.
19．A
【解析】先求得直线的方程,则可设其垂线为,将的中点坐标代入即可求解
【详解】由题,直线的两点式方程为:,即,
设直线的垂线为,中点为,
将点代入可得,则,所以,
所以线段AB的垂直平分线方程为:,
故选:A
【点睛】本题考查线段的垂直平分线,考查直线方程
20．D
【分析】首先根据点斜式写出直线的方程，化成截距式即可求出截距.
【详解】因为过点且斜率为，所以，即，化成截距式，
所以直线在轴上的截距是，
故选：D.
21．A
【分析】先求得交点坐标，进而由点斜式可得结果.
【详解】联立得，所以两直线交点坐标为，
所求直线为，整理得.
故选：A.
22．B
【分析】求出直线的倾斜角的正切值即为直线的斜率，又直线过点，则由求出的斜率和点的坐标写出直线的方程即可
【详解】由直线的倾斜角为，得到直线的斜率
又直线过点
则直线的方程为
故选：B
23．B
【分析】先将直线方程变形得到定点的坐标，根据点在直线上确定出所满足的关系，最后根据“”的妙用求解出的最小值.
【详解】已知直线整理得：，
直线恒过定点，即.
点也在直线上，
所以，整理得：，
由于，均为正数，则,
取等号时，即，
故选：B.
【点睛】方法点睛：已知，求的最小值的方法：
将变形为，将其展开可得，然后利用基本不等式可求最小值，即，取等号时.
24．C
【分析】根据斜率不存在时不能用点斜式与斜截式表示、截距为零的直线不能用截距式表示，从而可得结果.
【详解】因为直线与轴垂直时不能用点斜式与斜截式表示，所以选项不正确；
因为直线与坐标轴垂直时不能与截距式表示，所以选项不正确；
故选C.
【点睛】本题主要考查直线的方程，直线方程主要有五种形式，每种形式的 直线方程都有其局限性，斜截式与点斜式要求直线斜率存在，所以用这两种形式设直线方程时要注意讨论斜是否存在；截距式要注意讨论截距是否为零；两点式要注意讨论直线是否与坐标轴平行；求直线方程的最终结果往往需要化为一般式.
25．B
【分析】根据题意分析出反射光线过直线与轴的交点，且倾斜角与直线的倾斜角互补，故而可求反射光线所在的直线方程.
【详解】令得，所以直线与轴的交点为，
又直线的斜率为，所以反射光线所在直线的斜率为，
所以反射光线所在的直线方程为，即.
故选：B.
26．AB
【分析】分类讨论和时，直线的位置．
【详解】因为a≠0，所以C错；
当a＞0时，＞0，不过第四象限，故A对；
当a＜0时，＜0，不过第一象限，故D错，B对．
故选：AB
27．AC
【分析】由三条直线可构成三角形可知，直线不经过两条直线的交点，且与两条直线任意一条不平行.
【详解】直线与都经过原点，而无论为何值，直线总不经过原点，
因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线与另两条直线不平行，
所以．
故选：AC.
28．
【解析】设直线的方程为，求出点、的坐标，结合已知条件求出的取值范围，然后求出的面积关于的表达式，利用基本不等式可求出面积的最小值，利用等号成立求出的值，即可得出所求直线的方程.
【详解】易知直线的斜率存在且不为零，
设直线的方程为，即.
在直线的方程中，令，可得；令，可得.
所以，点、.
由已知条件可得，解得.
的面积为.
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，直线的方程为，即.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于将三角形的面积利用斜率有关的代数式表示，并结合基本不等式求出三角形面积的最小值，同时不要忽略了斜率的取值范围的求解.
29．
【分析】建立平面直角坐标系，设点P的坐标，可得P1, P2的坐标，和P关于y轴的对称点的坐标，得直线的方程，由于直线过的重心，解得P的坐标，进而可得AP的值．
【详解】建立如图所示的直角坐标系：
可得，故直线BC的方程为，
的重心为，即
设，其中，
则点P关于直线BC的对称点，满足，
解得，即，P关于y轴的对称点，
由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，
直线QR的斜率为k，故直线QR的方程为，
由于直线QR过的重心，代入化简可得，
解得，或（舍去），故，故
故答案为：
30．
【分析】整理直线为,由题可得,进而求解即可
【详解】由题,整理直线为,
因为直线不过第一象限,则,解得,
故答案为：
【点睛】本题考查直线方程的图象性质,考查数形结合思想
31．（1）线段的中点坐标为，直线的斜率为；（2）.
【分析】（1）利用中点坐标公式可求出线段的中点坐标，由直线的斜率公式可计算出直线的斜率；
（2）根据题意，设直线的方程为，将的坐标代入其方程计算可得的值，即可得答案．
【详解】（1）根据题意，设的中点坐标为，
又由点、，则，，
所以，线段的中点坐标为，直线的斜率为；
（2）设直线的方程为，
又由直线经过点，则有，则.
即直线的方程为.
【点睛】本题考查线段中点坐标的计算，涉及直线的斜率计算，同时也考查了利用直线平行求直线方程，涉及平行直线系方程的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
32．（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）设出点坐标，利用的中点在轴上，边的中点在轴上，即可求解.
（2）利用、两点坐标求出直线的斜率，再利用点斜式写出方程.
（3）利用直线的方程，可以求出三角形两直角边，即可得三角形的面积.
【详解】（1）设出点坐标为，边的中点在轴上，边的中点在轴上，
则 ，即得 ，所以点坐标为
（2），
所以，即 ，
直线的方程为：
（3）直线的方程为：，
令 ，得 ，令 ，得，
所以三角形的面积为
【点睛】本题主要考查了求直线的方程，以及直线与坐标轴围成的三角形的面积，属于基础题.
33．（1）证明见解析；（2）4，.
【解析】（1）将直线化简为，即可求得定点，即可得证；
（2）根据l的方程，可求得A，B的坐标，代入面积公式，即可求得面积S的表达式，结合基本不等式，即可求得答案.
【详解】（1）证明：直线的方程可化为，
令，则，解得，
∴无论取何值，直线总经过定点.
（2）由题意可知，再由的方程，得，．
依题意得：，解得．
∵.
当且仅当，即时取等号，
∴，此时直线的方程为．
34．（1）；（2）.
【分析】（1）设出直线的截距式方程，由题得出，解出即可得出方程；
（2）由基本不等式求出，即可得出面积最小值，进而得出直线方程.
【详解】设直线方程为，由直线l经过点可得，
（1）由题可得，解得，，，
则直线方程为；
（2），，∴，
当且仅当，时面积取最小值，
则直线方程为.
35．或
【解析】设所求直线方程为，求出直线与两坐标轴的交点坐标，结合已知条件可得出关于的方程，进而可求得直线的方程.
【详解】由于直线与直线平行，设直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得；令，可得.
所以，直线交轴于点，交轴于点.
由于直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则，解得.
因此，直线的方程为或.
36．(1)y＝1
(2)直线AC的方程为y－1＝(x－1)，直线BC的方程为y－1＝－(x－5).
【分析】（1）由题意A，B两点的纵坐标均为1，易得直线的方程；
（2）由题意可得直线AC的斜率为，直线BC的斜率为，分别可得直线的点斜式方程.
(1)
∵A，B两点的纵坐标均为1，
∴AB边所在直线的方程为y＝1.
(2)
∵AB平行于x轴，且△ABC在第一象限，
∴kAC＝tan 60°＝，kBC＝tan(180°－45°)＝－tan 45°＝－1，
∴直线AC的方程为y－1＝(x－1)；直线BC的方程为y－1＝－(x－5)．
37．（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）由点斜式写出直线方程，并化为一般式；
（2）由点斜式写出直线方程，并化为一般式；
（3）由两点式写出直线方程，并化为一般式；
（4）由截距式写出直线方程，并化为一般式；
【详解】（1）由点斜式写出直线方程，
其一般式为；
（2）由点斜式写出直线方程，
其一般式为；
（3）由两点式写出直线方程，
其一般式为；
（4）由截距写出直线方程，
其一般式为；
38．（1）；（2）．
【分析】（1）先根据斜率公式得，由于边上的高与所在直线垂直且过，故根据点斜式求解即可；
（2）由题知中点为，故再根据点斜式求解即可.
【详解】（1）边所在直线的斜率
因为所在直线的斜率与BC高线的斜率乘积为，
所以高线的斜率为，又因为高线所在的直线过
所以高线所在的直线方程为，即
（2）设中点为，则中点，又
所以边上的中线所在的直线方程为：，即：
【点睛】本题考查直线的方程的求解，解题的关键在于利用两直线垂直且斜率存在，则斜率乘积为，考查运算求解能力，是基础题.
39．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）两直线平行，斜率相等，从而求得直线方程；
（2）求过两点的直线斜率，然后根据两直线平行，斜率相等，从而求得直线方程；
（3）两直线垂直，斜率乘积等于-1，求得斜率，从而写出方程；
【详解】（1）与直线平行的直线斜率为-4，且经过点
则直线为；
（2）过和两点的直线斜率为，
则与MN平行且过点的直线方程为：；
（3）直线的斜率为-2，与之垂直的直线斜率为，
则经过点，且与直线垂直的直线方程为；
40．（1）；（2）；（3）；（4）或；（5）.
【分析】（1）利用点斜式求得直线方程.
（2）先求得直线的斜率，然后利用点斜式求得直线方程.
（3）先求得过点的直线的斜率，然后利用点斜式求得直线方程.
（4）根据直线过原点和不过原点进行分类讨论，由此求得直线的方程.
（5）对进行分类讨论，结合两点式求得直线方程.
【详解】（1）因为直线经过点，斜率是，所以直线的点斜式方程为，即.
（2）因为直线经过点，倾斜角是，所以斜率为，
所以直线的点斜式方程为，即.
（3）设所求直线的斜率为，依题意，
又直线经过点，∴所求直线方程为，即；
（4）当直线不过原点时，设所求直线方程为，
将代入可得，解得，∴直线方程为；
当直线过原点时，设直线方程为，则，解得，
∴直线方程为，即；故所求直线方程为或；
（5）①当时，直线的方程为；
②当时，直线的方程为，即.
∵时，代入方程，即为，
∴直线的方程为.
41．（1）m＝－4；（2）x＋y－2＝0.
【分析】（1）由方程得出在坐标轴上的两点，即可由斜率求出；
（2）由题得出0＜m＜4，表示出面积即可求出.
【详解】解：(1)直线l过点(m，0)，(0，4－m)，
则，解得m＝－4.
(2)由m＞0，4－m＞0，得0＜m＜4，
则.
当m＝2时，S有最大值，
故直线l的方程为x＋y－2＝0.
42．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）求得BC的中点坐标，结合A点坐标，求得中线方程；
（2）求得BC的斜率，从而求得其上的高的斜率，且过，求得高的方程；
（3）由（1）知BC的中点坐标，由（2）知高的斜率为，写出垂直平分线的方程；
【详解】（1）BC的中点坐标为
则边BC上的中线所在直线的方程为；
（2）边BC的斜率为，则其上的高的斜率为，且过，
则边BC上的高所在直线的方程为；
（3）由（1）知BC的中点坐标，由（2）知高的斜率为，
则边BC的垂直平分线的方程为.
43．y＝－x＋1或y＝－x－1．
【分析】先根据题意按点斜式写出直线方程，再分别令，得与坐标轴的交点坐标，根据直角三角形面积公式可得方程，即可求出直线的方程．
【详解】解：设直线l的方程为y＝－x＋b，则它与两个坐标轴的交点为A(b，0)和B(0，b)，所以围成的两个直角边长都为|b|，
故其面积为，
由，解得b＝±1，
故所求直线的方程为y＝－x＋1或y＝－x－1．
44．（1）（2）12
【分析】（1）根据题意分别表示出PM，PN的长度，然后利用三角函数求出最值即可；
（2）列式表示出△MON的面积，利用基本不等式求出最小值．
【详解】（1）设直线的倾斜角为（为锐角），
由P点做x轴，y轴垂线，垂足分别为E，F，则PE=2，PF=3,
，
则，
所以当时，取得最小值，
此时直线的方程为；
（2）矩形OFPE面积为3×2=6，，
，
当且仅当时取等号，
所以面积的最小值为12.
【点睛】本题考查三角函数最值的应用及基本不等式的应用，用到基本不等式求最值时要注意验证等号成立的条件，属于中等题.
45．（1）证明见解析；（2）周长为；直线方程为；（3）.
【分析】（1）将直线方程重新整理，转化为求两直线交点，即得证；
（2）先求A,B坐标且确定的取值范围，再根据三角形面积公式列函数关系式，根据基本不等式求最值，确定的值，最后求周长以及直线方程；
（3）根据截距均为正整数，利用分离法，结合整除确定的值，再求直线方程.
【详解】解：(1)由得，
则，解得，
所以不论为何值，直线必过一定点；
(2)由得，
当时，，当时，，
又由，得，
，
当且仅当，即时，取等号.
，，
的周长为；
直线方程为.
(3) 直线在两坐标轴上的截距均为正整数，
即，均为正整数，而a也为正整数，
所以直线的方程为.
【点睛】本题考查直线恒过定点问题、利用基本不等式求最值、直线与坐标轴围成的三角形的面积的最值、分离法求正整数解，考查综合分析求解能力，属中档题.
46．（1）或；（2）8，．
【分析】（1）根据题意设直线的方程为，进而得且，解方程即可得答案.；
（2）根据题意得，再根据得，最后根据基本不等式求最值即可得答案.
【详解】解：（1）设，，其中，，
则由直线的截距式方程得直线的方程为．
将代人直线的方程，得．
依题意得，，即，
所以，从而，
所以，整理得：，
解得，，
因此直线的方程为或，
整理得，或．
（2）根据题意，结合（1）得：
，
当且仅当，即，时取等号，
因此直线的方程为，即．
【点睛】本题考查直线与坐标轴围成的三角形面积，直线的截距式方程，基本不等式求最值，考查运算能力，是中档题.
47．（1）或；（2）
【分析】（1）讨论和两种情况即可求出；
（2）设出直线方程，求出截距，即可表示出面积，再利用基本不等式即可求解.
【详解】（1），定点，
直线在轴上的截距相等，
若时，则直线过原点，设为，代入得，故直线方程为，即，
若时，设直线为，代入解得，故直线方程为，即，
综上，直线的方程为或；
（2）由题可得直线斜率存在，设为，可得，
则直线l的方程为，
令，得，令，可得，
则三角形面积，
，，
，当且仅当，即时等号成立，
三角形面积的最小值为，
此时直线l的方程为，即
【点睛】本题考查截距式方程的应用，解题的关键是正确理解截距式方程，注意考虑过原点的情况，这也是容易漏掉的地方.
48．（1）
（2）或
【分析】(1)将含有的项提取出来,再令所乘的式为0,不含的项也为0,列方程求解即可.
(2)算出直线在轴上的截距令其相等求解即可.
【详解】(1) 由化简得,
令 ,故直线恒过定点
(2)由题得中.
令有 ,故在轴上的截距为.
令有.故在轴上的截距为.
故,故或.
当时, 化简得,当时,化简得
故直线的方程为或
【点睛】本题主要考查了直线方程的定点问题以及解决的问题等,属于中等题型.
49．（1）（2）（3）
【解析】（1）设，，根据的中点在直线上求出，利用斜率公式求出直线的斜率，再由点斜式可求出直线的方程；
（2）设直线的方程为，求出的坐标，利用求出面积关于的解析式，再根据基本不等式求最值可得和直线的方程；
（3）利用（2）中的坐标求出、，得到关于的函数关系式，再换元利用基本不等式求出取最小值时的，从而可得直线的方程.
【详解】（1）设，，则的中点为，
因为的中点在直线上，
所以，即，
所以直线的斜率，
所以直线的方程为，即.
（2）设直线的方程为，
联立，得，所以，
联立，得，，所以，
所以，
因为，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为，此时，直线的方程为，即.
（3）由（2）知，，
，
所以
，
令，则
，当且仅当，即时，取得最大值，取得最小值，此时直线的方程为，即.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
50．当直线AB倾斜角为时，的面积最小，最小面积是2.
【分析】设出点A，B的坐标，由直线的截距式写出直线AB的方程，根据点P在直线上而列出关系式，再借助基本不等式即可得解,
【详解】依题意，设点，直线AB的方程为，
而点在直线上，于是有，
显然有，当且仅当a=b时取“=”，即，
于是得a=b=2时，，此时为等腰直角三角形，面积取最小值2，直线AB倾斜角为，
所以当直线AB倾斜角为时，的面积最小，最小面积是2.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
【夯实基础】2023-2024高二数学同步限时训练（新人教A版2019）专题06 直线的方程
一、单选题
1．若直线（）经过第一、二、三象限，则系数满足的条件为（ ）
A．同号
B．
C．
D．
2．在直角坐标系中，直线经过（ ）
A．一、二、三象限 B．一、二、四象限
C．一、三、四象限 D．二、三、四象限
3．直线：必过定点（ ）
A． B． C． D．
4．已知直线，当变化时，所有直线都恒过点（ ）
A．
B．
C．
D．
5．若，则直线可能是（ ）
A． B． C． D．
6．已知直线，当变化时，所有直线都恒过点（ ）
A．
B．
C．
D．
7．不论m为何实数，直线(m-1)x-y+2m+1=0恒过定点
A． B．(-2，0) C．(-2，3) D．(2，3)
8．直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）＝0（k∈R）所经过的定点是（ ）
A．（5，2） B．（2，3） C．（﹣，3） D．（5，9）
9．直线恒过定点（ ）
A． B．
C． D．
10．经过点(－，2)，倾斜角是30°的直线的方程是（ ）
A．y＋(x－2) B．y＋2＝(x－)
C．y－2(x＋) D．y－2＝(x＋)
11．已知直线l经过点，且与直线垂直，则直线l在y轴上的截距为（ ）
A． B． C．2 D．4
12．方程表示的直线可能是
A． B． C． D．
13．已知函数的图象恒过定，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
14．已知两点A(3，0)，B(0，4)，动点P(x，y)在线段AB上运动，则xy的最大值为（ ）
A．2 B．3
C．4 D．5
15．直线不经过的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
16．在同一平面直角坐标系中，两直线与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
17．直线过定点
A．（1，-3） B．（4，3） C．（3，1） D．（2，3）
18．直线恒过一定点，则此定点为（ ）
A． B． C． D．
19．A、B两点的坐标分别为和，则线段AB的垂直平分线方程为（ ）
A． B． C． D．
20．过点且斜率为的直线在轴上的截距是（ ）
A． B． C． D．
21．经过两条直线和的交点，并且与直线平行的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
22．过点，倾斜角为150°的直线方程为（ ）
A．y－2＝－ (x＋4)
B．y－(－2)＝－ (x－4)
C．y－(－2)＝ (x－4)
D．y－2＝ (x＋4)
23．已知直线恒过定点，点也在直线上，其中，均为正数，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．6
24．下列命题中正确的是（ ）
A．经过点的直线都可以用方程表示
B．经过定点的直线都可以用方程表示
C．经过任意两个不同点的直线都可用方程表示
D．不经过原点的直线都可以用方程表示
25．一条光线沿直线入射到轴后反射，则反射光线所在的直线方程为（ ）.
A． B．
C． D．
二、多选题
26．直线y＝ax＋可能是（ ）
A． B． C． D．
27．三条直线，，构成三角形，则的值不能为（ ）
A． B．
C． D．－2
三、填空题
28．过点的直线分别与轴、轴的正半轴交于、两点，则（为坐标原点）面积取得最小值时直线方程为____________.
29．在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点.若光线经过的重心，则长为___________
30．若直线不过第一象限，则实数取值范围是__________．
四、解答题
31．已知点、，直线.
（1）求线段的中点坐标及直线的斜率；
（2）若直线过点，且与直线平行，求直线的方程.
32．在中，已知点，，且边的中点在轴上，边的中点在轴上.求：
（1）点的坐标；
（2）直线的方程；
（3）直线与两坐标轴围成三角形的面积.
33．已知直线： ().
（1）证明：直线过定点；
（2）若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为(为坐标原点)，求的最小值并求此时直线的方程．
34．直线l经过点，
（1）直线l与两个坐标轴围成的三角形的面积是4的直线方程.
（2）直线l与两个坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小时的直线方程.
35．已知直线与直线平行，并且直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的一般式方程.
36．已知△ABC在第一象限，若A(1,1)，B(5,1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求：
(1)边AB所在直线的方程；
(2)边AC和BC所在直线的点斜式方程．
37．根据下列条件，写出直线的方程，并把它化为一般式.
（1）经过点，斜率是；
（2）经过点，平行于x轴；
（3）经过点，；
（4）在x轴、y轴上的截距分别是，．
38．三角形的三个顶点是，，．
（1）求边上的高所在直线的方程；
（2）求边上的中线所在直线的方程．
39．求满足下列条件的直线的方程.
（1）经过点，且与直线平行；
（2）经过点，且平行于过和两点的直线；
（3）经过点，且与直线垂直．
40．写出下列直线的方程.
（1）经过点，斜率是；
（2）经过点，倾斜角是；
（3）求过点，斜率是直线的斜率的的直线方程.
（4）求经过点，且在轴上的截距等于在轴上截距的倍的直线方程.
（5）求过，两点的直线的方程.
41．已知直线l：
（1）若直线l的斜率是2，求m的值；
（2）当直线l与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积最大时，求此直线的方程．
42．的三个顶点是，，，求：
（1）边BC上的中线所在直线的方程；
（2）边BC上的高所在直线的方程；
（3）边BC的垂直平分线的方程．
43．已知直线l的斜率为－1，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线l的方程．
44．在平面直角坐标系中，直线过定点，且与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点.
（1）当取得最小值时，求直线的方程；
（2）求面积的最小值.
45．设直线的方程为.
（1）求证：不论为何值，直线必过一定点；
（2）若直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于点，，当面积最小时，求的周长及此时的直线方程；
（3）当直线在两坐标轴上的截距均为正整数且a也为正整数时，求直线的方程.
46．过点作直线，直线与，轴的正半轴分别交于，两点，为原点．
（1）若的面积为9，求直线的方程；
（2）若的面积为，求的最小值，并求出此时直线的方程．
47．已知函数与直线均过定点，且直线在轴上的截距依次为和.
（1）若直线在轴上的截距相等，求直线的方程；
（2）若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于两点，求直线与两坐标轴正半轴围成三角形面积最小时直线的方程.
48．已知直线方程为，.
（1）求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标；
（2）若直线在轴，轴上的截距相等，求直线的方程.
49．在平面直角坐标系中，已知射线：，：．过点作直线分别交射线于点A，B．
（1）当的中点在直线上时，求直线的方程；
（2）当的面积取最小值时，求直线的方程；
（3）当取最小值时，求直线的方程．
50．如图，过点作直线，分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于点A，B．当直线在什么位置时，的面积最小？最小面积是多少？
参考答案：
1．B
【分析】将直线方程转化为斜截式，再利用直线斜率与截距的意义即可得出.
【详解】由题意得，直线，即，
直线经过第一、二、三象限，
所以,，即，，
故选：B.
2．A
【分析】根据直线方程得到其与坐标轴的交点，从而可得出结果.
【详解】由，令可得，；令可得；
即直线过点，，
所以直线经过一、二、三象限.
故选：A.
3．D
【分析】根据直线方程可直接得出.
【详解】由直线方程可得过定点.
故选：D.
4．D
【分析】将直线方程整理为，从而可得直线所过的定点.
【详解】可化为，∴直线过定点，
故选：D.
5．C
【分析】将直线转化为斜截式，结合斜率和纵截距的正负可得解.
【详解】由题意知，直线方程可化为,
，
故直线的斜率小于0，在y轴上的截距大于0．
故选:C．
【点睛】本题主要考查了直线的一般方程转化为斜截式方程判断图像，属于基础题.
6．D
【分析】将直线方程整理为，从而可得直线所过的定点.
【详解】可化为，∴直线过定点，
故选：D.
7．C
【分析】将直线(m 1)x y+2m+1=0可为变为m(x+2)+( x y+1)=0，令求两定直线的交点此点即为直线恒过的定点．
【详解】直线(m 1)x y+2m+1=0可为变为m(x+2)+( x y+1)=0
令，解得.
故无论m为何实数，直线(m 1)x y+2m+1=0恒通过一个定点( 2,3)
故选C.
【点睛】探索曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为的形式，根据 求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.
8．B
【分析】将原方程重新合并同类项，即将含有的项合并，其它合并，由此列方程解出定点的坐标.
【详解】直线方程可化为，故，解得定点坐标为，故选B.
【点睛】本小题主要考查含有参数的直线方程经过的定点问题，主要的方法是重新合并同类项，属于基础题.
9．B
【分析】由时，可得到定点坐标.
【详解】当，即时，，直线恒过定点.
故选：B.
10．C
【分析】根据k=tan30°求出直线斜率，再利用点斜式即可求解.
【详解】直线的斜率k=tan30°=，
由直线的点斜式方程可得y－2＝ (x＋)，
故选：C．
11．B
【解析】由直线l与直线垂直，且直线的斜率为2，故可得直线l的斜率为，又直线l经过点，利用点斜式整理即可得解.
【详解】易知的斜率为2，
故直线l的斜率为，
根据点斜式可得直线l的方程为，
整理可得，
故直线l在y轴上的截距为，
故选：B.
12．C
【解析】分和两种情况讨论，即得答案.
【详解】由题意，排除.
当时，，此时直线与轴的交点在轴的负半轴上，排除.
当时，，此时直线与轴的交点在轴的正半轴上，排除，选.
故选：.
【点睛】本题考查由直线方程识别图象，考查分类讨论，属于基础题.
13．D
【分析】求出定点的坐标，可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】，所以，函数的图象恒过定点，
由于点在直线上，则，则，
，则，
，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：D.
【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，同时也考查了直线过定点的问题，考查计算能力，属于基础题.
14．B
【分析】由已知求出直线方程，得出，代入即可求解.
【详解】解析：可得直线AB的方程为，则可得，，
则，
当时，取得最大值为3.
故选：B.
15．C
【分析】根据直线图象即可判断．
【详解】画出直线方程得：
故直线不过第三象限，
故选：C
16．D
【分析】将直线的方程转化截距离式，得出两直线在轴上的截距与在轴上的截距的关系可得选项.
【详解】直线化为在轴上的截距为，在轴上的截距为；
直线化为在轴上的截距为，在轴上的截距，
所以两直线中一直线在轴上的截距与另一直线在轴上的截距互为相反数，
对于A选项：两直线中一直线在轴上的截距与另一直线在轴上的截距同为正数，不满足题意；
对于B选项：两直线中一直线在轴上的截距与另一直线在轴上的截距同为负数，不满足题意；
对于C选项：两直线中一直线在轴上的截距与另一直线在轴上的截距同为负数，不满足题意；
对于D选项：两直线中一直线在轴上的截距与另一直线在轴上的截距均异号，满足题意，
故选：D.
【点睛】本题考查直线的截距离式的理解与辨析，属于基础题.
17．C
【详解】试题分析：将化为，
联立，得，即直线过定点．
考点：直线过定点问题．
18．D
【解析】法一：利用分离参数法；法二：令参数，得到一条直线，令，得到另一条直线，解出两条直线的交点，再代入原方程验证即可.
【详解】解：法一：直线可变形为：，若该方程对任意都成立，
则，即，直线恒过点，
故选：D.
法二：在方程中，令得：，即，
令得：，将代入得，
将代入，得恒成立，
∴直线恒过点，
故选：D.
19．A
【解析】先求得直线的方程,则可设其垂线为,将的中点坐标代入即可求解
【详解】由题,直线的两点式方程为:,即,
设直线的垂线为,中点为,
将点代入可得,则,所以,
所以线段AB的垂直平分线方程为:,
故选:A
【点睛】本题考查线段的垂直平分线,考查直线方程
20．D
【分析】首先根据点斜式写出直线的方程，化成截距式即可求出截距.
【详解】因为过点且斜率为，所以，即，化成截距式，
所以直线在轴上的截距是，
故选：D.
21．A
【分析】先求得交点坐标，进而由点斜式可得结果.
【详解】联立得，所以两直线交点坐标为，
所求直线为，整理得.
故选：A.
22．B
【分析】求出直线的倾斜角的正切值即为直线的斜率，又直线过点，则由求出的斜率和点的坐标写出直线的方程即可
【详解】由直线的倾斜角为，得到直线的斜率
又直线过点
则直线的方程为
故选：B
23．B
【分析】先将直线方程变形得到定点的坐标，根据点在直线上确定出所满足的关系，最后根据“”的妙用求解出的最小值.
【详解】已知直线整理得：，
直线恒过定点，即.
点也在直线上，
所以，整理得：，
由于，均为正数，则,
取等号时，即，
故选：B.
【点睛】方法点睛：已知，求的最小值的方法：
将变形为，将其展开可得，然后利用基本不等式可求最小值，即，取等号时.
24．C
【分析】根据斜率不存在时不能用点斜式与斜截式表示、截距为零的直线不能用截距式表示，从而可得结果.
【详解】因为直线与轴垂直时不能用点斜式与斜截式表示，所以选项不正确；
因为直线与坐标轴垂直时不能与截距式表示，所以选项不正确；
故选C.
【点睛】本题主要考查直线的方程，直线方程主要有五种形式，每种形式的 直线方程都有其局限性，斜截式与点斜式要求直线斜率存在，所以用这两种形式设直线方程时要注意讨论斜是否存在；截距式要注意讨论截距是否为零；两点式要注意讨论直线是否与坐标轴平行；求直线方程的最终结果往往需要化为一般式.
25．B
【分析】根据题意分析出反射光线过直线与轴的交点，且倾斜角与直线的倾斜角互补，故而可求反射光线所在的直线方程.
【详解】令得，所以直线与轴的交点为，
又直线的斜率为，所以反射光线所在直线的斜率为，
所以反射光线所在的直线方程为，即.
故选：B.
26．AB
【分析】分类讨论和时，直线的位置．
【详解】因为a≠0，所以C错；
当a＞0时，＞0，不过第四象限，故A对；
当a＜0时，＜0，不过第一象限，故D错，B对．
故选：AB
27．AC
【分析】由三条直线可构成三角形可知，直线不经过两条直线的交点，且与两条直线任意一条不平行.
【详解】直线与都经过原点，而无论为何值，直线总不经过原点，
因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线与另两条直线不平行，
所以．
故选：AC.
28．
【解析】设直线的方程为，求出点、的坐标，结合已知条件求出的取值范围，然后求出的面积关于的表达式，利用基本不等式可求出面积的最小值，利用等号成立求出的值，即可得出所求直线的方程.
【详解】易知直线的斜率存在且不为零，
设直线的方程为，即.
在直线的方程中，令，可得；令，可得.
所以，点、.
由已知条件可得，解得.
的面积为.
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，直线的方程为，即.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于将三角形的面积利用斜率有关的代数式表示，并结合基本不等式求出三角形面积的最小值，同时不要忽略了斜率的取值范围的求解.
29．
【分析】建立平面直角坐标系，设点P的坐标，可得P1, P2的坐标，和P关于y轴的对称点的坐标，得直线的方程，由于直线过的重心，解得P的坐标，进而可得AP的值．
【详解】建立如图所示的直角坐标系：
可得，故直线BC的方程为，
的重心为，即
设，其中，
则点P关于直线BC的对称点，满足，
解得，即，P关于y轴的对称点，
由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，
直线QR的斜率为k，故直线QR的方程为，
由于直线QR过的重心，代入化简可得，
解得，或（舍去），故，故
故答案为：
30．
【分析】整理直线为,由题可得,进而求解即可
【详解】由题,整理直线为,
因为直线不过第一象限,则,解得,
故答案为：
【点睛】本题考查直线方程的图象性质,考查数形结合思想
31．（1）线段的中点坐标为，直线的斜率为；（2）.
【分析】（1）利用中点坐标公式可求出线段的中点坐标，由直线的斜率公式可计算出直线的斜率；
（2）根据题意，设直线的方程为，将的坐标代入其方程计算可得的值，即可得答案．
【详解】（1）根据题意，设的中点坐标为，
又由点、，则，，
所以，线段的中点坐标为，直线的斜率为；
（2）设直线的方程为，
又由直线经过点，则有，则.
即直线的方程为.
【点睛】本题考查线段中点坐标的计算，涉及直线的斜率计算，同时也考查了利用直线平行求直线方程，涉及平行直线系方程的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
32．（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）设出点坐标，利用的中点在轴上，边的中点在轴上，即可求解.
（2）利用、两点坐标求出直线的斜率，再利用点斜式写出方程.
（3）利用直线的方程，可以求出三角形两直角边，即可得三角形的面积.
【详解】（1）设出点坐标为，边的中点在轴上，边的中点在轴上，
则 ，即得 ，所以点坐标为
（2），
所以，即 ，
直线的方程为：
（3）直线的方程为：，
令 ，得 ，令 ，得，
所以三角形的面积为
【点睛】本题主要考查了求直线的方程，以及直线与坐标轴围成的三角形的面积，属于基础题.
33．（1）证明见解析；（2）4，.
【解析】（1）将直线化简为，即可求得定点，即可得证；
（2）根据l的方程，可求得A，B的坐标，代入面积公式，即可求得面积S的表达式，结合基本不等式，即可求得答案.
【详解】（1）证明：直线的方程可化为，
令，则，解得，
∴无论取何值，直线总经过定点.
（2）由题意可知，再由的方程，得，．
依题意得：，解得．
∵.
当且仅当，即时取等号，
∴，此时直线的方程为．
34．（1）；（2）.
【分析】（1）设出直线的截距式方程，由题得出，解出即可得出方程；
（2）由基本不等式求出，即可得出面积最小值，进而得出直线方程.
【详解】设直线方程为，由直线l经过点可得，
（1）由题可得，解得，，，
则直线方程为；
（2），，∴，
当且仅当，时面积取最小值，
则直线方程为.
35．或
【解析】设所求直线方程为，求出直线与两坐标轴的交点坐标，结合已知条件可得出关于的方程，进而可求得直线的方程.
【详解】由于直线与直线平行，设直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得；令，可得.
所以，直线交轴于点，交轴于点.
由于直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则，解得.
因此，直线的方程为或.
36．(1)y＝1
(2)直线AC的方程为y－1＝(x－1)，直线BC的方程为y－1＝－(x－5).
【分析】（1）由题意A，B两点的纵坐标均为1，易得直线的方程；
（2）由题意可得直线AC的斜率为，直线BC的斜率为，分别可得直线的点斜式方程.
(1)
∵A，B两点的纵坐标均为1，
∴AB边所在直线的方程为y＝1.
(2)
∵AB平行于x轴，且△ABC在第一象限，
∴kAC＝tan 60°＝，kBC＝tan(180°－45°)＝－tan 45°＝－1，
∴直线AC的方程为y－1＝(x－1)；直线BC的方程为y－1＝－(x－5)．
37．（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）由点斜式写出直线方程，并化为一般式；
（2）由点斜式写出直线方程，并化为一般式；
（3）由两点式写出直线方程，并化为一般式；
（4）由截距式写出直线方程，并化为一般式；
【详解】（1）由点斜式写出直线方程，
其一般式为；
（2）由点斜式写出直线方程，
其一般式为；
（3）由两点式写出直线方程，
其一般式为；
（4）由截距写出直线方程，
其一般式为；
38．（1）；（2）．
【分析】（1）先根据斜率公式得，由于边上的高与所在直线垂直且过，故根据点斜式求解即可；
（2）由题知中点为，故再根据点斜式求解即可.
【详解】（1）边所在直线的斜率
因为所在直线的斜率与BC高线的斜率乘积为，
所以高线的斜率为，又因为高线所在的直线过
所以高线所在的直线方程为，即
（2）设中点为，则中点，又
所以边上的中线所在的直线方程为：，即：
【点睛】本题考查直线的方程的求解，解题的关键在于利用两直线垂直且斜率存在，则斜率乘积为，考查运算求解能力，是基础题.
39．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）两直线平行，斜率相等，从而求得直线方程；
（2）求过两点的直线斜率，然后根据两直线平行，斜率相等，从而求得直线方程；
（3）两直线垂直，斜率乘积等于-1，求得斜率，从而写出方程；
【详解】（1）与直线平行的直线斜率为-4，且经过点
则直线为；
（2）过和两点的直线斜率为，
则与MN平行且过点的直线方程为：；
（3）直线的斜率为-2，与之垂直的直线斜率为，
则经过点，且与直线垂直的直线方程为；
40．（1）；（2）；（3）；（4）或；（5）.
【分析】（1）利用点斜式求得直线方程.
（2）先求得直线的斜率，然后利用点斜式求得直线方程.
（3）先求得过点的直线的斜率，然后利用点斜式求得直线方程.
（4）根据直线过原点和不过原点进行分类讨论，由此求得直线的方程.
（5）对进行分类讨论，结合两点式求得直线方程.
【详解】（1）因为直线经过点，斜率是，所以直线的点斜式方程为，即.
（2）因为直线经过点，倾斜角是，所以斜率为，
所以直线的点斜式方程为，即.
（3）设所求直线的斜率为，依题意，
又直线经过点，∴所求直线方程为，即；
（4）当直线不过原点时，设所求直线方程为，
将代入可得，解得，∴直线方程为；
当直线过原点时，设直线方程为，则，解得，
∴直线方程为，即；故所求直线方程为或；
（5）①当时，直线的方程为；
②当时，直线的方程为，即.
∵时，代入方程，即为，
∴直线的方程为.
41．（1）m＝－4；（2）x＋y－2＝0.
【分析】（1）由方程得出在坐标轴上的两点，即可由斜率求出；
（2）由题得出0＜m＜4，表示出面积即可求出.
【详解】解：(1)直线l过点(m，0)，(0，4－m)，
则，解得m＝－4.
(2)由m＞0，4－m＞0，得0＜m＜4，
则.
当m＝2时，S有最大值，
故直线l的方程为x＋y－2＝0.
42．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）求得BC的中点坐标，结合A点坐标，求得中线方程；
（2）求得BC的斜率，从而求得其上的高的斜率，且过，求得高的方程；
（3）由（1）知BC的中点坐标，由（2）知高的斜率为，写出垂直平分线的方程；
【详解】（1）BC的中点坐标为
则边BC上的中线所在直线的方程为；
（2）边BC的斜率为，则其上的高的斜率为，且过，
则边BC上的高所在直线的方程为；
（3）由（1）知BC的中点坐标，由（2）知高的斜率为，
则边BC的垂直平分线的方程为.
43．y＝－x＋1或y＝－x－1．
【分析】先根据题意按点斜式写出直线方程，再分别令，得与坐标轴的交点坐标，根据直角三角形面积公式可得方程，即可求出直线的方程．
【详解】解：设直线l的方程为y＝－x＋b，则它与两个坐标轴的交点为A(b，0)和B(0，b)，所以围成的两个直角边长都为|b|，
故其面积为，
由，解得b＝±1，
故所求直线的方程为y＝－x＋1或y＝－x－1．
44．（1）（2）12
【分析】（1）根据题意分别表示出PM，PN的长度，然后利用三角函数求出最值即可；
（2）列式表示出△MON的面积，利用基本不等式求出最小值．
【详解】（1）设直线的倾斜角为（为锐角），
由P点做x轴，y轴垂线，垂足分别为E，F，则PE=2，PF=3,
，
则，
所以当时，取得最小值，
此时直线的方程为；
（2）矩形OFPE面积为3×2=6，，
，
当且仅当时取等号，
所以面积的最小值为12.
【点睛】本题考查三角函数最值的应用及基本不等式的应用，用到基本不等式求最值时要注意验证等号成立的条件，属于中等题.
45．（1）证明见解析；（2）周长为；直线方程为；（3）.
【分析】（1）将直线方程重新整理，转化为求两直线交点，即得证；
（2）先求A,B坐标且确定的取值范围，再根据三角形面积公式列函数关系式，根据基本不等式求最值，确定的值，最后求周长以及直线方程；
（3）根据截距均为正整数，利用分离法，结合整除确定的值，再求直线方程.
【详解】解：(1)由得，
则，解得，
所以不论为何值，直线必过一定点；
(2)由得，
当时，，当时，，
又由，得，
，
当且仅当，即时，取等号.
，，
的周长为；
直线方程为.
(3) 直线在两坐标轴上的截距均为正整数，
即，均为正整数，而a也为正整数，
所以直线的方程为.
【点睛】本题考查直线恒过定点问题、利用基本不等式求最值、直线与坐标轴围成的三角形的面积的最值、分离法求正整数解，考查综合分析求解能力，属中档题.
46．（1）或；（2）8，．
【分析】（1）根据题意设直线的方程为，进而得且，解方程即可得答案.；
（2）根据题意得，再根据得，最后根据基本不等式求最值即可得答案.
【详解】解：（1）设，，其中，，
则由直线的截距式方程得直线的方程为．
将代人直线的方程，得．
依题意得，，即，
所以，从而，
所以，整理得：，
解得，，
因此直线的方程为或，
整理得，或．
（2）根据题意，结合（1）得：
，
当且仅当，即，时取等号，
因此直线的方程为，即．
【点睛】本题考查直线与坐标轴围成的三角形面积，直线的截距式方程，基本不等式求最值，考查运算能力，是中档题.
47．（1）或；（2）
【分析】（1）讨论和两种情况即可求出；
（2）设出直线方程，求出截距，即可表示出面积，再利用基本不等式即可求解.
【详解】（1），定点，
直线在轴上的截距相等，
若时，则直线过原点，设为，代入得，故直线方程为，即，
若时，设直线为，代入解得，故直线方程为，即，
综上，直线的方程为或；
（2）由题可得直线斜率存在，设为，可得，
则直线l的方程为，
令，得，令，可得，
则三角形面积，
，，
，当且仅当，即时等号成立，
三角形面积的最小值为，
此时直线l的方程为，即
【点睛】本题考查截距式方程的应用，解题的关键是正确理解截距式方程，注意考虑过原点的情况，这也是容易漏掉的地方.
48．（1）
（2）或
【分析】(1)将含有的项提取出来,再令所乘的式为0,不含的项也为0,列方程求解即可.
(2)算出直线在轴上的截距令其相等求解即可.
【详解】(1) 由化简得,
令 ,故直线恒过定点
(2)由题得中.
令有 ,故在轴上的截距为.
令有.故在轴上的截距为.
故,故或.
当时, 化简得,当时,化简得
故直线的方程为或
【点睛】本题主要考查了直线方程的定点问题以及解决的问题等,属于中等题型.
49．（1）（2）（3）
【解析】（1）设，，根据的中点在直线上求出，利用斜率公式求出直线的斜率，再由点斜式可求出直线的方程；
（2）设直线的方程为，求出的坐标，利用求出面积关于的解析式，再根据基本不等式求最值可得和直线的方程；
（3）利用（2）中的坐标求出、，得到关于的函数关系式，再换元利用基本不等式求出取最小值时的，从而可得直线的方程.
【详解】（1）设，，则的中点为，
因为的中点在直线上，
所以，即，
所以直线的斜率，
所以直线的方程为，即.
（2）设直线的方程为，
联立，得，所以，
联立，得，，所以，
所以，
因为，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为，此时，直线的方程为，即.
（3）由（2）知，，
，
所以
，
令，则
，当且仅当，即时，取得最大值，取得最小值，此时直线的方程为，即.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
50．当直线AB倾斜角为时，的面积最小，最小面积是2.
【分析】设出点A，B的坐标，由直线的截距式写出直线AB的方程，根据点P在直线上而列出关系式，再借助基本不等式即可得解,
【详解】依题意，设点，直线AB的方程为，
而点在直线上，于是有，
显然有，当且仅当a=b时取“=”，即，
于是得a=b=2时，，此时为等腰直角三角形，面积取最小值2，直线AB倾斜角为，
所以当直线AB倾斜角为时，的面积最小，最小面积是2.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)