专题04 空间向量的应用-【夯实基础】2023-2024高二数学同步限时训练(人教A版2019选择性必修第一册)（含解析)
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| 名称 | 专题04 空间向量的应用-【夯实基础】2023-2024高二数学同步限时训练(人教A版2019选择性必修第一册)（含解析) |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 12.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-13 23:29:28 | ||
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文档简介
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【夯实基础】2023-2024高二数学同步限时训练（新人教A版2019）专题04 空间向量的应用
一、单选题
1．在空间直角坐标系中，若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）
A． B． C．或 D．l与斜交
2．若平面，则下面可以是这两个平面法向量的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若平面，且平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是（ ）
A． B． C． D．
4．下列命题中，正确命题的个数为（ ）
①若分别是平面α，β的法向量，则 α∥β；
②若分别是平面α，β的法向量，则α⊥β ；
③若是平面α的法向量，是直线l的方向向量，若l与平面α平行，则；
④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，在三棱锥中，已知，，平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ）
A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则
C．直线的方向向量，平面的法向量是，则
D．直线的方向向量，平面的法向量是，则
三、填空题
7．在棱长为的正方体中，点是线段上的动点，则点到直线距离的最小值为______
8．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为 .
四、解答题
9．如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=，试建立适当的坐标系.
（1）求平面ABCD的一个法向量；
（2）求平面SAB的一个法向量；
（3）求平面SCD的一个法向量.
10．如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点．
（1）求证：BM∥平面ADEF；
（2）求证：BC⊥平面BDE；
（3）证明：平面BCE⊥平面BDE.
11．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是B1B，DC的中点，求证：AE⊥平面A1D1F.
12．正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、 A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：
（1）平面BDD1B1的一个法向量；
（2）平面BDEF的一个法向量．
13．如图，四边形和三角形所在平面互相垂直，，，，，，，平面与平面交于.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，求二面角余弦值.
14．如图，在四棱锥中，平面，，，底面为直角梯形，，，．
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
15．在等腰梯形中，，，，E为中点，将沿着折起，点C变成点P，此时．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
16．如图，在三棱锥中，与是全等的等边三角形，且平面平面.
（1）证明：；
（2）求与平面所成角的正弦值
17．如图，已知平面，底面为正方形，，分别为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值．
18．如图，在正方体中，E，F分别是面，面的中心．求证：平面．
19．四边形是直角梯形，，平面，，.在如图所示的坐标系中，分别求平面和平面的一个法向量．
20．如图，在长方体中，，，E是CD的中点．求证：平面．
21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BA⊥BC，BA＝BC＝BB1＝2．
（1）求异面直线AB1与A1C1所成角的大小；
（2）若M是棱BC的中点．求点M到平面A1B1C的距离．
22．如图，在长方体中，点E，F，G分别在棱，，上，；点P，Q，R分别在棱，CD，CB上，．求证：平面平面PQR．
23．如图，在长方体中，，，E是CD的中点，F是BC的中点．求证：平面平面．
24．已知，，.
（1）求平面的一个法向量；
（2）证明:向量与平面平行.
25．如图，在直三棱柱中，，，．以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系．
（1）求平面的一个法向量；
（2）求平面的一个法向量．
26．已知平面α经过三点A(1，2，3)，B(2，0，－1)，C(3，－2，0)，求平面α的一个法向量．
27．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB.求证：平面BCE⊥平面CDE.
28．如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，、分别是、的中点，，.求证：
（1）平面；
（2）平面平面.
29．如图，已知斜三棱柱，，，的中点为.且面，.
（1）求证：；
（2）在线段上找一点，使得直线与平面所成角的正弦值为.
30．如图，在四棱锥中，底面四边形是正方形，，.
（1）证明：平面；
（2）已知，点是棱上的点，满足，若二面角的余弦值为，求的值.
31．如图，三棱柱中，，，．
（1）求证：为等腰三角形；
（2）若，，点在线段上，设，若二面角的余弦值为，求的值．
32．如图，在三棱柱中，侧棱底面是中点，是中点，是与的交点，点在线段上.
（1）求证：平面
（2）若二面角的余弦值是，求点到平面的距离
33．如图，在四棱锥中，已知棱，，两两垂直且长度分别为1，2，2，，．
（1）若中点为，证明：平面；
（2）求点到平面的距离．
34．如图，空间几何体由两部分构成，上部是一个底面半径为1，高为2的圆锥，下部是一个底面半径为1，高为2的圆柱，圆锥和圆柱的轴在同一直线上，圆锥的下底面与圆柱的上底面重合，点P是圆锥的顶点，AB是圆柱下底面的一条直径，AA1、BB1是圆柱的两条母线，C是弧AB的中点.
（1）求异面直线PA1与BC所成的角的余弦值；
（2）求点B1到平面PAC的距离.
35．如图，在三棱柱中，平面，，，点为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
36．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E为棱AA1的中点，AB＝1，AA1＝2．
（1）求点B到平面B1C1E的距离；
（2）求二面角B1﹣EC1﹣C的正弦值．
37．已知在三棱柱中，平面，，且，，点是的中点.
（1）求证：平面；
（2）在棱上是否存在一点，使平面？若存在，指出点的位置并证明，若不存在，说明理由.
38．如图所示，平面CDEF平面ABCD，且四边形ABCD为平行四边形，∠DAB＝45°，四边形CDEF为直角梯形，EF∥DC，EDCD，AB＝3EF＝3，ED＝a，AD．
（1）求证：ADBF；
（2）若线段CF上存在一点M，满足AE∥平面BDM，求的值；
39．在多面体中，正方形和矩形互相垂直，、分别是和的中点，．
（1）求证：平面．
（2）在边所在的直线上存在一点，使得平面，求的长；
40．在直三棱柱ABC A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4.
（1）求证：AC⊥BC1；
（2）在AB上是否存在点D，使得AC1⊥CD
（3）在AB上是否存在点D，使得AC1//平面CDB1
41．如图，正方体，棱长为，为的中点；
（1）求证：；
（2）求证：平面；
（3）求点到平面的距离；
42．如图所示，垂直于正方形所在的平面，，与平面所成角是，是的中点，是的中点.求证：平面.
43．长方体中，，，，是的中点，在线段上，且，是的中点，求：
（1）到直线的距离；
（2）到平面的距离．
44．已知正三角形的边长为，点、分别是边、上的点，且满足（如图1），将沿折起到的位置（如图2），且使与底面成角，连接，．
（1）求证：平面⊥平面；
（2）求二面角的余弦值．
45．如图，在三棱柱中，平面，，，侧棱，是的中点．
（1）求证：；
（2）求直线与所成角的余弦值；
（3）求二面角的正弦值．
46．如图，在四棱锥中，平面，，，，，，分别为线段，，的中点．
（Ⅰ）求异面直线与所成角的余弦值；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
47．《九章算术》是我国古代的数学著作，是“算经十书”中最重要的一部，它对几何学的研究比西方要早1000多年.在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.如图，在堑堵中，，，M，N分别是，BC的中点，点P在线段上.
（1）若P为的中点，求证：平面.
（2）是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由.
48．已知正四棱柱中，，．
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．C
【解析】由可得，所以或，即可得正确选项.
【详解】直线l的方向向量为，平面的法向量为，
因为，
所以，
所以或，
故选：C.
2．D
【分析】利用已知条件可知两个平面的法向量互相平行，判断选项即可.
【详解】因为平面，
所以两个平面的法向量应该平行，
只有D项符合.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了平面的法向量.属于容易题.
3．C
【解析】利用数量积的坐标运算检验各个选择之中的向量与平面的法向量的数量积是否为零，即可得出.
【详解】∵平面，∴平面的一个法向量与平面的法向量垂直，即它们的数量积为0.
对于A：，故A错误；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D错误.
故选：C.
【点睛】本题考查垂直的平面的法向量的关系和向量的垂直的坐标表示，属基础题.一般地，两个平面垂直的充分必要条件是其法向量垂直，然后利用空间向量的垂直的坐标表示检验即可.
4．C
【分析】由面面位置关系以及法向量的概念判断①；由法向量的概念判断②③④.
【详解】①中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，可知②③④正确
故选：C
5．A
【分析】取的中点为，连接，证明平面，，然后建立空间直角坐标系，利用向量求解即可.
【详解】
取的中点为，连接
因为，所以，
因为平面平面，平面平面，平面
所以平面
因为，
所以
如图建立空间直角坐标系，则
所以
所以异面直线与所成角的余弦值为
故选：A
6．AB
【分析】A中,根据两条不重合直线方向向量共线,判断两直线平行；
B中,根据两个不同的平面法向量垂直,判断两平面垂直；
C中,根据直线的方向向量与平面的法向量垂直,判断直线与平面平行或在平面内；
D中,根据直线的方向向量与平面的法向量共线,判断直线与平面垂直
【详解】对于A，两条不重合直线，的方向向量分别是，，且，所以，选项A正确；
对于B，两个不同的平面α，β的法向量分别是，，且
，所以，选项B正确；
对于C，直线l的方向向量，平面的法向量是且
，所以或，C选项错误；
对于D，直线l的方向向量，平面的法向量是且，
所以，选项D错误.
故选：AB
7．
【解析】以为坐标原点， 所在的直线为轴建立空间直角坐标系，求出与两异面直线和都垂直的向量，再由在方向上的投影，即为点到直线距离的最小值.
【详解】
以为坐标原点， 所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图：
，，，，
，，
点点到直线距离的最小值为两异面直线和间的距离，
设他们的公垂线所在的向量为，
由，令，则，，
所以，，
则两异面直线和间的距离为：
故答案为：
【点睛】关键点点睛：点到直线距离的最小值即为两条异面直线和间的距离，也即是他们的公垂线段的长在方向上的投影.
8．
【详解】点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离，设点P在平面ABCD上的射影为P′，显然点P到直线CC1的距离的最小值为P′C的长度的最小值，当P′C⊥DE时，P′C的长度最小，此时P′C＝＝.
9．（1）(0，0，1)；（2），0，0 ；（3）(2，-1，1).
【分析】以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系：
（1）由法向量的定义可知，是平面ABCD的一个法向量；
（2）可证AD⊥平面SAB，所以是平面SAB的一个法向量；
（3）设平面SCD的法向量是=(x，y，z)，根据⊥，⊥，计算可得结果.
【详解】以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系：
则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D，0，0，S(0，0，1).
（1）∵SA⊥平面ABCD，
∴=(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量.
（2）∵AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面SAB，
∴=，0，0是平面SAB的一个法向量.
（3）在平面SCD中，=，1，0，=(1，1，-1).
设平面SCD的法向量是=(x，y，z)，则⊥，⊥，∴
得方程组
令，则，，∴=(2，-1，1).
所以=(2，-1，1)是平面SCD的一个法向量.
【点睛】本题考查了平面的法向量的求法，属于基础题.
10．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【分析】（1）以D为坐标原点，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，可得，继而证明；
（2）通过和可证明；
（3）由BC⊥平面BDE可证.
【详解】证明 ∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AD⊥ED，ED 平面ADEF，
∴ED⊥平面ABCD.
以D为坐标原点，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，E(0，0，2)，F(2，0，2)．
（1）∵M为EC的中点，∴M(0，2，1)，
则，，，
，故共面．
又BM 平面ADEF，∴BM∥平面ADEF.
（2），，，
，∴BC⊥DB.
又，∴BC⊥DE.
又DE∩DB＝D，DB，DE 平面BDE，∴BC⊥平面BDE.
（3）证明 由（2）知BC⊥平面BDE，又BC 平面BCE，∴平面BCE⊥平面BDE.
11．证明见解析
【分析】以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，利用向量的数量积，求得，证得即，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面.
【详解】如图所示，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则,
所以,
由，可得，
即，
又由，平面,
所以平面.
12．（1）；（2）.
【分析】（1）设棱长为2，平面BDD1B1的一个法向量为，利用 即可求得；
（2）设平面BDEF的一个法向量为，利用 即可求出.
【详解】设正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，则，
（1）设平面BDD1B1的一个法向量为，
，
则，即 ，令，则，
平面BDD1B1的一个法向量为；
（2），
设平面BDEF的一个法向量为．
∴， ，令，得，
平面BDEF的一个法向量为.
13．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）先证明平行于平面，再证明平行于平面与平面交于；
（Ⅱ）建立空间坐标系，求解平面的法向量，利用法向量求解二面角.
【详解】（Ⅰ）证明：因为，平面，平面，
所以平面，
因为平面平面，平面，
所以.
（Ⅱ）取AD的中点N，连接BN,EN.
在等腰中，EN⊥AN.
因为平面ADE⊥平面ABCD，交线为AD，
又EN⊥AD，所以EN⊥平面ABCD.
所以EN⊥BN.
由题意易得AN⊥BN.
如图，建立空间直角坐标系N- xyz，
则N(0,0,0) ,A(2,0,0) , , , .
因为EF = CD，所以.
设平面BCF的法向量为 ，，
则即
令，则，于是.
又平面ABCD的法向量为，
所以
由题知二面角A - BC- F为锐角，
所以二面角A - BC- F的余弦值为.
14．(1) 证明见解析; (2)
【分析】（1）连接相交于点，连接，可得，从而，可证明.
(2) 由题意，以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系,利用空间向量求解异面直线所成角的余弦值.
【详解】（1）连接相交于点，连接.
,可得与相似，则
又,则，所以
又平面，平面，所以平面；
（2）由平面，.
以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系,如图.
由，，
则,,
则,
所以
所以异面直线与所成角的余弦值为
15．（1）见解析；（2）
【分析】（1）利用折叠前后不变的量，可得到等边三角形；根据题意，可得四边形ABED是平行四边形、是等边三角形；善用等边三角形“三线合一”的性质得到垂直关系，可证明平面PCH，从而，即.
（2）因为，只需再证平面，即可建立空间直角坐标系.写出各点坐标，求得平面BCP的法向量，代入线面夹角公式求解.
【详解】（1）证明：取BE中点记为H,连结PH、CH，
是CD中点, ，
，
且，
四边形ABED是平行四边形，
，
是边长为2等边三角形，
由题意可知，，
是边长为2的等边三角形，
是中线，PH是中线，
，，
又，
平面PCH，
，
；
（2）解：由（1）可求得 ，
，
，
，
又，
平面，
以为原点，HB，HC，HP所在直线为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系，
，
，
设平面BCP的法向量为 ，
，即，令, 则，
平面BCP的法向量为，
设直线与平面所成角为，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
16．（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）取的中点，连接、，可知，，即可得到面，从而得证；
（2）建立空间直线坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；
【详解】解：（1）取的中点，连接、，因为与是全等的等边三角形，所以，，因为，面，所以面，因为面，所以
（2）因为平面平面，平面平面，，所以平面，如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，令，则，，，，所以，，，设面的法向量为，则，所以，令，则，，所以，设与平面所成的角为，则
17．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面.
（2）利用直线的方向向量，平面的法向量，计算线面角的正弦值.
【详解】（1）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则
.
，
，所以,
由于，所以平面.
（2），
，
设平面的法向量为，则
，令，则，所以.
设直线与平面所成角为，则
.
18．证明见解析
【分析】以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用向量关系即可证明.
【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，
则，
则，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则可得，
，，
平面，平面.
19．答案不唯一（只要垂直于所求平面的非零向量即为该面的法向量）.
【分析】设平面的法向量，由，取可求得平面的一个法向量；根据平面轴，可得即为所求平面的一个法向量.
【详解】，，，，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，，
即平面的一个法向量为；
平面轴，即为平面的一个法向量.
20．证明见解析
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明，，即可得证；
【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则，，，
所以，，
所以，，所以，，
因为，平面．
所以平面．
21．（1）；（2）.
【分析】（1）（或其补角）即为异面直线与所成角，连接，在中，即可求解．
（2）解法一：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，结合，利用空间距离公式求解即可．
解法二：过点作交于，证明平面，然后求解三角形即可．
【详解】解：（1）由于A1C1AC，所以∠CAB1（或其补角）即为异面直线AB1与A1C1所成角，
连接CB1，在AB1C中，由于，所以AB1C是等边三角形，
所以，所以异面直线AB1与A1C1所成角的大小为．
（2）解法一：如图所示，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为C（0，0，2）、B1（0，2，0）、A1（2，2，0）、M（0，0，1）．
设平面A1B1C的法向量为，则．
∵，，
且，
∴，取v＝1，
得平面A1B1C的一个法向量为， 且，
又∵，
于是点M到平面A1B1C的距离
所以，点M到平面A1B1C的距离等于．
解法二：过点M作MN⊥CB1交CB1于N，由 MN⊥平面A1B1C．
在RtCMN中，由，CM＝1，得，
所以，点M到平面A1B1C的距离等于．
22．证明见解析
【分析】构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，令写出、、、，进而求面、面的法向量、，根据所得法向量的关系即可证结论.
【详解】构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，如下图示，
设，又，，
∴，，，，，，
∴，，，，
设是面的一个法向量，则，令，，
设是面的一个法向量，则，令，，
∴面、面的法向量共线，故平面平面PQR，得证.
23．证明见解析
【分析】建立空间直角坐标系，求出点的坐标与平面的法向量，利用空间向量法证明即可；
【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设面的法向量为，则，即，令，则，所以；
设面的法向量为，则，即，令，则，所以；
因为，所以
所以平面平面．
24．（1）平面的一个法向量为（答案不唯一）；（2）证明见解析.
【解析】（1）先由题中条件，求出与的坐标，设为平面的一个法向量，根据向量的垂直关系，列出方程求解，利用赋值法，即可得出结果；
（2）设存在实数，，使，由向量线性运算的坐标表示，求出，，即可证明结论成立.
【详解】（1）因为，，，
所以，，
设为平面的一个法向量，
则有，所以，不妨令，
则，
所以平面ABC的一个法向量为；
（2）若存在实数，，使，
即，
则，解得，
所以，即向量与平面平行.
【点睛】方法点睛：
求平面法向量的步骤：
（1）建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为；
（2）找出（求出）平面内两个不共线的向量的坐标，；
（3）根据法向量的定义建立关于的方程组；
（4）解方程组，取其中的一组解，即可得出平面的一个法向量.
25．(1)； (2).
【分析】(1)求出平面内的两个向量，，然后利用法向量与这两个向量的数量积都为0来求法向量；
(2)求出平面内的两个向量，，然后利用法向量与这两个向量的数量积都为0来求法向量.
【详解】易知，，，.
(1)，，
设面的法向量为，则 ，
即，取 ，则 ，
所以平面的一个法向量为；
(2) ，，
设面的法向量为，则 ，
即，取 ，则 ，
所以平面的一个法向量为
26．(2，1，0) （答案不唯一）．
【分析】求出，设法向量为，由求解．
【详解】因为A(1，2，3)，B(2，0，－1)，C(3，－2，0)，所以＝(1，－2，－4)，＝(2，－4，－3)．设平面α的法向量为，则有，即
得z＝0，x＝2y，令y＝1，则x＝2，所以平面α的一个法向量为＝(2，1，0)．
故答案为：（答案不唯一）．
27．证明见解析
【分析】设AD＝DE＝2AB＝2a，以A为原点，分别以AC，AB所在直线为x轴，z轴，以过点A在平面内垂直于AC的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，写出各点坐标，求出两个平面的法向量，由法向量垂直证得面面垂直．
【详解】设AD＝DE＝2AB＝2a，
以A为原点，分别以AC，AB所在直线为x轴，z轴，以过点A在平面内垂直于AC的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0，0，0)，C(2a，0，0)，B(0，0，a)，D(a，a，0)，
E(a，a，2a)．
所以＝(a，a，a)，＝(2a，0，－a)，＝(－a，a，0)，＝(0，0，－2a)．
设平面BCE的法向量为＝(x1，y1，z1)，由＝0，＝0可得
即令z1＝2，可得＝(1，－，2)．
设平面CDE的法向量为＝(x2，y2，z2)，由＝0，＝0可得
即
令y2＝1，可得＝(，1，0)．因为＝1×＋1×(－)＋2×0＝0.所以，
所以平面BCE⊥平面CDE.
【点睛】方法点睛：本题考查用空间向量法证明面面垂直．解题关键是建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求得平面的法向量，由法向量垂直得面面垂直．
28．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.
（1）证明出，结合线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）利用空间向量法可证得平面平面.
【详解】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，所以、，
，，，，，，.
（1）因为，所以，即.
又平面，平面，所以平面;
（2）因为，所以，同理可得，
即，.
又，所以平面.
平面，所以平面平面.
【点睛】结论点睛：空间向量与立体几何中的线面关系
（1）线线平行两线的方向向量平行
（2）线面平行线的方向向量与面的法向量垂直
（3）面面平行两面的法向量平行
（4）线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直
（5）线面垂直线与面的法向量平行
（6）面面垂直两面的法向量垂直
29．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）建立如图空间直角坐标系，利用直线的方向向量证明线线垂直；
（2）利用空间向量法，求出平面的法向量和直线方向向量，利用向量的夹角公式，即可得解.
【详解】（1）作交于点，分别以，，所在直线为，，轴建系
，，，，
所以，，
，所以
（2）设，
，
设面的一个法向量为
有
∴
∴
∴
因为
若直线与平面所成角的正弦值为.
，
即，
解得.
所以当时，直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】本题考查了立体几何的线线垂直的证明，考查了求二面角的大小，有一定的计算量，属于中档题，本题的关键有：
（1）建系直接利用直线的方向向量证明线线垂直；
（2）求所求面的法向量并利用方程求法向量，利用向量的夹角公式求解.
30．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）连接，得到，进而证得平面，得到，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面.
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式列出方程，即可求解.
【详解】（1）连接交于点，
因为底面四边形是正方形，所以，
由，且，所以平面，
又由平面，所以，
又因为，且，平面，
所以平面.
（2）由已知及（1）可知，，，
以为原点，以分别作为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
因为，且点是棱上的点，满足，
可得，，，，，，
则，，
设平面的法向量为，则，即，
取，可得，即，
又由平面，可得平面的一个法向量为，
所以，解得.
31．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）取的中点，连接，，，可证，，即可得到平面，根据线面垂直的性质得到，即可得证；
（2）设，以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，设，表示出平面的法向量，求出平面的法向量，根据二面角的余弦值为，得到方程，解得即可；
【详解】（1）如图，取的中点，连接，，，
∵，∴；
而，∴为等边三角形，∴．
又∵，，∴，∴，
又，平面，∴平面，
又平面，∴，
∵为中点，∴，即为等腰三角形．
（2）设，则，
∵，故，∴，
又，，∴，
以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，．
设，则，，
设平面的法向量为，则由，，
得，取，
易知平面的法向量为，
则，解得（舍去）．
32．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）连结，设，连结，先证明面，面，再由面面平行的判定定理，得到面∥面，由面，即可证明平面；
（2）以A为原点，所在直线分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，用向量法求解.
【详解】（1）证明:连结，设，连结.
，
又面，面，面.
四边形是平行四边形，，
又面，面，面.
面，面，
面面.
∵由面，∴平面.
（2）以A为原点，所在直线分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
设
所以
设平面的一个法向量
则，不妨设，解得.
显然平面的一个法向量.
由二面角的余弦值是，
则，
又，解得
又
即点到平面的距离为.
【点睛】立体几何解答题的基本结构：
(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；
(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算．
33．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，证明即可；
（2）利用待定系数法求出平面的法向量，求出的坐标，然后利用点到直线的距离公式求解即可．
【详解】解：（1）证明：分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，
因为，，的长度分别为1，2，2，且，
则，，，，，
又是的中点，所以，
所以，由已知可得平面的一个法向量为，
则，
所以，又平面，
所以平面；
（2）解：设平面的法向量为，
因为，，
则有，即，
令，则，，故，
又，
所以点到平面的距离．
【点睛】方法点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
34．（1）；（2）.
【分析】（1）由线面垂直的性质得出，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出异面直线与所成的角的大小即可；
（2）根据空间向量法求法向量的方法求出平面的法向量，利用向量法求点到面的距离，求出点到平面的距离.
【详解】解：（1）根据题意可得平面， C是弧AB的中点，则，
则以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图
则，， ，，
， ，
；
（2）， ，
， ， ，
设平面的法向量，
则，取，得，
点到平面的距离为：．
35．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）根据平面得，再根据几何关系得，进而可证明平面.
（2）由（1）知，，，以为原点建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可得答案.
【详解】解：（1）证明：因为平面，平面，
所以.
在中，，，，
所以.
所以.
因为，，平面，
所以平面.
（2）由（1）知，，，，
如图，以为原点建立空间直角坐标系.
则，，，.
，.
设平面的法向量为，
则即
令，则，，
所以.
又因为，
故点到平面的距离
.
【点睛】本题考查线面垂直的证明，向量法求点到面的距离，考查运算求解能力，逻辑推理能力，空间想象能力，是中档题.常见的求点到面的距离的方法有两种，第一种为利用等体积法求解，第二种为利用坐标法求解.
36．（1）；（2）．
【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，用空间向量法求点到平面的距离；
（2）求出二面角两个面的法向量，用法向量夹角的余弦值得出二面角的余弦值（注意二面角是锐二面角还是钝二面角），然后再得正弦值．
【详解】解：（1）如图，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
则B(1，0，0），B1(1，0，2），C1(1，1，2），E(0，0，1），
∴(0，1，0），(﹣1，0，﹣1），(0，0，2），
设平面B1C1E的法向量(u，v，w），
则，取u＝1，得(1，0，﹣1），
∴点B到平面B1C1E的距离为：
d．
（2）∵C1(1，1，2），E(0，0，1），C(1，1，0），
∴(0，0，2），(﹣1，﹣1，1），
设平面CC1E的法向量(x，y，z），
则，取x＝1，得(1，﹣1，0），
设二面角B1﹣EC1﹣C的平面角为θ，
则cosθ，
∴sinθ，
∴二面角B1﹣EC1﹣C的正弦值为．
【点睛】方法点睛：本题考查证明线面平行，求二面角．求二面角的方法：
（1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论；
（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出二面角两个面的法向量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．
37．（1）证明见解析；（2）存在一点，且满足，证明见解析.
【分析】（1）以为坐标轴建立空间直角坐标系，求出以及平面的一个法向量，可得数量积为零，进而可得答案.
（2） 假设在棱上存在一点，使平面. 设，利用列方程求解即可.
【详解】（1）因为平面，，以为坐标轴建立如图空间直角坐标系，
则，， ， ，.
所以，.
设平面的一个法向量为，则有
.
令得.所以.
所以.
所以.
因为平面，
所以平面.
（2） 假设在棱上存在一点，使平面.
设，则.
由第（1）问知，平面的法向量为，
平面.
所以.
解得，即，且.
所以在棱上存在一点，且满足，使平面.
38．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）由面面垂直的性质得ED面ABCD，即有，过作于，过作交于，则有，应用余弦定理、勾股定理可知，根据线面垂直的判定及性质可证，进而得证.
（2）构建以D为原点，过点D垂直于DC的直线为x轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，确定的坐标，设，，进而求坐标，即可求面BDM的法向量，由线面平行求，即得的值；
【详解】（1）∵面CDEF面ABCD，EDCD，面，面面，
∴ED面ABCD，面，即，
过作于，过作交于，
∵CDEF为直角梯形，AB＝3EF＝3，
∴，即，则，且，
∴，得，即，
∴，而，即面，又面，
∴，故.
（2）以D为原点，过点D垂直于DC的直线为x轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如下图示：
∴，若，则，
设，则，
设平面BDM的法向量为，则，取x1＝2，则，
若AE∥平面BDM，则，解得，
∴线段CF上存在一点M，满足AE∥平面BDM，此时．
【点睛】关键点点睛：
（1）根据面面垂直的性质，结合余弦定理、勾股定理证线线垂直，进而由线面垂直的判定及性质证线线垂直.
（2）构建空间直角坐标系，设并确定其它相关点坐标，令，并求面BDM的法向量，应用线面平行求.
39．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）利用面面垂直的性质定理可证得结论成立；
（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，计算出平面的一个法向量的坐标，由已知条件可得出，可求得的值，进而可求得的长.
【详解】（1）因为四边形为矩形，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以，平面；
（2）因为平面，四边形为正方形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则、、、，设点，
，，，
设平面的法向量为，
由，令，可得，
要使得平面，则，所以，，解得，
则，此时，.
【点睛】方法点睛：立体几何开放性问题求解方法有以下两种：
（1）根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，然后再加以证明，得出结论；
（2）假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在．
40．（1）证明见解析；（2）存在；（3）存在.
【分析】以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，
（1）计算可得证；
（2）假设在AB上存在点D，使得AC1⊥CD，设，由0求得即得；
（3）假设在AB上存在点D，使得AC1//平面CDB1，设，由AC1//平面CDB1，所以存在实数m，n，使成立，由向量运算的坐标表示求得即证．
【详解】直三棱柱ABC A1B1C1，AC＝3，BC＝4，AB＝5，则AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4).
(1)证明：∵＝(－3,0,0)，＝(0，－4，4)，
∴＝0，
∴，∴AC⊥BC1.
(2)假设在AB上存在点D，使得AC1⊥CD，则＝(－3λ，4λ，0)，其中0≤λ≤1，则D(3－3λ，4λ，0)，于是＝(3－3λ，4λ，0)，
由于，且AC1⊥CD，
所以－9＋9λ＝0，得λ＝1，
所以在AB上存在点D，使得AC1⊥CD，且这时点D与点B重合.
(3)假设在AB上存在点D，使得AC1//平面CDB1，则＝(－3λ，4λ，0)，其中0≤λ≤1，则D(3－3λ，4λ，0)，＝(3－3λ，4λ－4，－4).
又＝(0，－4，－4)，＝(－3,0,4)，AC1//平面CDB1，所以存在实数m，n，使成立.
∴m(3－3λ)＝－3，m(4λ－4)－4n＝0，－4m－4n＝4.
所以λ＝，所以在AB上存在点D使得AC1//平面CDB1，且D是AB的中点.
【点睛】方法点睛：本题考查用空间向量法证明立体几何中的线面位置关系，直线垂直等价于空间向量的数量积为0，线面平行等价于直线的方向向量可用平面的基底表示出来（线在面外）．解题时建立空间直角坐标系，然后求出相应向量的坐标，由向量的关系得出线面关系，存在性问题的解决是假设存在，并设出向量，然后由线面关系得出向量关系，从而 求得参数．
41．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.
【解析】（1）以为坐标原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，论证即可.
（2）由，得到，再由，利用线面垂直的判定定理证明.
（3）求得平面的一个法向量为，设点到平面的距离为，由求解.
【详解】（1）以为坐标原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，，
因为，所以，
所以.
（2），，
因为，
所以，
又因为，且，
所以平面；
（3），，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，
设，则，，则，
设点到平面的距离为，
则；
【点睛】方法点睛：(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．
(2)其一证明线线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可．当然也可证直线的方向向量与平面法向量平行．其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可．
42．证明见解析
【分析】由线面夹角的定义可知，与平面所成角的平面角为,则，
然后以点为原点，,，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，标出个点坐标，计算出平面的法向量，证明即可.
【详解】证明：以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
由与平面所成的角为，得，则，
则，，，，，，
，，.
设平面PFB的法向量为，则，即.
令，则，，故平面的一个法向量为.
，，
又平面PFB，则平面PFB.
【点睛】本题考查线面平行的判定及证明，可采用空间向量法证明，证明的思路为：设平面的法向量为，直线，若，则//.
43．（1）；（2）.
【分析】（1）求得在上的射影的模后，利用勾股定理可求得所求距离；
（2）求得平面的法向量后，利用可求得结果.
【详解】如图，建立空间直角坐标系，
则，，，，．
（1），，
在上的射影的模为，
到直线的距离为；
（2）设平面的法向量，则，，
，，
，令，解得：，，，
又，
到平面的距离.
【点睛】方法点睛：本题考查点到平面距离的向量求法，求解点到平面的距离的步骤如下：
（1）求解得到平面的法向量；
（2）在平面内任取一点，得到；
（3）利用公式即可求得点到平面的距离.
44．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）证明平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）分析可知，然后以点为坐标原点，、所在的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值．
【详解】（1）折叠前，在图1中，，，，
由余弦定理可得，
所以，，则，
折叠后，在图2中，对应地有，，
，平面，
平面，因此，平面⊥平面；
（2）过点在平面内作，垂足为点，
平面平面，平面平面，平面，
平面，与平面所成的角为，
因为平面，以点为坐标原点，、所在的直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
设平面的法向量为，，，
由，取，则，
易知平面的一个法向量为，
，
由图可知，二面角为锐角，它的余弦值为.
45．（1）证明见解析；（2）；（3）．
【分析】（1）以点C为坐标原点建系如图，易得，因此；
（2）将向量和代入夹角公式，即可求得直线与所成角的余弦值；
（3）先求出二面角两个半平面的法向量，由夹角公式可得二面角的余弦值，进而可得其正弦值.
【详解】（1）证明：依题意，以点C为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系
则，，，，，．
所以，，
所以，
所以，即．
（2）解：由（1），得，，
所以，，
所以．
即所求直线与所成角的余弦值为．
（3）解：依题意及（1），得．
设平面的法向量为，
则即
令，得，，所以
由（1）及题意知，平面，
所以平面的法向量是
所以，，．
所以
设二面角的平面角为，由于，
所以，
故所求二面角的正弦值为．
【点睛】方法点睛：本题考查了立体几何中的线线角和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；对于立体几何中二面角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
46．（Ⅰ）（Ⅱ）
【分析】建立空间直角坐标系（Ⅰ）利用向量的夹角求异面直线所成的角；
（Ⅱ）求出平面的法向量，利用向量法求直线与平面所成角.
【详解】以为原点，分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则,
,
（Ⅰ）,,
，
异面直线与所成角的余弦值为.
（Ⅱ）设平面的法向量为，直线与平面所成角为，
，
则，即，令，可得，
，
即直线与平面所成角的正弦值
【点睛】关键点点睛：建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线所成角，直线与平面所成的角是解题的关键，属于中档题.
47．（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析.
【分析】（1）取的中点H，连接PH，HC.，利用中位线定理证明四边形PHCN为平行四边形，从而得到，由线面平行的判定定理证明即可；
（2）建立合适的空间直角坐标系，设，其中，，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式列出等式，求解即可得到答案．
【详解】解析（1）证明：取的中点H，连接PH，HC.
在堑堵中，四边形为平行四边形，
所以且.
在中，P，H分别为，的中点，
所以且.
因为N为BC的中点，所以，
从而且，
所以四边形PHCN为平行四边形，于是.
因为平面，平面，所以平面.
（2）以A为原点，AB，AC，所在直线分别为x轴 y轴 z轴，建立空间直角坐标系，则，，，.
易知平面ABC的一个法向量为.
假设满足条件的点P存在，令，
则，.
设平面PMN的一个法向量是，
则即
令，得，，
所以.
由题意得，解得，故点P不在线段上.
【点睛】方法点睛：利用空间直角坐标系求二面角具体做法：
1. 设分别设出两个平面的法向量,n1=(x1, y1, z1); n2=(x2, y2, z2)
2. 求出平面内线段所在直线的向量式（每个平面求出两个向量）
3. 利用法向量垂直平面,即垂直平面内所有直线,建立方程组（3元一次方程组,仅两个方程）
（1）建立的条件是,两个相互垂直的向量,乘积为0
（2）由于法向量有3个未知数,我们通常只用建立两个方程组成的方程组.
（3）赋值：即是赋予法向量的三个未知数中的某一个一个确实的代数值,
4.利用空间向量数量积求得两个法向量的余弦值.
5. 判断范围,注意正负取值.
48．（1）证明见解析；（2）；（3）存在，．
【分析】（1）本题首先可根据题意得出平面以及，然后根据线面垂直的性质得出，最后根据线面垂直的判定与性质即可证得结论；
（2）首先可建立空间直角坐标系，然后求出平面的法向量，再然后求出平面的法向量，最后通过即可得出结果；
（3）本题可设为线段上一点，，然后根据得出，再然后求出平面的法向量，最后通过即可得出结果.
【详解】（1）因为四棱柱是正四棱柱，
所以平面，，
因为平面，所以，
因为，所以平面，
因为平面，所以.
（2）如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，，
因为平面，所以是平面的法向量，
设平面的法向量，
则，即，令，则，，
故，
因为二面角是钝二面角，所以二面角的余弦值为.
（3）设为线段上一点，，，
因为，，，
所以，
则，，，，，
设平面的法向量，
则，即，令，则，
若平面平面，则，即，解得，
故当时，平面平面.
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【夯实基础】2023-2024高二数学同步限时训练（新人教A版2019）专题04 空间向量的应用
一、单选题
1．在空间直角坐标系中，若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）
A． B． C．或 D．l与斜交
2．若平面，则下面可以是这两个平面法向量的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若平面，且平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是（ ）
A． B． C． D．
4．下列命题中，正确命题的个数为（ ）
①若分别是平面α，β的法向量，则 α∥β；
②若分别是平面α，β的法向量，则α⊥β ；
③若是平面α的法向量，是直线l的方向向量，若l与平面α平行，则；
④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，在三棱锥中，已知，，平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ）
A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则
C．直线的方向向量，平面的法向量是，则
D．直线的方向向量，平面的法向量是，则
三、填空题
7．在棱长为的正方体中，点是线段上的动点，则点到直线距离的最小值为______
8．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为 .
四、解答题
9．如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=，试建立适当的坐标系.
（1）求平面ABCD的一个法向量；
（2）求平面SAB的一个法向量；
（3）求平面SCD的一个法向量.
10．如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点．
（1）求证：BM∥平面ADEF；
（2）求证：BC⊥平面BDE；
（3）证明：平面BCE⊥平面BDE.
11．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是B1B，DC的中点，求证：AE⊥平面A1D1F.
12．正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、 A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：
（1）平面BDD1B1的一个法向量；
（2）平面BDEF的一个法向量．
13．如图，四边形和三角形所在平面互相垂直，，，，，，，平面与平面交于.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，求二面角余弦值.
14．如图，在四棱锥中，平面，，，底面为直角梯形，，，．
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
15．在等腰梯形中，，，，E为中点，将沿着折起，点C变成点P，此时．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
16．如图，在三棱锥中，与是全等的等边三角形，且平面平面.
（1）证明：；
（2）求与平面所成角的正弦值
17．如图，已知平面，底面为正方形，，分别为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值．
18．如图，在正方体中，E，F分别是面，面的中心．求证：平面．
19．四边形是直角梯形，，平面，，.在如图所示的坐标系中，分别求平面和平面的一个法向量．
20．如图，在长方体中，，，E是CD的中点．求证：平面．
21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BA⊥BC，BA＝BC＝BB1＝2．
（1）求异面直线AB1与A1C1所成角的大小；
（2）若M是棱BC的中点．求点M到平面A1B1C的距离．
22．如图，在长方体中，点E，F，G分别在棱，，上，；点P，Q，R分别在棱，CD，CB上，．求证：平面平面PQR．
23．如图，在长方体中，，，E是CD的中点，F是BC的中点．求证：平面平面．
24．已知，，.
（1）求平面的一个法向量；
（2）证明:向量与平面平行.
25．如图，在直三棱柱中，，，．以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系．
（1）求平面的一个法向量；
（2）求平面的一个法向量．
26．已知平面α经过三点A(1，2，3)，B(2，0，－1)，C(3，－2，0)，求平面α的一个法向量．
27．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB.求证：平面BCE⊥平面CDE.
28．如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，、分别是、的中点，，.求证：
（1）平面；
（2）平面平面.
29．如图，已知斜三棱柱，，，的中点为.且面，.
（1）求证：；
（2）在线段上找一点，使得直线与平面所成角的正弦值为.
30．如图，在四棱锥中，底面四边形是正方形，，.
（1）证明：平面；
（2）已知，点是棱上的点，满足，若二面角的余弦值为，求的值.
31．如图，三棱柱中，，，．
（1）求证：为等腰三角形；
（2）若，，点在线段上，设，若二面角的余弦值为，求的值．
32．如图，在三棱柱中，侧棱底面是中点，是中点，是与的交点，点在线段上.
（1）求证：平面
（2）若二面角的余弦值是，求点到平面的距离
33．如图，在四棱锥中，已知棱，，两两垂直且长度分别为1，2，2，，．
（1）若中点为，证明：平面；
（2）求点到平面的距离．
34．如图，空间几何体由两部分构成，上部是一个底面半径为1，高为2的圆锥，下部是一个底面半径为1，高为2的圆柱，圆锥和圆柱的轴在同一直线上，圆锥的下底面与圆柱的上底面重合，点P是圆锥的顶点，AB是圆柱下底面的一条直径，AA1、BB1是圆柱的两条母线，C是弧AB的中点.
（1）求异面直线PA1与BC所成的角的余弦值；
（2）求点B1到平面PAC的距离.
35．如图，在三棱柱中，平面，，，点为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
36．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E为棱AA1的中点，AB＝1，AA1＝2．
（1）求点B到平面B1C1E的距离；
（2）求二面角B1﹣EC1﹣C的正弦值．
37．已知在三棱柱中，平面，，且，，点是的中点.
（1）求证：平面；
（2）在棱上是否存在一点，使平面？若存在，指出点的位置并证明，若不存在，说明理由.
38．如图所示，平面CDEF平面ABCD，且四边形ABCD为平行四边形，∠DAB＝45°，四边形CDEF为直角梯形，EF∥DC，EDCD，AB＝3EF＝3，ED＝a，AD．
（1）求证：ADBF；
（2）若线段CF上存在一点M，满足AE∥平面BDM，求的值；
39．在多面体中，正方形和矩形互相垂直，、分别是和的中点，．
（1）求证：平面．
（2）在边所在的直线上存在一点，使得平面，求的长；
40．在直三棱柱ABC A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4.
（1）求证：AC⊥BC1；
（2）在AB上是否存在点D，使得AC1⊥CD
（3）在AB上是否存在点D，使得AC1//平面CDB1
41．如图，正方体，棱长为，为的中点；
（1）求证：；
（2）求证：平面；
（3）求点到平面的距离；
42．如图所示，垂直于正方形所在的平面，，与平面所成角是，是的中点，是的中点.求证：平面.
43．长方体中，，，，是的中点，在线段上，且，是的中点，求：
（1）到直线的距离；
（2）到平面的距离．
44．已知正三角形的边长为，点、分别是边、上的点，且满足（如图1），将沿折起到的位置（如图2），且使与底面成角，连接，．
（1）求证：平面⊥平面；
（2）求二面角的余弦值．
45．如图，在三棱柱中，平面，，，侧棱，是的中点．
（1）求证：；
（2）求直线与所成角的余弦值；
（3）求二面角的正弦值．
46．如图，在四棱锥中，平面，，，，，，分别为线段，，的中点．
（Ⅰ）求异面直线与所成角的余弦值；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
47．《九章算术》是我国古代的数学著作，是“算经十书”中最重要的一部，它对几何学的研究比西方要早1000多年.在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.如图，在堑堵中，，，M，N分别是，BC的中点，点P在线段上.
（1）若P为的中点，求证：平面.
（2）是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由.
48．已知正四棱柱中，，．
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．C
【解析】由可得，所以或，即可得正确选项.
【详解】直线l的方向向量为，平面的法向量为，
因为，
所以，
所以或，
故选：C.
2．D
【分析】利用已知条件可知两个平面的法向量互相平行，判断选项即可.
【详解】因为平面，
所以两个平面的法向量应该平行，
只有D项符合.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了平面的法向量.属于容易题.
3．C
【解析】利用数量积的坐标运算检验各个选择之中的向量与平面的法向量的数量积是否为零，即可得出.
【详解】∵平面，∴平面的一个法向量与平面的法向量垂直，即它们的数量积为0.
对于A：，故A错误；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D错误.
故选：C.
【点睛】本题考查垂直的平面的法向量的关系和向量的垂直的坐标表示，属基础题.一般地，两个平面垂直的充分必要条件是其法向量垂直，然后利用空间向量的垂直的坐标表示检验即可.
4．C
【分析】由面面位置关系以及法向量的概念判断①；由法向量的概念判断②③④.
【详解】①中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，可知②③④正确
故选：C
5．A
【分析】取的中点为，连接，证明平面，，然后建立空间直角坐标系，利用向量求解即可.
【详解】
取的中点为，连接
因为，所以，
因为平面平面，平面平面，平面
所以平面
因为，
所以
如图建立空间直角坐标系，则
所以
所以异面直线与所成角的余弦值为
故选：A
6．AB
【分析】A中,根据两条不重合直线方向向量共线,判断两直线平行；
B中,根据两个不同的平面法向量垂直,判断两平面垂直；
C中,根据直线的方向向量与平面的法向量垂直,判断直线与平面平行或在平面内；
D中,根据直线的方向向量与平面的法向量共线,判断直线与平面垂直
【详解】对于A，两条不重合直线，的方向向量分别是，，且，所以，选项A正确；
对于B，两个不同的平面α，β的法向量分别是，，且
，所以，选项B正确；
对于C，直线l的方向向量，平面的法向量是且
，所以或，C选项错误；
对于D，直线l的方向向量，平面的法向量是且，
所以，选项D错误.
故选：AB
7．
【解析】以为坐标原点， 所在的直线为轴建立空间直角坐标系，求出与两异面直线和都垂直的向量，再由在方向上的投影，即为点到直线距离的最小值.
【详解】
以为坐标原点， 所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图：
，，，，
，，
点点到直线距离的最小值为两异面直线和间的距离，
设他们的公垂线所在的向量为，
由，令，则，，
所以，，
则两异面直线和间的距离为：
故答案为：
【点睛】关键点点睛：点到直线距离的最小值即为两条异面直线和间的距离，也即是他们的公垂线段的长在方向上的投影.
8．
【详解】点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离，设点P在平面ABCD上的射影为P′，显然点P到直线CC1的距离的最小值为P′C的长度的最小值，当P′C⊥DE时，P′C的长度最小，此时P′C＝＝.
9．（1）(0，0，1)；（2），0，0 ；（3）(2，-1，1).
【分析】以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系：
（1）由法向量的定义可知，是平面ABCD的一个法向量；
（2）可证AD⊥平面SAB，所以是平面SAB的一个法向量；
（3）设平面SCD的法向量是=(x，y，z)，根据⊥，⊥，计算可得结果.
【详解】以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系：
则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D，0，0，S(0，0，1).
（1）∵SA⊥平面ABCD，
∴=(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量.
（2）∵AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面SAB，
∴=，0，0是平面SAB的一个法向量.
（3）在平面SCD中，=，1，0，=(1，1，-1).
设平面SCD的法向量是=(x，y，z)，则⊥，⊥，∴
得方程组
令，则，，∴=(2，-1，1).
所以=(2，-1，1)是平面SCD的一个法向量.
【点睛】本题考查了平面的法向量的求法，属于基础题.
10．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【分析】（1）以D为坐标原点，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，可得，继而证明；
（2）通过和可证明；
（3）由BC⊥平面BDE可证.
【详解】证明 ∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AD⊥ED，ED 平面ADEF，
∴ED⊥平面ABCD.
以D为坐标原点，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，E(0，0，2)，F(2，0，2)．
（1）∵M为EC的中点，∴M(0，2，1)，
则，，，
，故共面．
又BM 平面ADEF，∴BM∥平面ADEF.
（2），，，
，∴BC⊥DB.
又，∴BC⊥DE.
又DE∩DB＝D，DB，DE 平面BDE，∴BC⊥平面BDE.
（3）证明 由（2）知BC⊥平面BDE，又BC 平面BCE，∴平面BCE⊥平面BDE.
11．证明见解析
【分析】以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，利用向量的数量积，求得，证得即，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面.
【详解】如图所示，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则,
所以,
由，可得，
即，
又由，平面,
所以平面.
12．（1）；（2）.
【分析】（1）设棱长为2，平面BDD1B1的一个法向量为，利用 即可求得；
（2）设平面BDEF的一个法向量为，利用 即可求出.
【详解】设正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，则，
（1）设平面BDD1B1的一个法向量为，
，
则，即 ，令，则，
平面BDD1B1的一个法向量为；
（2），
设平面BDEF的一个法向量为．
∴， ，令，得，
平面BDEF的一个法向量为.
13．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）先证明平行于平面，再证明平行于平面与平面交于；
（Ⅱ）建立空间坐标系，求解平面的法向量，利用法向量求解二面角.
【详解】（Ⅰ）证明：因为，平面，平面，
所以平面，
因为平面平面，平面，
所以.
（Ⅱ）取AD的中点N，连接BN,EN.
在等腰中，EN⊥AN.
因为平面ADE⊥平面ABCD，交线为AD，
又EN⊥AD，所以EN⊥平面ABCD.
所以EN⊥BN.
由题意易得AN⊥BN.
如图，建立空间直角坐标系N- xyz，
则N(0,0,0) ,A(2,0,0) , , , .
因为EF = CD，所以.
设平面BCF的法向量为 ，，
则即
令，则，于是.
又平面ABCD的法向量为，
所以
由题知二面角A - BC- F为锐角，
所以二面角A - BC- F的余弦值为.
14．(1) 证明见解析; (2)
【分析】（1）连接相交于点，连接，可得，从而，可证明.
(2) 由题意，以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系,利用空间向量求解异面直线所成角的余弦值.
【详解】（1）连接相交于点，连接.
,可得与相似，则
又,则，所以
又平面，平面，所以平面；
（2）由平面，.
以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系,如图.
由，，
则,,
则,
所以
所以异面直线与所成角的余弦值为
15．（1）见解析；（2）
【分析】（1）利用折叠前后不变的量，可得到等边三角形；根据题意，可得四边形ABED是平行四边形、是等边三角形；善用等边三角形“三线合一”的性质得到垂直关系，可证明平面PCH，从而，即.
（2）因为，只需再证平面，即可建立空间直角坐标系.写出各点坐标，求得平面BCP的法向量，代入线面夹角公式求解.
【详解】（1）证明：取BE中点记为H,连结PH、CH，
是CD中点, ，
，
且，
四边形ABED是平行四边形，
，
是边长为2等边三角形，
由题意可知，，
是边长为2的等边三角形，
是中线，PH是中线，
，，
又，
平面PCH，
，
；
（2）解：由（1）可求得 ，
，
，
，
又，
平面，
以为原点，HB，HC，HP所在直线为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系，
，
，
设平面BCP的法向量为 ，
，即，令, 则，
平面BCP的法向量为，
设直线与平面所成角为，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
16．（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）取的中点，连接、，可知，，即可得到面，从而得证；
（2）建立空间直线坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；
【详解】解：（1）取的中点，连接、，因为与是全等的等边三角形，所以，，因为，面，所以面，因为面，所以
（2）因为平面平面，平面平面，，所以平面，如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，令，则，，，，所以，，，设面的法向量为，则，所以，令，则，，所以，设与平面所成的角为，则
17．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面.
（2）利用直线的方向向量，平面的法向量，计算线面角的正弦值.
【详解】（1）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则
.
，
，所以,
由于，所以平面.
（2），
，
设平面的法向量为，则
，令，则，所以.
设直线与平面所成角为，则
.
18．证明见解析
【分析】以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用向量关系即可证明.
【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，
则，
则，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则可得，
，，
平面，平面.
19．答案不唯一（只要垂直于所求平面的非零向量即为该面的法向量）.
【分析】设平面的法向量，由，取可求得平面的一个法向量；根据平面轴，可得即为所求平面的一个法向量.
【详解】，，，，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，，
即平面的一个法向量为；
平面轴，即为平面的一个法向量.
20．证明见解析
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明，，即可得证；
【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则，，，
所以，，
所以，，所以，，
因为，平面．
所以平面．
21．（1）；（2）.
【分析】（1）（或其补角）即为异面直线与所成角，连接，在中，即可求解．
（2）解法一：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，结合，利用空间距离公式求解即可．
解法二：过点作交于，证明平面，然后求解三角形即可．
【详解】解：（1）由于A1C1AC，所以∠CAB1（或其补角）即为异面直线AB1与A1C1所成角，
连接CB1，在AB1C中，由于，所以AB1C是等边三角形，
所以，所以异面直线AB1与A1C1所成角的大小为．
（2）解法一：如图所示，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为C（0，0，2）、B1（0，2，0）、A1（2，2，0）、M（0，0，1）．
设平面A1B1C的法向量为，则．
∵，，
且，
∴，取v＝1，
得平面A1B1C的一个法向量为， 且，
又∵，
于是点M到平面A1B1C的距离
所以，点M到平面A1B1C的距离等于．
解法二：过点M作MN⊥CB1交CB1于N，由 MN⊥平面A1B1C．
在RtCMN中，由，CM＝1，得，
所以，点M到平面A1B1C的距离等于．
22．证明见解析
【分析】构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，令写出、、、，进而求面、面的法向量、，根据所得法向量的关系即可证结论.
【详解】构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，如下图示，
设，又，，
∴，，，，，，
∴，，，，
设是面的一个法向量，则，令，，
设是面的一个法向量，则，令，，
∴面、面的法向量共线，故平面平面PQR，得证.
23．证明见解析
【分析】建立空间直角坐标系，求出点的坐标与平面的法向量，利用空间向量法证明即可；
【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设面的法向量为，则，即，令，则，所以；
设面的法向量为，则，即，令，则，所以；
因为，所以
所以平面平面．
24．（1）平面的一个法向量为（答案不唯一）；（2）证明见解析.
【解析】（1）先由题中条件，求出与的坐标，设为平面的一个法向量，根据向量的垂直关系，列出方程求解，利用赋值法，即可得出结果；
（2）设存在实数，，使，由向量线性运算的坐标表示，求出，，即可证明结论成立.
【详解】（1）因为，，，
所以，，
设为平面的一个法向量，
则有，所以，不妨令，
则，
所以平面ABC的一个法向量为；
（2）若存在实数，，使，
即，
则，解得，
所以，即向量与平面平行.
【点睛】方法点睛：
求平面法向量的步骤：
（1）建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为；
（2）找出（求出）平面内两个不共线的向量的坐标，；
（3）根据法向量的定义建立关于的方程组；
（4）解方程组，取其中的一组解，即可得出平面的一个法向量.
25．(1)； (2).
【分析】(1)求出平面内的两个向量，，然后利用法向量与这两个向量的数量积都为0来求法向量；
(2)求出平面内的两个向量，，然后利用法向量与这两个向量的数量积都为0来求法向量.
【详解】易知，，，.
(1)，，
设面的法向量为，则 ，
即，取 ，则 ，
所以平面的一个法向量为；
(2) ，，
设面的法向量为，则 ，
即，取 ，则 ，
所以平面的一个法向量为
26．(2，1，0) （答案不唯一）．
【分析】求出，设法向量为，由求解．
【详解】因为A(1，2，3)，B(2，0，－1)，C(3，－2，0)，所以＝(1，－2，－4)，＝(2，－4，－3)．设平面α的法向量为，则有，即
得z＝0，x＝2y，令y＝1，则x＝2，所以平面α的一个法向量为＝(2，1，0)．
故答案为：（答案不唯一）．
27．证明见解析
【分析】设AD＝DE＝2AB＝2a，以A为原点，分别以AC，AB所在直线为x轴，z轴，以过点A在平面内垂直于AC的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，写出各点坐标，求出两个平面的法向量，由法向量垂直证得面面垂直．
【详解】设AD＝DE＝2AB＝2a，
以A为原点，分别以AC，AB所在直线为x轴，z轴，以过点A在平面内垂直于AC的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0，0，0)，C(2a，0，0)，B(0，0，a)，D(a，a，0)，
E(a，a，2a)．
所以＝(a，a，a)，＝(2a，0，－a)，＝(－a，a，0)，＝(0，0，－2a)．
设平面BCE的法向量为＝(x1，y1，z1)，由＝0，＝0可得
即令z1＝2，可得＝(1，－，2)．
设平面CDE的法向量为＝(x2，y2，z2)，由＝0，＝0可得
即
令y2＝1，可得＝(，1，0)．因为＝1×＋1×(－)＋2×0＝0.所以，
所以平面BCE⊥平面CDE.
【点睛】方法点睛：本题考查用空间向量法证明面面垂直．解题关键是建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求得平面的法向量，由法向量垂直得面面垂直．
28．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.
（1）证明出，结合线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）利用空间向量法可证得平面平面.
【详解】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，所以、，
，，，，，，.
（1）因为，所以，即.
又平面，平面，所以平面;
（2）因为，所以，同理可得，
即，.
又，所以平面.
平面，所以平面平面.
【点睛】结论点睛：空间向量与立体几何中的线面关系
（1）线线平行两线的方向向量平行
（2）线面平行线的方向向量与面的法向量垂直
（3）面面平行两面的法向量平行
（4）线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直
（5）线面垂直线与面的法向量平行
（6）面面垂直两面的法向量垂直
29．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）建立如图空间直角坐标系，利用直线的方向向量证明线线垂直；
（2）利用空间向量法，求出平面的法向量和直线方向向量，利用向量的夹角公式，即可得解.
【详解】（1）作交于点，分别以，，所在直线为，，轴建系
，，，，
所以，，
，所以
（2）设，
，
设面的一个法向量为
有
∴
∴
∴
因为
若直线与平面所成角的正弦值为.
，
即，
解得.
所以当时，直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】本题考查了立体几何的线线垂直的证明，考查了求二面角的大小，有一定的计算量，属于中档题，本题的关键有：
（1）建系直接利用直线的方向向量证明线线垂直；
（2）求所求面的法向量并利用方程求法向量，利用向量的夹角公式求解.
30．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）连接，得到，进而证得平面，得到，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面.
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式列出方程，即可求解.
【详解】（1）连接交于点，
因为底面四边形是正方形，所以，
由，且，所以平面，
又由平面，所以，
又因为，且，平面，
所以平面.
（2）由已知及（1）可知，，，
以为原点，以分别作为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
因为，且点是棱上的点，满足，
可得，，，，，，
则，，
设平面的法向量为，则，即，
取，可得，即，
又由平面，可得平面的一个法向量为，
所以，解得.
31．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）取的中点，连接，，，可证，，即可得到平面，根据线面垂直的性质得到，即可得证；
（2）设，以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，设，表示出平面的法向量，求出平面的法向量，根据二面角的余弦值为，得到方程，解得即可；
【详解】（1）如图，取的中点，连接，，，
∵，∴；
而，∴为等边三角形，∴．
又∵，，∴，∴，
又，平面，∴平面，
又平面，∴，
∵为中点，∴，即为等腰三角形．
（2）设，则，
∵，故，∴，
又，，∴，
以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，．
设，则，，
设平面的法向量为，则由，，
得，取，
易知平面的法向量为，
则，解得（舍去）．
32．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）连结，设，连结，先证明面，面，再由面面平行的判定定理，得到面∥面，由面，即可证明平面；
（2）以A为原点，所在直线分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，用向量法求解.
【详解】（1）证明:连结，设，连结.
，
又面，面，面.
四边形是平行四边形，，
又面，面，面.
面，面，
面面.
∵由面，∴平面.
（2）以A为原点，所在直线分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
设
所以
设平面的一个法向量
则，不妨设，解得.
显然平面的一个法向量.
由二面角的余弦值是，
则，
又，解得
又
即点到平面的距离为.
【点睛】立体几何解答题的基本结构：
(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；
(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算．
33．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，证明即可；
（2）利用待定系数法求出平面的法向量，求出的坐标，然后利用点到直线的距离公式求解即可．
【详解】解：（1）证明：分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，
因为，，的长度分别为1，2，2，且，
则，，，，，
又是的中点，所以，
所以，由已知可得平面的一个法向量为，
则，
所以，又平面，
所以平面；
（2）解：设平面的法向量为，
因为，，
则有，即，
令，则，，故，
又，
所以点到平面的距离．
【点睛】方法点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
34．（1）；（2）.
【分析】（1）由线面垂直的性质得出，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出异面直线与所成的角的大小即可；
（2）根据空间向量法求法向量的方法求出平面的法向量，利用向量法求点到面的距离，求出点到平面的距离.
【详解】解：（1）根据题意可得平面， C是弧AB的中点，则，
则以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图
则，， ，，
， ，
；
（2）， ，
， ， ，
设平面的法向量，
则，取，得，
点到平面的距离为：．
35．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）根据平面得，再根据几何关系得，进而可证明平面.
（2）由（1）知，，，以为原点建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可得答案.
【详解】解：（1）证明：因为平面，平面，
所以.
在中，，，，
所以.
所以.
因为，，平面，
所以平面.
（2）由（1）知，，，，
如图，以为原点建立空间直角坐标系.
则，，，.
，.
设平面的法向量为，
则即
令，则，，
所以.
又因为，
故点到平面的距离
.
【点睛】本题考查线面垂直的证明，向量法求点到面的距离，考查运算求解能力，逻辑推理能力，空间想象能力，是中档题.常见的求点到面的距离的方法有两种，第一种为利用等体积法求解，第二种为利用坐标法求解.
36．（1）；（2）．
【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，用空间向量法求点到平面的距离；
（2）求出二面角两个面的法向量，用法向量夹角的余弦值得出二面角的余弦值（注意二面角是锐二面角还是钝二面角），然后再得正弦值．
【详解】解：（1）如图，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
则B(1，0，0），B1(1，0，2），C1(1，1，2），E(0，0，1），
∴(0，1，0），(﹣1，0，﹣1），(0，0，2），
设平面B1C1E的法向量(u，v，w），
则，取u＝1，得(1，0，﹣1），
∴点B到平面B1C1E的距离为：
d．
（2）∵C1(1，1，2），E(0，0，1），C(1，1，0），
∴(0，0，2），(﹣1，﹣1，1），
设平面CC1E的法向量(x，y，z），
则，取x＝1，得(1，﹣1，0），
设二面角B1﹣EC1﹣C的平面角为θ，
则cosθ，
∴sinθ，
∴二面角B1﹣EC1﹣C的正弦值为．
【点睛】方法点睛：本题考查证明线面平行，求二面角．求二面角的方法：
（1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论；
（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出二面角两个面的法向量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．
37．（1）证明见解析；（2）存在一点，且满足，证明见解析.
【分析】（1）以为坐标轴建立空间直角坐标系，求出以及平面的一个法向量，可得数量积为零，进而可得答案.
（2） 假设在棱上存在一点，使平面. 设，利用列方程求解即可.
【详解】（1）因为平面，，以为坐标轴建立如图空间直角坐标系，
则，， ， ，.
所以，.
设平面的一个法向量为，则有
.
令得.所以.
所以.
所以.
因为平面，
所以平面.
（2） 假设在棱上存在一点，使平面.
设，则.
由第（1）问知，平面的法向量为，
平面.
所以.
解得，即，且.
所以在棱上存在一点，且满足，使平面.
38．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）由面面垂直的性质得ED面ABCD，即有，过作于，过作交于，则有，应用余弦定理、勾股定理可知，根据线面垂直的判定及性质可证，进而得证.
（2）构建以D为原点，过点D垂直于DC的直线为x轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，确定的坐标，设，，进而求坐标，即可求面BDM的法向量，由线面平行求，即得的值；
【详解】（1）∵面CDEF面ABCD，EDCD，面，面面，
∴ED面ABCD，面，即，
过作于，过作交于，
∵CDEF为直角梯形，AB＝3EF＝3，
∴，即，则，且，
∴，得，即，
∴，而，即面，又面，
∴，故.
（2）以D为原点，过点D垂直于DC的直线为x轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如下图示：
∴，若，则，
设，则，
设平面BDM的法向量为，则，取x1＝2，则，
若AE∥平面BDM，则，解得，
∴线段CF上存在一点M，满足AE∥平面BDM，此时．
【点睛】关键点点睛：
（1）根据面面垂直的性质，结合余弦定理、勾股定理证线线垂直，进而由线面垂直的判定及性质证线线垂直.
（2）构建空间直角坐标系，设并确定其它相关点坐标，令，并求面BDM的法向量，应用线面平行求.
39．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）利用面面垂直的性质定理可证得结论成立；
（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，计算出平面的一个法向量的坐标，由已知条件可得出，可求得的值，进而可求得的长.
【详解】（1）因为四边形为矩形，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以，平面；
（2）因为平面，四边形为正方形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则、、、，设点，
，，，
设平面的法向量为，
由，令，可得，
要使得平面，则，所以，，解得，
则，此时，.
【点睛】方法点睛：立体几何开放性问题求解方法有以下两种：
（1）根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，然后再加以证明，得出结论；
（2）假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在．
40．（1）证明见解析；（2）存在；（3）存在.
【分析】以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，
（1）计算可得证；
（2）假设在AB上存在点D，使得AC1⊥CD，设，由0求得即得；
（3）假设在AB上存在点D，使得AC1//平面CDB1，设，由AC1//平面CDB1，所以存在实数m，n，使成立，由向量运算的坐标表示求得即证．
【详解】直三棱柱ABC A1B1C1，AC＝3，BC＝4，AB＝5，则AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4).
(1)证明：∵＝(－3,0,0)，＝(0，－4，4)，
∴＝0，
∴，∴AC⊥BC1.
(2)假设在AB上存在点D，使得AC1⊥CD，则＝(－3λ，4λ，0)，其中0≤λ≤1，则D(3－3λ，4λ，0)，于是＝(3－3λ，4λ，0)，
由于，且AC1⊥CD，
所以－9＋9λ＝0，得λ＝1，
所以在AB上存在点D，使得AC1⊥CD，且这时点D与点B重合.
(3)假设在AB上存在点D，使得AC1//平面CDB1，则＝(－3λ，4λ，0)，其中0≤λ≤1，则D(3－3λ，4λ，0)，＝(3－3λ，4λ－4，－4).
又＝(0，－4，－4)，＝(－3,0,4)，AC1//平面CDB1，所以存在实数m，n，使成立.
∴m(3－3λ)＝－3，m(4λ－4)－4n＝0，－4m－4n＝4.
所以λ＝，所以在AB上存在点D使得AC1//平面CDB1，且D是AB的中点.
【点睛】方法点睛：本题考查用空间向量法证明立体几何中的线面位置关系，直线垂直等价于空间向量的数量积为0，线面平行等价于直线的方向向量可用平面的基底表示出来（线在面外）．解题时建立空间直角坐标系，然后求出相应向量的坐标，由向量的关系得出线面关系，存在性问题的解决是假设存在，并设出向量，然后由线面关系得出向量关系，从而 求得参数．
41．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.
【解析】（1）以为坐标原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，论证即可.
（2）由，得到，再由，利用线面垂直的判定定理证明.
（3）求得平面的一个法向量为，设点到平面的距离为，由求解.
【详解】（1）以为坐标原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，，
因为，所以，
所以.
（2），，
因为，
所以，
又因为，且，
所以平面；
（3），，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，
设，则，，则，
设点到平面的距离为，
则；
【点睛】方法点睛：(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．
(2)其一证明线线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可．当然也可证直线的方向向量与平面法向量平行．其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可．
42．证明见解析
【分析】由线面夹角的定义可知，与平面所成角的平面角为,则，
然后以点为原点，,，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，标出个点坐标，计算出平面的法向量，证明即可.
【详解】证明：以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
由与平面所成的角为，得，则，
则，，，，，，
，，.
设平面PFB的法向量为，则，即.
令，则，，故平面的一个法向量为.
，，
又平面PFB，则平面PFB.
【点睛】本题考查线面平行的判定及证明，可采用空间向量法证明，证明的思路为：设平面的法向量为，直线，若，则//.
43．（1）；（2）.
【分析】（1）求得在上的射影的模后，利用勾股定理可求得所求距离；
（2）求得平面的法向量后，利用可求得结果.
【详解】如图，建立空间直角坐标系，
则，，，，．
（1），，
在上的射影的模为，
到直线的距离为；
（2）设平面的法向量，则，，
，，
，令，解得：，，，
又，
到平面的距离.
【点睛】方法点睛：本题考查点到平面距离的向量求法，求解点到平面的距离的步骤如下：
（1）求解得到平面的法向量；
（2）在平面内任取一点，得到；
（3）利用公式即可求得点到平面的距离.
44．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）证明平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）分析可知，然后以点为坐标原点，、所在的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值．
【详解】（1）折叠前，在图1中，，，，
由余弦定理可得，
所以，，则，
折叠后，在图2中，对应地有，，
，平面，
平面，因此，平面⊥平面；
（2）过点在平面内作，垂足为点，
平面平面，平面平面，平面，
平面，与平面所成的角为，
因为平面，以点为坐标原点，、所在的直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
设平面的法向量为，，，
由，取，则，
易知平面的一个法向量为，
，
由图可知，二面角为锐角，它的余弦值为.
45．（1）证明见解析；（2）；（3）．
【分析】（1）以点C为坐标原点建系如图，易得，因此；
（2）将向量和代入夹角公式，即可求得直线与所成角的余弦值；
（3）先求出二面角两个半平面的法向量，由夹角公式可得二面角的余弦值，进而可得其正弦值.
【详解】（1）证明：依题意，以点C为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系
则，，，，，．
所以，，
所以，
所以，即．
（2）解：由（1），得，，
所以，，
所以．
即所求直线与所成角的余弦值为．
（3）解：依题意及（1），得．
设平面的法向量为，
则即
令，得，，所以
由（1）及题意知，平面，
所以平面的法向量是
所以，，．
所以
设二面角的平面角为，由于，
所以，
故所求二面角的正弦值为．
【点睛】方法点睛：本题考查了立体几何中的线线角和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；对于立体几何中二面角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
46．（Ⅰ）（Ⅱ）
【分析】建立空间直角坐标系（Ⅰ）利用向量的夹角求异面直线所成的角；
（Ⅱ）求出平面的法向量，利用向量法求直线与平面所成角.
【详解】以为原点，分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则,
,
（Ⅰ）,,
，
异面直线与所成角的余弦值为.
（Ⅱ）设平面的法向量为，直线与平面所成角为，
，
则，即，令，可得，
，
即直线与平面所成角的正弦值
【点睛】关键点点睛：建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线所成角，直线与平面所成的角是解题的关键，属于中档题.
47．（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析.
【分析】（1）取的中点H，连接PH，HC.，利用中位线定理证明四边形PHCN为平行四边形，从而得到，由线面平行的判定定理证明即可；
（2）建立合适的空间直角坐标系，设，其中，，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式列出等式，求解即可得到答案．
【详解】解析（1）证明：取的中点H，连接PH，HC.
在堑堵中，四边形为平行四边形，
所以且.
在中，P，H分别为，的中点，
所以且.
因为N为BC的中点，所以，
从而且，
所以四边形PHCN为平行四边形，于是.
因为平面，平面，所以平面.
（2）以A为原点，AB，AC，所在直线分别为x轴 y轴 z轴，建立空间直角坐标系，则，，，.
易知平面ABC的一个法向量为.
假设满足条件的点P存在，令，
则，.
设平面PMN的一个法向量是，
则即
令，得，，
所以.
由题意得，解得，故点P不在线段上.
【点睛】方法点睛：利用空间直角坐标系求二面角具体做法：
1. 设分别设出两个平面的法向量,n1=(x1, y1, z1); n2=(x2, y2, z2)
2. 求出平面内线段所在直线的向量式（每个平面求出两个向量）
3. 利用法向量垂直平面,即垂直平面内所有直线,建立方程组（3元一次方程组,仅两个方程）
（1）建立的条件是,两个相互垂直的向量,乘积为0
（2）由于法向量有3个未知数,我们通常只用建立两个方程组成的方程组.
（3）赋值：即是赋予法向量的三个未知数中的某一个一个确实的代数值,
4.利用空间向量数量积求得两个法向量的余弦值.
5. 判断范围,注意正负取值.
48．（1）证明见解析；（2）；（3）存在，．
【分析】（1）本题首先可根据题意得出平面以及，然后根据线面垂直的性质得出，最后根据线面垂直的判定与性质即可证得结论；
（2）首先可建立空间直角坐标系，然后求出平面的法向量，再然后求出平面的法向量，最后通过即可得出结果；
（3）本题可设为线段上一点，，然后根据得出，再然后求出平面的法向量，最后通过即可得出结果.
【详解】（1）因为四棱柱是正四棱柱，
所以平面，，
因为平面，所以，
因为，所以平面，
因为平面，所以.
（2）如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，，
因为平面，所以是平面的法向量，
设平面的法向量，
则，即，令，则，，
故，
因为二面角是钝二面角，所以二面角的余弦值为.
（3）设为线段上一点，，，
因为，，，
所以，
则，，，，，
设平面的法向量，
则，即，令，则，
若平面平面，则，即，解得，
故当时，平面平面.
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