专题09 直线与圆、圆与圆的位置关系-【夯实基础】2023-2024高二数学同步限时训练(人教A版2019选择性必修第一册)（含解析)
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| 名称 | 专题09 直线与圆、圆与圆的位置关系-【夯实基础】2023-2024高二数学同步限时训练(人教A版2019选择性必修第一册)（含解析) |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 6.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-13 23:39:44 | ||
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文档简介
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【夯实基础】2023-2024高二数学同步限时训练（新人教A版2019）专题09 直线与圆、圆与圆的位置关系
一、单选题
1．若圆与直线只有一个公共点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．直线与圆的位置关系是（ ）
A．直线过圆心 B．相切 C．相离 D．相交
3．经过点作圆的切线，则切线的方程为
A． B． C． D．
4．由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为
A． B． C． D．
5．过点作圆的切线，若切点为A、，则直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
6．经过点的圆的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知在圆上到直线的距离为的点恰有一个，则（ ）
A． B． C．2 D．
8．已知圆的标准方程是，圆：关于直线对称，则圆与圆的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．内含
9．圆与圆的位置关系为（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
10．已知圆的方程为，圆的方程为，其中．那么这两个圆的位置关系不可能为（ ）
A．外离 B．外切 C．内含 D．内切
11．圆上动点到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．直线：与圆：的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
13．已知直线被圆截得的弦长为，点是直线l上的任意一点，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．直线和圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
15．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都不对
16．圆 与直线 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
17．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．与a的大小有关
18．圆与圆的公切线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
19．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有（ ）
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
20．如图，某个圆拱桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米；当水面下降1米后，桥在水面的跨度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
21．已知圆与圆，则两圆公切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
22．已知圆，圆，则两圆的公切线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
23．若圆与圆有且仅有三条公切线，则a=（ ）
A．-4 B．-1 C．4 D．11
24．若圆，圆，则，的公切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
25．过点作圆的切线，切线的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
26．过坐标原点O作圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4的两条切线，切点为A，B．直线AB被圆截得弦AB的长度为（ ）
A． B． C． D．
27．若圆与圆内切，则 （ ）
A． B． C． D．
28．若圆与圆外切，则（ ）
A．36 B．38 C．48 D．50
29．P是直线x+y-2=0上的一动点，过点P向圆引切线，则切线长的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
30．已知圆和圆，那么这两个圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
31．圆与圆公切线的条数为（ ）
A． B． C． D．
32．圆与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
33．已知两圆分别为圆C1：x2＋y2＝49和圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0，这两圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．外切 C．内含 D．相交
34．圆：与圆：交于、两点，则（ ）
A．6 B．5 C． D．
35．设曲线上的点到直线的距离的最大值为a，最小值为b，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
36．已知P是曲线C：上的点，Q是直线上的一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
37．已知圆与圆相交于两点，则两圆的公共弦
A． B． C． D．2
38．已知圆与圆没有公共点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
39．已知圆和圆，若圆和有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
40．圆：上的点到直线：的最大距离为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
41．已知点P与点的距离不大于1，则点P到直线的距离最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
42．圆与圆的位置关系为（ ）
A．内切 B．相切 C．相交 D．外离
43．已知点是直线上的动点，点为圆上的动点，则的最小值为
A． B．1 C． D．
44．已知半径为2的圆经过点，其圆心到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
45．已知是圆内一点，则直线与圆公共点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．以上都有可能
46．直线与圆的公共点个数为 （ ）
A．个 B．个 C．个 D．个或个
47．圆上到直线的距离为的点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
48．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定
49．若为圆的弦的中点，则直线的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
50．已知直线和圆的交点为A，B，且，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．
51．若直线与圆相切，则（ ）
A．1 B． C．或3 D．或1
52．直线被圆截得的弦长为（ ）
A． B．2 C． D．与k的取值有关
53．直线与圆相切，则的值是（ ）
A．－2或12 B．2或－12 C．－2或－12 D．2或12
54．直线被圆截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
55．直线被圆截得的弦长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
56．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
57．已知点是直线上一动点，直线是圆的两条切线，为切点，为圆心，则四边形面积的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．4
58．若从坐标原点O向圆作两条切线，切点分别为A，B，则线段的长为（ ）
A． B．3 C． D．
59．已知圆与圆相切，则实数的取值个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
60．已知P（x，y）是直线kx+y+3=0（k>0）上一动点，PA，PB 是圆C：+2y=0的两条切线，.A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
61．已知曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
62．由直线上的点向圆作切线，则切线长的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．3
63．已知点是圆上的动点，到直线的距离为，当变化时，的最大值为（ ）
A． B． C． D．
64．已知点是曲线上的动点，则点到直线距离的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
65．已知圆和圆的公共弦长为，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
66．已知圆经过原点，则圆上的点到直线距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
67．若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
68．已知圆关于直线对称，圆的标准方程是，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．内含
69．为上一点，为直线上一点，则线段长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
70．已知直线与曲线有两个公共点，则实数b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
71．已知过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
72．已知直线和圆：，则直线与圆的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
二、多选题
73．过点作圆的切线l，则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
74．圆和圆的交点为A，B，则有（ ）
A．公共弦所在直线方程为 B．线段中垂线方程为
C．公共弦的长为 D．P为圆上一动点，则P到直线距离的最大值为
75．(多选)已知圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0与直线x－y＝1，则（ ）
A．圆心坐标为(1，－2)
B．圆心到直线的距离为
C．直线与圆相交
D．圆的半径为
76．(多选)直线l与圆C有公共点，则直线l与圆C的位置关系可能是（ ）
A．相交 B．相切
C．相离 D．不能确定
77．已知圆，直线．则下列选项正确的是（ ）
A．直线恒过定点 B．直线与圆C的位置可能相交、相切和相离
C．直线被圆C截得的最短弦长为12 D．直线被圆C截得的最短弦长对应的k值为
78．已知圆上至多有一点到直线的距离为1，则实数m的取值可以是（ ）
A．0 B．1 C．3 D．5
79．已知圆和圆的公共点为，，则（ ）
A． B．直线的方程是
C． D．
三、填空题
80．设圆：和圆：交于，两点，则线段的垂直平分线所在直线的方程为_________
81．两圆和相交于两点M，N，则线段的长为_________．
82．已知圆与圆相交，则它们交点所在的直线方程为_________.
83．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为，则a＝________.
84．直线：与圆：相交，当直线被圆所截得的弦长最短时，直线的方程为___________.
85．设直线与圆交于两点，则__________．
86．已知圆和圆相交于A、B两点，则线段AB的长度为__________．
87．已知圆：和圆：相交于，两点，则直线的方程是______，线段 的长度是______.
88．圆上恰好有两点到直线的距离为，则实数的取值范围是___________.
89．在圆上有且仅有两个点到直线的距离为，则a的取值范围为__________．
四、解答题
90．已知圆：，是圆内一点，是圆外一点．
（1）是圆中过点最长的弦，是圆中过点最短的弦，求四边形的面积；
（2）过点作直线交圆于、两点，求面积的最大值，并求此时直线的方程．
91．如图，某海面上有、、三个小岛（面积大小忽略不计），岛在岛的北偏东方向距岛千米处，岛在岛的正东方向距岛20千米处.以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系.圆经过、、三点.
（1）求圆的方程；
（2）若圆区域内有未知暗礁，现有一船D在岛的南偏西30°方向距岛40千米处，正沿着北偏东行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？
92．已知点点在圆上运动，点为线段的中点.
（1）求点的轨迹方程；
（2）求点到直线的距离的最大值和最小值.
93．已知圆，直线恒过点.
（1）若直线与圆相切，求的方程；
（2）当直线与圆相交于两点，且时，求的方程.
94．判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆截得的弦长．
95．已知圆，直线.
（1）证明：直线与圆相交.
（2）设与圆交于两点，若，求直线的倾斜角及其方程.
96．已知圆，直线，且直线与圆交于不同的两点，定点的坐标为.
（1）求实数的取值范围；
（2）若两点的中点为，直线与直线的交点为，求证：为定值.
97．已知圆和直线.
（1）证明：不论为何实数，直线都与圆相交于两点；
（2）求直线被圆截得的最短弦长并求此时直线的方程；
（3）已知点在圆C上，求的最大值.
98．已知圆C的圆心坐标为C（3，0），且该圆经过点A（0，4）．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若点B也在圆C上，且弦AB长为8，求直线AB的方程；
（3）直线l交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之积为2，求证：直线l过一个定点，并求出该定点坐标．
（4）直线l交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之和为0，求证：直线l的斜率是定值，并求出该定值．
99．有一种大型商品，、两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离，地的运费是地运费的倍﹐已知 两地相距千米，顾客购物的唯一标准是总费用较低.建立适当的平面直角坐标系
（1）求、两地的售货区域的分界线的方程﹔
（2）画出分界线的方程表示的曲线的示意图，并指出在方程的曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地.
100．已知直线，圆．
（1）求证：不论取什么实数，直线与圆恒相交于两点；
（2）当直线被圆截得的线段最短时，求线段的最短长度及此时的值．
参考答案：
1．C
【分析】根据给定条件可知直线是已知圆的切线，由点到直线距离公式求解即得.
【详解】因圆与直线只有一个公共点，
则直线与圆切线，圆心到该直线距离为半径1，
即，而，则有，
所以的值为2.
故选：C
2．B
【解析】求出圆的圆心与半径，求出圆心到直线的距离，由即可判断.
【详解】圆的圆心为 ，半径
圆心到直线的距离
所以直线与圆相切
故选：B
3．A
【分析】点在圆上，所以可得,即可求出切线斜率，，进而可求出切线方程.
【详解】因为点在圆上，所以，因此切线斜率为2，故切线方程为，整理得
【点睛】本题主要考查圆的切线方程，属于基础题型.
4．B
【分析】过圆心作直线的垂线，垂线与直线的交点向圆引切线，切线长最小．
【详解】圆心,半径 ，圆心到直线的距离
则切线长的最小值
【点睛】本题考查圆的切线长，考查数形结合思想，属于基础题．
5．B
【分析】先求出以为圆心，为半径为圆的方程，再求两个圆的公共弦方程即可.
【详解】根据题意，设，圆的圆心为，半径，
有，
则，
则以为圆心，为半径为圆为，即，
公共弦所在的直线即直线，
则，变形可得；
即直线的方程是；
故选：B.
【点睛】求两个圆的公共弦方程的方法就是两个圆的方程相减，消去x、y平方项，变成关于x、y的一次方程.
6．D
【分析】判断点在圆上，再由切线的几何性质求斜率，进而求切线方程.
【详解】，
在圆上，且，
过的切线斜率为.
过的切线方程为：，即.
故选:D.
7．A
【分析】首先求得圆心到直线的距离为，结合图像由题意可知.
【详解】圆圆心，
则圆心直线的距离，
要想圆上到直线的距离为的点恰有一个，
由图得：.
故选：A.
【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
8．C
【解析】利用圆关于直线对称可求的值，然后利用圆心距与两个圆的半径间的关系可求结果.
【详解】由题意可得，圆的圆心为，半径为5
因为圆关于直线对称，
所以，得，
所以圆的圆心为，半径为2，
则两圆圆心距，因为，所以圆与圆的位置关系是相交，
故选：C.
9．A
【分析】根据圆心距与半径的关系可判断.
【详解】圆，即，表示以为圆心，半径等于1的圆.
圆，表示以为圆心，半径等于3的圆.
两圆的圆心距，
，故两个圆相内切.
故选：A.
10．C
【解析】求出圆心距的取值范围，然后利用圆心距与半径的和差关系判断.
【详解】由两圆的标准方程可得，，，；
则，所以两圆不可能内含.
故选：C.
11．A
【解析】求出圆心与半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，由即可求解.
【详解】∵圆，∴圆心，半径，
∴圆心到直线的距离，
∴圆上的点到
直线的距离最小值为，
故选：A.
12．A
【解析】由直线方程可得直线过定点，又点在圆内，得到答案.
【详解】直线：过定点，
因为，则点在圆的内部，
∴直线与圆相交，
故选：A.
13．A
【分析】利用原点（圆心）到直线的距离求得正确选项.
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离，
所以的最小值为.
故选：A
14．A
【解析】根据圆心到直线的距离判断即可.
【详解】圆心到直线的距离
即直线和圆相交
故选：A
15．A
【解析】求出圆心到直线的距离和半径比较即可得出.
【详解】圆化为标准方程为，
可得圆心为，半径为4，
则圆心到直线的距离，
故直线与圆相交.
故选：A.
16．C
【解析】求出圆心到直线的距离，与半径大小作比较，得出位置关系
【详解】圆心为，半径
圆心到直线的距离为
所以直线与圆相离
故选：C
【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
17．A
【分析】先判断直线恒过定点，再判断该定点在圆内，即得结果．
【详解】直线l：，即恒过，而，故点在圆内，
故直线与圆必然相交．
故选：A．
18．B
【分析】求出两圆的位置关系即可得出结果.
【详解】圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
由于圆心距，满足：，
故两圆相交，故而可得两圆公切线的条数为2条，
故选：B.
【点睛】本题主要通过两圆的位置关系求公切线的条数，属于基础题.
19．B
【分析】判断出两圆的位置关系后可得内公切线条数．
【详解】圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，内公切线条数为2.
故选：B．
20．C
【分析】以圆拱桥的顶点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设圆拱所在圆的圆心为，，得到圆的方程，记水面下降前与圆的两交点为，；记水面下降米后与圆的两交点为，；由题中条件，得到点坐标，代入圆的方程求出，再求出点横坐标，即可得出结果.
【详解】以圆拱桥的顶点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则圆拱所在圆的圆心位于轴负半轴上，设该圆的圆心为，，
则该圆的方程为，
记水面下降前与圆的两交点为，；记水面下降米后与圆的两交点为，；
由题意可得，，则，解得，
所以圆的方程为，
水面位下降米后，可知点纵坐标为，
所以，解得，
则此时的桥在水面的跨度为米.
故选：C.
【点睛】思路点睛：
求解圆的应用问题时，一般需要结合题中条件，建立适当的坐标系，求出所需圆的方程，再由圆的方程进行求解即可.
21．B
【解析】首先将圆的方程配成标准式，再求出圆心距，即可判断两圆的位置关系，从而得到其公切线的条数；
【详解】解：圆，即，圆心，半径；圆，即，圆心，半径，所以圆心距，，所以两圆相交，故有两条公切线，
故选：B
22．B
【解析】根据圆的方程，求得圆心距和两圆的半径之和，之差，判断两圆的位置关系求解.
【详解】因为圆，圆，
所以， ，
所以，
所以两圆相交，
所以两圆的公切线的条数为2，
故选：B
23．C
【解析】由题可得两圆外切，则由圆心距等于半径之和可求出.
【详解】圆的圆心为，半径为2，
圆的圆心为，半径为，
两圆有且仅有三条公切线，两圆外切，
则可得，解得.
故选：C.
24．B
【解析】先得圆的方程的标准形式，得到圆心和半径，得到两圆的位置关系即可得公切线的条数.
【详解】依题意，圆，圆心为，半径为3；
圆，圆心为，半径为6；
因为，故圆，相交，有2条公切线，
故选：B.
25．D
【分析】对直线的斜率存在、不存在分两种情况讨论，利用点到线的距离等于半径得到方程，求出参数的值，即可得解；
【详解】解：圆的圆心为，半径，过点作圆的切线，当直线的斜率不存在时，直线方程为，满足条件，
当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线方程为，即，则，解得，故切线方程为，
综上可得切线方程为或
故选：D
26．B
【分析】根据题意画出图像,再根据垂径定理分别求得的长度即可.
【详解】如图所示,易得,故 .
故选：B
【点睛】本题主要考查了直线与圆相切求弦长的问题,需要利用三角形中的关系以及垂径定理求解,属于基础题型.
27．A
【解析】先判断圆为大圆，再利用两圆内切则圆心距等于两圆半径之差，列式计算即得结果.
【详解】易见点在圆的外部，由两圆内切可知，圆为大圆，两圆的圆心距等于两圆半径之差，而大圆半径为r，小圆半径为，圆心距为，所以，
故.
故选：A.
28．C
【解析】先把C1、C2 化为标准方程，再利用圆与圆相外切，圆心距等于半径的和即可。
【详解】依题意，圆，圆，故，解得，故选C．
【点睛】圆C1和圆C2 的半径分别为R和r，圆心距为d，圆与圆的位置关系由5种：
（1）相离；（2）相外切；（3）相交；（4）相内切；（5）相内含；
29．C
【分析】由圆的标准方程，找出圆心坐标和圆的半径，要使切线长最小，则必须点到圆的距离最小，求出圆心到直线的距离，利用切线的性质及勾股定理求出切线长的最小值即可.
【详解】∵圆，∴圆心，半径.
由题意可知，点到圆的切线长最小时，
垂直于直线.
∵圆心到直线的距离，
∴切线长的最小值为：.
故选：C.
【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键.
30．C
【解析】利用两圆圆心距离与两半径关系判断圆与圆的位置关系可得答案.
【详解】由已知的，
所以，，
所以，故两圆相交.
故选：C.
【点睛】结论点睛：此题考查了圆与圆的位置关系，以及两点间的距离公式．圆与圆位置关系的判定常用方法为：时，两圆内含；时，两圆内切；时，两圆相交；时，两圆外切；时，两圆相离（d为两圆心间的距离，R和r分别为两圆的半径）．
31．D
【解析】将圆化为标准方程，分别判断两个圆的圆心坐标与半径，计算两圆圆心距离，判断两个圆的位置关系，从而得公切线条数.
【详解】的圆心坐标，半径为；化为标准方程为，
所以圆心坐标，半径为，则，
所以两个圆外切，所以公切线条数为条.
故选：D.
32．D
【解析】计算出圆心距，比较圆心距与两圆半径差的绝对值的大小关系，可得出结论.
【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
，因此，两圆内切.
故选：D.
33．D
【分析】根据两圆圆心之间的距离大于两圆半径之差，小于两圆半径之和，那么两圆相交.
【详解】圆C1：x2＋y2＝49，圆心为 ，半径 ，
圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0，圆心为 ，半径 ，
两圆圆心之间距离为5， ，故两圆相交，
故选：D
34．D
【分析】先求出两个圆的半径和圆心距，然后在中，利用余弦定理求出的值，从而可求出，再利用圆的半径，圆心距和半径的关系可求得结果
【详解】圆的半径，圆的半径，，
故在中，，
故．
故选：D
35．C
【分析】求得圆心到直线的距离为，进而求得的值，即可求解.
【详解】由题意，圆的圆心坐标为，半径为，
可得圆心到直线的距离为，
所以，，所以.
故选：C.
36．D
【分析】，曲线是圆心为，半径的左半圆，利用点到直线距离公式，即可得出结果.
【详解】，∴曲线是圆心为，半径的左半圆，曲线上的点到到直线的最小距离为原点到直线的距离，
故选:D.
37．A
【分析】两圆方程相减得所在的直线方程，再求出到直线的距离，从而由的半径，利用勾股定理及垂径定理即可求出．
【详解】圆与圆相减得所在的直线方程：.
∵圆的圆心，，
圆心到直线：的距离，
则．
故选A
【点睛】本题考查了圆与圆的公共弦的弦长和直线与圆相交的性质，求出公共弦所在的直线方程是解本题的关键，属于基础题．
38．C
【解析】由题意判断两圆的位置关系为外离或者内含，根据圆与圆的位置关系列出不等式求解即可.
【详解】圆的圆心为，圆的圆心为，半径
圆心距
因为两圆没有公共点，所以两圆的位置关系为外离或者内含
则或，即或
解得或
故选：C
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是由题意判断两圆的位置关系，再由圆与圆的位置关系得出参数的范围.
39．C
【解析】由题意可得出，进而可求得的取值范围.
【详解】由题意可知，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
所以，，
由于两圆有公共点，则，即，解得.
故选：C.
40．B
【分析】求出圆心到直线的距离，加上半径，即可求出圆上的点到直线的最大距离.
【详解】由题意，圆心到直线的距离，
所以，圆上的点到直线的最大距离是，
故选：B.
41．B
【分析】依题意知点P的轨迹为以为圆心半径为1的圆面，则点P到直线的距离最小值为圆心到直线的距离减去半径．
【详解】设点，则，
圆心到的距离为
则点P到直线的距离最小值为
故选：B
42．C
【分析】分别求出两圆的圆心和半径，再求出圆心距，通过比较可得结论．
【详解】解：圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
所以，
所以两圆相交，
故选：C
43．A
【详解】的最小值为 ,选A.
点睛：与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．
44．B
【解析】设圆心坐标得到圆的圆心的轨迹方程，再利用点到线的距离公式求解.
【详解】半径为2的圆经过点，设圆心坐标为，则圆的方程为
所以该圆的圆心的轨迹是以为圆心，2为半径的圆
故圆心到直线的距离的最小值为点到直线的距离减半径，即
故选：B
【点睛】结论点睛：本题考查直线与圆的位置关系，求圆上点到直线的距离最值，
当直线与圆相离时，圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，圆上点到直线距离的，
45．A
【分析】根据点与圆的位置关系得到，再判断圆心到直线的距离，即可得解；
【详解】解：因为点是圆内一点，所以，
圆的圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，即直线与圆没有公共点，
故选：A
46．D
【分析】求出直线所过定点的坐标，再判断定点与圆的位置关系，即可得出结论.
【详解】将直线的方程变形为，由，可得，
所以，直线过定点，，即点在圆上，
因此，直线与圆相交或相切.
故选：D.
47．C
【分析】先根据方程判断直线与圆的关系，根据半径及距离判断点的个数.
【详解】由题知，圆心到直线的距离为，
则直线l与圆相交，由圆的半径为2知，
圆上到直线的距离为1的点有3个.
故选：C
48．B
【分析】求出直线恒过的定点，判断定点与圆的位置关系即可求解.
【详解】解：直线，即，
由得，所以直线恒过定点，
因为，所以定点在圆内，所以直线与圆相交，
故选：B.
49．D
【分析】由垂径定理可知，，可得直线斜率，及直线方程.
【详解】由圆，得，
，
由垂径定理可知，
所以直线斜率满足，即，
所以直线的方程为：，即，
故选：D.
50．C
【分析】根据圆的半径与弦长的关系可知直线过圆心，圆心坐标代入即可求解.
【详解】由得，即圆心，半径，
因为，
所以直线过圆心，
即，解得，
故选：C
51．D
【分析】由圆心到直线的距离等于半径求解．
【详解】由题意，圆心坐标为，半径为，
因为直线与圆相切，
所以，圆心到直线的距离等于半径，
所以，解得或．
故选：D．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，由圆心到直线的距离等于半径确定直线是圆的切线．
52．A
【分析】先判定直线和圆的位置关系，然后求出弦长
【详解】由于圆的圆心在直线上，
所以截得弦为圆的直径，
又其半径为，故截得的弦长为.
故选：A
53．D
【分析】求得圆心到直线的距离，根据，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，圆的方程，可得圆心，半径，
则圆心到直线的距离，解得或．
故选：D.
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的判定及应用，其中解答中熟记直线与圆相切的条件是解答的关键，着重考查运算与求解能力，属于基础题.
54．B
【分析】求出圆心到直线的距离，即可判断圆心与直线的关系，求解即可．
【详解】解：圆的圆心到直线的距离为：．即圆心过直线
直线被圆截得的弦长等于圆的直径：．
故选：．
55．B
【分析】先将圆化为标准方程，然后利用点到直线的距离求弦长.
【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，
所以圆心到直线的距离，
所以弦长，
故选：B .
56．B
【分析】根据题意，对曲线的方程变形，分析可得曲线为圆x2+y2＝1的下半部分，结合图形分析可得答案．
【详解】根据题意，y，变形可得x2+y2＝1（），为圆x2+y2＝1的下半部分，
若直线x+y﹣b＝0与曲线y有公共点，
则当直线经过点A时，直线x+y﹣b＝0与曲线y有公共点
此时b＝1，
将直线向下平移至直线与曲线相切时，有1，解可得b＝±，又由b<0，
则b，
则b的取值范围为；
故选：B．
【点睛】关键点点睛：曲线y，变形可得x2+y2＝1（），为圆x2+y2＝1的下半部分，数形结合解决即可.
57．A
【详解】圆即,表示以C(0,-1)为圆心，以1为半径的圆．
由于四边形PACB面积等于，而.
故当PC最小时，四边形PACB面积最小.
又PC的最小值等于圆心C到直线的距离d,而，
故四边形PACB面积的最小的最小值为，
故选A.
点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：
（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；
（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；
（３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小．
58．D
【解析】圆心为在轴上，因此关于对称，即轴，在四边形中易求得的长．
【详解】圆标准方程是，圆心为，半径为，
所以关于对称，即关于轴对称，而，，所以，
所以．
故选：D．
【点睛】结论点睛：过圆外一点作圆的切线，切点为，则的垂直平分线是，则由面积法得切点弦长．
59．C
【解析】分别求出两圆的圆心坐标和半径，利用两圆外切和内切的条件可得答案.
【详解】设的圆心为，半径，
的圆心为，半径，
当两圆外切时，有，即，解得或，
当两圆内切时，有，即，解得，
综上所述，，或，或.
故选：C.
【点睛】本题考查圆和圆的位置关系，其中熟记两圆的内切和外切的条件，列出相应的方程求解是解答的关键，考查了推理与运算能力，属于基础题．
60．A
【分析】先求圆的半径，四边形的最小面积是，转化为三角形的最小面积是，求出切线长，再求的距离也就是圆心到直线的距离，可解的值．
【详解】圆的圆心，半径是，
由圆的性质知：，四边形的最小面积是，
的最小值是切线长）.
所以|PC|的最小值为，
所以
故选：．
【点睛】本题主要考查直线和圆的方程的应用，考查点到直线的距离公式等知识，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
61．A
【分析】作出曲线（上半圆），直线过定点，求出图中两条的斜率可得所求范围．
【详解】解：曲线整理得，则该曲线表示圆心为，半径为1的圆的上半部分，直线过定点，如图，当时，曲线与直线有两个不同的交点，
由，得或，所以，
，
所以实数的取值范围是.
故选：A．
【点睛】方法点睛：本题考查直线与曲线的位置关系，解题方法是数形结合思想，即作出曲线（半圆），而直线是过定点的动直线，由直线与半圆的交点个数可得直线的位置，求出临界点直线的斜率后可得结论．
62．B
【分析】先求圆心到直线的距离，此时切线长最小，由勾股定理不难求解切线长的最小值．
【详解】切线长的最小值是当直线上的点与圆心距离最小时取得，
圆心到直线的距离为，
圆的半径为1，
故切线长的最小值为，
故选：B．
【点睛】本题考查圆的切线方程，点到直线的距离，是基础题．
63．D
【解析】先求出圆的圆心坐标和半径，由直线可得过定点，因为点在圆内，则点到直线的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上半径，当时，圆心到直线的距离最大，可得答案.
【详解】设直线，圆的圆心为
由圆可得
所以圆的圆心为，半径为
直线恒过定点，又点在圆内.
所以点到直线的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上半径.
当时，圆心到直线的距离最大，此时
所以点到直线的距离的最大值为
故选：D
【点睛】关键点睛：本题考查求圆上的点到直线的距离的最大值问题，解答本题的关键是先分析出直线恒过定点，再由点到直线的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上半径.当时，圆心到直线的距离最大，属于中档题.
64．D
【解析】作出曲线与直线的图象，利用点到直线的距离公式可求得结果.
【详解】由可得，则，在等式两边平方并整理得，
所以，曲线为圆的上半圆，该圆的半径为，
作出曲线与直线的图象如下图所示：
原点到直线的距离为，
设点到直线的距离为，
当点的坐标为，取最小值，即，
由图象可知，，
因此，点到直线的距离的取值范围是.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：
（1）将曲线方程化简变形为，确定曲线为圆的一半，数形结合求解；
（2）当直线与圆相离时，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的最大值为，最小值为（其中为圆的半径）.
65．A
【解析】本题首先可以确定圆和圆的圆心与半径，然后求出圆和圆的公共弦方程，最后通过公共弦长为得出，通过计算即可得出结果.
【详解】圆的圆心，半径，
圆即，圆心，半径，
圆和圆的公共弦方程为，即，
圆心到的距离为，
因为公共弦长为，所以，解得或（舍去），
故选：A.
【点睛】关键点点睛：相交的两圆的公共弦方程是两圆方程进行相减即可，求出两个圆的圆心和半径以及圆心到公共弦的距离，利用两个圆的公共弦长以及勾股定理即可求出的值.
66．B
【分析】由题意画图，数形结合可知，当圆心在C处时，点到直线的距离最大，进而可求结果.
【详解】
如图：圆心为，经过原点，可得
则圆心在单位圆上，原点到直线的距离为
延长BO交于点C，以C为圆心，OC为半径作圆C，BC延长线交圆C于点D，
当圆心在C处时，点到直线的距离最大为
此时，圆上点D到直线的距离最大为
故选：B
【点睛】关键的点睛：由题意画图，数形结合可得，点D到直线的距离最大是解题的关键.本题考查了作图能力，数形结合思想，运算求解能力，属于一般题目.
67．C
【分析】先由题意，设直线的方程为，根据直线与圆位置关系，列出不等式求解，即可得出结果.
【详解】由题意，易知，直线的斜率存在，设直线的方程为，即
曲线表示圆心，半径为1的圆，
圆心到直线的距离应小于等于半径，
，即，解得.
故选：C.
【点睛】方法点睛：本题主要考查由直线与圆的位置关系求参数，判断直线与圆的位置关系用几何法—圆心到直线的距离与圆的半径比较，相切；相离；相交，考查学生的运算求解能力，属于一般题.
68．B
【分析】本题首先可将转化为，圆心为，然后根据圆关于直线对称求出，最后通过圆心间距离等于两圆半径之和即可得出结果.
【详解】即，圆心，
因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上，
即，解得，，圆心，半径为，
，圆心，半径为，
圆心间距离为，
因为圆心间距离等于两圆半径之和，所以圆与圆的位置关系是相切，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查两圆的位置关系，可通过圆心间距离与两圆半径之和的关系来判断，考查圆的对称性的应用，考查计算能力，是中档题.
69．A
【分析】将圆的方程化为标准方程，求出圆心到直线的距离，减去半径可得出的最小值.
【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径，
则圆心到直线的距离为，
所以圆上的点到直线上的点的最小距离，
故选：A．
【点睛】结论点睛：若直线与圆相离，点是半径为的圆上的一点，圆心到直线的距离为，则点到直线的距离的取值范围是.
70．D
【分析】曲线表示一个半圆，由题意画出图形，利用数形结合法即可求解．
【详解】解：曲线可化为，，表示以为圆心，半径为2的圆的下半圆，作出直线与该半圆的图形如下：
由图可知直线从点处与圆相切时运动到过处时，直线与圆有两个公共点，
将代入得：；
由直线与圆相切，得，解得（舍或，
所以，的范围是．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是曲线将可化为，，表示以为圆心，半径为2的圆的下半圆，然后数形结合求解.
71．D
【分析】计算出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式可求得直线的方程.
【详解】圆的圆心为点，半径为，圆心到直线的距离为.
①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，合乎题意；
②若直线的斜率存在，可设直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，解得.
此时直线的方程为.
综上所述，直线的方程为或.
故选：D.
【点睛】方法点睛：圆的弦长的常用求法
（1）几何法：求圆的半径为，弦心距为，弦长为，则；
（2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式.
72．A
【解析】求出直线过的定点坐标，确定定点在圆内，则可判断．
【详解】直线方程整理为，即直线过定点，
而，在圆内，
∴直线与圆相交．
故选：A．
【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系．关键点有两个：一是确定动直线所过定点坐标，二是确定点到圆的位置关系：圆的一般方程为，点，则点在圆内，点在圆上，
点在圆外．
73．BC
【分析】先化圆方程的圆心与半径，再设直线l的方程（注意讨论斜率不存在情况），利用圆心到切线距离等于半径列式求解，即得结果.
【详解】
圆心到直线距离等于1，所以直线l的方程可以为
当直线l的斜率存在时，设
所以
故选：BC
【点睛】本题考查圆的切线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.
74．ABD
【分析】两圆方程作差即可求解公共弦AB所在直线方程，可判断A；由公共弦所在直线的斜率以及其中圆的圆心即可线段AB中垂线方程，可判断B；求出圆心到公共弦所在的直线方程的距离，利用几何法即可求出弦长，可判断C；求出圆心到公共弦AB所在直线方程的距离，加上半径即可判断D.
【详解】对于A，由圆与圆的交点为A，B，
两式作差可得，
即公共弦AB所在直线方程为，故A正确；
对于B，圆的圆心为，，
则线段AB中垂线斜率为，
即线段AB中垂线方程为：，整理可得，故B正确；
对于C，圆，圆心到的距离为
，半径
所以，故C不正确；
对于D，P为圆上一动点，圆心到的距离为，半径，即P到直线AB距离的最大值为，故D正确.
故选：ABD
75．AD
【分析】根据圆的方程，先求圆心和半径，再依次判断选项.
【详解】把圆的方程化为标准形式得(x－1)2＋(y＋2)2＝2，所以圆心坐标为(1，－2)，半径为，所以圆心到直线x－y＝1的距离为d＝＝，直线与圆相切．
故选：AD
76．AB
【分析】根据直线与圆的位置关系判断．
【详解】根据直线与圆位置关系的确定，有一个公共点时相切，有两个公共点时相交．相离时无公共点．
故选：AB．
77．AD
【分析】根据题意得，故直线过定点，进而根据点与圆的位置关系得点在圆内，即可得直线与圆相交，当直线与过点和圆心的直线垂直时直线被圆C截得的弦长最短，再求解即可.
【详解】解：由直线得，
所以直线过定点，故A选项正确；
此时将点代入圆得，
所以点在圆内，故直线与圆C的位置是相交，故B选项错误；
当直线与过点和圆心的直线垂直时，直线被圆C截得的弦长最短，为，此时直线的斜率为，故C选项错误，D选项正确.
故选：AD
78．BC
【解析】求出圆心和半径可得，由题可得圆上的点到直线的最近距离大于等于1，求出圆心到直线的距离，可得，求出的取值范围即可.
【详解】圆化为标准方程为，
则圆心为，半径，其中，
圆上至多有一点到直线的距离为1，
圆上的点到直线的最近距离大于等于1，
其中圆心到直线的距离为，
，解得，
，则m的取值可以是1或3.
故选：BC.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是判断出圆上的点到直线的最近距离大于等于1.
79．ABD
【解析】两圆相减就是直线的方程，再利用圆心距，判断C，利用弦长公式求.
【详解】圆的圆心是，半径，圆，圆心，，
，故A正确；
两圆相减就是直线的方程，两圆相减得，故B正确；
，，，，所以不正确，故C不正确；
圆心到直线的距离，，故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题关键选项是B选项，当两圆相交，两圆相减后的二元一次方程就是相交弦所在直线方程.
80．
【分析】结合圆的几何性质求得垂直平分线的方程.
【详解】由题意知：，且垂直平分，
∴线段的垂直平分线所在直线必过，故直线的方程为，
整理得.
故答案为：
81．
【分析】联立两圆的方程，即可得到它们交点所在的直线方程，求出其中一个圆的圆心到该直线的距离，利用勾股定理即可得到线段的长.
【详解】联立，①②可得，即
圆的圆心到直线的距离
∴线段的长为.
故答案为：.
82．
【分析】两圆方程相减可得交点所在的直线方程．
【详解】解：，
即，
，
即，
两式相减得：.
故答案为：.
83．1
【分析】先求得相交弦所在直线方程，然后利用勾股定理列方程，解方程求得的值.
【详解】将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为.
圆的圆心为，半径为.
到直线的距离为：
，解得.
故答案为：
84．
【分析】判定直线过定点，求得圆心坐标，求得，结合圆的性质，得到当时，此时直线被圆所截得的弦长最短，求得直线的斜率，即可求解.
【详解】直线可化为，可得直线过定点，
又由圆，可得圆心坐标为，半径为，
根据圆的性质，可得当时，此时直线被圆所截得的弦长最短，
因为，所以直线的斜率为，
代入直线，可得，
即直线的方程为.
故答案为：
85．
【分析】根据标准方程求出圆心和半径，进而利用点到直线的距离公式求出圆心距，进而几何法求出弦长.
【详解】圆的圆心为，半径为2，
则圆心到直线的距离为，所以，
故答案为：
86．
【解析】由两圆方程相减可得公共弦的方程，再由直线和圆相交的弦长公式，计算可得所求值．
【详解】解：由圆和圆相减可得，
公共弦的方程为，
又圆的圆心为，半径为，
可得到直线的距离为，
则，
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：两圆相交，相交弦所在直线的方程可有两圆方程相减而得到，处理圆的弦长选择垂径定理为好．
87．
【解析】两个方程相减即可得直线的方程，求出圆心到直线的距离，利用
即可.
【详解】①，
②，
两式相减得：，即，
由：得：
则圆心，， 圆心到直线的距离
所以
故答案为：，
【点睛】本题主要考查了求两圆公共弦所在的直线的方程，以及弦长，属于中档题.
88．
【分析】把圆的方程化为标准方程，得到圆心坐标，由与直线的距离为的两条平行线一条与圆相交，一条与圆相离可得，由已知得到关于a的不等式，解不等式即可得解.
【详解】把圆的方程化为标准式为，
所以圆心坐标为，半径
则圆心到直线的距离，
由题意得，即，即
解得：或，即实数的取值范围为 ，
故答案为：.
89．
【分析】由圆的方程确定圆心和半径，利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离；根据已知可确定，由此构造方程求得的取值范围.
【详解】由圆的方程知其圆心为，半径，
设圆心到直线的距离为，则；
圆上有且仅有两个点到直线的距离为，则，
即，解得：或，
的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查根据圆上点到直线距离为定值的点的个数求解参数范围问题，解题关键是能够根据圆上点到直线距离为，确定圆心到直线距离与满足.
90．（1）；（2），.
【分析】（1）根据直线与圆的位置关系，确定最长弦及最短弦，进而求出四边形面积；
（2）由，可知当时，面积最大，进而求得最大值以及直线方程.
【详解】（1）过最长的弦为直径，最短的弦为垂直于的弦，
圆的半径，，
所以，，
所以．
（2），，
当时，面积的最大值为，
此时，到的距离为2，所以的倾斜角为或，
则的斜率为，所以，的方程为．
【点睛】圆的弦长的常用求法：
(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则；
(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：.
91．（1）（2）该船有触礁的危险
【解析】（1）由圆过点、、，设圆的方程为，
再将点、、的坐标代入运算即可得解；
（2）由题意可得该船航行方向为直线：，再结合点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离，得解.
【详解】解：（1）如图所示，、，
设过、、三点的圆的方程为，
得：，
解得，，，
故所以圆的方程为，
圆心为，半径，
（2）该船初始位置为点，则，
且该船航线所在直线的斜率为1，
故该船航行方向为直线：，
由于圆心到直线的距离，
故该船有触礁的危险.
【点睛】本题考查了圆的方程的求法，重点考查了点到直线的距离公式，属中档题.
92．（1）；（2）最大值为，最小值为.
【解析】（1）由中点坐标公式可得，代入可得解；
（2）由圆心到直线的距离加半径可得最大值，减半径可得最小值.
【详解】（1）因为点是的中点，
，即
又，
即.
所以点的轨迹方程为.
（2）由（1）知点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆.
圆心到直线的距离.
所以点到直线的距离的最大值为，最小值为.
93．（1）或；（2）或.
【分析】（1）当直线的斜率不存在，易知与圆相切，当直线的斜率存在时，设直线为，由与圆相切圆心到直线的距离等于半径，列方程求k值，即可写出的方程；
（2）由题设，直线斜率一定存在，设直线为，利用点线距离公式求圆心到直线的距离，根据、圆的半径r与弦长的几何关系求k值，写出直线方程即可.
【详解】（1）由题意知，圆的圆心为，半径为；
①当直线的斜率不存在时，即的方程为时，此时，直线与圆相切，符合题意； .
②当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线为，化为一般式：，
∴若直线与圆相切，则，整理得，解得，
，即，
综上：当直线与圆相切，的方程为：或
（2）由题意知，直线的斜率一定存在，由（1）可设直线为，
设圆心到直线的距离为，则，
由垂径定理知：，即，整理得，
或，
的方程为或.
94．相交，
【分析】根据题意，求圆心到直线的距离，故位置关系是相交，再根据几何法求解即可.
【详解】解：由圆的方程得圆心为，半径为
所以圆心到直线的距离为：，
所以与圆相交，
所以直线被圆截得的弦长为.
95．（1）证明见解析；（2）答案见解析.
【分析】（1）直线过定点，然后得到点在圆的内部即可；
（2）利用圆心到直线的距离解出，然后可得答案.
【详解】（1）证明：直线过定点，
因为，
所以点在圆的内部，
故直线与圆相交.
（2）圆的标准方程为，
则圆的圆心坐标为，半径为，
且圆心到直线的距离
因为，
所以
由，得
当时﹐直线的方程为，倾斜角为
当时﹐直线的方程为，倾斜角为
96．（1）（2）10
【详解】试题分析：（1）由圆心到直线的距离小于半径列不等式，解不等式可得的取值范围；（2）由直线与直线的方程可求点的坐标，再联立直线与圆的方程，消去，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理得，然后求得点的坐标，再根据两点之间距离公式将用表示，消去即可得到结果.
试题解析：（1）因为圆与直线与交于不同的两点，
所以，即，解得或
（2）由可得
由可得
设两点横坐标分别为，则
得
所以
点睛：解析几何证明问题，一般解决方法以算代证，即设参数，运用推理，将问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，然后直接推理、计算，并在此过程中消去变量，从而得到证明.
97．（1）证明见解析（2），（3）
【分析】（1）求出直线经过定点，并且定点在圆内，所以结论正确；
（2）设圆心到直线的距离为，根据，当且仅当时，最大，由此可求得最短弦长和直线的方程；
（3）根据，且的最大值等于可得结果.
【详解】（1）由得，
由，得，即直线经过定点，
因为，所以点在圆内，
所以不论为何实数，直线都与圆相交于两点.
（2）由可知，圆心，半径为，
设，设圆心到直线的距离为，则，
当且仅当时，圆心到直线的距离为最大，此时直线被圆截得的弦长最短，最短弦长为，因为，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
（3）设坐标原点为，则，所以，
所以的最大值为.
【点睛】本题考查了直线经过定点问题，考查了圆的标准方程，考查了直线与圆的位置关系，考查了圆的弦长问题，考查了两点间的距离公式，属于中档题.
98．（1）（x﹣3）2+y2＝25；（2）x＝0或7x+24y﹣96＝0；（3）证明见解析，（﹣6，﹣12）；（4）证明见解析，.
【分析】（1）圆以为圆心，为半径，直接写出圆的标准方程；
（2）对直线的斜率进行讨论，再利用弦长公式和点到直线距离公式，可求得直线的斜率，再由点斜式方程求得答案；
（3）设直线：，，，利用
得到的关系，从而证得结论.
（4）设直线AM：y＝kx+4，与圆方程联立求出坐标，利用两点的斜率公式得出定值即可．
【详解】（1）圆以为圆心，为半径，
所以圆的标准方程为.
（2）①不存在时，直线的方程为：，，满足题意；
②存在时，设直线的方程为：，
，
所以直线的方程为：，
综上所述，直线的方程为或.
（3）设直线：，，，
①
联立方程，
所以，代入①
得，
化简得，所以直线的方程为：，所以过定点.
（4）设直线AM：y＝kx+4，
联立方程，
所以M点的坐标为，
同理N点的坐标为．
所以，
故直线l的斜率是定值，且为．
【点睛】关键点点睛：本题考查圆的标准方程、弦长公式、点到直线距离、直线过定点问题，解决本题的关键点是联立直线方程与圆方程，求出交点坐标或者利用根与系数的关系整体代入，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对斜率存在和存在的讨论.
99．（1）；（2）答案见解析.
【解析】（1）以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设每单位距离的运费为元，设售货区域内一点为，设在两地的购货费用相同，利用已知条件求出点的轨迹方程，即为所求；
（2）分别化简、结合（1）中的方程可得出结论.
【详解】（1）以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点、，
设每单位距离的运费为元，设售货区域内一点为，
若在两地的购货费用相同，则，
化简可得，
故在、两地的售货区域的分界线的方程为；
（2）由（1）可知，、两地的售货区域的分界线是以点为圆心，以为半径的圆，
所以，在圆上的居民从、两地购货的总费用相同.
由，可得，
所以，在圆外的居民从地购货便宜；
由，可得，
所以，在圆内的居民从地购货便宜.
【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：
（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；
（3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；
（4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；
（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.
100．（1）证明见解析；（2），.
【解析】（1）求出直线过定点，此定点在圆内即证；
（2）定点与圆心连线与垂直时，截得的线段最短，由此可得．
【详解】（1）直线，必过直线与直线的交点．联立方程，解得，所以直线过定点．
，即点在圆内，
直线与圆C恒相交于两点.
（2）当直线被圆截得的线段最短时，直线垂直．
，直线l的斜率，则，解得．
此时，弦长.
【点睛】结论点睛：本题考查直线与圆的位置关系，考查直线与圆相交弦长问题．如果直线恒过圆内一点，则直线与圆一定相交，过圆内一定点的弦，当弦过圆心时弦长最长，当定点与圆心连线与弦垂直时，弦长最短．
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【夯实基础】2023-2024高二数学同步限时训练（新人教A版2019）专题09 直线与圆、圆与圆的位置关系
一、单选题
1．若圆与直线只有一个公共点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．直线与圆的位置关系是（ ）
A．直线过圆心 B．相切 C．相离 D．相交
3．经过点作圆的切线，则切线的方程为
A． B． C． D．
4．由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为
A． B． C． D．
5．过点作圆的切线，若切点为A、，则直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
6．经过点的圆的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知在圆上到直线的距离为的点恰有一个，则（ ）
A． B． C．2 D．
8．已知圆的标准方程是，圆：关于直线对称，则圆与圆的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．内含
9．圆与圆的位置关系为（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
10．已知圆的方程为，圆的方程为，其中．那么这两个圆的位置关系不可能为（ ）
A．外离 B．外切 C．内含 D．内切
11．圆上动点到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．直线：与圆：的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
13．已知直线被圆截得的弦长为，点是直线l上的任意一点，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．直线和圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
15．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都不对
16．圆 与直线 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
17．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．与a的大小有关
18．圆与圆的公切线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
19．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有（ ）
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
20．如图，某个圆拱桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米；当水面下降1米后，桥在水面的跨度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
21．已知圆与圆，则两圆公切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
22．已知圆，圆，则两圆的公切线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
23．若圆与圆有且仅有三条公切线，则a=（ ）
A．-4 B．-1 C．4 D．11
24．若圆，圆，则，的公切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
25．过点作圆的切线，切线的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
26．过坐标原点O作圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4的两条切线，切点为A，B．直线AB被圆截得弦AB的长度为（ ）
A． B． C． D．
27．若圆与圆内切，则 （ ）
A． B． C． D．
28．若圆与圆外切，则（ ）
A．36 B．38 C．48 D．50
29．P是直线x+y-2=0上的一动点，过点P向圆引切线，则切线长的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
30．已知圆和圆，那么这两个圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
31．圆与圆公切线的条数为（ ）
A． B． C． D．
32．圆与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
33．已知两圆分别为圆C1：x2＋y2＝49和圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0，这两圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．外切 C．内含 D．相交
34．圆：与圆：交于、两点，则（ ）
A．6 B．5 C． D．
35．设曲线上的点到直线的距离的最大值为a，最小值为b，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
36．已知P是曲线C：上的点，Q是直线上的一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
37．已知圆与圆相交于两点，则两圆的公共弦
A． B． C． D．2
38．已知圆与圆没有公共点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
39．已知圆和圆，若圆和有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
40．圆：上的点到直线：的最大距离为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
41．已知点P与点的距离不大于1，则点P到直线的距离最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
42．圆与圆的位置关系为（ ）
A．内切 B．相切 C．相交 D．外离
43．已知点是直线上的动点，点为圆上的动点，则的最小值为
A． B．1 C． D．
44．已知半径为2的圆经过点，其圆心到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
45．已知是圆内一点，则直线与圆公共点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．以上都有可能
46．直线与圆的公共点个数为 （ ）
A．个 B．个 C．个 D．个或个
47．圆上到直线的距离为的点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
48．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定
49．若为圆的弦的中点，则直线的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
50．已知直线和圆的交点为A，B，且，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．
51．若直线与圆相切，则（ ）
A．1 B． C．或3 D．或1
52．直线被圆截得的弦长为（ ）
A． B．2 C． D．与k的取值有关
53．直线与圆相切，则的值是（ ）
A．－2或12 B．2或－12 C．－2或－12 D．2或12
54．直线被圆截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
55．直线被圆截得的弦长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
56．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
57．已知点是直线上一动点，直线是圆的两条切线，为切点，为圆心，则四边形面积的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．4
58．若从坐标原点O向圆作两条切线，切点分别为A，B，则线段的长为（ ）
A． B．3 C． D．
59．已知圆与圆相切，则实数的取值个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
60．已知P（x，y）是直线kx+y+3=0（k>0）上一动点，PA，PB 是圆C：+2y=0的两条切线，.A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
61．已知曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
62．由直线上的点向圆作切线，则切线长的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．3
63．已知点是圆上的动点，到直线的距离为，当变化时，的最大值为（ ）
A． B． C． D．
64．已知点是曲线上的动点，则点到直线距离的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
65．已知圆和圆的公共弦长为，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
66．已知圆经过原点，则圆上的点到直线距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
67．若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
68．已知圆关于直线对称，圆的标准方程是，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．内含
69．为上一点，为直线上一点，则线段长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
70．已知直线与曲线有两个公共点，则实数b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
71．已知过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
72．已知直线和圆：，则直线与圆的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
二、多选题
73．过点作圆的切线l，则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
74．圆和圆的交点为A，B，则有（ ）
A．公共弦所在直线方程为 B．线段中垂线方程为
C．公共弦的长为 D．P为圆上一动点，则P到直线距离的最大值为
75．(多选)已知圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0与直线x－y＝1，则（ ）
A．圆心坐标为(1，－2)
B．圆心到直线的距离为
C．直线与圆相交
D．圆的半径为
76．(多选)直线l与圆C有公共点，则直线l与圆C的位置关系可能是（ ）
A．相交 B．相切
C．相离 D．不能确定
77．已知圆，直线．则下列选项正确的是（ ）
A．直线恒过定点 B．直线与圆C的位置可能相交、相切和相离
C．直线被圆C截得的最短弦长为12 D．直线被圆C截得的最短弦长对应的k值为
78．已知圆上至多有一点到直线的距离为1，则实数m的取值可以是（ ）
A．0 B．1 C．3 D．5
79．已知圆和圆的公共点为，，则（ ）
A． B．直线的方程是
C． D．
三、填空题
80．设圆：和圆：交于，两点，则线段的垂直平分线所在直线的方程为_________
81．两圆和相交于两点M，N，则线段的长为_________．
82．已知圆与圆相交，则它们交点所在的直线方程为_________.
83．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为，则a＝________.
84．直线：与圆：相交，当直线被圆所截得的弦长最短时，直线的方程为___________.
85．设直线与圆交于两点，则__________．
86．已知圆和圆相交于A、B两点，则线段AB的长度为__________．
87．已知圆：和圆：相交于，两点，则直线的方程是______，线段 的长度是______.
88．圆上恰好有两点到直线的距离为，则实数的取值范围是___________.
89．在圆上有且仅有两个点到直线的距离为，则a的取值范围为__________．
四、解答题
90．已知圆：，是圆内一点，是圆外一点．
（1）是圆中过点最长的弦，是圆中过点最短的弦，求四边形的面积；
（2）过点作直线交圆于、两点，求面积的最大值，并求此时直线的方程．
91．如图，某海面上有、、三个小岛（面积大小忽略不计），岛在岛的北偏东方向距岛千米处，岛在岛的正东方向距岛20千米处.以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系.圆经过、、三点.
（1）求圆的方程；
（2）若圆区域内有未知暗礁，现有一船D在岛的南偏西30°方向距岛40千米处，正沿着北偏东行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？
92．已知点点在圆上运动，点为线段的中点.
（1）求点的轨迹方程；
（2）求点到直线的距离的最大值和最小值.
93．已知圆，直线恒过点.
（1）若直线与圆相切，求的方程；
（2）当直线与圆相交于两点，且时，求的方程.
94．判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆截得的弦长．
95．已知圆，直线.
（1）证明：直线与圆相交.
（2）设与圆交于两点，若，求直线的倾斜角及其方程.
96．已知圆，直线，且直线与圆交于不同的两点，定点的坐标为.
（1）求实数的取值范围；
（2）若两点的中点为，直线与直线的交点为，求证：为定值.
97．已知圆和直线.
（1）证明：不论为何实数，直线都与圆相交于两点；
（2）求直线被圆截得的最短弦长并求此时直线的方程；
（3）已知点在圆C上，求的最大值.
98．已知圆C的圆心坐标为C（3，0），且该圆经过点A（0，4）．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若点B也在圆C上，且弦AB长为8，求直线AB的方程；
（3）直线l交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之积为2，求证：直线l过一个定点，并求出该定点坐标．
（4）直线l交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之和为0，求证：直线l的斜率是定值，并求出该定值．
99．有一种大型商品，、两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离，地的运费是地运费的倍﹐已知 两地相距千米，顾客购物的唯一标准是总费用较低.建立适当的平面直角坐标系
（1）求、两地的售货区域的分界线的方程﹔
（2）画出分界线的方程表示的曲线的示意图，并指出在方程的曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地.
100．已知直线，圆．
（1）求证：不论取什么实数，直线与圆恒相交于两点；
（2）当直线被圆截得的线段最短时，求线段的最短长度及此时的值．
参考答案：
1．C
【分析】根据给定条件可知直线是已知圆的切线，由点到直线距离公式求解即得.
【详解】因圆与直线只有一个公共点，
则直线与圆切线，圆心到该直线距离为半径1，
即，而，则有，
所以的值为2.
故选：C
2．B
【解析】求出圆的圆心与半径，求出圆心到直线的距离，由即可判断.
【详解】圆的圆心为 ，半径
圆心到直线的距离
所以直线与圆相切
故选：B
3．A
【分析】点在圆上，所以可得,即可求出切线斜率，，进而可求出切线方程.
【详解】因为点在圆上，所以，因此切线斜率为2，故切线方程为，整理得
【点睛】本题主要考查圆的切线方程，属于基础题型.
4．B
【分析】过圆心作直线的垂线，垂线与直线的交点向圆引切线，切线长最小．
【详解】圆心,半径 ，圆心到直线的距离
则切线长的最小值
【点睛】本题考查圆的切线长，考查数形结合思想，属于基础题．
5．B
【分析】先求出以为圆心，为半径为圆的方程，再求两个圆的公共弦方程即可.
【详解】根据题意，设，圆的圆心为，半径，
有，
则，
则以为圆心，为半径为圆为，即，
公共弦所在的直线即直线，
则，变形可得；
即直线的方程是；
故选：B.
【点睛】求两个圆的公共弦方程的方法就是两个圆的方程相减，消去x、y平方项，变成关于x、y的一次方程.
6．D
【分析】判断点在圆上，再由切线的几何性质求斜率，进而求切线方程.
【详解】，
在圆上，且，
过的切线斜率为.
过的切线方程为：，即.
故选:D.
7．A
【分析】首先求得圆心到直线的距离为，结合图像由题意可知.
【详解】圆圆心，
则圆心直线的距离，
要想圆上到直线的距离为的点恰有一个，
由图得：.
故选：A.
【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
8．C
【解析】利用圆关于直线对称可求的值，然后利用圆心距与两个圆的半径间的关系可求结果.
【详解】由题意可得，圆的圆心为，半径为5
因为圆关于直线对称，
所以，得，
所以圆的圆心为，半径为2，
则两圆圆心距，因为，所以圆与圆的位置关系是相交，
故选：C.
9．A
【分析】根据圆心距与半径的关系可判断.
【详解】圆，即，表示以为圆心，半径等于1的圆.
圆，表示以为圆心，半径等于3的圆.
两圆的圆心距，
，故两个圆相内切.
故选：A.
10．C
【解析】求出圆心距的取值范围，然后利用圆心距与半径的和差关系判断.
【详解】由两圆的标准方程可得，，，；
则，所以两圆不可能内含.
故选：C.
11．A
【解析】求出圆心与半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，由即可求解.
【详解】∵圆，∴圆心，半径，
∴圆心到直线的距离，
∴圆上的点到
直线的距离最小值为，
故选：A.
12．A
【解析】由直线方程可得直线过定点，又点在圆内，得到答案.
【详解】直线：过定点，
因为，则点在圆的内部，
∴直线与圆相交，
故选：A.
13．A
【分析】利用原点（圆心）到直线的距离求得正确选项.
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离，
所以的最小值为.
故选：A
14．A
【解析】根据圆心到直线的距离判断即可.
【详解】圆心到直线的距离
即直线和圆相交
故选：A
15．A
【解析】求出圆心到直线的距离和半径比较即可得出.
【详解】圆化为标准方程为，
可得圆心为，半径为4，
则圆心到直线的距离，
故直线与圆相交.
故选：A.
16．C
【解析】求出圆心到直线的距离，与半径大小作比较，得出位置关系
【详解】圆心为，半径
圆心到直线的距离为
所以直线与圆相离
故选：C
【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
17．A
【分析】先判断直线恒过定点，再判断该定点在圆内，即得结果．
【详解】直线l：，即恒过，而，故点在圆内，
故直线与圆必然相交．
故选：A．
18．B
【分析】求出两圆的位置关系即可得出结果.
【详解】圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
由于圆心距，满足：，
故两圆相交，故而可得两圆公切线的条数为2条，
故选：B.
【点睛】本题主要通过两圆的位置关系求公切线的条数，属于基础题.
19．B
【分析】判断出两圆的位置关系后可得内公切线条数．
【详解】圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，内公切线条数为2.
故选：B．
20．C
【分析】以圆拱桥的顶点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设圆拱所在圆的圆心为，，得到圆的方程，记水面下降前与圆的两交点为，；记水面下降米后与圆的两交点为，；由题中条件，得到点坐标，代入圆的方程求出，再求出点横坐标，即可得出结果.
【详解】以圆拱桥的顶点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则圆拱所在圆的圆心位于轴负半轴上，设该圆的圆心为，，
则该圆的方程为，
记水面下降前与圆的两交点为，；记水面下降米后与圆的两交点为，；
由题意可得，，则，解得，
所以圆的方程为，
水面位下降米后，可知点纵坐标为，
所以，解得，
则此时的桥在水面的跨度为米.
故选：C.
【点睛】思路点睛：
求解圆的应用问题时，一般需要结合题中条件，建立适当的坐标系，求出所需圆的方程，再由圆的方程进行求解即可.
21．B
【解析】首先将圆的方程配成标准式，再求出圆心距，即可判断两圆的位置关系，从而得到其公切线的条数；
【详解】解：圆，即，圆心，半径；圆，即，圆心，半径，所以圆心距，，所以两圆相交，故有两条公切线，
故选：B
22．B
【解析】根据圆的方程，求得圆心距和两圆的半径之和，之差，判断两圆的位置关系求解.
【详解】因为圆，圆，
所以， ，
所以，
所以两圆相交，
所以两圆的公切线的条数为2，
故选：B
23．C
【解析】由题可得两圆外切，则由圆心距等于半径之和可求出.
【详解】圆的圆心为，半径为2，
圆的圆心为，半径为，
两圆有且仅有三条公切线，两圆外切，
则可得，解得.
故选：C.
24．B
【解析】先得圆的方程的标准形式，得到圆心和半径，得到两圆的位置关系即可得公切线的条数.
【详解】依题意，圆，圆心为，半径为3；
圆，圆心为，半径为6；
因为，故圆，相交，有2条公切线，
故选：B.
25．D
【分析】对直线的斜率存在、不存在分两种情况讨论，利用点到线的距离等于半径得到方程，求出参数的值，即可得解；
【详解】解：圆的圆心为，半径，过点作圆的切线，当直线的斜率不存在时，直线方程为，满足条件，
当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线方程为，即，则，解得，故切线方程为，
综上可得切线方程为或
故选：D
26．B
【分析】根据题意画出图像,再根据垂径定理分别求得的长度即可.
【详解】如图所示,易得,故 .
故选：B
【点睛】本题主要考查了直线与圆相切求弦长的问题,需要利用三角形中的关系以及垂径定理求解,属于基础题型.
27．A
【解析】先判断圆为大圆，再利用两圆内切则圆心距等于两圆半径之差，列式计算即得结果.
【详解】易见点在圆的外部，由两圆内切可知，圆为大圆，两圆的圆心距等于两圆半径之差，而大圆半径为r，小圆半径为，圆心距为，所以，
故.
故选：A.
28．C
【解析】先把C1、C2 化为标准方程，再利用圆与圆相外切，圆心距等于半径的和即可。
【详解】依题意，圆，圆，故，解得，故选C．
【点睛】圆C1和圆C2 的半径分别为R和r，圆心距为d，圆与圆的位置关系由5种：
（1）相离；（2）相外切；（3）相交；（4）相内切；（5）相内含；
29．C
【分析】由圆的标准方程，找出圆心坐标和圆的半径，要使切线长最小，则必须点到圆的距离最小，求出圆心到直线的距离，利用切线的性质及勾股定理求出切线长的最小值即可.
【详解】∵圆，∴圆心，半径.
由题意可知，点到圆的切线长最小时，
垂直于直线.
∵圆心到直线的距离，
∴切线长的最小值为：.
故选：C.
【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键.
30．C
【解析】利用两圆圆心距离与两半径关系判断圆与圆的位置关系可得答案.
【详解】由已知的，
所以，，
所以，故两圆相交.
故选：C.
【点睛】结论点睛：此题考查了圆与圆的位置关系，以及两点间的距离公式．圆与圆位置关系的判定常用方法为：时，两圆内含；时，两圆内切；时，两圆相交；时，两圆外切；时，两圆相离（d为两圆心间的距离，R和r分别为两圆的半径）．
31．D
【解析】将圆化为标准方程，分别判断两个圆的圆心坐标与半径，计算两圆圆心距离，判断两个圆的位置关系，从而得公切线条数.
【详解】的圆心坐标，半径为；化为标准方程为，
所以圆心坐标，半径为，则，
所以两个圆外切，所以公切线条数为条.
故选：D.
32．D
【解析】计算出圆心距，比较圆心距与两圆半径差的绝对值的大小关系，可得出结论.
【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
，因此，两圆内切.
故选：D.
33．D
【分析】根据两圆圆心之间的距离大于两圆半径之差，小于两圆半径之和，那么两圆相交.
【详解】圆C1：x2＋y2＝49，圆心为 ，半径 ，
圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0，圆心为 ，半径 ，
两圆圆心之间距离为5， ，故两圆相交，
故选：D
34．D
【分析】先求出两个圆的半径和圆心距，然后在中，利用余弦定理求出的值，从而可求出，再利用圆的半径，圆心距和半径的关系可求得结果
【详解】圆的半径，圆的半径，，
故在中，，
故．
故选：D
35．C
【分析】求得圆心到直线的距离为，进而求得的值，即可求解.
【详解】由题意，圆的圆心坐标为，半径为，
可得圆心到直线的距离为，
所以，，所以.
故选：C.
36．D
【分析】，曲线是圆心为，半径的左半圆，利用点到直线距离公式，即可得出结果.
【详解】，∴曲线是圆心为，半径的左半圆，曲线上的点到到直线的最小距离为原点到直线的距离，
故选:D.
37．A
【分析】两圆方程相减得所在的直线方程，再求出到直线的距离，从而由的半径，利用勾股定理及垂径定理即可求出．
【详解】圆与圆相减得所在的直线方程：.
∵圆的圆心，，
圆心到直线：的距离，
则．
故选A
【点睛】本题考查了圆与圆的公共弦的弦长和直线与圆相交的性质，求出公共弦所在的直线方程是解本题的关键，属于基础题．
38．C
【解析】由题意判断两圆的位置关系为外离或者内含，根据圆与圆的位置关系列出不等式求解即可.
【详解】圆的圆心为，圆的圆心为，半径
圆心距
因为两圆没有公共点，所以两圆的位置关系为外离或者内含
则或，即或
解得或
故选：C
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是由题意判断两圆的位置关系，再由圆与圆的位置关系得出参数的范围.
39．C
【解析】由题意可得出，进而可求得的取值范围.
【详解】由题意可知，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
所以，，
由于两圆有公共点，则，即，解得.
故选：C.
40．B
【分析】求出圆心到直线的距离，加上半径，即可求出圆上的点到直线的最大距离.
【详解】由题意，圆心到直线的距离，
所以，圆上的点到直线的最大距离是，
故选：B.
41．B
【分析】依题意知点P的轨迹为以为圆心半径为1的圆面，则点P到直线的距离最小值为圆心到直线的距离减去半径．
【详解】设点，则，
圆心到的距离为
则点P到直线的距离最小值为
故选：B
42．C
【分析】分别求出两圆的圆心和半径，再求出圆心距，通过比较可得结论．
【详解】解：圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
所以，
所以两圆相交，
故选：C
43．A
【详解】的最小值为 ,选A.
点睛：与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．
44．B
【解析】设圆心坐标得到圆的圆心的轨迹方程，再利用点到线的距离公式求解.
【详解】半径为2的圆经过点，设圆心坐标为，则圆的方程为
所以该圆的圆心的轨迹是以为圆心，2为半径的圆
故圆心到直线的距离的最小值为点到直线的距离减半径，即
故选：B
【点睛】结论点睛：本题考查直线与圆的位置关系，求圆上点到直线的距离最值，
当直线与圆相离时，圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，圆上点到直线距离的，
45．A
【分析】根据点与圆的位置关系得到，再判断圆心到直线的距离，即可得解；
【详解】解：因为点是圆内一点，所以，
圆的圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，即直线与圆没有公共点，
故选：A
46．D
【分析】求出直线所过定点的坐标，再判断定点与圆的位置关系，即可得出结论.
【详解】将直线的方程变形为，由，可得，
所以，直线过定点，，即点在圆上，
因此，直线与圆相交或相切.
故选：D.
47．C
【分析】先根据方程判断直线与圆的关系，根据半径及距离判断点的个数.
【详解】由题知，圆心到直线的距离为，
则直线l与圆相交，由圆的半径为2知，
圆上到直线的距离为1的点有3个.
故选：C
48．B
【分析】求出直线恒过的定点，判断定点与圆的位置关系即可求解.
【详解】解：直线，即，
由得，所以直线恒过定点，
因为，所以定点在圆内，所以直线与圆相交，
故选：B.
49．D
【分析】由垂径定理可知，，可得直线斜率，及直线方程.
【详解】由圆，得，
，
由垂径定理可知，
所以直线斜率满足，即，
所以直线的方程为：，即，
故选：D.
50．C
【分析】根据圆的半径与弦长的关系可知直线过圆心，圆心坐标代入即可求解.
【详解】由得，即圆心，半径，
因为，
所以直线过圆心，
即，解得，
故选：C
51．D
【分析】由圆心到直线的距离等于半径求解．
【详解】由题意，圆心坐标为，半径为，
因为直线与圆相切，
所以，圆心到直线的距离等于半径，
所以，解得或．
故选：D．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，由圆心到直线的距离等于半径确定直线是圆的切线．
52．A
【分析】先判定直线和圆的位置关系，然后求出弦长
【详解】由于圆的圆心在直线上，
所以截得弦为圆的直径，
又其半径为，故截得的弦长为.
故选：A
53．D
【分析】求得圆心到直线的距离，根据，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，圆的方程，可得圆心，半径，
则圆心到直线的距离，解得或．
故选：D.
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的判定及应用，其中解答中熟记直线与圆相切的条件是解答的关键，着重考查运算与求解能力，属于基础题.
54．B
【分析】求出圆心到直线的距离，即可判断圆心与直线的关系，求解即可．
【详解】解：圆的圆心到直线的距离为：．即圆心过直线
直线被圆截得的弦长等于圆的直径：．
故选：．
55．B
【分析】先将圆化为标准方程，然后利用点到直线的距离求弦长.
【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，
所以圆心到直线的距离，
所以弦长，
故选：B .
56．B
【分析】根据题意，对曲线的方程变形，分析可得曲线为圆x2+y2＝1的下半部分，结合图形分析可得答案．
【详解】根据题意，y，变形可得x2+y2＝1（），为圆x2+y2＝1的下半部分，
若直线x+y﹣b＝0与曲线y有公共点，
则当直线经过点A时，直线x+y﹣b＝0与曲线y有公共点
此时b＝1，
将直线向下平移至直线与曲线相切时，有1，解可得b＝±，又由b<0，
则b，
则b的取值范围为；
故选：B．
【点睛】关键点点睛：曲线y，变形可得x2+y2＝1（），为圆x2+y2＝1的下半部分，数形结合解决即可.
57．A
【详解】圆即,表示以C(0,-1)为圆心，以1为半径的圆．
由于四边形PACB面积等于，而.
故当PC最小时，四边形PACB面积最小.
又PC的最小值等于圆心C到直线的距离d,而，
故四边形PACB面积的最小的最小值为，
故选A.
点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：
（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；
（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；
（３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小．
58．D
【解析】圆心为在轴上，因此关于对称，即轴，在四边形中易求得的长．
【详解】圆标准方程是，圆心为，半径为，
所以关于对称，即关于轴对称，而，，所以，
所以．
故选：D．
【点睛】结论点睛：过圆外一点作圆的切线，切点为，则的垂直平分线是，则由面积法得切点弦长．
59．C
【解析】分别求出两圆的圆心坐标和半径，利用两圆外切和内切的条件可得答案.
【详解】设的圆心为，半径，
的圆心为，半径，
当两圆外切时，有，即，解得或，
当两圆内切时，有，即，解得，
综上所述，，或，或.
故选：C.
【点睛】本题考查圆和圆的位置关系，其中熟记两圆的内切和外切的条件，列出相应的方程求解是解答的关键，考查了推理与运算能力，属于基础题．
60．A
【分析】先求圆的半径，四边形的最小面积是，转化为三角形的最小面积是，求出切线长，再求的距离也就是圆心到直线的距离，可解的值．
【详解】圆的圆心，半径是，
由圆的性质知：，四边形的最小面积是，
的最小值是切线长）.
所以|PC|的最小值为，
所以
故选：．
【点睛】本题主要考查直线和圆的方程的应用，考查点到直线的距离公式等知识，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
61．A
【分析】作出曲线（上半圆），直线过定点，求出图中两条的斜率可得所求范围．
【详解】解：曲线整理得，则该曲线表示圆心为，半径为1的圆的上半部分，直线过定点，如图，当时，曲线与直线有两个不同的交点，
由，得或，所以，
，
所以实数的取值范围是.
故选：A．
【点睛】方法点睛：本题考查直线与曲线的位置关系，解题方法是数形结合思想，即作出曲线（半圆），而直线是过定点的动直线，由直线与半圆的交点个数可得直线的位置，求出临界点直线的斜率后可得结论．
62．B
【分析】先求圆心到直线的距离，此时切线长最小，由勾股定理不难求解切线长的最小值．
【详解】切线长的最小值是当直线上的点与圆心距离最小时取得，
圆心到直线的距离为，
圆的半径为1，
故切线长的最小值为，
故选：B．
【点睛】本题考查圆的切线方程，点到直线的距离，是基础题．
63．D
【解析】先求出圆的圆心坐标和半径，由直线可得过定点，因为点在圆内，则点到直线的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上半径，当时，圆心到直线的距离最大，可得答案.
【详解】设直线，圆的圆心为
由圆可得
所以圆的圆心为，半径为
直线恒过定点，又点在圆内.
所以点到直线的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上半径.
当时，圆心到直线的距离最大，此时
所以点到直线的距离的最大值为
故选：D
【点睛】关键点睛：本题考查求圆上的点到直线的距离的最大值问题，解答本题的关键是先分析出直线恒过定点，再由点到直线的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上半径.当时，圆心到直线的距离最大，属于中档题.
64．D
【解析】作出曲线与直线的图象，利用点到直线的距离公式可求得结果.
【详解】由可得，则，在等式两边平方并整理得，
所以，曲线为圆的上半圆，该圆的半径为，
作出曲线与直线的图象如下图所示：
原点到直线的距离为，
设点到直线的距离为，
当点的坐标为，取最小值，即，
由图象可知，，
因此，点到直线的距离的取值范围是.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：
（1）将曲线方程化简变形为，确定曲线为圆的一半，数形结合求解；
（2）当直线与圆相离时，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的最大值为，最小值为（其中为圆的半径）.
65．A
【解析】本题首先可以确定圆和圆的圆心与半径，然后求出圆和圆的公共弦方程，最后通过公共弦长为得出，通过计算即可得出结果.
【详解】圆的圆心，半径，
圆即，圆心，半径，
圆和圆的公共弦方程为，即，
圆心到的距离为，
因为公共弦长为，所以，解得或（舍去），
故选：A.
【点睛】关键点点睛：相交的两圆的公共弦方程是两圆方程进行相减即可，求出两个圆的圆心和半径以及圆心到公共弦的距离，利用两个圆的公共弦长以及勾股定理即可求出的值.
66．B
【分析】由题意画图，数形结合可知，当圆心在C处时，点到直线的距离最大，进而可求结果.
【详解】
如图：圆心为，经过原点，可得
则圆心在单位圆上，原点到直线的距离为
延长BO交于点C，以C为圆心，OC为半径作圆C，BC延长线交圆C于点D，
当圆心在C处时，点到直线的距离最大为
此时，圆上点D到直线的距离最大为
故选：B
【点睛】关键的点睛：由题意画图，数形结合可得，点D到直线的距离最大是解题的关键.本题考查了作图能力，数形结合思想，运算求解能力，属于一般题目.
67．C
【分析】先由题意，设直线的方程为，根据直线与圆位置关系，列出不等式求解，即可得出结果.
【详解】由题意，易知，直线的斜率存在，设直线的方程为，即
曲线表示圆心，半径为1的圆，
圆心到直线的距离应小于等于半径，
，即，解得.
故选：C.
【点睛】方法点睛：本题主要考查由直线与圆的位置关系求参数，判断直线与圆的位置关系用几何法—圆心到直线的距离与圆的半径比较，相切；相离；相交，考查学生的运算求解能力，属于一般题.
68．B
【分析】本题首先可将转化为，圆心为，然后根据圆关于直线对称求出，最后通过圆心间距离等于两圆半径之和即可得出结果.
【详解】即，圆心，
因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上，
即，解得，，圆心，半径为，
，圆心，半径为，
圆心间距离为，
因为圆心间距离等于两圆半径之和，所以圆与圆的位置关系是相切，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查两圆的位置关系，可通过圆心间距离与两圆半径之和的关系来判断，考查圆的对称性的应用，考查计算能力，是中档题.
69．A
【分析】将圆的方程化为标准方程，求出圆心到直线的距离，减去半径可得出的最小值.
【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径，
则圆心到直线的距离为，
所以圆上的点到直线上的点的最小距离，
故选：A．
【点睛】结论点睛：若直线与圆相离，点是半径为的圆上的一点，圆心到直线的距离为，则点到直线的距离的取值范围是.
70．D
【分析】曲线表示一个半圆，由题意画出图形，利用数形结合法即可求解．
【详解】解：曲线可化为，，表示以为圆心，半径为2的圆的下半圆，作出直线与该半圆的图形如下：
由图可知直线从点处与圆相切时运动到过处时，直线与圆有两个公共点，
将代入得：；
由直线与圆相切，得，解得（舍或，
所以，的范围是．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是曲线将可化为，，表示以为圆心，半径为2的圆的下半圆，然后数形结合求解.
71．D
【分析】计算出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式可求得直线的方程.
【详解】圆的圆心为点，半径为，圆心到直线的距离为.
①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，合乎题意；
②若直线的斜率存在，可设直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，解得.
此时直线的方程为.
综上所述，直线的方程为或.
故选：D.
【点睛】方法点睛：圆的弦长的常用求法
（1）几何法：求圆的半径为，弦心距为，弦长为，则；
（2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式.
72．A
【解析】求出直线过的定点坐标，确定定点在圆内，则可判断．
【详解】直线方程整理为，即直线过定点，
而，在圆内，
∴直线与圆相交．
故选：A．
【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系．关键点有两个：一是确定动直线所过定点坐标，二是确定点到圆的位置关系：圆的一般方程为，点，则点在圆内，点在圆上，
点在圆外．
73．BC
【分析】先化圆方程的圆心与半径，再设直线l的方程（注意讨论斜率不存在情况），利用圆心到切线距离等于半径列式求解，即得结果.
【详解】
圆心到直线距离等于1，所以直线l的方程可以为
当直线l的斜率存在时，设
所以
故选：BC
【点睛】本题考查圆的切线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.
74．ABD
【分析】两圆方程作差即可求解公共弦AB所在直线方程，可判断A；由公共弦所在直线的斜率以及其中圆的圆心即可线段AB中垂线方程，可判断B；求出圆心到公共弦所在的直线方程的距离，利用几何法即可求出弦长，可判断C；求出圆心到公共弦AB所在直线方程的距离，加上半径即可判断D.
【详解】对于A，由圆与圆的交点为A，B，
两式作差可得，
即公共弦AB所在直线方程为，故A正确；
对于B，圆的圆心为，，
则线段AB中垂线斜率为，
即线段AB中垂线方程为：，整理可得，故B正确；
对于C，圆，圆心到的距离为
，半径
所以，故C不正确；
对于D，P为圆上一动点，圆心到的距离为，半径，即P到直线AB距离的最大值为，故D正确.
故选：ABD
75．AD
【分析】根据圆的方程，先求圆心和半径，再依次判断选项.
【详解】把圆的方程化为标准形式得(x－1)2＋(y＋2)2＝2，所以圆心坐标为(1，－2)，半径为，所以圆心到直线x－y＝1的距离为d＝＝，直线与圆相切．
故选：AD
76．AB
【分析】根据直线与圆的位置关系判断．
【详解】根据直线与圆位置关系的确定，有一个公共点时相切，有两个公共点时相交．相离时无公共点．
故选：AB．
77．AD
【分析】根据题意得，故直线过定点，进而根据点与圆的位置关系得点在圆内，即可得直线与圆相交，当直线与过点和圆心的直线垂直时直线被圆C截得的弦长最短，再求解即可.
【详解】解：由直线得，
所以直线过定点，故A选项正确；
此时将点代入圆得，
所以点在圆内，故直线与圆C的位置是相交，故B选项错误；
当直线与过点和圆心的直线垂直时，直线被圆C截得的弦长最短，为，此时直线的斜率为，故C选项错误，D选项正确.
故选：AD
78．BC
【解析】求出圆心和半径可得，由题可得圆上的点到直线的最近距离大于等于1，求出圆心到直线的距离，可得，求出的取值范围即可.
【详解】圆化为标准方程为，
则圆心为，半径，其中，
圆上至多有一点到直线的距离为1，
圆上的点到直线的最近距离大于等于1，
其中圆心到直线的距离为，
，解得，
，则m的取值可以是1或3.
故选：BC.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是判断出圆上的点到直线的最近距离大于等于1.
79．ABD
【解析】两圆相减就是直线的方程，再利用圆心距，判断C，利用弦长公式求.
【详解】圆的圆心是，半径，圆，圆心，，
，故A正确；
两圆相减就是直线的方程，两圆相减得，故B正确；
，，，，所以不正确，故C不正确；
圆心到直线的距离，，故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题关键选项是B选项，当两圆相交，两圆相减后的二元一次方程就是相交弦所在直线方程.
80．
【分析】结合圆的几何性质求得垂直平分线的方程.
【详解】由题意知：，且垂直平分，
∴线段的垂直平分线所在直线必过，故直线的方程为，
整理得.
故答案为：
81．
【分析】联立两圆的方程，即可得到它们交点所在的直线方程，求出其中一个圆的圆心到该直线的距离，利用勾股定理即可得到线段的长.
【详解】联立，①②可得，即
圆的圆心到直线的距离
∴线段的长为.
故答案为：.
82．
【分析】两圆方程相减可得交点所在的直线方程．
【详解】解：，
即，
，
即，
两式相减得：.
故答案为：.
83．1
【分析】先求得相交弦所在直线方程，然后利用勾股定理列方程，解方程求得的值.
【详解】将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为.
圆的圆心为，半径为.
到直线的距离为：
，解得.
故答案为：
84．
【分析】判定直线过定点，求得圆心坐标，求得，结合圆的性质，得到当时，此时直线被圆所截得的弦长最短，求得直线的斜率，即可求解.
【详解】直线可化为，可得直线过定点，
又由圆，可得圆心坐标为，半径为，
根据圆的性质，可得当时，此时直线被圆所截得的弦长最短，
因为，所以直线的斜率为，
代入直线，可得，
即直线的方程为.
故答案为：
85．
【分析】根据标准方程求出圆心和半径，进而利用点到直线的距离公式求出圆心距，进而几何法求出弦长.
【详解】圆的圆心为，半径为2，
则圆心到直线的距离为，所以，
故答案为：
86．
【解析】由两圆方程相减可得公共弦的方程，再由直线和圆相交的弦长公式，计算可得所求值．
【详解】解：由圆和圆相减可得，
公共弦的方程为，
又圆的圆心为，半径为，
可得到直线的距离为，
则，
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：两圆相交，相交弦所在直线的方程可有两圆方程相减而得到，处理圆的弦长选择垂径定理为好．
87．
【解析】两个方程相减即可得直线的方程，求出圆心到直线的距离，利用
即可.
【详解】①，
②，
两式相减得：，即，
由：得：
则圆心，， 圆心到直线的距离
所以
故答案为：，
【点睛】本题主要考查了求两圆公共弦所在的直线的方程，以及弦长，属于中档题.
88．
【分析】把圆的方程化为标准方程，得到圆心坐标，由与直线的距离为的两条平行线一条与圆相交，一条与圆相离可得，由已知得到关于a的不等式，解不等式即可得解.
【详解】把圆的方程化为标准式为，
所以圆心坐标为，半径
则圆心到直线的距离，
由题意得，即，即
解得：或，即实数的取值范围为 ，
故答案为：.
89．
【分析】由圆的方程确定圆心和半径，利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离；根据已知可确定，由此构造方程求得的取值范围.
【详解】由圆的方程知其圆心为，半径，
设圆心到直线的距离为，则；
圆上有且仅有两个点到直线的距离为，则，
即，解得：或，
的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查根据圆上点到直线距离为定值的点的个数求解参数范围问题，解题关键是能够根据圆上点到直线距离为，确定圆心到直线距离与满足.
90．（1）；（2），.
【分析】（1）根据直线与圆的位置关系，确定最长弦及最短弦，进而求出四边形面积；
（2）由，可知当时，面积最大，进而求得最大值以及直线方程.
【详解】（1）过最长的弦为直径，最短的弦为垂直于的弦，
圆的半径，，
所以，，
所以．
（2），，
当时，面积的最大值为，
此时，到的距离为2，所以的倾斜角为或，
则的斜率为，所以，的方程为．
【点睛】圆的弦长的常用求法：
(1)几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则；
(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：.
91．（1）（2）该船有触礁的危险
【解析】（1）由圆过点、、，设圆的方程为，
再将点、、的坐标代入运算即可得解；
（2）由题意可得该船航行方向为直线：，再结合点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离，得解.
【详解】解：（1）如图所示，、，
设过、、三点的圆的方程为，
得：，
解得，，，
故所以圆的方程为，
圆心为，半径，
（2）该船初始位置为点，则，
且该船航线所在直线的斜率为1，
故该船航行方向为直线：，
由于圆心到直线的距离，
故该船有触礁的危险.
【点睛】本题考查了圆的方程的求法，重点考查了点到直线的距离公式，属中档题.
92．（1）；（2）最大值为，最小值为.
【解析】（1）由中点坐标公式可得，代入可得解；
（2）由圆心到直线的距离加半径可得最大值，减半径可得最小值.
【详解】（1）因为点是的中点，
，即
又，
即.
所以点的轨迹方程为.
（2）由（1）知点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆.
圆心到直线的距离.
所以点到直线的距离的最大值为，最小值为.
93．（1）或；（2）或.
【分析】（1）当直线的斜率不存在，易知与圆相切，当直线的斜率存在时，设直线为，由与圆相切圆心到直线的距离等于半径，列方程求k值，即可写出的方程；
（2）由题设，直线斜率一定存在，设直线为，利用点线距离公式求圆心到直线的距离，根据、圆的半径r与弦长的几何关系求k值，写出直线方程即可.
【详解】（1）由题意知，圆的圆心为，半径为；
①当直线的斜率不存在时，即的方程为时，此时，直线与圆相切，符合题意； .
②当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线为，化为一般式：，
∴若直线与圆相切，则，整理得，解得，
，即，
综上：当直线与圆相切，的方程为：或
（2）由题意知，直线的斜率一定存在，由（1）可设直线为，
设圆心到直线的距离为，则，
由垂径定理知：，即，整理得，
或，
的方程为或.
94．相交，
【分析】根据题意，求圆心到直线的距离，故位置关系是相交，再根据几何法求解即可.
【详解】解：由圆的方程得圆心为，半径为
所以圆心到直线的距离为：，
所以与圆相交，
所以直线被圆截得的弦长为.
95．（1）证明见解析；（2）答案见解析.
【分析】（1）直线过定点，然后得到点在圆的内部即可；
（2）利用圆心到直线的距离解出，然后可得答案.
【详解】（1）证明：直线过定点，
因为，
所以点在圆的内部，
故直线与圆相交.
（2）圆的标准方程为，
则圆的圆心坐标为，半径为，
且圆心到直线的距离
因为，
所以
由，得
当时﹐直线的方程为，倾斜角为
当时﹐直线的方程为，倾斜角为
96．（1）（2）10
【详解】试题分析：（1）由圆心到直线的距离小于半径列不等式，解不等式可得的取值范围；（2）由直线与直线的方程可求点的坐标，再联立直线与圆的方程，消去，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理得，然后求得点的坐标，再根据两点之间距离公式将用表示，消去即可得到结果.
试题解析：（1）因为圆与直线与交于不同的两点，
所以，即，解得或
（2）由可得
由可得
设两点横坐标分别为，则
得
所以
点睛：解析几何证明问题，一般解决方法以算代证，即设参数，运用推理，将问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，然后直接推理、计算，并在此过程中消去变量，从而得到证明.
97．（1）证明见解析（2），（3）
【分析】（1）求出直线经过定点，并且定点在圆内，所以结论正确；
（2）设圆心到直线的距离为，根据，当且仅当时，最大，由此可求得最短弦长和直线的方程；
（3）根据，且的最大值等于可得结果.
【详解】（1）由得，
由，得，即直线经过定点，
因为，所以点在圆内，
所以不论为何实数，直线都与圆相交于两点.
（2）由可知，圆心，半径为，
设，设圆心到直线的距离为，则，
当且仅当时，圆心到直线的距离为最大，此时直线被圆截得的弦长最短，最短弦长为，因为，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
（3）设坐标原点为，则，所以，
所以的最大值为.
【点睛】本题考查了直线经过定点问题，考查了圆的标准方程，考查了直线与圆的位置关系，考查了圆的弦长问题，考查了两点间的距离公式，属于中档题.
98．（1）（x﹣3）2+y2＝25；（2）x＝0或7x+24y﹣96＝0；（3）证明见解析，（﹣6，﹣12）；（4）证明见解析，.
【分析】（1）圆以为圆心，为半径，直接写出圆的标准方程；
（2）对直线的斜率进行讨论，再利用弦长公式和点到直线距离公式，可求得直线的斜率，再由点斜式方程求得答案；
（3）设直线：，，，利用
得到的关系，从而证得结论.
（4）设直线AM：y＝kx+4，与圆方程联立求出坐标，利用两点的斜率公式得出定值即可．
【详解】（1）圆以为圆心，为半径，
所以圆的标准方程为.
（2）①不存在时，直线的方程为：，，满足题意；
②存在时，设直线的方程为：，
，
所以直线的方程为：，
综上所述，直线的方程为或.
（3）设直线：，，，
①
联立方程，
所以，代入①
得，
化简得，所以直线的方程为：，所以过定点.
（4）设直线AM：y＝kx+4，
联立方程，
所以M点的坐标为，
同理N点的坐标为．
所以，
故直线l的斜率是定值，且为．
【点睛】关键点点睛：本题考查圆的标准方程、弦长公式、点到直线距离、直线过定点问题，解决本题的关键点是联立直线方程与圆方程，求出交点坐标或者利用根与系数的关系整体代入，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对斜率存在和存在的讨论.
99．（1）；（2）答案见解析.
【解析】（1）以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设每单位距离的运费为元，设售货区域内一点为，设在两地的购货费用相同，利用已知条件求出点的轨迹方程，即为所求；
（2）分别化简、结合（1）中的方程可得出结论.
【详解】（1）以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点、，
设每单位距离的运费为元，设售货区域内一点为，
若在两地的购货费用相同，则，
化简可得，
故在、两地的售货区域的分界线的方程为；
（2）由（1）可知，、两地的售货区域的分界线是以点为圆心，以为半径的圆，
所以，在圆上的居民从、两地购货的总费用相同.
由，可得，
所以，在圆外的居民从地购货便宜；
由，可得，
所以，在圆内的居民从地购货便宜.
【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：
（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；
（3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；
（4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；
（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.
100．（1）证明见解析；（2），.
【解析】（1）求出直线过定点，此定点在圆内即证；
（2）定点与圆心连线与垂直时，截得的线段最短，由此可得．
【详解】（1）直线，必过直线与直线的交点．联立方程，解得，所以直线过定点．
，即点在圆内，
直线与圆C恒相交于两点.
（2）当直线被圆截得的线段最短时，直线垂直．
，直线l的斜率，则，解得．
此时，弦长.
【点睛】结论点睛：本题考查直线与圆的位置关系，考查直线与圆相交弦长问题．如果直线恒过圆内一点，则直线与圆一定相交，过圆内一定点的弦，当弦过圆心时弦长最长，当定点与圆心连线与弦垂直时，弦长最短．
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