1.1.1空间向量及其线性运算 课件（共30张PPT）

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课题:空间向量及其线性运算
数学选择性必修第一册第一章1.1空间向量及其运算
问题提出
1.在平面中,什么叫向量？
既有大小又有方向的量叫做向量.
2.两个平面向量加法与减法运算的法则分别是什么？
平行四边形法则,
三角形法则.
F2
F1
F3
3.如图,一块质量为500kg的均匀正三角形钢板,在它的顶点处分别受力F1、F2、F3,每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是600,且|F1|＝|F2|＝|F3|.若分析
这三个力至少为多大时,才能提起这块钢板,以及这块钢板在这些力的作用下如何运动,需要有空间向量的知识才能解决.
问题提出
空间向量
及其加减运算
探究一：空间向量的有关概念
思考1：平面内既有大小又有方向的量与空间中既有大小又有方向的量有本质差别吗？如何定义空间向量？
在空间,具有大小和方向的量.
向量的表示：
B
A
思考2：向量的大小叫做向量的长度或模,在空间中,若向量 的起点为A,终点为B,则向量 可以怎样表示？其模怎样表示？
模的表示: 或
思考3：在空间向量中,怎样定义零向量,单位向量,相反向量和相等向量？
零向量：模为0的向量；
单位向量：模为1的向量；
相反向量：模相等且方向相反的向量；
相等向量：模相等且方向相同的向量.
探究一：空间向量的有关概念
思考4：在平面向量中,若两个向量可以平移到同一条直线上,则称这两个向量为共线向量(或平行向量).在空间向量中,若两个向量可以平移到同一个平面内,则称这两个向量为共面向量.那么空间任意两个向量共面吗？任意三个向量共面吗？
探究一：空间向量的有关概念
探究一：空间向量的有关概念
探究二：空间向量的加减运算
思考1：对于两个平面向量,可以利用平行四边形法则或三角形法则求作其和向量与差向量,如果空间向量 与 所在直线异面,如何求作它们的和向量与差向量？
平行移动,首尾相连,
平行移动,首首相连,
探究二：空间向量的加减运算
思考2：如果空间三个向量 , , 不共面,如何求作它们的和向量？
首尾相接首尾连
折线法则
思考3：如图，在平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)ABCD－A1B1C1D1中,向量 表示哪个向量？
B
A
C
D
B1
A1
C1
D1
探究二：空间向量的加减运算
平行六面体法则
探究二：空间向量的加减运算
思考4：对于空间向量 , ,向量
与 相等吗？
交换律：
平行移动,首尾相连,
结合律:
相反向量
相等向量
探究二：空间向量的加减运算
思考5：如图，设 ， ， ，则 与 分别等于哪个向量？由此得到什么结论？
思考6：若 或 ,则向量 与的关系分别是什么？
O
A
B
C
理论迁移
例1 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中,化简下列各式：
B
A
C
D
B1
A1
C1
D1
例2 在三棱锥O－ABC中,点M是△ABC的重心,求证：
D
O
A
B
C
M
理论迁移
探究三：数乘运算的含义
大小: ;
方向:λ＞0时同向,
λ＜0时反向,
λ＝0时
思考1：在平面向量中,实数 与向量 的乘积 还是一个向量,称为向量的数乘运算,其中向量 与 的大小和方向有什么关系？
探究三：数乘运算的含义
在空间向量中,数乘运算的定义及法则同样适用.
思考2：在平面向量中,设 , 为实数,则 , , 分别等于什么？
探究四：共线向量的概念与定理
思考1：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量,如果空间向量 是一组平行向量,那么表示这
三个向量的有向线段所在的直线的位置关系有哪几种可能？
探究四：共线向量的概念与定理
若 ,则 与 有什么位置关系？反之成立吗？
思考2：对空间任意两个向量 ,
若 ,则 ,反之不成立.
存在实数λ,使 .
的充要条件是什么？
思考3：对空间两个向量
,
l
P
探究四：共线向量的概念与定理
存在实数t,使 ＝t
A
思考4：如图,已知点A和非零向量 ,若直线l经过点A且平行于向量 所在直线,则向量 叫做直线l的方向向量,那么点P在直线l上的充要条件是什么？
与 、 的关系如何？上述结论可作怎样的变式？
思考5：对空间任意一点O,向量
O
B
若 ,则点P、A、B共线的充要条件是x＋y＝1；
点P为AB的中点的充要条件是
探究四：共线向量的概念与定理
思考6：在直线l上取 ,则向量式 可作哪些变形？你能从中发现什么结论吗？
l
A
P
O
探究五：共面向量的概念与定理
O
A
O
A
思考1：已知平面α和向量 ,作 ,如果直线OA平行于α或在α内,则称向量 平行于平面α,记作 .一组空间向量可以都与平面α平行吗？
α
思考2：平行于同一平面的向量,叫做共面向量,空间任意两个向量一定共面吗？任意三个向量一定共面吗？
探究五：共面向量的概念与定理
探究五：共面向量的概念与定理
思考3：如果两个向量 不共线,若向量 与 共面,由平面向量基本定理知,存在实数对(x,y),使 .反之成立吗？由此可得什么结论？
若向量 不共线,则向量 与 共面的充要条件是:存在惟一的有序实数对(x,y),使 .
A
P
B
C
思考4：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是什么？
探究五：共面向量的概念与定理
存在有序实数对(x,y),使
O
A
P
B
C
思考5：对空间任一点O,上述向量式可变形为 ,进一步变形可得什么结论？
探究五：共面向量的概念与定理
对空间任一点O和不共线三点A、B、C,若 ,则点P在平面ABC内的充要条件是x＋y＋z＝1.
探究五：共面向量的概念与定理
O
A
P
B
C
理论迁移
例 在空间四边形ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点,求证:向量 与 、 共面.
A
B
C
D
E
F
法一:利用空间向量共面的定义,证三个向量可平移至同一平面内.
法二:利用空间三个向量共面定理,证 可用另两个向量表示.
G
课堂小结
1.空间向量与平面向量的区别在于表示空间向量的有向线段不一定共面,而表示平面向量的有向线段一定共面.
2.任意两个空间向量可以通过平移使其共面,因此,两个空间向量的和差运算实质是平面向量的和差运算,多个空间向量的和差运算可以转化为若干个平面向量的和差运算来解决.
P5练习：2，4，5.
作业布置