2.1 等式性质与不等式性质 考点汇总 高一上学期 人教A版（2019）必修第一册（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2.1 等式性质与不等式性质 考点汇总 高一上学期 人教A版（2019）必修第一册
学校:______姓名:______班级:______考号:______
一、不等关系与不等式
1.下面能表示“与的和是非正数”的不等式为( )
A. B. C. D.
2.，下列命题正确的是( )
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
3.某同学参加期末模拟考试，考后对自己的语文和数学成绩进行了如下估计：语文成绩高于分，数学成绩不低于分，用不等式组可以表示为( )
A. B. C. D.
4.下列说法错误的是( )
A.某人的月收入(单位：元)不高于元可表示为“”
B.小明的身高为小华的身高为则小明比小华矮表示为“”
C.某变量不小于可表示为“”
D.某变量不大于可表示为“”
5. 若规定，则的解集是 ．
6.已知，则的取值范围是
7.已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ．
8.用不等式(组)表示下面的不等关系：
(1)与的差是非负数；
(2)用一根长为的铁丝围成一个矩形，矩形的面积大于；
(3)某钢铁厂要把长度为的钢管截成和两种，要求钢管的数量不能超过钢管数量的倍.
二、不等式关系与不等式
9.已知数轴上三点若线段的中点到线段的中点的距离大于，则实数的取值范围是
10.关于的不等式组的解集为那么 .
11.不等式组的解集在数轴上的表示为 ( )
A. B. C. D.
12.已知关于的不等式组的解集是，则( )
A. B. C. D.
13.若不等式组无解，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
14.已知则不等式等价于 ( )
A.或 B.或
C.或 D.
15.当时，不等式组的解集可能为( )
A. B. C. D.
16.解下列不等式(组):
(1)
(2)；
(3).
17.某商店欲购进两种商品，若购进种商品件种商品件，共需元；若购进种商品件种商品件，共需元.
(1)购进两种商品每件各需多少元？
(2)该商店购进足够多的两种商品，在销售中发现种商品售价为每件元，每天可销售件，现在决定对种商品在每件元的基础上降价销售，每件每降价元，多售出件，且该商店对种商品降价销售后每天销量超过件种商品销售状况良好，每天可获利元。为使销售两种商品每天总获利为元种商品每件应降价多少元？
三、不等式比较大小
18.若，则与的大小关系为 .
19.若则将按大小顺序排列为 用“”连接
20.若，则与的大小关系是 .
21.实数满足且，则下列关系式成立的是( )
A. B. C. D.
22.与的大小关系是( )
A.不确定 B.
C. D.
23.已知，若 ，，则与的大小关系为 ( )
A. B. C. D.不确定
24.已知，，满足，且，那么下列各式中一定成立的是( )
A. B. C. D.
25.若 ，试比较与的大小.
26.(1)比较与的大小；
(2)已知数轴上且线段的中点到原点的距离大于求的取值范围.
四、不等式的性质
27.不等式和同时成立的条件是
28.已知设则的取值范围是 .
29.给出下列说法：
①若则；
②若则；
③对于正数若则.
其中正确说法的序号是 .
30.若，，则下列命题正确的是( )
A.若，则
B.若，则
C.若，且，则
D.若，，则
31.已知实数在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是( )

A. B. C. D.
32.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首次把“”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用符号“”和“”，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
33.已知，则的值 ( )
A.为正数 B.为非正数 C.为非负数 D.不确定
34.已知，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
35.已知比较与的大小.
36.(1)已知，比较与的大小；
(2)已知，求和的取值范围．
五、糖水不等式
37.能够说明“若是任意正实数，则”是假命题的一组整数的值依次为 .
38. 已知均为正数，且，则 填或．
39.若，则的大小关系是 .
40.手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的屏占比，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在内，设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机的外观，则该手机屏占比和升级前比有什么变化？( )
A.屏占比不变 B.屏占比变小 C.屏占比变大 D.变化不确定
41. 已知，则一定成立的不等式是
A. B.
D.
42. 不饱和的克糖水中有克糖，若再添加克糖，则糖水更甜了.请你用所学的不等式的有关知识分析，以上糖水的浓度变化现象可以用不等式表示为( )
A. B. C. D.
43.对于实数，下列说法：若，则若，则若，则若且，则的最小值是，正确的个数为( )
A. B. C. D.
44.生活经验告诉我们克糖水中有克糖，且，若再添加克糖后，糖水会更甜，于是得出一个不等式： ，趣称之为“糖水不等式”．根据生活经验和不等式的性质判断下列说法，其中一定正确的是( )
A.若，则 与的大小关系随的变化而变化
B.若，则
C.若，则
D.若，则一定有
六、倒数法则
45.给出下列四个条件：
①；
②；
③；
④.
其中能得出成立的是 .
46.已知，则下列说法中必成立的是 ( )
A.若则 B.若则
C.若则 D.若则
47.若，则下列结论正确的是 ( )
A.和均不成立
B.和均不成立
C.和均不成立
D.和均不成立
48.若，，则一定有 ( )
A. B. C. D.
49.已知均为实数，则下列结论中正确的是 ( )
A.若，，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
50.已知，求证：.
参考答案
1.【答案】C
【解析】与的和是非正数，即.
2.【答案】B
【解析】解：选项，取，显然满足，但不满足，故错误；
选项，由和不等式的性质，平方可得，故正确；
选项，取，显然满足，但不满足，故错误；
选项，取，显然满足，但不满足，故错误．
故选：．
举反例可排除，至于由不等式的性质平方可证．
本题考查不等式与不等关系，举反例是解决问题的关键，属基础题．
3.【答案】A
【解析】语文成绩高于分，数学成绩不低于分，
，
故选A．
4.【答案】A；B；D
【解析】对于应表示为“”，故中说法错误；对于应表示为“”，故中说法错误；中说法正确；对于应表示为“”，故中说法错误. 故选.
5.【答案】
【解析】分析
本题考查一元一次不等式的解法，可按照新规定将不等式转化为一元一次不等式，化简即可求解．
解答
解：由已知可得，
解得，
所以所求解集为
故答案为
6.【答案】
【解析】解：
，

，又
故答案为：
由的范围得的范围，然后两个不等式同向相加．
本题考查了不等关系与不等式．属基础题．
7.【答案】
【解析】解：的等价条件是，
若是的必要不充分条件，
则即即，
故答案为：．
求出的等价条件，利用必要不充分条件的定义建立不等式关系进行求解即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据充分条件和必要条件建立不等式关系是解决本题的关键．比较基础．
8.【答案】(1).
(2)设矩形的长为则它的宽为故有.
(3)设截得的钢管根，截得的钢管根，根据题意得
9.【答案】
【解析】由题意知即 所以或解得或 所以实数的取值范围是.
10.【答案】
【解析】由题意知解得则.
11.【答案】C
【解析】解不等式得解不等式得 故原不等式组的解集为.故选.
12.【答案】C
【解析】由解得由解得由题知解得.
13.【答案】A
【解析】由得因为不等式组无解，所以.故选.
14.【答案】C
【解析】因为所以. 由可得或由得或. 综上可得或故选.
15.【答案】A；B；C
【解析】原不等式组可化为 当时，此时原不等式组的解集为；当时，此时原不等式组的解集为； 当时， 此时原不等式组的解集为. 故选.
16.【答案】(1)原不等式组可化为所以原不等式组的解集为.
(2)原不等式可化为或解得或所以原不等式的解集为.
(3)当时，原不等式可化为解得此时；当时，原不等式可化为解得此时无解；当时，原不等式可化为解得此时.综上，原不等式的解集为.
17.【答案】(1)设购进商品每件需元商品每件需元，则由题意得解得故购进商品每件需元商品每件需元.
(2)设种商品每件降价元，则由题意得化简得可得故种商品每件应降价元.
18.【答案】
【解析】因为所以.
19.【答案】
【解析】因为所以所以即即所以.
20.【答案】
【解析】， ，即.
21.【答案】D
【解析】由可得(当且仅当时取等号)，所以由可得所以故．因为所以. 综上可得．故选.
22.【答案】B
【解析】因为所以. 故选.
23.【答案】C
【解析】由已知得 又 即.故选 .
24.【答案】B；C；D
【解析】因为，，满足，且，
所以，，，，，
所以，，，，
故选BCD.
25.【答案】


故 即.
26.【答案】(1)因为 所以 所以.
(2)因为线段的中点对应的数为 所以由题意可知 即或解得或.故的取值范围是.
27.【答案】
【解析】假设同号，则由可得与已知矛盾，所以异号，则.
28.【答案】
【解析】因为所以所以即的取值范围是.
29.【答案】①③
【解析】对于①，若则又所以所以故①正确；对于②，若则故②错误；对于③，对于正数若则 所以所以又所以故③正确. 综上可得，正确说法的序号是①③.
30.【答案】A；B；D
【解析】 令 ，则 在 上单调递增，由 ，可得 ， ，即 ，因此正确；
若 ，则 ，因此正确；
若 ，且 ，取 ， ，则 ，因此不正确；
若 ， ，则 ， ，因此正确．
故选： .
31.【答案】A
【解析】由实数在数轴上对应的点可知. 对于由可得故正确； 对于由可得故错误； 对于由可得故错误； 对于由可得故错误．故选.
32.【答案】C
【解析】对于若则故不成立；对于若则故不成立；对于若则故成立；对于若则故不成立. 故选.
33.【答案】A
【解析】因为所以，，，所以所以所以 即的值为正数.故选.
34.【答案】A；B
【解析】因为所以则， 即则 .故选.
35.【答案】

.

．
36.【答案】(1)作差得：即：，又恒成立，
(2)，又综上，
37.【答案】(答案不唯一)
【解析】取则 即 所以“若是任意正实数，则”是假命题.
38.【答案】
【解析】 解：，
，
，
．
故答案为：．
根据不等式的性质即可证明
本题主要考查不等式的证明，要求熟练掌握常见不等式证明的方法，属基础题．
39.【答案】
40.【答案】C
【解析】设原来手机的屏幕面积为整机面积为则“屏占比”为设手机的屏幕面积和整机面积同时增加的相同数量为则升级后手机的“屏占比”为该手机的“屏占比”和升级前比变大.故选.
41.【答案】B
【解析】分析
本题考查了利用不等式性质比较大小，属于中档题．
解答
解： ， ， ， ，
， ， ，
，
，
， ，
,
故选．
42.【答案】A
【解析】分析
本题考查不等式的基本性质，训练了作差法证明不等式，是基础题．
写出加糖前后糖水的浓度，利用作差法得答案．
解答
解：原来糖水得浓度为添加克糖后，糖水浓度为
，
，即
故选．
43.【答案】C
【解析】解：对于实数若，则成立；
由为奇函数，且时，递增，可得在上递增，
若，则成立；
若，则
可得成立；
若且，则，即有，可得，即，
在递增，可得成立．所以不正确．
故选：．
由不等式可乘性，即可判断；由在上递增，可判断；运用作差和不等式的性质，可判断；运用绝对值函数的图象和性质，以及对勾函数的单调性，可判断．
本题考查函数的性质和运用，注意运用函数的单调性和奇偶性以及不等式的性质，考查运算能力，属于中档题．
44.【答案】C；D
【解析】对于选项， 所以故选项错误；
对于选项，当时即, 故选项错误；
对于选项， 即故选项正确；
对于选项，因为所以 所以故选项正确. 故选.
45.【答案】①②④
【解析】，所以①②④能使该不等式成立.
46.【答案】B
【解析】选项A中，若显然不成立；
选项C不满足倒数不等式的条件，
如时，不成立；
选项D只有时才成立，
否则如时不成立.故选B.
47.【答案】B
48.【答案】B
【解析】因为所以即.又所以所以.故选.
49.【答案】B；C
【解析】当，，，，满足，，
此时，，，所以A不正确；
若，，得，即，所以B正确；
若，，则，即，所以C正确；
当，，，，满足，，
此时，，，所以D不正确．
故选BC.
50.【答案】，
，，，
故.
，
又，故.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)