专题07 直线的交点坐标与距离公式-【夯实基础】2023-2024高二数学同步限时训练(人教A版2019选择性必修第一册)（含解析)
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| 名称 | 专题07 直线的交点坐标与距离公式-【夯实基础】2023-2024高二数学同步限时训练(人教A版2019选择性必修第一册)（含解析) |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 5.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-13 23:31:49 | ||
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文档简介
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【夯实基础】2023-2024高二数学同步限时训练（新人教A版2019）专题07 直线的交点坐标与距离公式
一、单选题
1．过点和点的直线与直线垂直，则（ ）
A． B．4 C． D．2
2．以A（–1，1）、B（2，–1）、C（1，4）为顶点的三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．以A点为直角顶点的直角三角形 D．以B点为直角顶点的直角三角形
3．已知点，，点在轴上，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
4．点关于直线的对称的点坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．点到直线的距离是（ ）
A． B． C．1 D．
6．两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等于（ ）
A． B． C． D．
7．斜率为2，且过直线和直线交点的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
8．点(2，1)到直线l：x－2y＋2＝0的距离为（ ）
A． B．
C． D．0
9．若直线x＋3y－9＝0与直线x＋3y－c＝0的距离为，则c的值为（ ）
A．－1 B．19
C．－1或19 D．1或－19
10．直线x－2y＋3＝0与2x－y＋3＝0的交点坐标为（ ）
A．(－1，1) B．(1，－1)
C．(1，1) D．(－1，－1)
11．若直线l1：y＝kx＋1与l2：x－y－1＝0的交点在第一象限内，则k的取值范围是（ ）
A．(1，＋∞) B．(－1，1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)
12．若在直线上有一点P，它到点和的距离之和最小，则该最小值为（ ）
A． B． C． D．
13．已知三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．
14．已知△ABC的三个顶点是A(－a，0)，B(a，0)和C，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．斜三角形
15．直线y＝4x﹣5关于点P（2，1）对称的直线方程是（ ）
A．y＝4x+5 B．y＝4x﹣5 C．y＝4x﹣9 D．y＝4x+9
16．与直线关于坐标原点对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
17．如果关于直线的对称点为，则直线的方程是( )
A．
B．
C．
D．
18．直线关于原点对称的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
19．已知直线过定点，则点关于对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
20．已知点和，在轴上求一点，使得最小，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
21．直线与的交点在第四象限，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
22．若过点A(3，a)和点B(4，b)的直线与y＝2x＋3平行，则|AB|的值为（ ）
A．3 B．
C．5 D．
23．点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点为(3，4)，则|AB|等于（ ）
A．10 B．5
C．8 D．6
24．点P(-1，-1)到直线的距离为（ ）
A．0 B．1 C． D．2
25．在直线上求点，使点到的距离为，则点坐标是（ ）
A． B． C．或 D．或
26．点P在直线x＋y－4＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值为（ ）
A． B．2
C． D．2
27．已知直线恒经过定点，则点到直线的距离是（ ）
A．6 B．3 C．4 D．7
28．点关于直线对称的点 的坐标是
A． B． C． D．
29．已知点与点关于直线对称，则点的坐标为
A． B． C． D．
30．直线关于对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
31．直线与直线交于点，则点到直线的最大距离为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
32．(多选)已知三条直线x－2y＝1，2x＋ky＝3，3kx＋4y＝5相交于一点，则k的值为（ ）
A．－ B．－1 C．1 D．
33．(多选)若点A(a，1)到直线3x－4y＝1的距离为1，则a的值为（ ）
A．0 B．
C．5 D．－
34．（多选）等腰直角三角形的直角顶点为，若点A的坐标为，则点B的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
35．已知直线，，则（ ）
A．恒过点 B．若，则
C．若，则 D．当时，不经过第三象限
36．当0＜k＜时，直线l1：kx－y－k＋1＝0与直线l2：ky－x－2k＝0的交点可能是（ ）
A．(2，3) B．(1，2)
C． D．
37．已知直线，，，以下结论正确的是（ ）
A．不论为何值时，与都互相垂直；
B．当变化时，与分别经过定点和
C．不论为何值时，与都关于直线对称
D．如果与交于点M，则的最大值是
三、填空题
38．点到直线的距离为_____.
39．直线与关于点成中心对称，若的方程是，则的方程是__________
40．点关于直线的对称点是______.
41．一条光线从点出发射向轴，经过轴上的点反射后经过点，则点的坐标为______.
42．已知，到直线的距离相等，则实数a为________.
43．斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为______________．
44．两条平行线和的距离为_____.
45．若直线与交于点A，且，则___________．
46．直线和不能构成三角形，则的值为____________.
47．若直线与直线关于点(2，3)对称，则直线恒过定点的坐标为___________，直线与的距离的最大值是___________.
48．直线关于点对称的直线方程为____________.
49．已知直线与关于点对称，则______.
50．已知直线过定点，则点的坐标是___________，点关于直线的对称点的坐标是__________.
51．若点，关于直线l对称，那么直线l的方程为________.
52．两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________.
53．已知满足，求的最小值__.
54．过点和的直线与直线平行，则的值为_______．
55．在直线5x＋4y＝8＋m和直线3x＋2y＝6中，当m＞4时，两直线交点在第________象限．
56．已知点A(－3，4)，B(2，)在x轴上有一点P，使|PA|＝|PB|，则P点坐标为________．
57．若直线5x＋4y－2m－1＝0与直线2x＋3y－m＝0的交点在第三象限，则实数m的取值范围是________．
58．已知与两点间的距离是17，则的值为____________．
59．若为直线与直线的交点，则的值为_________
60．点P(2,5)关于直线x＋y＝1的对称点的坐标是____________．
61．已知直线与直线垂直，那么与的交点坐标是______________.
62．已知A(7，1)、B(1，4)，直线y=ax与线段AB交于C，且=2，则实数a等于________
63．已知直线l的方程是，，，若直线l与线段相交，则实数m的取值范围是______.
四、解答题
64．在直线上求一点P，使它到原点的距离与到直线的距离相等．
65．求下列两条直线的交点坐标，并画出图形：
（1），；
（2），．
66．求下列两点间的距离：
（1），；（2），；
（3），；（4），．
67．已知点，直线：.
（1）求直线关于点对称的直线方程；
（2）求直线与两坐标轴围成的三角形的重心坐标.
68．已知直线l经过直线与的交点M．
（Ⅰ）若l经过点，求l的方程；
（Ⅱ）若直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，O为原点，是否存在使面积最小的直线l？若存在，求出直线l方程；若不存在，请说明理由．
69．已知AO是边BC的中线，用坐标法证明．
70．已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1，－1)，B(－1，3)，C(3，0)．
（1）判断△ABC的形状；
（2）求△ABC的面积．
71．求下列点到直线的距离：
（1），；
（2），；
（3），．
72．判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标：
（1），；
（2），；
（3），．
73．根据条件求直线方程．
（1）已知直线，求其关于对称的直线的直线方程；
（2）求直线关于直线对称的直线的方程．
74．已知直线l过点P(2，3)且与定直线l0：y=2x在第一象限内交于点A，与x轴正半轴交于点B，记 的面积为S( 为坐标原点)，点B(a，0).
（1）求实数a的取值范围；
（2）求当S取得最小值时，直线l的方程.
75．已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
（1）点A关于直线l的对称点A′的坐标；
（2）直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
（3）直线l关于点A对称的直线l′的方程．
76．已知直线与.
（1）若、两点分别在直线、上运动，求的中点到原点的最短距离；
（2）若，直线过点，且被直线、截得的线段长为，求直线的方程.
77．已知直线过点，且其倾斜角是直线的倾斜角的
（1）求直线的方程；
（2）若直线与直线平行，且点到直线的距离是，求直线的方程．
78．一束光从从光源射出，经轴反射后（反射点为），射到线段上处.
（1）若，，求光从出发，到达点时所走过的路程；
（2）若，求反射光的斜率的取值范围；
（3）若，求光从出发，到达点时所走过的最短路程.
79．如图，射线，所在直线的方向向量分别为， ，点在内，于， 于.
（1）若，，求 的值；
（2）若，的面积是 ，求的值；
（3）已知为常数，，的中点为，且，当 变化时，求的取值范围.
参考答案：
1．C
【解析】根据两直线垂直可得，根据两点间的距离公式可得结果.
【详解】因为过点和点的直线与直线垂直，
所以，即，
所以.
故选：C
2．C
【分析】算出后利用勾股定理可判断的形状.
【详解】，，
，
故，所以为直角三角形且以为直角顶点.
故选C.
【点睛】本题考查两点间距离公式及其应用，应用该公式计算时注意坐标的正确代入，此类问题属于基础题.
3．B
【分析】利用对称性，结合两点间线段最短进行求解即可.
【详解】点，，点在轴上，
点关系轴的对称点为，
.
故选：B.
4．B
【解析】设出点关于直线的对称的点为，根据中点坐标公式和两直线垂直时斜率之间的关系，列出方程组，解方程组即可.
【详解】设点关于直线的对称的点为，根据对称性的性质有：
，
所以点关于直线的对称的点坐标为.
故选：B
【点睛】本题考查了求点关于线对称的点的坐标，考查了中点坐标公式，考查了两直线垂直斜率之间的关系，考查了数学运算能力.
5．A
【解析】直接利用点到直线的距离公式求解即可
【详解】解：点到直线的距离为
，
故选：A
6．C
【分析】l1的方程可化为9x＋12y－6＝0，再由平行线间的距离公式可得答案.
【详解】l1的方程可化为9x＋12y－6＝0，
又l2：9x＋12y－10＝0，
所以，由平行线间的距离公式得，
两条平行线间的距离d＝＝.
故选：C.
7．A
【解析】求出两直线的交点坐标，根据点斜式可得结果.
【详解】联立，解得，所以两直线的交点坐标为，
所求直线方程为.整理为.
故选：A
【点睛】本题考查了求两直线的交点，考查了直线方程的点斜式，属于基础题.
8．B
【分析】直接运用点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】点(2，1)到直线l：x－2y＋2＝0的距离为，
故选：B
9．C
【分析】由题意利用两条平行线间的距离公式，可的c的值．
【详解】由两平行线间的距离公式得，
d＝＝，
所以| c－9|＝10，得c＝－1或c＝19．
故选：C.
10．A
【分析】联立两直线方程求解.
【详解】由
解得
所以直线x－2y＋3＝0与2x－y＋3＝0的交点坐标为(－1，1)
故选：A
11．B
【分析】联立直线方程求出焦点坐标，根据交点在第一象限列出不等式可求出.
【详解】联立直线方程，解得，
∵直线的交点在第一象限，，∴解不等式组可得.
故选：B．
12．C
【解析】求出关于直线对称的点为，则，从而得出答案.
【详解】点关于直线对称的点为,如图
则,所以
当且仅当三点共线时取得等号.
故选：C
13．D
【分析】根据题意得到直线与直线和直线分别平行时或直线过直线和直线的交点时，三条直线不能构成三角形，再分别计算相应的值即可.
【详解】由题知：
①当直线与直线平行时，三条直线不能构成三角形.
即.
②当直线与直线平行时，三条直线不能构成三角形.
即.
③当直线过直线与直线交点时，
三条直线不能构成三角形.
所以，解得，
将代入，解得.
所以实数的取值集合为.
故选：D.
14．C
【分析】先求出直线，的斜率，从而可得kAC·kBC＝－1，再求出,进而可得三角形的形状
【详解】因为kAC＝＝，kBC＝＝－，kAC·kBC＝－1，所以AC⊥BC.
又AC＝＝a，|BC|＝＝a，
所以△ABC为直角三角形．
故选：C
15．C
【分析】设直线上的点关于点的对称点的坐标为，求出，，再代入直线中即可得到对称直线的方程.
【详解】设直线上的点关于点的对称点的坐标为，
所以，，所以，，
将其代入直线中，得到，化简得，
故选：C．
【点睛】本题主要考查的知识要点：直线的方程和中点坐标公式，属于基础题.
16．D
【解析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可.
【详解】设所求对称直线上任意一点的坐标为，则关于原点对称点的坐标为，该点在已知的直线上，则，即.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了直线关于点对称问题，考查运算能力，属于基础题.
17．A
【详解】因为已知点关于直线的对称点为，
故直线为线段的中垂线，
求得的中点坐标为，
的斜率为，故直线的斜率为，
故直线的方程为，即.
故选：A.
18．A
【解析】由直线上任意两点，求出其关于原点对称的点，再求出斜率，进而得出所求方程.
【详解】点在直线上，则在所求直线上
所求直线的斜率，则所求直线方程为
故选：A
19．A
【解析】根据直线方程得到定点A的坐标，设其关于的对称点坐标，列出方程组，解之即可.
【详解】直线即，故，
设点关于的对称点坐标为．
则解得．
点关于的对称点坐标为．
故选：A．
20．D
【分析】利用对称知识得到点关于轴的对称点为，连接，根据和的坐标求得直线的方程，求出它与轴交点坐标即为的坐标．
【详解】解：找出点关于轴的对称点，连接，
与轴的交于点，连接，此时为最短，
由与关于轴对称，，
所以，又，
则直线的方程为
化简得：，令，解得，所以
故选：D．
【点睛】此题考查学生灵活运用对称的性质解决实际问题，会求直线与轴的交点坐标，是一道中档题．
21．C
【解析】联立方程可直接求出交点坐标，令交点的横坐标大于零，纵坐标小于零，解不等式组即可.
【详解】解：直线与的交点在第四象限，
，
联立方程： ，
解得，
即，
解得：.
故选：C.
22．D
【分析】先根据过点A(3，a)和点B(4，b)的直线与y＝2x＋3平行求得a与b的关系，再利用两点间的距离公式求解.
【详解】由题意得＝2，即b－a＝2.
所以|AB|＝.
故选：D
23．A
【分析】根据A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点为(3，4)，先得到A，B的坐标，再利用两点间距离公式求解.
【详解】由题意得A(6，0)，B(0，8)，
所以|AB|＝.
故选：A
24．B
【分析】由点到直线距离公式求解.
【详解】由点到直线的距离公式可得，
，
故选：B
25．C
【分析】设，根据点到的距离为和点在直线上，两式联立求解.
【详解】设，
所以，
即，
又因为点在直线上，
所以，
两式联立解得 或，
所以点坐标是或.
故选：C
【点睛】本题主要考查两点间的距离公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
26．B
【分析】根据垂线段最短求解．
【详解】点到的距离为：，
所以的最小值为．
故选：B.
27．B
【分析】把直线方程整理为关于的方程，由恒等式知识求得定点坐标，然后由点到直线距离公式求解．
【详解】由直线方程变形为：，
由，解得，
所以直线恒经过定点，
故点到直线的距离是，
故选：B.
28．C
【详解】设点，则线段的中点为，
又点在直线上，
所以 因为直线，，所以 .联立，解得，.
故选C.
点睛：本题考查对称问题，得出中点在直线且连线与已知直线垂直是解决问题的关键，属中档题；点关于直线成轴对称问题，由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”，利用“垂直”即斜率关系，“平分”即中点在直线上这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标．
29．D
【解析】根据对称列式求解.
【详解】设,则，选D.
【点睛】本题考查关于直线对称点问题，考查基本分析求解能力，属基础题.
30．A
【分析】利用点关于直线对称点的求法可求得直线上一点关于直线的对称点，代入直线中即可得到对称直线方程.
【详解】设直线上一点关于直线对称点的坐标为，
则，整理可得：，，
即直线关于对称的直线方程为：.
故选：A.
【点睛】方法点睛：本题考查直线关于对称轴的对称直线的求解，解决思路是将直线上一点坐标，利用其关于对称轴的对称点坐标表示出来，代入原直线即可，核心依然是求解点关于直线的对称点的求解. 求解点关于直线的对称点的基本方法如下：
①与连线与直线垂直，即；
②中点在直线上，即；
③与到直线的距离相等，即；
上述三个等量关系中任选两个构成方程组，即可求得对称点坐标.
31．C
【解析】根据联立直线的方程解出交点P，再得出直线的恒过点，从而求得最大距离得选项．
【详解】由解得，所以，
由，得，令，恒成立，所以直线恒过点，
所以点到直线的最大距离为，
故选：C．
【点睛】方法点睛：求直线恒过点的方法：
方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成，将带入原方程之后，所以直线过定点；
方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点.取两个m的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点.
32．AC
【分析】由任意两个直线方程联立方程组求出交点坐标，再由其会标代入第三个方程中可求出k的值
【详解】解：由，得，
所以三条直线的交点为，
所以，化简得，
解得或，
故选：AC
33．AB
【分析】利用点到直线距离公式求解即可.
【详解】点A(a，1)到直线3x－4y＝1的距离为
故，解得或
故选：AB
34．AC
【分析】设，根据和可求得点坐标．
【详解】设，根据题意可得即
解得或所以或.
故选：AC．
【点睛】本题考查两直线垂直的条件，考查两点间距离公式，属于基础题．
35．BD
【分析】A.直线写成，判断直线所过的定点；B.若两直线平行，则一定有；C.两直线垂直，根据公式有；D.根据直线不经过第三象限，求实数的取值范围.
【详解】，
当，即，即直线恒过点，故A不正确；
若，则有 ，解得：，故B正确；
若，则有，得，故C不正确；
若直线不经过第三象限，则当时，， ，解得：，
当时，直线，也不过第三象限，
综上可知：时，不经过第三象限，故D正确.
故选：BD
36．CD
【分析】首先求交点坐标，根据选项，代入验证.
【详解】联立，得，
，，，即交点在第二象限，
验证C选项，，得，成立，
验证D选项，，得，成立，
故选：CD
37．ABD
【分析】由两直线垂直的判定方法判断A；根据直线过定点的求解方法判断B；设上一点，其关于对称的点是否在上，判断C；联立两直线方程可求得，利用两点间距离公式表示出，根据函数最值的求法可求得的最大值，判断D.
【详解】对于A，恒成立，恒成立，A正确；
对于B，对于直线，当时，恒成立，则过定点；对于直线，当时，恒成立，则恒过定点，B正确；
对于C，在上任取点，关于直线对称的点的坐标为，
代入方程知：不在上，C错误；
对于D，联立，解得：，即，
，即的最大值是，D正确.
故选：ABD.
38．
【分析】利用点到直线的距离公式即可求得结果.
【详解】点到直线的距离.
故答案为：.
39．
【分析】在直线上任取一点，则关于点对称点一定在直线上，故有，化简即得解.
【详解】在直线上任取一点，
则关于点对称点一定在直线上，
故有，即．
故直线的方程为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查直线关于点的对称直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
40．
【分析】利用对称轴的性质布列方程组，即可得到结果.
【详解】设点M（﹣1，1）关于直线l：x﹣y﹣1=0对称的点N的坐标（x，y）
则MN中点的坐标为（，），
利用对称的性质得：KMN==﹣1，且 ﹣﹣1=0，
解得：x=2，y=﹣2，
∴点N的坐标（2，﹣2），
故答案为（2，﹣2）．
【点睛】本题考查求点关于直线的对称点的坐标的方法，利用垂直关系、中点在轴上两个条件以及待定系数法求对称点的坐标．
41．
【分析】首先，根据光线从点射向轴，得到关于轴的对称点，然后根据反射后过点，列点斜式，可求得反射光线的方程，进而可得点的坐标.
【详解】解：根据题意：
关于轴的对称点为
而反射光线直线又过
∴其直线为：
即：，
当时，，即点的坐标为，
故答案为：.
【点睛】本题考查直线关于点，直线对称方程问题，通过光线射向轴并反射，以及反射后经过一个点，通过点斜式求得反射光线所在直线方程，属于基础题.
42．1或
【分析】利用点到直线的距离公式列方程即可得出．
【详解】两点，到直线的距离相等，
，化为．
，
解得或．
故答案为：1或．
43．2x＋y－4＝0
【分析】设直线系方程，然后通过斜率确定参数即可.
【详解】设所求直线方程为3x－y＋4＋λ(x＋y－4)＝0，
即(3＋λ)x＋(λ－1)y＋4－4λ＝0，所以k＝＝－2，解得λ＝5
∴所求直线方程为2x＋y－4＝0．
44．
【分析】利用平行线间的距离公式可求得结果.
【详解】两条平行线和间的距离为.
故答案为：.
45．
【解析】将直线方程联立求出交点，再利用两点间的距离公式即可求解.
【详解】联立解得，故，
则．
故答案为：
46．4，或
【分析】就三条直线中有两条平行或它们交于一点可得的值.
【详解】①当直线平行于时，.
②当直线平行于时，.
③当直线平行于时，，无解.
④当三条直线经过同一个点时，
把直线与的交点的坐标代入的方程，
得，解得或.
综上，满足条件的的值为4，或.
故答案为：4，或.
【点睛】本题考查直线与直线的位置关系，一般地，如果 ，那么或重合等价于；如果等价于，本题属于基础题.
47．
【分析】先确定直线的定点，其关于点(2，3)对称的点一定在直线上，即得定点坐标，再利用对称性判断与两定点连线垂直时距离最大，计算即可.
【详解】直线恒过定点，直线与直线关于点(2，3)对称，故点关于点(2，3)对称的点为一定在直线上，故直线恒过定点；
根据对称性知两条直线平行，当其垂直直线AB时，距离最大，为.
故答案为：；.
48．
【解析】在对称的直线方程上任取一点，根据点对称性可得在直线上，代入即可求解.
【详解】设直线关于点对称的直线方程为，
在上任取一点，
则点关于点对称的点的坐标为，
由题意可知点在直线上，
故，整理可得.
故答案为：
【点睛】本题考查了直线关于点对称问题，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.
49．
【分析】在直线上取点，，则M，N关于点对称的点分别为，再将这两点坐标代入直线中可求出的值.
【详解】在直线上取点，，M，N关于点对称的点分别为.
点在直线上，
，解得，
.
故答案为：
【点睛】此题考查直线的对称问题，考查数学转化思想和计算能力，属于基础题
50．
【解析】将直线方程化为，令即可求解；设的坐标是
，由，解方程即可.
【详解】由，
则，
令，则，，
所以点，
设的坐标是，
则，解得，，
所以点的坐标是.
故答案为：；
51．
【分析】利用直线垂直求出对称轴斜率，利用中点坐标公式求出中点，再由点斜式可得结果.
【详解】求得，
∵点，关于直线l对称，
∴直线l的斜率1，
直线l过AB的中点，
∴直线l的方程为，
即.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查直线垂直的性质，考查了直线点斜式方程的应用，属于基础题.
52．
【分析】通过直线平行求出，然后利用平行线之间的距离求出结果即可．
【详解】直线与直线平行，
所以，
直线与直线的距离为
．
故答案为：．
53．.
【分析】把的最小值转化为点到直线距离的平方，结合点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】由于表示点与直线上的点的距离的平方，
转化的最小值为点到直线距离的平方，
由点到直线的距离公式，可得，
所以的最小值为.
故答案为：.
54．
【分析】由条件有，可得，由两点间的距离可得答案.
【详解】直线的斜率为1，过点和的直线与直线平行
所以，即
所以
故答案为：
【点睛】本题考查两直线平行的条件的应用，求两点间的距离，属于基础题.
55．二
【分析】联立两直线的方程，求得交点坐标，再根据m＞4判断.
【详解】由题意得,
解得 ,
因为m＞4,
所以,
所以两直线交点在第二象限.
故答案为：二
56．
【分析】设点P(x，0)，由|PA|＝|PB|，利用两点间距离公式求解.
【详解】设点P(x，0)，则有|PA|＝＝，
|PB|＝＝.
由|PA|＝|PB|，得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，
解得x＝－，即所求点P为.
故答案为：
57．
【分析】先联立两直线的方程，求得交点坐标，再根据交点在第三象限求解.
【详解】由得
所以两直线的交点坐标为.
又此交点在第三象限，
所以
解得m＜，
所以实数m的取值范围是.
故答案为：
58．
【分析】根据两点间距离公式列方程即可求解.
【详解】因为与两点间的距离是17，
所以，解得：，
故答案为：.
59．
【分析】将点分别代入两条直线的方程可得的值，进而可得的值.
【详解】因为为直线与直线的交点，
所以，解得，所以，
故答案为：.
60．(－4，－1)
【分析】设对称点的坐标为，根据点P关于直线对称，列出方程组，即可求解.
【详解】设对称点的坐标为，则，解得，
所以所求对称点的坐标为．
【点睛】本题主要考查了点关于直线的对称点的求解问题，其中解答中根据点关于直线对称，列出相应的不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
61．
【解析】先根据直线垂直得，再联立方程即可得答案.
【详解】解：根据两条直线垂直的充要条件得：，解得，
所以，与直线联立方程解方程得：，.
所以与的交点坐标是.
故答案为：
【点睛】对于直线（不同时为零），直线（不同时为零）；
当直线时，等价于；
当直线时，等价于；
62．2
【分析】设出C的坐标，求出两个向量的坐标，据已知条件中的向量关系列出方程，求出点C的坐标，将C代入直线方程，求出a.
【详解】设C(x，y)，则=(x-7，y-1)，
=(1-x，4-y).
因为=2，
所以解得所以C(3，3).
又C点在直线y=ax上，
故3=a，得a=2.
故答案为2.
【点睛】本题考查向量坐标的求法,考查了两个向量相等则它们的坐标相同的求法．
63．
【分析】利用斜率计算公式、斜率与倾斜角的关系及其单调性即可得出．
【详解】直线的方程可化为，
当，
所以直线经过定点，
，．
直线与线段相交，
①当时满足条件．
②当时，则或，解得：且；
综上可得：.
故答案为：
【点睛】本题考查了斜率计算公式、斜率与倾斜角的关系及其单调性，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
64．或
【分析】设点P的坐标为，则由题意得，解之可得t值．
【详解】设点P的坐标为，则，
解之得．
∴点P的坐标为或．
【点睛】本题考查点到直线的距离公式的应用，以及两点间的距离公式的应用，是基础题．
65．（1）交点坐标为，图形见解析；（2）交点坐标为，图形见解析.
【分析】（1）联立两直线的方程，可得出交点坐标，并作出图形；
（2）联立两直线的方程，可得出交点坐标，并作出图形.
【详解】（1）联立，解得，交点为，如下图所示：
（2）联立，解得，交点为，如下图所示：
66．（1）8；（2）3；（3）2；（4）．
【分析】（1）（2）（3）（4）直接利用两点的距离公式求解；
【详解】（1）|AB|＝6+2＝8；
（2）|CD|＝﹣1+4＝3；
（3）|PQ|2；
（4）|MN|．
67．（1）；（2）.
【分析】（1）设为所求直线上一点，其关于点对称的点为在直线上，根据中点坐标公式，得到代入直线的方程，即可得出结果；
（2）记直线与轴交点为，与轴交点为，先分别求出其坐标，再得到中点坐标，根据重心的性质，即可得出结果.
【详解】（1）设为所求直线上一点，其关于点对称的点为在直线上，
则，所以，又，所以，
整理得，
即所求直线方程为：；
（2）记直线与轴交点为，与轴交点为，
由，令得，即；令得，即，
又原点为，记中点为，则，连接，则三角形的重心点在线段上， 且满足，设，
则，所以，即.
【点睛】本题主要考查求直线关于点对称的直线方程，考查求三角形重心的坐标，属于常考题型.
68．（Ⅰ）；（Ⅱ）
【分析】（Ⅰ）求出两直线的交点M，根据两点求出直线l的斜率，利用点斜式即可求解.
（Ⅱ）设出直线l的截距式方程，表示出的面积
【详解】（Ⅰ），解得，
所以点，
若l经过点，则直线的斜率，
所以直线l的方程为，
整理可得.
（Ⅱ）直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，
不妨设直线l的方程为，即，
即，解得，
当且仅当时取等号.
所以，
此时直线l方程为，即.
故存在使面积最小的直线l ，直线l方程为.
69．证明见解析
【分析】结合图形，设A、B、C三点的坐标，再根据题意和两点间距离公式即可证明.
【详解】取BC边所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，如图
设，(其中)，则
，
所以，即证.
70．（1）△ABC是以A为直角顶点的直角三角形；（2）5．
【分析】（1）利用两点间的距离公式求出的值，再由勾股定理的逆定理判断即可；或求出直线、的斜率，利用斜率的关系判断即可；
（2）直接直角三角形的两直角边求面积即可
【详解】2、（1）如图所示，△ABC为直角三角形，下面进行验证．
法一：∵，，
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，即△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．
法二：∵．
∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC．
∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．
（2）由（1）中法一得|AB|＝2，|AC|＝．
又∵∠A＝90°，∴S△ABC＝|AB||AC|＝×2×＝5．
71．（1）；（2）0；（3）
【分析】由点到直线的距离公式对各小题进行计算即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
72．（1）相交，；（2）重合；（3）平行
【分析】（1）联立，解得即可；
（2）l1：2x﹣6y+4＝0化为与直线l2方程相同；
（3）l1与l2的方程都化为斜截式，即可判断出．
【详解】（1）联立，解得x，y，其交点为．
（2）l1：2x﹣6y+4＝0化为与直线l2重合；
（3）l1：（1）x+y＝3，化为y＝（1）x+3；
l2：x+（1）y＝2化为y＝（1）x，
∴两条直线的斜率相等而在y轴上的截距不等．
∴l1//l2．
73．（1）；（2）．
【分析】（1）设所求直线，求出直线上任一点的对称点坐标，代入求出参数即可得；
（2）求出已知两直线和的交点坐标，在求出直线上另一点关于直线的对称点坐标，由交点和对称点可得直线方程．
【详解】（1）设所求直线，在直线上取一点，则关于点的对称点在直线上，代入得：，所求直线方程为．
（2）由，解得，的交点，
是直线的点，它关于直线的对称点为，
则，解得，所以，则都在直线上，所以所在直线为，故直线的方程为．
【点睛】方法点睛：本题考查求关于点或直线对称的直线方程，解题方法如下：
（1）直线关于直线外的一点对称的直线与已知直线平行；
（2）直线与关于直线对称，需要用到点关于直线对称，两点关于直线对称，则应用两个条件求解：直线与垂直；线段的中点在直线上．另外，如果，则，如果与相交于点，则直线也过点．
74．（1）；（2）
【解析】（1）求出直线与直线平行时，直线的斜率，由斜率公式以及题设条件确定实数的取值范围；（2）首先求直线的斜率不存在时的面积，当直线的斜率存在时，设出直线方程，求出直线斜率的范围，联立直线与的方程，求出点的坐标，由三角形面积公式，结合判别式法，求出的最小值，及此时直线方程.
【详解】（1）当直线与直线平行时，不能构成，此时，解得：，所以，又因为点在轴正半轴上，且直线与定直线再第一象限内交于点，所以.
（2）当直线的斜率不存在时，即,，此时,
当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ，由于直线的斜率存在，所以，且，
又，或，
由，得，即，
则，
即，
当时，，
整理得，得，即的最小值为3，
此时，解得：，
则直线的方程为
即
【点睛】本题主要考查直线与直线的位置关系，求参数的取值范围，重点考查计算能力，属于中档题型.
75．（1）A′；（2）9x－46y＋102＝0；（3）2x－3y－9＝0.
【解析】（1）直接设出点，利用垂直和中点坐标，列方程求解；（2）首先直线过直线和的交点，再转化为一点关于直线的对称点，利用两点求直线方程；（3）法一，转化为点关于点的对称点，求直线方程，法二，设Q(x，y)为l′上任意一点，利用对称性求关于的方程.
【详解】（1）设A′(x，y)，
则解得即A′.
（2）在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点必在m′上．
设对称点为M′(a，b)，则
解得即M′.
设m与l的交点为N，则由得N(4，3)．
又m′经过点N(4，3)，
∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
（3）法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如P(1，1)，N(4，3)，则P，N关于点A的对称点P′，N′均在直线l′上．
易知P′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.
法二：设Q(x，y)为l′上任意一点，
则Q(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为Q′(－2－x，－4－y)，
∵Q′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，
即2x－3y－9＝0.
【点睛】方法点睛：与直线有关的对称问题的求解规律：
1.点关于点对称，利用中点坐标得到对称点的关系式，；
2.直线关于点对称，两直线平行，斜率相等，再在已知直线上取点，再求点关于对称点的对称点，求直线方程；
3.点关于直线对称，两对称点的连线与对称轴垂直，两对称点的对称中心在对称轴上，列式求解对称点；
4.直线关于直线的对称，若两直线相交，则三条直线交于一点，再转化为求点关于直线的对称点；
5.若两直线平行，则三条直线都平行，由平行直线系和两条平行线间的距离即可求出直线的对称直线.
76．（1）；（2）或.
【解析】（1）的中点的运动轨迹为与、平行且在它们中间的直线得其斜率，再求两直线在y轴中点的坐标可得答案.
（2）设的直线方程，分别于、联立，解得交点坐标，再利用两点之间的距离公式可得斜率，然后根据点斜式方程求得答案.
【详解】（1）因为、两点分别在直线、上运动，
所以的中点的轨迹为与、平行且在它们中间的直线，
设其方程为，
、与y轴的交点分别为、，两点的中点为，
且中点在直线，所以，所以，
的中点到原点的最短距离即为原点到直线的距离，为.
（2）过点且与x轴垂直的直线方程为，
与、的交点为和，两点之间的距离为不符合题意，
所以设的斜率为，直线方程为，
由直线与 即，交点为为，
由直线与 即，交点为
所以两交点之间的距离为，
解得，或，
所求直线方程为，或，
即或.
【点睛】本题考查两条直线的位置关系，两条平行直线之间的距离的问题.
77．（1）；（2）或．
【分析】（1）先求得直线的倾斜角，由此求得直线的倾斜角和斜率，进而求得直线的方程；
（2）设出直线的方程，根据点到直线的距离列方程，由此求解出直线的方程．
【详解】解（1）直线的倾斜角为，
∴直线的倾斜角为，斜率为，
又直线过点，
∴直线的方程为，即；
（2）设直线的方程为，则点到直线的距离
，
解得或
∴直线的方程为或
78．（1） （2）（3）
【分析】（1）求出关于轴的对称点，进而可以求出反射光线所在直线，从而可以求出，求出即可；（2）将代入线段中，结合关于轴的对称点，可求出反射光斜率的取值范围；（3）分析可知反射光与直线垂直时，光所走过的路程最短，可求出反射光线所在直线的方程，进而求出反射直线与的交点，然后分别讨论交点在线段上与不在线段上，可求出对应的最短路程．
【详解】（1）关于轴的对称点，
，则此时
所以光所走过的路程即
（2）对于线段，令其端点
则， 所以反射光斜率的取值范围是
（3）若反射光与直线垂直，光所走过的路程最短，则由
①当，即时，光所走过的最短路程为点到直线的距离，
所以路程；
②当，即时，光所走过的最短路程为线段，其中
所以
综上：
【点睛】本题考查了直线的方程，考查了点关于直线的对称问题，考查了斜率问题，距离问题，属于中档题．
79．（1）；（2）或2；（3）
【解析】(1)求出,点P到直线的距离,利用勾股定理,求的值;
(2)直线OA的方程为 ,求出到直线的距离,利用勾股定理求出,利用 的面积为,求k的值;
(3)设直线OA的倾斜角为,求出, ,利用,可得P变化时,动点 T轨迹方程,求出,即可求的取值范围.
【详解】（1）， ，
若，则， 的方程为，即，
则点到直线的距离为，
；
（2）直线OA的方程为,到直线的距离为 ,
,
的面积为,
或2；
（3）设, ,,, ,,
设直线OA的倾斜角为,则， ,
根据题意得，解得 ，
代入，
化简得动点T轨迹方程为.
,
当且仅当时, 取得最小值.
的取值范围是 .
【点睛】本题考查三角形面积，考查轨迹方程，解题的关键是正确利用图形关系，得出三角形面积的表达式.
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【夯实基础】2023-2024高二数学同步限时训练（新人教A版2019）专题07 直线的交点坐标与距离公式
一、单选题
1．过点和点的直线与直线垂直，则（ ）
A． B．4 C． D．2
2．以A（–1，1）、B（2，–1）、C（1，4）为顶点的三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．以A点为直角顶点的直角三角形 D．以B点为直角顶点的直角三角形
3．已知点，，点在轴上，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
4．点关于直线的对称的点坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．点到直线的距离是（ ）
A． B． C．1 D．
6．两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等于（ ）
A． B． C． D．
7．斜率为2，且过直线和直线交点的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
8．点(2，1)到直线l：x－2y＋2＝0的距离为（ ）
A． B．
C． D．0
9．若直线x＋3y－9＝0与直线x＋3y－c＝0的距离为，则c的值为（ ）
A．－1 B．19
C．－1或19 D．1或－19
10．直线x－2y＋3＝0与2x－y＋3＝0的交点坐标为（ ）
A．(－1，1) B．(1，－1)
C．(1，1) D．(－1，－1)
11．若直线l1：y＝kx＋1与l2：x－y－1＝0的交点在第一象限内，则k的取值范围是（ ）
A．(1，＋∞) B．(－1，1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)
12．若在直线上有一点P，它到点和的距离之和最小，则该最小值为（ ）
A． B． C． D．
13．已知三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．
14．已知△ABC的三个顶点是A(－a，0)，B(a，0)和C，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．斜三角形
15．直线y＝4x﹣5关于点P（2，1）对称的直线方程是（ ）
A．y＝4x+5 B．y＝4x﹣5 C．y＝4x﹣9 D．y＝4x+9
16．与直线关于坐标原点对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
17．如果关于直线的对称点为，则直线的方程是( )
A．
B．
C．
D．
18．直线关于原点对称的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
19．已知直线过定点，则点关于对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
20．已知点和，在轴上求一点，使得最小，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
21．直线与的交点在第四象限，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
22．若过点A(3，a)和点B(4，b)的直线与y＝2x＋3平行，则|AB|的值为（ ）
A．3 B．
C．5 D．
23．点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点为(3，4)，则|AB|等于（ ）
A．10 B．5
C．8 D．6
24．点P(-1，-1)到直线的距离为（ ）
A．0 B．1 C． D．2
25．在直线上求点，使点到的距离为，则点坐标是（ ）
A． B． C．或 D．或
26．点P在直线x＋y－4＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值为（ ）
A． B．2
C． D．2
27．已知直线恒经过定点，则点到直线的距离是（ ）
A．6 B．3 C．4 D．7
28．点关于直线对称的点 的坐标是
A． B． C． D．
29．已知点与点关于直线对称，则点的坐标为
A． B． C． D．
30．直线关于对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
31．直线与直线交于点，则点到直线的最大距离为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
32．(多选)已知三条直线x－2y＝1，2x＋ky＝3，3kx＋4y＝5相交于一点，则k的值为（ ）
A．－ B．－1 C．1 D．
33．(多选)若点A(a，1)到直线3x－4y＝1的距离为1，则a的值为（ ）
A．0 B．
C．5 D．－
34．（多选）等腰直角三角形的直角顶点为，若点A的坐标为，则点B的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
35．已知直线，，则（ ）
A．恒过点 B．若，则
C．若，则 D．当时，不经过第三象限
36．当0＜k＜时，直线l1：kx－y－k＋1＝0与直线l2：ky－x－2k＝0的交点可能是（ ）
A．(2，3) B．(1，2)
C． D．
37．已知直线，，，以下结论正确的是（ ）
A．不论为何值时，与都互相垂直；
B．当变化时，与分别经过定点和
C．不论为何值时，与都关于直线对称
D．如果与交于点M，则的最大值是
三、填空题
38．点到直线的距离为_____.
39．直线与关于点成中心对称，若的方程是，则的方程是__________
40．点关于直线的对称点是______.
41．一条光线从点出发射向轴，经过轴上的点反射后经过点，则点的坐标为______.
42．已知，到直线的距离相等，则实数a为________.
43．斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为______________．
44．两条平行线和的距离为_____.
45．若直线与交于点A，且，则___________．
46．直线和不能构成三角形，则的值为____________.
47．若直线与直线关于点(2，3)对称，则直线恒过定点的坐标为___________，直线与的距离的最大值是___________.
48．直线关于点对称的直线方程为____________.
49．已知直线与关于点对称，则______.
50．已知直线过定点，则点的坐标是___________，点关于直线的对称点的坐标是__________.
51．若点，关于直线l对称，那么直线l的方程为________.
52．两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________.
53．已知满足，求的最小值__.
54．过点和的直线与直线平行，则的值为_______．
55．在直线5x＋4y＝8＋m和直线3x＋2y＝6中，当m＞4时，两直线交点在第________象限．
56．已知点A(－3，4)，B(2，)在x轴上有一点P，使|PA|＝|PB|，则P点坐标为________．
57．若直线5x＋4y－2m－1＝0与直线2x＋3y－m＝0的交点在第三象限，则实数m的取值范围是________．
58．已知与两点间的距离是17，则的值为____________．
59．若为直线与直线的交点，则的值为_________
60．点P(2,5)关于直线x＋y＝1的对称点的坐标是____________．
61．已知直线与直线垂直，那么与的交点坐标是______________.
62．已知A(7，1)、B(1，4)，直线y=ax与线段AB交于C，且=2，则实数a等于________
63．已知直线l的方程是，，，若直线l与线段相交，则实数m的取值范围是______.
四、解答题
64．在直线上求一点P，使它到原点的距离与到直线的距离相等．
65．求下列两条直线的交点坐标，并画出图形：
（1），；
（2），．
66．求下列两点间的距离：
（1），；（2），；
（3），；（4），．
67．已知点，直线：.
（1）求直线关于点对称的直线方程；
（2）求直线与两坐标轴围成的三角形的重心坐标.
68．已知直线l经过直线与的交点M．
（Ⅰ）若l经过点，求l的方程；
（Ⅱ）若直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，O为原点，是否存在使面积最小的直线l？若存在，求出直线l方程；若不存在，请说明理由．
69．已知AO是边BC的中线，用坐标法证明．
70．已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1，－1)，B(－1，3)，C(3，0)．
（1）判断△ABC的形状；
（2）求△ABC的面积．
71．求下列点到直线的距离：
（1），；
（2），；
（3），．
72．判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标：
（1），；
（2），；
（3），．
73．根据条件求直线方程．
（1）已知直线，求其关于对称的直线的直线方程；
（2）求直线关于直线对称的直线的方程．
74．已知直线l过点P(2，3)且与定直线l0：y=2x在第一象限内交于点A，与x轴正半轴交于点B，记 的面积为S( 为坐标原点)，点B(a，0).
（1）求实数a的取值范围；
（2）求当S取得最小值时，直线l的方程.
75．已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
（1）点A关于直线l的对称点A′的坐标；
（2）直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
（3）直线l关于点A对称的直线l′的方程．
76．已知直线与.
（1）若、两点分别在直线、上运动，求的中点到原点的最短距离；
（2）若，直线过点，且被直线、截得的线段长为，求直线的方程.
77．已知直线过点，且其倾斜角是直线的倾斜角的
（1）求直线的方程；
（2）若直线与直线平行，且点到直线的距离是，求直线的方程．
78．一束光从从光源射出，经轴反射后（反射点为），射到线段上处.
（1）若，，求光从出发，到达点时所走过的路程；
（2）若，求反射光的斜率的取值范围；
（3）若，求光从出发，到达点时所走过的最短路程.
79．如图，射线，所在直线的方向向量分别为， ，点在内，于， 于.
（1）若，，求 的值；
（2）若，的面积是 ，求的值；
（3）已知为常数，，的中点为，且，当 变化时，求的取值范围.
参考答案：
1．C
【解析】根据两直线垂直可得，根据两点间的距离公式可得结果.
【详解】因为过点和点的直线与直线垂直，
所以，即，
所以.
故选：C
2．C
【分析】算出后利用勾股定理可判断的形状.
【详解】，，
，
故，所以为直角三角形且以为直角顶点.
故选C.
【点睛】本题考查两点间距离公式及其应用，应用该公式计算时注意坐标的正确代入，此类问题属于基础题.
3．B
【分析】利用对称性，结合两点间线段最短进行求解即可.
【详解】点，，点在轴上，
点关系轴的对称点为，
.
故选：B.
4．B
【解析】设出点关于直线的对称的点为，根据中点坐标公式和两直线垂直时斜率之间的关系，列出方程组，解方程组即可.
【详解】设点关于直线的对称的点为，根据对称性的性质有：
，
所以点关于直线的对称的点坐标为.
故选：B
【点睛】本题考查了求点关于线对称的点的坐标，考查了中点坐标公式，考查了两直线垂直斜率之间的关系，考查了数学运算能力.
5．A
【解析】直接利用点到直线的距离公式求解即可
【详解】解：点到直线的距离为
，
故选：A
6．C
【分析】l1的方程可化为9x＋12y－6＝0，再由平行线间的距离公式可得答案.
【详解】l1的方程可化为9x＋12y－6＝0，
又l2：9x＋12y－10＝0，
所以，由平行线间的距离公式得，
两条平行线间的距离d＝＝.
故选：C.
7．A
【解析】求出两直线的交点坐标，根据点斜式可得结果.
【详解】联立，解得，所以两直线的交点坐标为，
所求直线方程为.整理为.
故选：A
【点睛】本题考查了求两直线的交点，考查了直线方程的点斜式，属于基础题.
8．B
【分析】直接运用点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】点(2，1)到直线l：x－2y＋2＝0的距离为，
故选：B
9．C
【分析】由题意利用两条平行线间的距离公式，可的c的值．
【详解】由两平行线间的距离公式得，
d＝＝，
所以| c－9|＝10，得c＝－1或c＝19．
故选：C.
10．A
【分析】联立两直线方程求解.
【详解】由
解得
所以直线x－2y＋3＝0与2x－y＋3＝0的交点坐标为(－1，1)
故选：A
11．B
【分析】联立直线方程求出焦点坐标，根据交点在第一象限列出不等式可求出.
【详解】联立直线方程，解得，
∵直线的交点在第一象限，，∴解不等式组可得.
故选：B．
12．C
【解析】求出关于直线对称的点为，则，从而得出答案.
【详解】点关于直线对称的点为,如图
则,所以
当且仅当三点共线时取得等号.
故选：C
13．D
【分析】根据题意得到直线与直线和直线分别平行时或直线过直线和直线的交点时，三条直线不能构成三角形，再分别计算相应的值即可.
【详解】由题知：
①当直线与直线平行时，三条直线不能构成三角形.
即.
②当直线与直线平行时，三条直线不能构成三角形.
即.
③当直线过直线与直线交点时，
三条直线不能构成三角形.
所以，解得，
将代入，解得.
所以实数的取值集合为.
故选：D.
14．C
【分析】先求出直线，的斜率，从而可得kAC·kBC＝－1，再求出,进而可得三角形的形状
【详解】因为kAC＝＝，kBC＝＝－，kAC·kBC＝－1，所以AC⊥BC.
又AC＝＝a，|BC|＝＝a，
所以△ABC为直角三角形．
故选：C
15．C
【分析】设直线上的点关于点的对称点的坐标为，求出，，再代入直线中即可得到对称直线的方程.
【详解】设直线上的点关于点的对称点的坐标为，
所以，，所以，，
将其代入直线中，得到，化简得，
故选：C．
【点睛】本题主要考查的知识要点：直线的方程和中点坐标公式，属于基础题.
16．D
【解析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可.
【详解】设所求对称直线上任意一点的坐标为，则关于原点对称点的坐标为，该点在已知的直线上，则，即.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了直线关于点对称问题，考查运算能力，属于基础题.
17．A
【详解】因为已知点关于直线的对称点为，
故直线为线段的中垂线，
求得的中点坐标为，
的斜率为，故直线的斜率为，
故直线的方程为，即.
故选：A.
18．A
【解析】由直线上任意两点，求出其关于原点对称的点，再求出斜率，进而得出所求方程.
【详解】点在直线上，则在所求直线上
所求直线的斜率，则所求直线方程为
故选：A
19．A
【解析】根据直线方程得到定点A的坐标，设其关于的对称点坐标，列出方程组，解之即可.
【详解】直线即，故，
设点关于的对称点坐标为．
则解得．
点关于的对称点坐标为．
故选：A．
20．D
【分析】利用对称知识得到点关于轴的对称点为，连接，根据和的坐标求得直线的方程，求出它与轴交点坐标即为的坐标．
【详解】解：找出点关于轴的对称点，连接，
与轴的交于点，连接，此时为最短，
由与关于轴对称，，
所以，又，
则直线的方程为
化简得：，令，解得，所以
故选：D．
【点睛】此题考查学生灵活运用对称的性质解决实际问题，会求直线与轴的交点坐标，是一道中档题．
21．C
【解析】联立方程可直接求出交点坐标，令交点的横坐标大于零，纵坐标小于零，解不等式组即可.
【详解】解：直线与的交点在第四象限，
，
联立方程： ，
解得，
即，
解得：.
故选：C.
22．D
【分析】先根据过点A(3，a)和点B(4，b)的直线与y＝2x＋3平行求得a与b的关系，再利用两点间的距离公式求解.
【详解】由题意得＝2，即b－a＝2.
所以|AB|＝.
故选：D
23．A
【分析】根据A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点为(3，4)，先得到A，B的坐标，再利用两点间距离公式求解.
【详解】由题意得A(6，0)，B(0，8)，
所以|AB|＝.
故选：A
24．B
【分析】由点到直线距离公式求解.
【详解】由点到直线的距离公式可得，
，
故选：B
25．C
【分析】设，根据点到的距离为和点在直线上，两式联立求解.
【详解】设，
所以，
即，
又因为点在直线上，
所以，
两式联立解得 或，
所以点坐标是或.
故选：C
【点睛】本题主要考查两点间的距离公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
26．B
【分析】根据垂线段最短求解．
【详解】点到的距离为：，
所以的最小值为．
故选：B.
27．B
【分析】把直线方程整理为关于的方程，由恒等式知识求得定点坐标，然后由点到直线距离公式求解．
【详解】由直线方程变形为：，
由，解得，
所以直线恒经过定点，
故点到直线的距离是，
故选：B.
28．C
【详解】设点，则线段的中点为，
又点在直线上，
所以 因为直线，，所以 .联立，解得，.
故选C.
点睛：本题考查对称问题，得出中点在直线且连线与已知直线垂直是解决问题的关键，属中档题；点关于直线成轴对称问题，由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”，利用“垂直”即斜率关系，“平分”即中点在直线上这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标．
29．D
【解析】根据对称列式求解.
【详解】设,则，选D.
【点睛】本题考查关于直线对称点问题，考查基本分析求解能力，属基础题.
30．A
【分析】利用点关于直线对称点的求法可求得直线上一点关于直线的对称点，代入直线中即可得到对称直线方程.
【详解】设直线上一点关于直线对称点的坐标为，
则，整理可得：，，
即直线关于对称的直线方程为：.
故选：A.
【点睛】方法点睛：本题考查直线关于对称轴的对称直线的求解，解决思路是将直线上一点坐标，利用其关于对称轴的对称点坐标表示出来，代入原直线即可，核心依然是求解点关于直线的对称点的求解. 求解点关于直线的对称点的基本方法如下：
①与连线与直线垂直，即；
②中点在直线上，即；
③与到直线的距离相等，即；
上述三个等量关系中任选两个构成方程组，即可求得对称点坐标.
31．C
【解析】根据联立直线的方程解出交点P，再得出直线的恒过点，从而求得最大距离得选项．
【详解】由解得，所以，
由，得，令，恒成立，所以直线恒过点，
所以点到直线的最大距离为，
故选：C．
【点睛】方法点睛：求直线恒过点的方法：
方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成，将带入原方程之后，所以直线过定点；
方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点.取两个m的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点.
32．AC
【分析】由任意两个直线方程联立方程组求出交点坐标，再由其会标代入第三个方程中可求出k的值
【详解】解：由，得，
所以三条直线的交点为，
所以，化简得，
解得或，
故选：AC
33．AB
【分析】利用点到直线距离公式求解即可.
【详解】点A(a，1)到直线3x－4y＝1的距离为
故，解得或
故选：AB
34．AC
【分析】设，根据和可求得点坐标．
【详解】设，根据题意可得即
解得或所以或.
故选：AC．
【点睛】本题考查两直线垂直的条件，考查两点间距离公式，属于基础题．
35．BD
【分析】A.直线写成，判断直线所过的定点；B.若两直线平行，则一定有；C.两直线垂直，根据公式有；D.根据直线不经过第三象限，求实数的取值范围.
【详解】，
当，即，即直线恒过点，故A不正确；
若，则有 ，解得：，故B正确；
若，则有，得，故C不正确；
若直线不经过第三象限，则当时，， ，解得：，
当时，直线，也不过第三象限，
综上可知：时，不经过第三象限，故D正确.
故选：BD
36．CD
【分析】首先求交点坐标，根据选项，代入验证.
【详解】联立，得，
，，，即交点在第二象限，
验证C选项，，得，成立，
验证D选项，，得，成立，
故选：CD
37．ABD
【分析】由两直线垂直的判定方法判断A；根据直线过定点的求解方法判断B；设上一点，其关于对称的点是否在上，判断C；联立两直线方程可求得，利用两点间距离公式表示出，根据函数最值的求法可求得的最大值，判断D.
【详解】对于A，恒成立，恒成立，A正确；
对于B，对于直线，当时，恒成立，则过定点；对于直线，当时，恒成立，则恒过定点，B正确；
对于C，在上任取点，关于直线对称的点的坐标为，
代入方程知：不在上，C错误；
对于D，联立，解得：，即，
，即的最大值是，D正确.
故选：ABD.
38．
【分析】利用点到直线的距离公式即可求得结果.
【详解】点到直线的距离.
故答案为：.
39．
【分析】在直线上任取一点，则关于点对称点一定在直线上，故有，化简即得解.
【详解】在直线上任取一点，
则关于点对称点一定在直线上，
故有，即．
故直线的方程为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查直线关于点的对称直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
40．
【分析】利用对称轴的性质布列方程组，即可得到结果.
【详解】设点M（﹣1，1）关于直线l：x﹣y﹣1=0对称的点N的坐标（x，y）
则MN中点的坐标为（，），
利用对称的性质得：KMN==﹣1，且 ﹣﹣1=0，
解得：x=2，y=﹣2，
∴点N的坐标（2，﹣2），
故答案为（2，﹣2）．
【点睛】本题考查求点关于直线的对称点的坐标的方法，利用垂直关系、中点在轴上两个条件以及待定系数法求对称点的坐标．
41．
【分析】首先，根据光线从点射向轴，得到关于轴的对称点，然后根据反射后过点，列点斜式，可求得反射光线的方程，进而可得点的坐标.
【详解】解：根据题意：
关于轴的对称点为
而反射光线直线又过
∴其直线为：
即：，
当时，，即点的坐标为，
故答案为：.
【点睛】本题考查直线关于点，直线对称方程问题，通过光线射向轴并反射，以及反射后经过一个点，通过点斜式求得反射光线所在直线方程，属于基础题.
42．1或
【分析】利用点到直线的距离公式列方程即可得出．
【详解】两点，到直线的距离相等，
，化为．
，
解得或．
故答案为：1或．
43．2x＋y－4＝0
【分析】设直线系方程，然后通过斜率确定参数即可.
【详解】设所求直线方程为3x－y＋4＋λ(x＋y－4)＝0，
即(3＋λ)x＋(λ－1)y＋4－4λ＝0，所以k＝＝－2，解得λ＝5
∴所求直线方程为2x＋y－4＝0．
44．
【分析】利用平行线间的距离公式可求得结果.
【详解】两条平行线和间的距离为.
故答案为：.
45．
【解析】将直线方程联立求出交点，再利用两点间的距离公式即可求解.
【详解】联立解得，故，
则．
故答案为：
46．4，或
【分析】就三条直线中有两条平行或它们交于一点可得的值.
【详解】①当直线平行于时，.
②当直线平行于时，.
③当直线平行于时，，无解.
④当三条直线经过同一个点时，
把直线与的交点的坐标代入的方程，
得，解得或.
综上，满足条件的的值为4，或.
故答案为：4，或.
【点睛】本题考查直线与直线的位置关系，一般地，如果 ，那么或重合等价于；如果等价于，本题属于基础题.
47．
【分析】先确定直线的定点，其关于点(2，3)对称的点一定在直线上，即得定点坐标，再利用对称性判断与两定点连线垂直时距离最大，计算即可.
【详解】直线恒过定点，直线与直线关于点(2，3)对称，故点关于点(2，3)对称的点为一定在直线上，故直线恒过定点；
根据对称性知两条直线平行，当其垂直直线AB时，距离最大，为.
故答案为：；.
48．
【解析】在对称的直线方程上任取一点，根据点对称性可得在直线上，代入即可求解.
【详解】设直线关于点对称的直线方程为，
在上任取一点，
则点关于点对称的点的坐标为，
由题意可知点在直线上，
故，整理可得.
故答案为：
【点睛】本题考查了直线关于点对称问题，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.
49．
【分析】在直线上取点，，则M，N关于点对称的点分别为，再将这两点坐标代入直线中可求出的值.
【详解】在直线上取点，，M，N关于点对称的点分别为.
点在直线上，
，解得，
.
故答案为：
【点睛】此题考查直线的对称问题，考查数学转化思想和计算能力，属于基础题
50．
【解析】将直线方程化为，令即可求解；设的坐标是
，由，解方程即可.
【详解】由，
则，
令，则，，
所以点，
设的坐标是，
则，解得，，
所以点的坐标是.
故答案为：；
51．
【分析】利用直线垂直求出对称轴斜率，利用中点坐标公式求出中点，再由点斜式可得结果.
【详解】求得，
∵点，关于直线l对称，
∴直线l的斜率1，
直线l过AB的中点，
∴直线l的方程为，
即.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查直线垂直的性质，考查了直线点斜式方程的应用，属于基础题.
52．
【分析】通过直线平行求出，然后利用平行线之间的距离求出结果即可．
【详解】直线与直线平行，
所以，
直线与直线的距离为
．
故答案为：．
53．.
【分析】把的最小值转化为点到直线距离的平方，结合点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】由于表示点与直线上的点的距离的平方，
转化的最小值为点到直线距离的平方，
由点到直线的距离公式，可得，
所以的最小值为.
故答案为：.
54．
【分析】由条件有，可得，由两点间的距离可得答案.
【详解】直线的斜率为1，过点和的直线与直线平行
所以，即
所以
故答案为：
【点睛】本题考查两直线平行的条件的应用，求两点间的距离，属于基础题.
55．二
【分析】联立两直线的方程，求得交点坐标，再根据m＞4判断.
【详解】由题意得,
解得 ,
因为m＞4,
所以,
所以两直线交点在第二象限.
故答案为：二
56．
【分析】设点P(x，0)，由|PA|＝|PB|，利用两点间距离公式求解.
【详解】设点P(x，0)，则有|PA|＝＝，
|PB|＝＝.
由|PA|＝|PB|，得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，
解得x＝－，即所求点P为.
故答案为：
57．
【分析】先联立两直线的方程，求得交点坐标，再根据交点在第三象限求解.
【详解】由得
所以两直线的交点坐标为.
又此交点在第三象限，
所以
解得m＜，
所以实数m的取值范围是.
故答案为：
58．
【分析】根据两点间距离公式列方程即可求解.
【详解】因为与两点间的距离是17，
所以，解得：，
故答案为：.
59．
【分析】将点分别代入两条直线的方程可得的值，进而可得的值.
【详解】因为为直线与直线的交点，
所以，解得，所以，
故答案为：.
60．(－4，－1)
【分析】设对称点的坐标为，根据点P关于直线对称，列出方程组，即可求解.
【详解】设对称点的坐标为，则，解得，
所以所求对称点的坐标为．
【点睛】本题主要考查了点关于直线的对称点的求解问题，其中解答中根据点关于直线对称，列出相应的不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
61．
【解析】先根据直线垂直得，再联立方程即可得答案.
【详解】解：根据两条直线垂直的充要条件得：，解得，
所以，与直线联立方程解方程得：，.
所以与的交点坐标是.
故答案为：
【点睛】对于直线（不同时为零），直线（不同时为零）；
当直线时，等价于；
当直线时，等价于；
62．2
【分析】设出C的坐标，求出两个向量的坐标，据已知条件中的向量关系列出方程，求出点C的坐标，将C代入直线方程，求出a.
【详解】设C(x，y)，则=(x-7，y-1)，
=(1-x，4-y).
因为=2，
所以解得所以C(3，3).
又C点在直线y=ax上，
故3=a，得a=2.
故答案为2.
【点睛】本题考查向量坐标的求法,考查了两个向量相等则它们的坐标相同的求法．
63．
【分析】利用斜率计算公式、斜率与倾斜角的关系及其单调性即可得出．
【详解】直线的方程可化为，
当，
所以直线经过定点，
，．
直线与线段相交，
①当时满足条件．
②当时，则或，解得：且；
综上可得：.
故答案为：
【点睛】本题考查了斜率计算公式、斜率与倾斜角的关系及其单调性，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
64．或
【分析】设点P的坐标为，则由题意得，解之可得t值．
【详解】设点P的坐标为，则，
解之得．
∴点P的坐标为或．
【点睛】本题考查点到直线的距离公式的应用，以及两点间的距离公式的应用，是基础题．
65．（1）交点坐标为，图形见解析；（2）交点坐标为，图形见解析.
【分析】（1）联立两直线的方程，可得出交点坐标，并作出图形；
（2）联立两直线的方程，可得出交点坐标，并作出图形.
【详解】（1）联立，解得，交点为，如下图所示：
（2）联立，解得，交点为，如下图所示：
66．（1）8；（2）3；（3）2；（4）．
【分析】（1）（2）（3）（4）直接利用两点的距离公式求解；
【详解】（1）|AB|＝6+2＝8；
（2）|CD|＝﹣1+4＝3；
（3）|PQ|2；
（4）|MN|．
67．（1）；（2）.
【分析】（1）设为所求直线上一点，其关于点对称的点为在直线上，根据中点坐标公式，得到代入直线的方程，即可得出结果；
（2）记直线与轴交点为，与轴交点为，先分别求出其坐标，再得到中点坐标，根据重心的性质，即可得出结果.
【详解】（1）设为所求直线上一点，其关于点对称的点为在直线上，
则，所以，又，所以，
整理得，
即所求直线方程为：；
（2）记直线与轴交点为，与轴交点为，
由，令得，即；令得，即，
又原点为，记中点为，则，连接，则三角形的重心点在线段上， 且满足，设，
则，所以，即.
【点睛】本题主要考查求直线关于点对称的直线方程，考查求三角形重心的坐标，属于常考题型.
68．（Ⅰ）；（Ⅱ）
【分析】（Ⅰ）求出两直线的交点M，根据两点求出直线l的斜率，利用点斜式即可求解.
（Ⅱ）设出直线l的截距式方程，表示出的面积
【详解】（Ⅰ），解得，
所以点，
若l经过点，则直线的斜率，
所以直线l的方程为，
整理可得.
（Ⅱ）直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，
不妨设直线l的方程为，即，
即，解得，
当且仅当时取等号.
所以，
此时直线l方程为，即.
故存在使面积最小的直线l ，直线l方程为.
69．证明见解析
【分析】结合图形，设A、B、C三点的坐标，再根据题意和两点间距离公式即可证明.
【详解】取BC边所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，如图
设，(其中)，则
，
所以，即证.
70．（1）△ABC是以A为直角顶点的直角三角形；（2）5．
【分析】（1）利用两点间的距离公式求出的值，再由勾股定理的逆定理判断即可；或求出直线、的斜率，利用斜率的关系判断即可；
（2）直接直角三角形的两直角边求面积即可
【详解】2、（1）如图所示，△ABC为直角三角形，下面进行验证．
法一：∵，，
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，即△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．
法二：∵．
∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC．
∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．
（2）由（1）中法一得|AB|＝2，|AC|＝．
又∵∠A＝90°，∴S△ABC＝|AB||AC|＝×2×＝5．
71．（1）；（2）0；（3）
【分析】由点到直线的距离公式对各小题进行计算即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
72．（1）相交，；（2）重合；（3）平行
【分析】（1）联立，解得即可；
（2）l1：2x﹣6y+4＝0化为与直线l2方程相同；
（3）l1与l2的方程都化为斜截式，即可判断出．
【详解】（1）联立，解得x，y，其交点为．
（2）l1：2x﹣6y+4＝0化为与直线l2重合；
（3）l1：（1）x+y＝3，化为y＝（1）x+3；
l2：x+（1）y＝2化为y＝（1）x，
∴两条直线的斜率相等而在y轴上的截距不等．
∴l1//l2．
73．（1）；（2）．
【分析】（1）设所求直线，求出直线上任一点的对称点坐标，代入求出参数即可得；
（2）求出已知两直线和的交点坐标，在求出直线上另一点关于直线的对称点坐标，由交点和对称点可得直线方程．
【详解】（1）设所求直线，在直线上取一点，则关于点的对称点在直线上，代入得：，所求直线方程为．
（2）由，解得，的交点，
是直线的点，它关于直线的对称点为，
则，解得，所以，则都在直线上，所以所在直线为，故直线的方程为．
【点睛】方法点睛：本题考查求关于点或直线对称的直线方程，解题方法如下：
（1）直线关于直线外的一点对称的直线与已知直线平行；
（2）直线与关于直线对称，需要用到点关于直线对称，两点关于直线对称，则应用两个条件求解：直线与垂直；线段的中点在直线上．另外，如果，则，如果与相交于点，则直线也过点．
74．（1）；（2）
【解析】（1）求出直线与直线平行时，直线的斜率，由斜率公式以及题设条件确定实数的取值范围；（2）首先求直线的斜率不存在时的面积，当直线的斜率存在时，设出直线方程，求出直线斜率的范围，联立直线与的方程，求出点的坐标，由三角形面积公式，结合判别式法，求出的最小值，及此时直线方程.
【详解】（1）当直线与直线平行时，不能构成，此时，解得：，所以，又因为点在轴正半轴上，且直线与定直线再第一象限内交于点，所以.
（2）当直线的斜率不存在时，即,，此时,
当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ，由于直线的斜率存在，所以，且，
又，或，
由，得，即，
则，
即，
当时，，
整理得，得，即的最小值为3，
此时，解得：，
则直线的方程为
即
【点睛】本题主要考查直线与直线的位置关系，求参数的取值范围，重点考查计算能力，属于中档题型.
75．（1）A′；（2）9x－46y＋102＝0；（3）2x－3y－9＝0.
【解析】（1）直接设出点，利用垂直和中点坐标，列方程求解；（2）首先直线过直线和的交点，再转化为一点关于直线的对称点，利用两点求直线方程；（3）法一，转化为点关于点的对称点，求直线方程，法二，设Q(x，y)为l′上任意一点，利用对称性求关于的方程.
【详解】（1）设A′(x，y)，
则解得即A′.
（2）在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点必在m′上．
设对称点为M′(a，b)，则
解得即M′.
设m与l的交点为N，则由得N(4，3)．
又m′经过点N(4，3)，
∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
（3）法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如P(1，1)，N(4，3)，则P，N关于点A的对称点P′，N′均在直线l′上．
易知P′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.
法二：设Q(x，y)为l′上任意一点，
则Q(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为Q′(－2－x，－4－y)，
∵Q′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，
即2x－3y－9＝0.
【点睛】方法点睛：与直线有关的对称问题的求解规律：
1.点关于点对称，利用中点坐标得到对称点的关系式，；
2.直线关于点对称，两直线平行，斜率相等，再在已知直线上取点，再求点关于对称点的对称点，求直线方程；
3.点关于直线对称，两对称点的连线与对称轴垂直，两对称点的对称中心在对称轴上，列式求解对称点；
4.直线关于直线的对称，若两直线相交，则三条直线交于一点，再转化为求点关于直线的对称点；
5.若两直线平行，则三条直线都平行，由平行直线系和两条平行线间的距离即可求出直线的对称直线.
76．（1）；（2）或.
【解析】（1）的中点的运动轨迹为与、平行且在它们中间的直线得其斜率，再求两直线在y轴中点的坐标可得答案.
（2）设的直线方程，分别于、联立，解得交点坐标，再利用两点之间的距离公式可得斜率，然后根据点斜式方程求得答案.
【详解】（1）因为、两点分别在直线、上运动，
所以的中点的轨迹为与、平行且在它们中间的直线，
设其方程为，
、与y轴的交点分别为、，两点的中点为，
且中点在直线，所以，所以，
的中点到原点的最短距离即为原点到直线的距离，为.
（2）过点且与x轴垂直的直线方程为，
与、的交点为和，两点之间的距离为不符合题意，
所以设的斜率为，直线方程为，
由直线与 即，交点为为，
由直线与 即，交点为
所以两交点之间的距离为，
解得，或，
所求直线方程为，或，
即或.
【点睛】本题考查两条直线的位置关系，两条平行直线之间的距离的问题.
77．（1）；（2）或．
【分析】（1）先求得直线的倾斜角，由此求得直线的倾斜角和斜率，进而求得直线的方程；
（2）设出直线的方程，根据点到直线的距离列方程，由此求解出直线的方程．
【详解】解（1）直线的倾斜角为，
∴直线的倾斜角为，斜率为，
又直线过点，
∴直线的方程为，即；
（2）设直线的方程为，则点到直线的距离
，
解得或
∴直线的方程为或
78．（1） （2）（3）
【分析】（1）求出关于轴的对称点，进而可以求出反射光线所在直线，从而可以求出，求出即可；（2）将代入线段中，结合关于轴的对称点，可求出反射光斜率的取值范围；（3）分析可知反射光与直线垂直时，光所走过的路程最短，可求出反射光线所在直线的方程，进而求出反射直线与的交点，然后分别讨论交点在线段上与不在线段上，可求出对应的最短路程．
【详解】（1）关于轴的对称点，
，则此时
所以光所走过的路程即
（2）对于线段，令其端点
则， 所以反射光斜率的取值范围是
（3）若反射光与直线垂直，光所走过的路程最短，则由
①当，即时，光所走过的最短路程为点到直线的距离，
所以路程；
②当，即时，光所走过的最短路程为线段，其中
所以
综上：
【点睛】本题考查了直线的方程，考查了点关于直线的对称问题，考查了斜率问题，距离问题，属于中档题．
79．（1）；（2）或2；（3）
【解析】(1)求出,点P到直线的距离,利用勾股定理,求的值;
(2)直线OA的方程为 ,求出到直线的距离,利用勾股定理求出,利用 的面积为,求k的值;
(3)设直线OA的倾斜角为,求出, ,利用,可得P变化时,动点 T轨迹方程,求出,即可求的取值范围.
【详解】（1）， ，
若，则， 的方程为，即，
则点到直线的距离为，
；
（2）直线OA的方程为,到直线的距离为 ,
,
的面积为,
或2；
（3）设, ,,, ,,
设直线OA的倾斜角为,则， ,
根据题意得，解得 ，
代入，
化简得动点T轨迹方程为.
,
当且仅当时, 取得最小值.
的取值范围是 .
【点睛】本题考查三角形面积，考查轨迹方程，解题的关键是正确利用图形关系，得出三角形面积的表达式.
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