北师大版数学九年级上册同步练习——第一章《特殊平行四边形》3.正方形的性质与判定（2）

北师大版数学九年级上册同步练习——第一章《特殊平行四边形》3.正方形的性质与判定（2）
一、选择题
1．（2022九上·通川月考）下列命题是真命题的是（　　）
A．对边相等的四边形是平行四边形
B．有一个角是90°的平行四边形是矩形
C．邻边相等的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的平行四边形为正方形
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故原命题是假命题，此选项不符合题意；
B、 有一个角是90°的平行四边形是矩形 ，故原命题是真命题，此选项符合题意；
C、 邻边相等的平行四边形是菱形 ，故原命题是假命题，此选项不符合题意；
D、 对角线互相垂直的平行四边形为菱形， 故原命题是假命题，此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】分别根据平行四边形、矩形、菱形的判定方法一一判断即可.
2．（2023·蚌埠模拟）如图推理中，空格①②③④处可以填上条件“对角线相等”的是（　　）
A．①② B．①④ C．③④ D．②③
【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：对角线相等的平行四边形是矩形，对角线相等的菱形是矩形，
∴添加“对角线相等”的是②③；
故答案为：②③.
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐项判断即可.
3．（2023·临渭模拟）如图，在矩形中，对角线交于点O，下列条件中，能使矩形成为正方形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：由邻边相等的矩形是正方形可知，当BC=CD时，矩形ABCD是正方形，故选项D符合题意，而选项A，B，C都不符合题意.
故答案为：D.
【分析】正方形的判定方法：①一组邻边相等的矩形是正方；②对角线互相垂直的矩形是正方形，据此判断得出答案.
4．（2023·坪山模拟）如图，在菱形中，对角线，相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（　　）
A． B． C． D．平分
【答案】A
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等．
即或．
故答案为：A
【分析】根据正方形的判定方法证明即可。
5．（2022九上·沈北期中）如图，已知四边形的对角线相交于O，则下列条件能判断它是正方形的的是（　　）
A．， B．
C．，， D．，
【答案】A
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】A、由，可得四边形ABCD为矩形，
由，可知矩形ABCD为正方形，故A项符合题意；
B、，不能判定四边形ABCD为正方形，故B项不符合题意；
C、，，，四边形ABCD为菱形，故C项不符合题意；
D、，，不能判定四边形ABCD为正方形，故D项不符合题意，
故答案为：A．
【分析】根据正方形的判定方法逐项判断即可。
6．（2022九上·灞桥开学考）如图，在中，点、、分别在边，，上，且，下列结论：①四边形是平行四边形；②如果，那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；④如果，平分，那么四边形是正方形你认为正确的是（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
【答案】A
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB ，
四边形AEDF是平行四边形，故①正确；
四边形AEDF是平行四边形， ∠BAC=90° ，
四边形AEDF是矩形，故②正确；
平分 ，
，
∵DF∥AB
，
，
，
又 四边形AEDF是平行四边形，
四边形AEDF是菱形，故③正确；
若AD平分∠BAC ，则平行四边形AEDF是菱形，
若∠BAC=90°，则平行四边形AEDF是正方形，故④正确.
故答案为：A.
【分析】根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形可判断①；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断②；根据角平分线的概念可得∠EAD=∠DAF，由平行线的性质可得∠EAD=∠ADF，推出AF=DF，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可判断③；根据根据有一个角是直角的菱形是正方可判断④.
7．（2022·六盘水）如图，将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下，剪下的图形展开后可得到（　　）
A．三角形 B．梯形 C．正方形 D．五边形
【答案】C
【知识点】正方形的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵对折两次，沿着45°角的虚线展开，
∴得到的四边形的四个角是直角，且对角线互相垂直，
∴剪下的图形展开后可得到正方形.
故答案为：C.
【分析】观察图形，可知对折两次，沿着45°角的虚线展开，得到的四边形的四个角是直角，且对角线互相垂直，利用正方形的判定方法，可得剪下的图形展开后的形状.
8．（2021·玉林）一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形：
a.两组对边分别相等 b.一组对边平行且相等
c.一组邻边相等 d.一个角是直角
顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c
则正确的是（　　）
A．仅① B．仅③ C．①② D．②③
【答案】C
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：①由两组对边分别相等可得该四边形是平行四边形，添加一组邻边相等可得该四边形是菱形，再添加一个角是直角则可得该四边形是正方形；正确，故符合题意；
②由一组对边平行且相等可得该四边形是平行四边形，添加一个角是直角可得该四边形是矩形，再添加一组邻边相等则可得该四边形是正方形；正确，故符合题意；
③a、b都为平行四边形的判定定理，故不能判定该四边形是正方形，故错误，不符合题意；
∴正确的有①②；
故答案为：C.
【分析】根据正方形的判定可得结果.
二、填空题
9．（2021·黑龙江）如图，在矩形 中，对角线 相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件　 　，使矩形 是正方形．
【答案】AC⊥BD（答案不唯一）
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形 是矩形，
∴根据“一组邻边相等的矩形是正方形”可添加： 或 或 或 ，
根据“对角线互相垂直的矩形是正方形”可添加：AC⊥BD，
故答案为AC⊥BD（答案不唯一）．
【分析】根据正方形的判定求解即可。
10．（2017·宿迁）如图，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上，且BE=1，若点P在对角线BD上移动，则PA+PE的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】正方形的判定；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作出点E关于BD的对称点E′，连接AE′与BD交于点P，此时AP+PE最小，
∵PE=PE′，
∴AP+PE=AP+PE′=AE′，
在Rt△ABE′中，AB=3，BE′=BE=1，
根据勾股定理得：AE′= ，
则PA+PE的最小值为 ，
故答案为：
【分析】作出点E关于BD的对称点E′，连接AE′与BD交于点P，此时AP+PE最小，求出AE′的长即为最小值．
11．（2022·攀枝花）如图，以的三边为边在上方分别作等边、、.且点A在内部.给出以下结论：
①四边形是平行四边形；
②当时，四边形是矩形；
③当时，四边形是菱形；
④当，且时，四边形是正方形.
其中正确结论有　 　（填上所有正确结论的序号）.
【答案】①②③④
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的判定；矩形的判定；正方形的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解析：①、△CBF是等边三角形，
，，，
，
，
，
同理由，得，
由，即可得出四边形是平行四边形，故结论①正确；
②当时，
，
由①知四边形是平行四边形，
平行四边形是矩形，故结论②正确；
③由①知，，四边形是平行四边形，
当时，，
平行四边形是菱形，故结论③正确；
④综合②③的结论知：当，且时，四边形既是菱形，又是矩形，
四边形是正方形，故结论④正确.
故答案为：①②③④.
【分析】由等边三角形性质得BE=AB，BF=CB，∠EBA=∠FBC，则∠EBF=∠ABC，再用SAS判断出△EFB≌△ACB，由全等三角形对应边相等得EF=AC=AD，同理得△CDF≌△CAB，DF=AB=AE，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可得四边形ADFE是平行四边形，据此判断①；根据周角及等边三角形的性质得∠EAD=90°，根据有一个角的直角的平行四边形是矩形可得四边形AEFD是矩形，据此判断②；根据等边三角形的性质得AB=AE，AC=AD，结合AB=AC得AE=AD，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，得平行四边形AEFD是菱形，据此判断③；由②与③可知四边形AEFD即是矩形，又是菱形，故该四边形是正方形，据此判断④.
12．（2022八下·剑阁期末）如图，点P是正方形 的对角线 上一点， ，垂足分别为点E，F，连接 ，给出下列四个结论：① ；② ；③ ；④ 一定是等腰三角形．其中正确的结论序号是　 　．
【答案】①②③
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：
延长PF交AB于点G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AB=BC=CD=AD，
∵PF⊥CD，AB∥CD，
∴PG⊥AB，即∠PGB=90°，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴四边形GBEP为正方形，四边形PFCE为矩形，
∴GB=BE=EP=GP，PF=CE，∠EPF=90°，
∴AB-BG=CD-BE，即AG=CE=PF，
在△AGP和△FPE中，
，
∴△AGP≌△FPE（SAS），
∴AP=EF，∠PFE=∠BAP，
故①②正确；
∵BC=CD，BE=CF，
∴CE=PF=DF，
在Rt△PDF中，由勾股定理得PD=，
故③正确；
∵P在BD上，
∴当AP=DP、AP=AD、PD=DA时，△APD才是等腰三角形，
∴△APD是等腰三角形共有3种情况，故④错误，
故答案为：①②③.
【分析】延长PF交AB于点G，由正方形ABCD和PE⊥BC，PF⊥CD可证出四边形GBEP为正方形，四边形PFCE为矩形，然后用“边角边”证△AGP≌△FPE，利用全等三角形的性质（全等三角形对应边相等，对应角相等）即可证①②正确；由勾股定理可以得出PD=，可证③正确；点P在BD上要使△APD一定是等腰三角形，只有当AP=DP、AP=AD、PD=DA时才成立，可判断④错误.
13．（2022八下·长沙月考）如图，四边形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为　 　.
【答案】4
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，
∵∠ABC=90°，DE⊥AB，
∴四边形DEBF为矩形，
∵∠ADC=∠ABC=90°，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠FCD+∠BCD=180°，
∴∠A=∠FCD，
又∠AED=∠F=90°，AD=DC，
∴△ADE≌△CDF(AAS)，
∴DE=DF，
∴四边形DEBF为正方形，
S四边形ABCD=S正方形DEBF=16，
∴DE=4.
故答案为：4.
【分析】过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，易得四边形DEBF为矩形，得到∠ADC=∠ABC=90°，根据同角的补角相等可得∠A=∠FCD，证明△ADE≌△CDF，得到DE=DF，推出四边形DEBF为正方形，然后根据S四边形ABCD=S正方形DEBF=16结合正方形的面积公式进行计算.
三、解答题
14．（2022九上·郓城期中）如图，在矩形中，点E，F分别在边上，，且，与相交于点G．求证：矩形为正方形；
【答案】证明：
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴四边形是正方形；
【知识点】矩形的性质；正方形的判定
【解析】【分析】利用“AAS”证明，可得，再结合四边形是矩形，可得四边形是正方形。
15．（2022·邵阳）如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，.
求证：四边形是正方形.
【答案】证明：∵ 四边形ABCD是菱形
∴ OA=OC，OB=OD且AC⊥BD，
又∵ BE=DF
∴ OB-BE=OD-DF
即OE=OF
∵OE=OA
∴OA=OC=OE=OF，
∴AC=EF
又∵AC⊥EF
∴ 四边形DEBF是正方形.
【知识点】菱形的性质；正方形的判定
【解析】【分析】根据菱形的性质可得OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，由已知条件知BE=DF，结合线段的和差关系可得OE=OF ，结合OE=OA可得OA=OC=OE=OF，即AC=EF，然后根据正方形的判定定理进行证明.
16．（2021九上·秦都月考）如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，连接AE、CE， ， ，求证：四边形ABCD是正方形.
【答案】解：在 和 中，
∴ （AAS），
∴ ，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形.
【知识点】矩形的性质；正方形的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】先利用AAS证明△ABE≌△CBE，得出BA=BC，结合四边形ABCD是矩形，即可证出四边形ABCD是正方形.
17．（2023·十堰）如图，的对角线交于点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）请说明当的对角线满足什么条件时，四边形是正方形？
【答案】（1）解：四边形是平行四边形．理由如下：
∵的对角线交于点，
∴，
∵以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，
∴
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形，
∴且时，四边形是正方形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；正方形的判定
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得AO=CO，BO=DO，由作图可得BP=AC=OC，CP=BD=OB，然后根据平行四边形的判定定理进行解答；
（2）根据对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形进行解答.
18．（2023八下·仁化期中）如图，在中，，D、E、F分别是、、的中点．
（1）求证：．
（2）连接、，求证：四边形为矩形．
（3） 满足什么条件时，四边形为正方形，并证明．
【答案】（1）证明：∵D、F分别是 、 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵点E时 的中点， ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：∵D、E分别是 、 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 是矩形；
（3）解：当 时，四边形 是正方形，证明如下：
同理可证 是 的中位线，
∴ ，
当 时，则 ，
∴矩形 是正方形．
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 是 的中位线， 再求出 ， 最后证明即可；
（2）根据题意先求出 是 的中位线， 再求出 四边形 是平行四边形， 最后利用矩形的判定方法证明即可；
（3）根据三角形的中位线先求出 ， 再利用正方形的判定方法证明即可。
19．（2023八下·柯桥期中）定义：如果一个凸四边形有三条边相等，那么称这个凸四边形为“准等边四边形”．如正方形就是一个“准等边四边形”．
（1）如图，在给定的网格中，找到格点D．使得以A、B、C、D为顶点的四边形是准等边四边形
（2）如图1， ABCD中，对角线CA平分∠BCD，将线段CD绕点C顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜∠B）至CE，连接AE、DE．
①求证：四边形ABCE是准等边四边形；
②如图2，连接BE，求证：∠BED＝∠ACB；
（3）如图3，在准等边四边形ABCD中，∠C=90°，AB＝BC＝CD＝2，∠B＝150°，请求出∠BAD的大小及该四边形的面积．
【答案】（1）解：由图可知：AB＝AC，
∴只要作CD或BD中至少一条与AB相等就可，
故作图（1），由四种画法．
（2）证明：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC，
∵AC平分∠BCD，
∴∠ACD＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠BAC，
∴AB＝BC，
由旋转得：CD＝CE，
∴AB＝BC＝CE，
∴四边形ABCE是准等边四边形.
②延长EC至点H，
∵BC＝CE＝CD，
∴∠CBE＝∠CEB，∠CDE＝∠CED，
∴∠DCH＝∠CDE+∠CED＝2∠CED，∠BCH＝∠CBE+∠CEB＝2∠CEB，
∴∠DCH-∠BCH＝6∠CED-2∠CEB＝2∠BED，
∴∠BCD＝4∠BED，
由①得：∠ACB＝∠ACD，
∴∠BCD＝2∠ACB，
（3）解：如图（3），过点B作DC的平行线，过点D作BC的平行线，交于点F，过A作BC的平行线，交BF于点K，
∵BF⊥BC，DF⊥CD，
∴四边形BCDF是矩形，
∵CD＝BC，
∴四边形BCDF是正方形，
∴DF＝FB＝AB＝2，
∵∠ABC＝150°，∠FBC＝90°，
∴∠ABF＝∠ABC-∠FBC＝60°，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠FAB＝∠AFB＝60°，AF＝FB＝DF，
∴∠AFD＝∠AFB+∠BFD＝150°，∠FAD＝∠FDA，
∴∠FAD＝ （180°-150°）＝15°，
∴∠DAB＝∠FAB-∠FAD＝60°-15°＝45°，
∴∠KAB＝30°，
∵AB＝2，
∴BK＝GC＝3，
∴AK＝ ，
∴AG＝AK+KG＝+6，
∴GD＝CD-GC＝2-1＝8，
∴S四边形ABCD＝S△ADG+S△ABK+S矩形GKBC＝
∴∠DAB＝45°，四边形ABCD的面积为3+
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；正方形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）只要作CD或BD中至少一条与AB相等就可，据此作图；
（2）①根据平行四边形的性质可得AB＝CD，AB∥CD，由平行线的性质可得∠ACD＝∠BAC，根据角平分线的概念可得∠ACD＝∠ACB，进而推出AB＝BC，由旋转得：CD＝CE，则AB＝BC＝CE，据此证明；
②延长EC至点H，根据等腰三角形的性质结合外角的性质可得∠DCH＝2∠CED，∠BCH＝2∠CEB，则
∠DCH-∠BCH＝6∠CED-2∠CEB＝2∠BED，推出∠BCD＝4∠BED，由①得：∠ACB＝∠ACD，据此证明；
（3）过点B作DC的平行线，过点D作BC的平行线，交于点F，过A作BC的平行线，交BF于点K，则四边形BCDF是正方形，DF＝FB＝AB＝2，易得△ABF是等边三角形，则∠FAB＝∠AFB＝60°，AF＝FB＝DF，∠AFD＝∠AFB+∠BFD＝150°，∠FAD＝∠FDA，∠FAD＝15°，∠DAB＝45°，∠KAB＝30°，求出BK、AK、AG、GD的值，然后根据S四边形ABCD＝S△ADG+S△ABK+S矩形GKBC进行计算.
1 / 1北师大版数学九年级上册同步练习——第一章《特殊平行四边形》3.正方形的性质与判定（2）
一、选择题
1．（2022九上·通川月考）下列命题是真命题的是（　　）
A．对边相等的四边形是平行四边形
B．有一个角是90°的平行四边形是矩形
C．邻边相等的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的平行四边形为正方形
2．（2023·蚌埠模拟）如图推理中，空格①②③④处可以填上条件“对角线相等”的是（　　）
A．①② B．①④ C．③④ D．②③
3．（2023·临渭模拟）如图，在矩形中，对角线交于点O，下列条件中，能使矩形成为正方形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023·坪山模拟）如图，在菱形中，对角线，相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（　　）
A． B． C． D．平分
5．（2022九上·沈北期中）如图，已知四边形的对角线相交于O，则下列条件能判断它是正方形的的是（　　）
A．， B．
C．，， D．，
6．（2022九上·灞桥开学考）如图，在中，点、、分别在边，，上，且，下列结论：①四边形是平行四边形；②如果，那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；④如果，平分，那么四边形是正方形你认为正确的是（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
7．（2022·六盘水）如图，将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下，剪下的图形展开后可得到（　　）
A．三角形 B．梯形 C．正方形 D．五边形
8．（2021·玉林）一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形：
a.两组对边分别相等 b.一组对边平行且相等
c.一组邻边相等 d.一个角是直角
顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c
则正确的是（　　）
A．仅① B．仅③ C．①② D．②③
二、填空题
9．（2021·黑龙江）如图，在矩形 中，对角线 相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件　 　，使矩形 是正方形．
10．（2017·宿迁）如图，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上，且BE=1，若点P在对角线BD上移动，则PA+PE的最小值是　 　．
11．（2022·攀枝花）如图，以的三边为边在上方分别作等边、、.且点A在内部.给出以下结论：
①四边形是平行四边形；
②当时，四边形是矩形；
③当时，四边形是菱形；
④当，且时，四边形是正方形.
其中正确结论有　 　（填上所有正确结论的序号）.
12．（2022八下·剑阁期末）如图，点P是正方形 的对角线 上一点， ，垂足分别为点E，F，连接 ，给出下列四个结论：① ；② ；③ ；④ 一定是等腰三角形．其中正确的结论序号是　 　．
13．（2022八下·长沙月考）如图，四边形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为　 　.
三、解答题
14．（2022九上·郓城期中）如图，在矩形中，点E，F分别在边上，，且，与相交于点G．求证：矩形为正方形；
15．（2022·邵阳）如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，.
求证：四边形是正方形.
16．（2021九上·秦都月考）如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，连接AE、CE， ， ，求证：四边形ABCD是正方形.
17．（2023·十堰）如图，的对角线交于点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）请说明当的对角线满足什么条件时，四边形是正方形？
18．（2023八下·仁化期中）如图，在中，，D、E、F分别是、、的中点．
（1）求证：．
（2）连接、，求证：四边形为矩形．
（3） 满足什么条件时，四边形为正方形，并证明．
19．（2023八下·柯桥期中）定义：如果一个凸四边形有三条边相等，那么称这个凸四边形为“准等边四边形”．如正方形就是一个“准等边四边形”．
（1）如图，在给定的网格中，找到格点D．使得以A、B、C、D为顶点的四边形是准等边四边形
（2）如图1， ABCD中，对角线CA平分∠BCD，将线段CD绕点C顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜∠B）至CE，连接AE、DE．
①求证：四边形ABCE是准等边四边形；
②如图2，连接BE，求证：∠BED＝∠ACB；
（3）如图3，在准等边四边形ABCD中，∠C=90°，AB＝BC＝CD＝2，∠B＝150°，请求出∠BAD的大小及该四边形的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故原命题是假命题，此选项不符合题意；
B、 有一个角是90°的平行四边形是矩形 ，故原命题是真命题，此选项符合题意；
C、 邻边相等的平行四边形是菱形 ，故原命题是假命题，此选项不符合题意；
D、 对角线互相垂直的平行四边形为菱形， 故原命题是假命题，此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】分别根据平行四边形、矩形、菱形的判定方法一一判断即可.
2．【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：对角线相等的平行四边形是矩形，对角线相等的菱形是矩形，
∴添加“对角线相等”的是②③；
故答案为：②③.
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐项判断即可.
3．【答案】D
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：由邻边相等的矩形是正方形可知，当BC=CD时，矩形ABCD是正方形，故选项D符合题意，而选项A，B，C都不符合题意.
故答案为：D.
【分析】正方形的判定方法：①一组邻边相等的矩形是正方；②对角线互相垂直的矩形是正方形，据此判断得出答案.
4．【答案】A
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等．
即或．
故答案为：A
【分析】根据正方形的判定方法证明即可。
5．【答案】A
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】A、由，可得四边形ABCD为矩形，
由，可知矩形ABCD为正方形，故A项符合题意；
B、，不能判定四边形ABCD为正方形，故B项不符合题意；
C、，，，四边形ABCD为菱形，故C项不符合题意；
D、，，不能判定四边形ABCD为正方形，故D项不符合题意，
故答案为：A．
【分析】根据正方形的判定方法逐项判断即可。
6．【答案】A
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB ，
四边形AEDF是平行四边形，故①正确；
四边形AEDF是平行四边形， ∠BAC=90° ，
四边形AEDF是矩形，故②正确；
平分 ，
，
∵DF∥AB
，
，
，
又 四边形AEDF是平行四边形，
四边形AEDF是菱形，故③正确；
若AD平分∠BAC ，则平行四边形AEDF是菱形，
若∠BAC=90°，则平行四边形AEDF是正方形，故④正确.
故答案为：A.
【分析】根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形可判断①；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断②；根据角平分线的概念可得∠EAD=∠DAF，由平行线的性质可得∠EAD=∠ADF，推出AF=DF，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可判断③；根据根据有一个角是直角的菱形是正方可判断④.
7．【答案】C
【知识点】正方形的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵对折两次，沿着45°角的虚线展开，
∴得到的四边形的四个角是直角，且对角线互相垂直，
∴剪下的图形展开后可得到正方形.
故答案为：C.
【分析】观察图形，可知对折两次，沿着45°角的虚线展开，得到的四边形的四个角是直角，且对角线互相垂直，利用正方形的判定方法，可得剪下的图形展开后的形状.
8．【答案】C
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：①由两组对边分别相等可得该四边形是平行四边形，添加一组邻边相等可得该四边形是菱形，再添加一个角是直角则可得该四边形是正方形；正确，故符合题意；
②由一组对边平行且相等可得该四边形是平行四边形，添加一个角是直角可得该四边形是矩形，再添加一组邻边相等则可得该四边形是正方形；正确，故符合题意；
③a、b都为平行四边形的判定定理，故不能判定该四边形是正方形，故错误，不符合题意；
∴正确的有①②；
故答案为：C.
【分析】根据正方形的判定可得结果.
9．【答案】AC⊥BD（答案不唯一）
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形 是矩形，
∴根据“一组邻边相等的矩形是正方形”可添加： 或 或 或 ，
根据“对角线互相垂直的矩形是正方形”可添加：AC⊥BD，
故答案为AC⊥BD（答案不唯一）．
【分析】根据正方形的判定求解即可。
10．【答案】
【知识点】正方形的判定；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作出点E关于BD的对称点E′，连接AE′与BD交于点P，此时AP+PE最小，
∵PE=PE′，
∴AP+PE=AP+PE′=AE′，
在Rt△ABE′中，AB=3，BE′=BE=1，
根据勾股定理得：AE′= ，
则PA+PE的最小值为 ，
故答案为：
【分析】作出点E关于BD的对称点E′，连接AE′与BD交于点P，此时AP+PE最小，求出AE′的长即为最小值．
11．【答案】①②③④
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的判定；矩形的判定；正方形的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解析：①、△CBF是等边三角形，
，，，
，
，
，
同理由，得，
由，即可得出四边形是平行四边形，故结论①正确；
②当时，
，
由①知四边形是平行四边形，
平行四边形是矩形，故结论②正确；
③由①知，，四边形是平行四边形，
当时，，
平行四边形是菱形，故结论③正确；
④综合②③的结论知：当，且时，四边形既是菱形，又是矩形，
四边形是正方形，故结论④正确.
故答案为：①②③④.
【分析】由等边三角形性质得BE=AB，BF=CB，∠EBA=∠FBC，则∠EBF=∠ABC，再用SAS判断出△EFB≌△ACB，由全等三角形对应边相等得EF=AC=AD，同理得△CDF≌△CAB，DF=AB=AE，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可得四边形ADFE是平行四边形，据此判断①；根据周角及等边三角形的性质得∠EAD=90°，根据有一个角的直角的平行四边形是矩形可得四边形AEFD是矩形，据此判断②；根据等边三角形的性质得AB=AE，AC=AD，结合AB=AC得AE=AD，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，得平行四边形AEFD是菱形，据此判断③；由②与③可知四边形AEFD即是矩形，又是菱形，故该四边形是正方形，据此判断④.
12．【答案】①②③
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：
延长PF交AB于点G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AB=BC=CD=AD，
∵PF⊥CD，AB∥CD，
∴PG⊥AB，即∠PGB=90°，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴四边形GBEP为正方形，四边形PFCE为矩形，
∴GB=BE=EP=GP，PF=CE，∠EPF=90°，
∴AB-BG=CD-BE，即AG=CE=PF，
在△AGP和△FPE中，
，
∴△AGP≌△FPE（SAS），
∴AP=EF，∠PFE=∠BAP，
故①②正确；
∵BC=CD，BE=CF，
∴CE=PF=DF，
在Rt△PDF中，由勾股定理得PD=，
故③正确；
∵P在BD上，
∴当AP=DP、AP=AD、PD=DA时，△APD才是等腰三角形，
∴△APD是等腰三角形共有3种情况，故④错误，
故答案为：①②③.
【分析】延长PF交AB于点G，由正方形ABCD和PE⊥BC，PF⊥CD可证出四边形GBEP为正方形，四边形PFCE为矩形，然后用“边角边”证△AGP≌△FPE，利用全等三角形的性质（全等三角形对应边相等，对应角相等）即可证①②正确；由勾股定理可以得出PD=，可证③正确；点P在BD上要使△APD一定是等腰三角形，只有当AP=DP、AP=AD、PD=DA时才成立，可判断④错误.
13．【答案】4
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，
∵∠ABC=90°，DE⊥AB，
∴四边形DEBF为矩形，
∵∠ADC=∠ABC=90°，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠FCD+∠BCD=180°，
∴∠A=∠FCD，
又∠AED=∠F=90°，AD=DC，
∴△ADE≌△CDF(AAS)，
∴DE=DF，
∴四边形DEBF为正方形，
S四边形ABCD=S正方形DEBF=16，
∴DE=4.
故答案为：4.
【分析】过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，易得四边形DEBF为矩形，得到∠ADC=∠ABC=90°，根据同角的补角相等可得∠A=∠FCD，证明△ADE≌△CDF，得到DE=DF，推出四边形DEBF为正方形，然后根据S四边形ABCD=S正方形DEBF=16结合正方形的面积公式进行计算.
14．【答案】证明：
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴四边形是正方形；
【知识点】矩形的性质；正方形的判定
【解析】【分析】利用“AAS”证明，可得，再结合四边形是矩形，可得四边形是正方形。
15．【答案】证明：∵ 四边形ABCD是菱形
∴ OA=OC，OB=OD且AC⊥BD，
又∵ BE=DF
∴ OB-BE=OD-DF
即OE=OF
∵OE=OA
∴OA=OC=OE=OF，
∴AC=EF
又∵AC⊥EF
∴ 四边形DEBF是正方形.
【知识点】菱形的性质；正方形的判定
【解析】【分析】根据菱形的性质可得OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，由已知条件知BE=DF，结合线段的和差关系可得OE=OF ，结合OE=OA可得OA=OC=OE=OF，即AC=EF，然后根据正方形的判定定理进行证明.
16．【答案】解：在 和 中，
∴ （AAS），
∴ ，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形.
【知识点】矩形的性质；正方形的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】先利用AAS证明△ABE≌△CBE，得出BA=BC，结合四边形ABCD是矩形，即可证出四边形ABCD是正方形.
17．【答案】（1）解：四边形是平行四边形．理由如下：
∵的对角线交于点，
∴，
∵以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，
∴
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形，
∴且时，四边形是正方形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；正方形的判定
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得AO=CO，BO=DO，由作图可得BP=AC=OC，CP=BD=OB，然后根据平行四边形的判定定理进行解答；
（2）根据对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形进行解答.
18．【答案】（1）证明：∵D、F分别是 、 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵点E时 的中点， ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：∵D、E分别是 、 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 是矩形；
（3）解：当 时，四边形 是正方形，证明如下：
同理可证 是 的中位线，
∴ ，
当 时，则 ，
∴矩形 是正方形．
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 是 的中位线， 再求出 ， 最后证明即可；
（2）根据题意先求出 是 的中位线， 再求出 四边形 是平行四边形， 最后利用矩形的判定方法证明即可；
（3）根据三角形的中位线先求出 ， 再利用正方形的判定方法证明即可。
19．【答案】（1）解：由图可知：AB＝AC，
∴只要作CD或BD中至少一条与AB相等就可，
故作图（1），由四种画法．
（2）证明：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC，
∵AC平分∠BCD，
∴∠ACD＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠BAC，
∴AB＝BC，
由旋转得：CD＝CE，
∴AB＝BC＝CE，
∴四边形ABCE是准等边四边形.
②延长EC至点H，
∵BC＝CE＝CD，
∴∠CBE＝∠CEB，∠CDE＝∠CED，
∴∠DCH＝∠CDE+∠CED＝2∠CED，∠BCH＝∠CBE+∠CEB＝2∠CEB，
∴∠DCH-∠BCH＝6∠CED-2∠CEB＝2∠BED，
∴∠BCD＝4∠BED，
由①得：∠ACB＝∠ACD，
∴∠BCD＝2∠ACB，
（3）解：如图（3），过点B作DC的平行线，过点D作BC的平行线，交于点F，过A作BC的平行线，交BF于点K，
∵BF⊥BC，DF⊥CD，
∴四边形BCDF是矩形，
∵CD＝BC，
∴四边形BCDF是正方形，
∴DF＝FB＝AB＝2，
∵∠ABC＝150°，∠FBC＝90°，
∴∠ABF＝∠ABC-∠FBC＝60°，
∴△ABF是等边三角形，
∴∠FAB＝∠AFB＝60°，AF＝FB＝DF，
∴∠AFD＝∠AFB+∠BFD＝150°，∠FAD＝∠FDA，
∴∠FAD＝ （180°-150°）＝15°，
∴∠DAB＝∠FAB-∠FAD＝60°-15°＝45°，
∴∠KAB＝30°，
∵AB＝2，
∴BK＝GC＝3，
∴AK＝ ，
∴AG＝AK+KG＝+6，
∴GD＝CD-GC＝2-1＝8，
∴S四边形ABCD＝S△ADG+S△ABK+S矩形GKBC＝
∴∠DAB＝45°，四边形ABCD的面积为3+
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；正方形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）只要作CD或BD中至少一条与AB相等就可，据此作图；
（2）①根据平行四边形的性质可得AB＝CD，AB∥CD，由平行线的性质可得∠ACD＝∠BAC，根据角平分线的概念可得∠ACD＝∠ACB，进而推出AB＝BC，由旋转得：CD＝CE，则AB＝BC＝CE，据此证明；
②延长EC至点H，根据等腰三角形的性质结合外角的性质可得∠DCH＝2∠CED，∠BCH＝2∠CEB，则
∠DCH-∠BCH＝6∠CED-2∠CEB＝2∠BED，推出∠BCD＝4∠BED，由①得：∠ACB＝∠ACD，据此证明；
（3）过点B作DC的平行线，过点D作BC的平行线，交于点F，过A作BC的平行线，交BF于点K，则四边形BCDF是正方形，DF＝FB＝AB＝2，易得△ABF是等边三角形，则∠FAB＝∠AFB＝60°，AF＝FB＝DF，∠AFD＝∠AFB+∠BFD＝150°，∠FAD＝∠FDA，∠FAD＝15°，∠DAB＝45°，∠KAB＝30°，求出BK、AK、AG、GD的值，然后根据S四边形ABCD＝S△ADG+S△ABK+S矩形GKBC进行计算.
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