专题10 椭圆及其标准方程-【夯实基础】2023-2024高二数学同步限时训练(人教A版2019选择性必修第一册)（含解析)
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| 名称 | 专题10 椭圆及其标准方程-【夯实基础】2023-2024高二数学同步限时训练(人教A版2019选择性必修第一册)（含解析) |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 4.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-13 23:40:22 | ||
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文档简介
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【夯实基础】2023-2024高二数学同步限时训练（新人教A版2019）专题10 椭圆及其标准方程
一、单选题
1．点P为椭圆上一点，，为该椭圆的两个焦点，若，则（ ）
A．13 B．1 C．7 D．5
2．若方程表示的曲线为焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于，两点，若的周长为（ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆的两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点，则该椭圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知椭圆的右焦点为，则正数的值是（ ）
A．3 B．4 C．9 D．21
6．已知曲线，则“”是“曲线C是椭圆”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知，是椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
10．设P为椭圆上的点，，分别为椭圆C的左、右焦点，且，则（ ）
A． B．2 C． D．3
11．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为，则的最大值为（ ）
A．3 B．5 C． D．13
13．设为椭圆上一点，，为左、右焦点，且，则（ ）
A．为锐角三角形 B．为钝角三角形
C．为直角三角形 D．，，三点构不成三角形
14．“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
15．已知点在椭圆上，与分别为左、右焦点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
16．已知的周长等于10，，通过建立适当的平面直角坐标系，顶点的轨迹方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
17．已知圆C的方程为，，A为圆C上任意一点，若点P为线段AB的垂直平分线与直线AC的交点，则点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
18．若动点始终满足关系式，则动点M的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
19．已知A(0，－1)，B(0，1)两点，△ABC的周长为6，则△ABC的顶点C的轨迹方程是（ ）
A．＝1(x≠±2)
B．＝1(y≠±2)
C．＝1(x≠0)
D．＝1(y≠0)
20．已知圆，从圆上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
21．椭圆的焦点坐标为(﹣5，0)和(5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（ ）
A．＝1 B．+＝1 C．+＝1 D．+＝1
22．设表示的是椭圆；，则p是成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
23．已知，是椭圆的左焦点，点P是椭圆上的动点，求的最大值和最小值分别为（ ）
A．； B．； C．； D．；
24．已知点P是椭圆上一动点，Q是圆上一动点，点，则的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
25．、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，设点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
26．若F为椭圆C：的右焦点，A，B为C上两动点，则△ABF周长的最大值为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．20
27．已知椭圆，其左 右焦点分别为，，离心率为，点P为该椭圆上一点，且满足，若的内切圆的面积为，则该椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
28．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
29．是椭圆的左焦点是椭圆上的动点为定点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
30．已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则（ ）
A．有最大值，为16 B．有最小值，为16
C．有最大值，为4 D．有最小值，为4
31．已知椭圆C的一个焦点F（0，-），P为C上一点，满足则椭圆C的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
32．对于曲线，下面四个说法正确的是（ ）
A．曲线不可能是椭圆
B．“”是“曲线是椭圆”的充分不必要条件
C．“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的必要不充分条件
D．“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的充要条件
33．将一个椭圆绕其对称中心旋转，若所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，则称该椭圆为“对偶椭圆”下列椭圆的方程中，是“对偶椭圆”的方程的是（ ）
A． B．
C． D．
34．已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A．存在P使得 B．的最小值为
C．，则的面积为9 D．直线与直线斜率乘积为定值
35．已知是左右焦点分别为，的上的动点，，下列说法正确的有（ ）
A．的最大值为5 B．
C．存在点，使 D．的最大值为
三、填空题
36．如图，已知椭圆C的中心为坐标原点O，为C的左焦点，P为C上一点，且满足，，则椭圆C的标准方程为______．
37．经过椭圆的左焦点，作不垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长为______．
38．如果点M（x，y）在运动过程中，总满足关系式，那么点M的轨迹是______．
39．已知，F是椭圆C：的左焦点，点P是椭圆C上的动点，则的最小值为___________.
四、解答题
40．设椭圆的左右焦点分别为，是上的动点，直线经过椭圆的一个焦点，的周长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）为椭圆上一点，求的最小值和最大值（写出严谨的推导过程）.
41．已知点P是椭圆上一点，它到椭圆的左焦点的距离是它到右焦点的距离的3倍，求点P的坐标．
42．已知两点、，曲线C上的动点P满足．
(1)求曲线C的方程；
(2)曲线C上是否存在点M使 若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
43．在平面直角坐标系中，已知，是椭圆：两个焦点，点P在椭圆上，且的周长为10.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若的面积等于2，求点P的坐标
44．已知P是椭圆上的一点，、为椭圆的两个焦点．
(1)若，求的面积；
(2)求的最大值．
45．求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)过点，且与椭圆有公共的焦点；
(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点，．
参考答案：
1．D
【分析】写出椭圆的标准方程，由椭圆的定义得到，从而求出答案.
【详解】椭圆方程为：，由椭圆定义可知：，
故
故选：D
2．C
【分析】根据题意可得，解之即可得解.
【详解】解：因为方程表示的曲线为焦点在轴上的椭圆，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：C.
3．D
【分析】运用椭圆的定义进行求解即可.
【详解】由.
因为，是椭圆的上的点，、是椭圆的焦点，
所以，
因此的周长为，
故选：D
4．A
【分析】根据椭圆的焦点可求，根据经过点，可得，进而可求解，即可得椭圆方程.
【详解】因为焦点坐标为和，所以.椭圆经过点，且焦点在x轴上，所以，所以，则椭圆的标准方程为.
故选:A.
5．A
【分析】由直接可得.
【详解】由题知，
所以，因为，所以.
故选：A
6．C
【分析】根据已知曲线的方程和椭圆的方程特点，结合充分条件和必要条件的判定即可
【详解】若曲线是椭圆，则有：
解得：，且
故“”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件
故选：C
7．C
【分析】首先设，，再利用焦点三角形是直角三角形，列式求，即可求得的值.
【详解】设，，因为，，，所以，，所以，所以，所以．因为，所以．所以椭圆的方程是．
故选：C
8．C
【分析】根据椭圆方程求得，由椭圆的定义，得，求得，所以，在中，再由余弦定理列出方程，求得，即可求解．
【详解】解：由题意，椭圆方程，可得，
所以焦点，
又由椭圆的定义，可得，因为，所以，
在中，由余弦定理可得,
所以，解得，
又由，所以.
故选:C．
9．C
【分析】根据椭圆方程求得，再由椭圆的定义可得，利用基本不等式即可求解．
【详解】解：由椭圆可得，所以，
因为点在上，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，最大值为9.
故选：C．
10．B
【分析】先利用椭圆得到，根据椭圆的定义可得到，结合可算出，，即可算出答案
【详解】解：由椭圆可得即，
因为P为椭圆上的点，所以，
因为，所以，，故，
故选：B．
11．D
【分析】由题知，再解不等式即可.
【详解】解：方程表示焦点在轴上的椭圆，
，解得：．
故选：D．
12．B
【分析】由，结合图形即得.
【详解】因为椭圆，
所以，，
则椭圆的右焦点为，
由椭圆的定义得：，
当点P在点处，取等号，
所以的最大值为5，
故选：B.
13．D
【分析】根据椭圆方程求出，然后结合椭圆定义和已知条件求出并求出，进而判断答案.
【详解】由题意可知，，由椭圆的定义可知，而，联立方程解得，且，则6+2=8，即不构成三角形.
故选：D.
14．B
【分析】利用方程表示椭圆的条件及充分条件必要条件的定义即可求解.
【详解】因为方程表示椭圆，
所以，解得且，.
所以且 ，
故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．
故选：B.
15．A
【分析】由椭圆的定义结合余弦定理解得，通过三角形面积公式即可求得答案.
【详解】由， ，又，解得，
.
故选：A.
16．A
【分析】根据椭圆的定义进行求解即可.
【详解】因为的周长等于10，，
所以，
因此点的轨迹是以为焦点的椭圆，且不在直线上，
因此有，
所以顶点的轨迹方程可以是，
故选：A
17．C
【分析】由椭圆定义确定点轨迹是椭圆，然后求出，可得其方程．
【详解】因为点P为线段AB的垂直平分线与直线AC的交点，所以，
所以，而，
所以点轨迹是以为焦点，长轴长是4的椭圆．设其方程为，
，，，则，
所以点轨迹方程是．
故选：C．
18．B
【分析】由等式表示的几何意义，结合相应圆锥曲线定义即可得解.
【详解】因动点满足关系式，
则该等式表示点到两个定点的距离的和为8，而，
即动点M的轨迹是以为焦点，长轴长的椭圆，于是短半轴长b有，
所以动点M的轨迹方程为.
故选：B
19．B
【分析】用定义法求出轨迹方程，把上下两个顶点去掉.
【详解】解析：因为2c＝|AB|＝2，所以c＝1，
所以|CA|＋|CB|＝6－2＝4＝2a，
所以顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(A，B，C不共线)．因此，顶点C的轨迹方程为(y≠±2)．
故选：B
【点睛】（1）待定系数法、定义法、代入法、参数方程法等方法可以用求二次曲线的标准方程；
（2）求出方程后要检验，把不符合的点去掉.
20．A
【解析】利用相关点法即可求解.
【详解】设线段的中点，，
所以，解得，
又点在圆上，
则，即.
故选：A
21．A
【分析】由椭圆定义求得，已知焦点坐标得，再求出可得椭圆方程．
【详解】∵椭圆的焦点坐标为(﹣5，0)和(5，0)，椭圆上一点与两焦点的距离和是26，
∴椭圆的焦点在x轴上，c＝5，a＝13，∴＝12，
∴椭圆的方程为＝1．
故选：A．
22．A
【分析】根据椭圆方程的特征以及充分条件必要条件的概念可得结果.
【详解】若表示的是椭圆，则且，即成立；
反例：当时，表示的是圆，即不成立；
即p是成立的充分不必要条件，
故选：A.
23．A
【分析】根据椭圆定义可知，取得最值时，即最值，根据可得答案.
【详解】解：由已知可得，得，
根据椭圆定义：，
∴取得最大值时，即 最大，
取得最小值时，即 最小，
根据三角形的两边之差小于第三边有
当三点共线，且点P不在线段上时， ，
即
如图所示：，
当P点在线段的延长线上，即P运动到图中点N的位置时取得最大值．
当P点在线段的延长线上，即P运动到图中点M的位置时取得最小值．
∴的最大值和最小值分别为 ；.
故选：A.
24．C
【分析】易知圆的圆心是为椭圆的左焦点，利用椭圆的定义得到，然后由求解.
【详解】如图所示：
由，得，
则，
则圆的圆心是为椭圆的左焦点，
则右焦点为，
由椭圆的定义得，
所以，
又，
所以，
，
故选：C
25．A
【分析】利用椭圆的定义可得出，分析可知当点为射线与椭圆的交点时，取最小值，即可得解.
【详解】在椭圆中，，，，则、，连接，
所以，
，
当且仅当点为射线与椭圆的交点时，等号成立，故的最小值为.
故选：A.
26．D
【分析】设为椭圆的左焦点，则由椭圆的定义可得：，当共线时，△ABF周长取得最大值，从而可得出答案.
【详解】解：设为椭圆的左焦点，
则由椭圆的定义可得：
，
当共线时，，
当不共线时，，
所以△ABF周长的最大值为20.
故选：D.
27．A
【分析】由离心率的值，可得的关系，由三角形的内切圆的面积，求出内切圆的半径，再由及余弦定理可得的值，进而求出的面积，再由，可得的值，进而求出椭圆的方程．
【详解】由离心率，得，即．
因为的内切圆的面积为，设内切圆的半径为，所以，解得，
由椭圆的定义可知，
在中，，由余弦定理得，
即，
∴，
∴，可得，
所以，
而，
所以可得，解得，，
由，得，
所以该椭圆的方程为．
故选：A．
28．B
【分析】求出，可知为等腰三角形，取的中点，可得出，利用勾股定理求得，利用三角形的面积公式可求得结果.
【详解】在椭圆中，，，则，所以，，
由椭圆的定义可得，
取的中点，因为，则，
由勾股定理可得，
所以，.
故选：B.
29．C
【分析】利用椭圆的几何性质，将求两线段之和的最小值转变为两线段之差的绝对值的最大值即可.
【详解】椭圆的，
如图，
设椭圆的右焦点为 ，
则 ；
；
由图形知，当在直线 上时， ，
当不在直线 上时，
根据三角形的两边之差小于第三边有， ，
当在 的延长线上时， 取得最小值
的最小值为．
故选：C．
30．A
【分析】依据椭圆定义，再利用均值定理即可求得有最大值，为16．
【详解】由题意知，，则．
由基本不等式，知，
（当且仅当时等号成立），所以有最大值，为16．
故选：A．
31．B
【分析】设出点,根据题意列出等式即可求出点.再将其带入椭圆即可求出答案.
【详解】由题意可知椭圆的焦点在轴上，设椭圆为；
由题意知：设.
则.
将代入椭圆：
所以椭圆C的标准方程为.
故选:B
32．CD
【分析】根据曲线的形状求出参数的取值范围，可判断A选项；利用集合的包含关系可判断BCD选项.
【详解】对于A选项，若曲线为椭圆，则，解得且，A错；
对于B选项，因为 或，
所以，“”是“曲线是椭圆”的必要不充分条件，B错；
对于C选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，
又因为 ，
所以，“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的必要不充分条件，C对；
对于D选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，
所以，“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的充要条件，D对.
故选：CD.
33．AC
【分析】根据对偶椭圆的定义求出，再根据关系逐一判断即可.
【详解】由题意，根据对偶椭圆定义，在椭圆标准方程中，，则，
，，，，是对偶椭圆；
B，，，不满足，不是对偶椭圆；
C，，，满足，是对偶椭圆；
D，，，不满足，不是对偶椭圆．
故选：AC
34．ABC
【分析】设椭圆短轴顶点为根据得的最大角为钝角即可判断A；记，则，结合余弦定理与基本不等式求解判断B；结合题意得，进而计算面积判断C；设，直接求解即可判断D.
【详解】解：设椭圆短轴顶点为，由题知椭圆：中，，
所以，，，，，
对于A选项，由于，，所以的最大角为钝角，故存在P使得，正确；
对于B选项，记，则，
由余弦定理：
，当且仅当时取“=”，B正确；
对于C选项，由于，故 ，所以，C正确；
对于D选项，设，则，，于是,故错误.
故选：ABC
35．BD
【分析】设，则，进而根据两点之间的距离公式和二次函数性质求解判断A；根据椭圆定义判断B；根据为短轴端点时，判断C；根据，，三点共线时，有最大值判断D.
【详解】解：对于A选项，设，则，即，
所以，
又，所以当时，，故A错误，
对于B选项，由椭圆定义，，故B正确
对于C选项，当为短轴端点时，
，，，故，进而，故C错误，
对于D选项，，当，，三点共线时，有最大值，故D正确.
故选：BD
36．
【分析】引入右焦点为，根据平面几何性质得，由勾股定理求得，由椭圆定义求得，再求得即可得椭圆标准方程．
【详解】设椭圆C的标准方程为（），右焦点为，连接．
由已知，得．又，所以．
在中，．
由椭圆的定义，可知，所以，
所以，
故椭圆C的标准方程为．
故答案为：．
37．8
【分析】利用椭圆的定义，即可求解周长.
【详解】由椭圆，可得a＝2．
由椭圆的定义可得．
所以的周长．
故答案为：8
38．椭圆
【分析】根据两点间距离公式，即可判断点轨迹满足椭圆的定义.
【详解】可看作M（x，y）到的距离之和为，由于,所以点M的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆.
故答案为：椭圆
39．4
【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义推理计算作答.
【详解】设椭圆C的右焦点为，依题意，，由椭圆的定义得：，
而，即，有，
因此，，当且仅当点P是线段的延长与椭圆C的交点时取“=”，
所以的最小值为4.
故答案为：4
40．（1）椭圆的标准方程为；（2）的最小值为，最大值为.
【分析】（1）由题中已知条件求出椭圆中的即可得到椭圆的标准方程；
（2）设，则，，根据两点间的距离公式并将其化简为二次函数的形式，即得到，根据二次函数知识知当时求得最小值，当时求得最大值.
【详解】（1）因为椭圆，
所以此椭圆的焦点在轴上，
因为直线经过椭圆的一个焦点，
所以令，则，即半焦距，所以，
因为的周长为，
所以，
所以，即，
所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由已知得，设，则，.
所以，
代入，得，
对称轴为，又由于，
所以当时，，此时，
当时，，此时，
所以的最小值为，最大值为.
41．
【分析】由椭圆定义求得，，利用分别在以、为圆心，半径为15、5的圆上，则圆方程联立可求得点坐标．
【详解】解：由已知，，，，
，而，
所以，，
因此点P在分别以、为圆心，半径为15、5的圆上，
因此，解得，
所以点P的坐标为．
42．(1)
(2)存在，坐标为或
【分析】(1)结合已知条件，利用椭圆定义求解即可；(2)首先假设存在这样的点，代入椭圆方程得到一个关系式，然后利用向量的垂直的数量积为0得到另外一个关系式，联立关系式求解即可.
【详解】（1）由题意可知，，从而，
由椭圆的定义可知，曲线C的轨迹为椭圆，
设曲线C的轨迹方程为：，()，且焦距，即，
因为，即，
所以，
故曲线C的方程为：.
（2）假设曲线C上存在这样的点，即 ①，
因为，所以，
即 ②，
联立①②得，，，
从而坐标为或.
故曲线C上存在点M使，且坐标为或.
43．（1）；（2）.
【分析】（1）由条件可得，，即可得出答案.
（2）设，由三角形的面积可求出，代入椭圆方程可答案.
【详解】由已知得，
由的周长为10，即,可得，
所以，
所以此椭圆的方程为.
（2）设，
由，得，
将代入椭圆方程得：，即.
所以.
44．(1)9
(2)25
【分析】（1）根据椭圆的定义以及的关系，结合余弦定理和面积公式即可求得；
（2）由椭圆的定义结合基本不等式即可求得答案.
【详解】（1）在椭圆中，a＝5，b＝3，则．
则，2c＝8，
在中，，即有，
即，所以，
则的面积为．
（2）设，，则m＋n＝10，
所以，即，当且仅当m＝n＝5时取等号．
所以的最大值为25．
45．(1)
(2)
【分析】（1）法一：设椭圆的标准方程为，根据与椭圆有公共的焦点得到c，再将点代入求解；同理设椭圆方程为（）求解；法二：设椭圆的方程为，再将点代入求解；
（2）方法一 ：当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为（），将点的坐标代入求解；同理．当椭圆的焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程（），将点的坐标代入求解； 方法二 设椭圆的方程为（，，），将点的坐标代入求解．
【详解】（1）解：方法一 ：设所求椭圆的标准方程为（）
由，得，即．①
又点在所求椭圆上，所以，②
由①②得，，
即所求椭圆的标准方程是．
方法二 ：设所求椭圆的方程为．
因为点在所求椭圆上，
所以，解得，
所以所求椭圆的标准方程为．
（2）方法一 ：当椭圆的焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为（）．
依题意有，得．
由知，不符合题意，故舍去．
当椭圆的焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程（）．
依题意有，得．
所以所求椭圆的标准方程为．
方法二： 设椭圆的方程为（，，）．
依题意有，解得．
所以所求椭圆的方程为，故椭圆的标准方程为．
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【夯实基础】2023-2024高二数学同步限时训练（新人教A版2019）专题10 椭圆及其标准方程
一、单选题
1．点P为椭圆上一点，，为该椭圆的两个焦点，若，则（ ）
A．13 B．1 C．7 D．5
2．若方程表示的曲线为焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于，两点，若的周长为（ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆的两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点，则该椭圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知椭圆的右焦点为，则正数的值是（ ）
A．3 B．4 C．9 D．21
6．已知曲线，则“”是“曲线C是椭圆”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知，是椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
10．设P为椭圆上的点，，分别为椭圆C的左、右焦点，且，则（ ）
A． B．2 C． D．3
11．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为，则的最大值为（ ）
A．3 B．5 C． D．13
13．设为椭圆上一点，，为左、右焦点，且，则（ ）
A．为锐角三角形 B．为钝角三角形
C．为直角三角形 D．，，三点构不成三角形
14．“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
15．已知点在椭圆上，与分别为左、右焦点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
16．已知的周长等于10，，通过建立适当的平面直角坐标系，顶点的轨迹方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
17．已知圆C的方程为，，A为圆C上任意一点，若点P为线段AB的垂直平分线与直线AC的交点，则点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
18．若动点始终满足关系式，则动点M的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
19．已知A(0，－1)，B(0，1)两点，△ABC的周长为6，则△ABC的顶点C的轨迹方程是（ ）
A．＝1(x≠±2)
B．＝1(y≠±2)
C．＝1(x≠0)
D．＝1(y≠0)
20．已知圆，从圆上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
21．椭圆的焦点坐标为(﹣5，0)和(5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（ ）
A．＝1 B．+＝1 C．+＝1 D．+＝1
22．设表示的是椭圆；，则p是成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
23．已知，是椭圆的左焦点，点P是椭圆上的动点，求的最大值和最小值分别为（ ）
A．； B．； C．； D．；
24．已知点P是椭圆上一动点，Q是圆上一动点，点，则的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
25．、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，设点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
26．若F为椭圆C：的右焦点，A，B为C上两动点，则△ABF周长的最大值为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．20
27．已知椭圆，其左 右焦点分别为，，离心率为，点P为该椭圆上一点，且满足，若的内切圆的面积为，则该椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
28．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
29．是椭圆的左焦点是椭圆上的动点为定点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
30．已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则（ ）
A．有最大值，为16 B．有最小值，为16
C．有最大值，为4 D．有最小值，为4
31．已知椭圆C的一个焦点F（0，-），P为C上一点，满足则椭圆C的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
32．对于曲线，下面四个说法正确的是（ ）
A．曲线不可能是椭圆
B．“”是“曲线是椭圆”的充分不必要条件
C．“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的必要不充分条件
D．“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的充要条件
33．将一个椭圆绕其对称中心旋转，若所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，则称该椭圆为“对偶椭圆”下列椭圆的方程中，是“对偶椭圆”的方程的是（ ）
A． B．
C． D．
34．已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A．存在P使得 B．的最小值为
C．，则的面积为9 D．直线与直线斜率乘积为定值
35．已知是左右焦点分别为，的上的动点，，下列说法正确的有（ ）
A．的最大值为5 B．
C．存在点，使 D．的最大值为
三、填空题
36．如图，已知椭圆C的中心为坐标原点O，为C的左焦点，P为C上一点，且满足，，则椭圆C的标准方程为______．
37．经过椭圆的左焦点，作不垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长为______．
38．如果点M（x，y）在运动过程中，总满足关系式，那么点M的轨迹是______．
39．已知，F是椭圆C：的左焦点，点P是椭圆C上的动点，则的最小值为___________.
四、解答题
40．设椭圆的左右焦点分别为，是上的动点，直线经过椭圆的一个焦点，的周长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）为椭圆上一点，求的最小值和最大值（写出严谨的推导过程）.
41．已知点P是椭圆上一点，它到椭圆的左焦点的距离是它到右焦点的距离的3倍，求点P的坐标．
42．已知两点、，曲线C上的动点P满足．
(1)求曲线C的方程；
(2)曲线C上是否存在点M使 若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
43．在平面直角坐标系中，已知，是椭圆：两个焦点，点P在椭圆上，且的周长为10.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若的面积等于2，求点P的坐标
44．已知P是椭圆上的一点，、为椭圆的两个焦点．
(1)若，求的面积；
(2)求的最大值．
45．求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)过点，且与椭圆有公共的焦点；
(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点，．
参考答案：
1．D
【分析】写出椭圆的标准方程，由椭圆的定义得到，从而求出答案.
【详解】椭圆方程为：，由椭圆定义可知：，
故
故选：D
2．C
【分析】根据题意可得，解之即可得解.
【详解】解：因为方程表示的曲线为焦点在轴上的椭圆，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：C.
3．D
【分析】运用椭圆的定义进行求解即可.
【详解】由.
因为，是椭圆的上的点，、是椭圆的焦点，
所以，
因此的周长为，
故选：D
4．A
【分析】根据椭圆的焦点可求，根据经过点，可得，进而可求解，即可得椭圆方程.
【详解】因为焦点坐标为和，所以.椭圆经过点，且焦点在x轴上，所以，所以，则椭圆的标准方程为.
故选:A.
5．A
【分析】由直接可得.
【详解】由题知，
所以，因为，所以.
故选：A
6．C
【分析】根据已知曲线的方程和椭圆的方程特点，结合充分条件和必要条件的判定即可
【详解】若曲线是椭圆，则有：
解得：，且
故“”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件
故选：C
7．C
【分析】首先设，，再利用焦点三角形是直角三角形，列式求，即可求得的值.
【详解】设，，因为，，，所以，，所以，所以，所以．因为，所以．所以椭圆的方程是．
故选：C
8．C
【分析】根据椭圆方程求得，由椭圆的定义，得，求得，所以，在中，再由余弦定理列出方程，求得，即可求解．
【详解】解：由题意，椭圆方程，可得，
所以焦点，
又由椭圆的定义，可得，因为，所以，
在中，由余弦定理可得,
所以，解得，
又由，所以.
故选:C．
9．C
【分析】根据椭圆方程求得，再由椭圆的定义可得，利用基本不等式即可求解．
【详解】解：由椭圆可得，所以，
因为点在上，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，最大值为9.
故选：C．
10．B
【分析】先利用椭圆得到，根据椭圆的定义可得到，结合可算出，，即可算出答案
【详解】解：由椭圆可得即，
因为P为椭圆上的点，所以，
因为，所以，，故，
故选：B．
11．D
【分析】由题知，再解不等式即可.
【详解】解：方程表示焦点在轴上的椭圆，
，解得：．
故选：D．
12．B
【分析】由，结合图形即得.
【详解】因为椭圆，
所以，，
则椭圆的右焦点为，
由椭圆的定义得：，
当点P在点处，取等号，
所以的最大值为5，
故选：B.
13．D
【分析】根据椭圆方程求出，然后结合椭圆定义和已知条件求出并求出，进而判断答案.
【详解】由题意可知，，由椭圆的定义可知，而，联立方程解得，且，则6+2=8，即不构成三角形.
故选：D.
14．B
【分析】利用方程表示椭圆的条件及充分条件必要条件的定义即可求解.
【详解】因为方程表示椭圆，
所以，解得且，.
所以且 ，
故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．
故选：B.
15．A
【分析】由椭圆的定义结合余弦定理解得，通过三角形面积公式即可求得答案.
【详解】由， ，又，解得，
.
故选：A.
16．A
【分析】根据椭圆的定义进行求解即可.
【详解】因为的周长等于10，，
所以，
因此点的轨迹是以为焦点的椭圆，且不在直线上，
因此有，
所以顶点的轨迹方程可以是，
故选：A
17．C
【分析】由椭圆定义确定点轨迹是椭圆，然后求出，可得其方程．
【详解】因为点P为线段AB的垂直平分线与直线AC的交点，所以，
所以，而，
所以点轨迹是以为焦点，长轴长是4的椭圆．设其方程为，
，，，则，
所以点轨迹方程是．
故选：C．
18．B
【分析】由等式表示的几何意义，结合相应圆锥曲线定义即可得解.
【详解】因动点满足关系式，
则该等式表示点到两个定点的距离的和为8，而，
即动点M的轨迹是以为焦点，长轴长的椭圆，于是短半轴长b有，
所以动点M的轨迹方程为.
故选：B
19．B
【分析】用定义法求出轨迹方程，把上下两个顶点去掉.
【详解】解析：因为2c＝|AB|＝2，所以c＝1，
所以|CA|＋|CB|＝6－2＝4＝2a，
所以顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(A，B，C不共线)．因此，顶点C的轨迹方程为(y≠±2)．
故选：B
【点睛】（1）待定系数法、定义法、代入法、参数方程法等方法可以用求二次曲线的标准方程；
（2）求出方程后要检验，把不符合的点去掉.
20．A
【解析】利用相关点法即可求解.
【详解】设线段的中点，，
所以，解得，
又点在圆上，
则，即.
故选：A
21．A
【分析】由椭圆定义求得，已知焦点坐标得，再求出可得椭圆方程．
【详解】∵椭圆的焦点坐标为(﹣5，0)和(5，0)，椭圆上一点与两焦点的距离和是26，
∴椭圆的焦点在x轴上，c＝5，a＝13，∴＝12，
∴椭圆的方程为＝1．
故选：A．
22．A
【分析】根据椭圆方程的特征以及充分条件必要条件的概念可得结果.
【详解】若表示的是椭圆，则且，即成立；
反例：当时，表示的是圆，即不成立；
即p是成立的充分不必要条件，
故选：A.
23．A
【分析】根据椭圆定义可知，取得最值时，即最值，根据可得答案.
【详解】解：由已知可得，得，
根据椭圆定义：，
∴取得最大值时，即 最大，
取得最小值时，即 最小，
根据三角形的两边之差小于第三边有
当三点共线，且点P不在线段上时， ，
即
如图所示：，
当P点在线段的延长线上，即P运动到图中点N的位置时取得最大值．
当P点在线段的延长线上，即P运动到图中点M的位置时取得最小值．
∴的最大值和最小值分别为 ；.
故选：A.
24．C
【分析】易知圆的圆心是为椭圆的左焦点，利用椭圆的定义得到，然后由求解.
【详解】如图所示：
由，得，
则，
则圆的圆心是为椭圆的左焦点，
则右焦点为，
由椭圆的定义得，
所以，
又，
所以，
，
故选：C
25．A
【分析】利用椭圆的定义可得出，分析可知当点为射线与椭圆的交点时，取最小值，即可得解.
【详解】在椭圆中，，，，则、，连接，
所以，
，
当且仅当点为射线与椭圆的交点时，等号成立，故的最小值为.
故选：A.
26．D
【分析】设为椭圆的左焦点，则由椭圆的定义可得：，当共线时，△ABF周长取得最大值，从而可得出答案.
【详解】解：设为椭圆的左焦点，
则由椭圆的定义可得：
，
当共线时，，
当不共线时，，
所以△ABF周长的最大值为20.
故选：D.
27．A
【分析】由离心率的值，可得的关系，由三角形的内切圆的面积，求出内切圆的半径，再由及余弦定理可得的值，进而求出的面积，再由，可得的值，进而求出椭圆的方程．
【详解】由离心率，得，即．
因为的内切圆的面积为，设内切圆的半径为，所以，解得，
由椭圆的定义可知，
在中，，由余弦定理得，
即，
∴，
∴，可得，
所以，
而，
所以可得，解得，，
由，得，
所以该椭圆的方程为．
故选：A．
28．B
【分析】求出，可知为等腰三角形，取的中点，可得出，利用勾股定理求得，利用三角形的面积公式可求得结果.
【详解】在椭圆中，，，则，所以，，
由椭圆的定义可得，
取的中点，因为，则，
由勾股定理可得，
所以，.
故选：B.
29．C
【分析】利用椭圆的几何性质，将求两线段之和的最小值转变为两线段之差的绝对值的最大值即可.
【详解】椭圆的，
如图，
设椭圆的右焦点为 ，
则 ；
；
由图形知，当在直线 上时， ，
当不在直线 上时，
根据三角形的两边之差小于第三边有， ，
当在 的延长线上时， 取得最小值
的最小值为．
故选：C．
30．A
【分析】依据椭圆定义，再利用均值定理即可求得有最大值，为16．
【详解】由题意知，，则．
由基本不等式，知，
（当且仅当时等号成立），所以有最大值，为16．
故选：A．
31．B
【分析】设出点,根据题意列出等式即可求出点.再将其带入椭圆即可求出答案.
【详解】由题意可知椭圆的焦点在轴上，设椭圆为；
由题意知：设.
则.
将代入椭圆：
所以椭圆C的标准方程为.
故选:B
32．CD
【分析】根据曲线的形状求出参数的取值范围，可判断A选项；利用集合的包含关系可判断BCD选项.
【详解】对于A选项，若曲线为椭圆，则，解得且，A错；
对于B选项，因为 或，
所以，“”是“曲线是椭圆”的必要不充分条件，B错；
对于C选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，
又因为 ，
所以，“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的必要不充分条件，C对；
对于D选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，
所以，“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的充要条件，D对.
故选：CD.
33．AC
【分析】根据对偶椭圆的定义求出，再根据关系逐一判断即可.
【详解】由题意，根据对偶椭圆定义，在椭圆标准方程中，，则，
，，，，是对偶椭圆；
B，，，不满足，不是对偶椭圆；
C，，，满足，是对偶椭圆；
D，，，不满足，不是对偶椭圆．
故选：AC
34．ABC
【分析】设椭圆短轴顶点为根据得的最大角为钝角即可判断A；记，则，结合余弦定理与基本不等式求解判断B；结合题意得，进而计算面积判断C；设，直接求解即可判断D.
【详解】解：设椭圆短轴顶点为，由题知椭圆：中，，
所以，，，，，
对于A选项，由于，，所以的最大角为钝角，故存在P使得，正确；
对于B选项，记，则，
由余弦定理：
，当且仅当时取“=”，B正确；
对于C选项，由于，故 ，所以，C正确；
对于D选项，设，则，，于是,故错误.
故选：ABC
35．BD
【分析】设，则，进而根据两点之间的距离公式和二次函数性质求解判断A；根据椭圆定义判断B；根据为短轴端点时，判断C；根据，，三点共线时，有最大值判断D.
【详解】解：对于A选项，设，则，即，
所以，
又，所以当时，，故A错误，
对于B选项，由椭圆定义，，故B正确
对于C选项，当为短轴端点时，
，，，故，进而，故C错误，
对于D选项，，当，，三点共线时，有最大值，故D正确.
故选：BD
36．
【分析】引入右焦点为，根据平面几何性质得，由勾股定理求得，由椭圆定义求得，再求得即可得椭圆标准方程．
【详解】设椭圆C的标准方程为（），右焦点为，连接．
由已知，得．又，所以．
在中，．
由椭圆的定义，可知，所以，
所以，
故椭圆C的标准方程为．
故答案为：．
37．8
【分析】利用椭圆的定义，即可求解周长.
【详解】由椭圆，可得a＝2．
由椭圆的定义可得．
所以的周长．
故答案为：8
38．椭圆
【分析】根据两点间距离公式，即可判断点轨迹满足椭圆的定义.
【详解】可看作M（x，y）到的距离之和为，由于,所以点M的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆.
故答案为：椭圆
39．4
【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义推理计算作答.
【详解】设椭圆C的右焦点为，依题意，，由椭圆的定义得：，
而，即，有，
因此，，当且仅当点P是线段的延长与椭圆C的交点时取“=”，
所以的最小值为4.
故答案为：4
40．（1）椭圆的标准方程为；（2）的最小值为，最大值为.
【分析】（1）由题中已知条件求出椭圆中的即可得到椭圆的标准方程；
（2）设，则，，根据两点间的距离公式并将其化简为二次函数的形式，即得到，根据二次函数知识知当时求得最小值，当时求得最大值.
【详解】（1）因为椭圆，
所以此椭圆的焦点在轴上，
因为直线经过椭圆的一个焦点，
所以令，则，即半焦距，所以，
因为的周长为，
所以，
所以，即，
所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由已知得，设，则，.
所以，
代入，得，
对称轴为，又由于，
所以当时，，此时，
当时，，此时，
所以的最小值为，最大值为.
41．
【分析】由椭圆定义求得，，利用分别在以、为圆心，半径为15、5的圆上，则圆方程联立可求得点坐标．
【详解】解：由已知，，，，
，而，
所以，，
因此点P在分别以、为圆心，半径为15、5的圆上，
因此，解得，
所以点P的坐标为．
42．(1)
(2)存在，坐标为或
【分析】(1)结合已知条件，利用椭圆定义求解即可；(2)首先假设存在这样的点，代入椭圆方程得到一个关系式，然后利用向量的垂直的数量积为0得到另外一个关系式，联立关系式求解即可.
【详解】（1）由题意可知，，从而，
由椭圆的定义可知，曲线C的轨迹为椭圆，
设曲线C的轨迹方程为：，()，且焦距，即，
因为，即，
所以，
故曲线C的方程为：.
（2）假设曲线C上存在这样的点，即 ①，
因为，所以，
即 ②，
联立①②得，，，
从而坐标为或.
故曲线C上存在点M使，且坐标为或.
43．（1）；（2）.
【分析】（1）由条件可得，，即可得出答案.
（2）设，由三角形的面积可求出，代入椭圆方程可答案.
【详解】由已知得，
由的周长为10，即,可得，
所以，
所以此椭圆的方程为.
（2）设，
由，得，
将代入椭圆方程得：，即.
所以.
44．(1)9
(2)25
【分析】（1）根据椭圆的定义以及的关系，结合余弦定理和面积公式即可求得；
（2）由椭圆的定义结合基本不等式即可求得答案.
【详解】（1）在椭圆中，a＝5，b＝3，则．
则，2c＝8，
在中，，即有，
即，所以，
则的面积为．
（2）设，，则m＋n＝10，
所以，即，当且仅当m＝n＝5时取等号．
所以的最大值为25．
45．(1)
(2)
【分析】（1）法一：设椭圆的标准方程为，根据与椭圆有公共的焦点得到c，再将点代入求解；同理设椭圆方程为（）求解；法二：设椭圆的方程为，再将点代入求解；
（2）方法一 ：当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为（），将点的坐标代入求解；同理．当椭圆的焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程（），将点的坐标代入求解； 方法二 设椭圆的方程为（，，），将点的坐标代入求解．
【详解】（1）解：方法一 ：设所求椭圆的标准方程为（）
由，得，即．①
又点在所求椭圆上，所以，②
由①②得，，
即所求椭圆的标准方程是．
方法二 ：设所求椭圆的方程为．
因为点在所求椭圆上，
所以，解得，
所以所求椭圆的标准方程为．
（2）方法一 ：当椭圆的焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为（）．
依题意有，得．
由知，不符合题意，故舍去．
当椭圆的焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程（）．
依题意有，得．
所以所求椭圆的标准方程为．
方法二： 设椭圆的方程为（，，）．
依题意有，解得．
所以所求椭圆的方程为，故椭圆的标准方程为．
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