第三章 3.1.1 函数的概念 第1课时 课件(共33张PPT)

(共33张PPT)
第三章
3.1.1函数的概念 第1课时
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.理解函数的概念； 1.在初中知识基础上建构新知识.
2.理解函数的三要素； 2.从对应观点培养函数的思想.
情景导入
客观世界中有各种各样的运动变化现象。例如，天宫二号在发射过程种，离发射点的距离随时间的变化而变化......这些都表现为变量间的对应关系，这种关系常常可用函数模型来描述，并且通过研究函数模型就可以把握相应的运动变化规律.
新知导入
旧知回顾
1.回顾初中学习的函数概念
2.在初中学过哪些函数？
设在一个变化过程中，有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量．
一次函数：y=kx+b(k≠0)
正比例函数：y=kx(k≠0)
反比例函数：
二次函数：
新知导入
3.请同学们考虑以下两个问题：
显然，仅用初中函数的概念很难回答这些问题.因此，需要从新的高度认识函数，本节课我们将从集合的角度重新认识函数.
新知形成
问题1 某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时。这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间 t（单位：h）的关系可以表示为
S=350t
对于任一时刻t，都有唯一确定的路程S和它对应.
思考：有人说“根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350km/h后，运行1小时就前进了350km”.你认为这个说法正确吗？
新知形成
问题1 某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时。这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间 t（单位：h）的关系可以表示为
S=350t
t 的变化范围是什么？
S 的变化范围是什么？
A1中的任意一个时间t 和B1的路程S有什么关系？
这个关系是怎样建立起来的？
解析式：S=350t
新知形成
问题1 某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时。这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间 t（单位：h）的关系可以表示为
S=350t
对于数集A1={t|0≤t≤0.5}中的任一时刻t，
范围
范围
对于任一时刻t，都有唯一确定的路程S和它对应.
在数集B1
={S|0≤S≤175}中都有唯一确定的路程S和它对应.
变量与变量对应
t S
集合与集合对应
A1 B1
新知形成
问题1 某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时。这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间 t（单位：h）的关系可以表示为
S=350t
A1={t|0≤t≤0.5}
自变量的集合
对应关系
B1={S|0≤S≤175}
函数值的集合
新知讲解
问题2 某电器维修公司要求工人每周至少工作1天，至多不超过6天.如果工资确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么一个工人每周的工资W和他每周工作的天数d就是函数关系：
W=350d
d的变化范围是什么？W的变化范围是什么？
A2={1,2,3,4,5,6}
B2={350,700,1050,1400,1750,2100}
A2中的任意一个d和B2的工资W之间有什么关系？
这个关系是怎样建立起来的？
解析式：W=350d
新知讲解
问题2 某电器维修公司要求工人每周至少工作1天，至多不超过6天.如果工资确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么一个工人每周的工资W和他每周工作的天数d就是函数关系：
W=350d
对于任一个工作天数d，都有唯一确定的工资
w和它对应.
自变量的集合
对应关系
函数值的集合
新知讲解
问题2 某电器维修公司要求工人每周至少工作1天，至多不超过6天.如果工资确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么一个工人每周的工资W和他每周工作的天数d就是函数关系：
A2={1,2,3,4,5,6}
B2={350,700,1050,
1400,1750,2100}
自变量的集合
函数值的集合
对应关系
对于 中的任一个工作天数d，
按照 ，
在 中都有唯一确定的工资w和它对应.
数集A2
对应关系w=350d
数集B2
新知讲解
S=350t
W=350d
思考：
1、问题1与问题2中的函数有相同的对应关系，它们是同一个函数吗
新知探求
问题3 图1是北京市2016年11月23日的空气质量指数(简称AQI)变化图.如何根据该图确定这一天内任一时刻h的空气质量指数(AQI)的I值？你认为这里的I是t的函数吗？
t
I
新知探求
问题3 图1是北京市2016年11月23日的空气质量指数(简称AQI)变化图.如何根据该图确定这一天内任一时刻h的空气质量指数(AQI)的I值？你认为这里的I是t的函数吗？
t
I
对应关系:
图1
对于任一时刻t，都有唯一确定的值I和它对应.
新知探求
A3={t|0≤t≤24}
图1
B3={I|0函数值所在的集合
自变量的集合
对应关系
函数值的集合
对于 中的任一时刻t，
按照 ，
在 中都有唯一确定的值I和它对应.
数集A3
图1所示的对应关系
数集B3
新知讲解
问题4:国际上常用恩格尔系数r(r=食物支出金额/总支出金额)反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高，表中是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高
你认为按表中给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？为什么？
A4={2006,2007,2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015}
B4={0.3669,0.3681,0.3817,0.3569,0.3515,0.3353,0.3387,0.2989,0.2935,0.2857}
新知探究
A4={2006,2007,2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015}
表中
B4={0.3669,0.3681,0.3817,0.3569,0.3515,0.3353,0.3387,0.2989,
0.2935,0.2857}
对于 中的任一年份y，
按照 ，
在 中都有唯一确定的系数r和它对应.
数集A4
表中所示的对应关系
数集B4
新知讲解
思考：问题1-4中的函数有哪些共同特征，由此概括出函数概念的本质特征吗？
上述问题的共同特征有：
①都包含两个非空数集A和B;
②都有一个对应关系；
③对于集合A中的任意一个元素x，在B中都有唯一确定的y 与之对应.
新知讲解
设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称f：A→B 为从集合 A 到集合B 的一个函数（function)，记做 y＝f (x),x∈A.
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{ f (x)|x∈A}叫做函数的值域.
A 定义域 （domain)
对应关系f
值域(range)
{ f (x)|x∈A}
函数的三要素
新知讲解
函数概念的理解：
(1)“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．
(2)理解函数的概念要注意，函数的定义域是非空数集A，但函数的值域不一定是非空数集B，而是集合B的子集．
(3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数．
新知讲解
函数概念的理解：
(4)y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式；
(5)除f(x)外，有时还用g(x)、u(x)、F(x)、G(x)等符号来表示函数.
(6) 函数关系必定是一对一或多对一，一对多不是函数.
问题5：如果让你用函数的定义重新认识一次函数、二次函数与反比例函数，那么你会怎样表述这些函数？
新知讲解
函数 定义域 值域 对应关系
一次函数y=ax+b(a≠0)
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
反比例函数 y=
R
R
y=ax+b
(a≠0)
R
y=ax2+
bx+c
(a≠0)
R
R
新知导入
3.请同学们考虑以下两个问题：
现在用我们新学习的函数的概念来回答这些问题.
新知讲解
【例1】函数的解析式使舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律.例如，正比例函数y=kx(k≠0）可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等.
试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y=x(10一x)来描述.
解:把y=x(10-x)看成二次函数，那么它的定义域是R,值域是B={y l y≤25}.对应关系f把R中的任意一个数x，对应到B中唯一确定的数x(10-x).
如果对x的取值范围作出限制，例如x ∈{x l 0< x <10}，那么可以构建如下情境:长方形的周长为20，设一边长为x ，面积为y,那么y=x(10一x).
其中， x的取值范围是A= {x l 0< x <10} ， y的取值范围是B={y l 0< y≤25}.对应关系f把每一个长方形的边长，对应到唯一确定的面积x(10-x).
新知讲解
【例2】判断正误
(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系． (　　)
(2)函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合. (　　)
(3)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y. (　　)
(4)在函数的定义中，集合B是函数的值域． (　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
新知讲解
【例3】判断对应是否是集合A到B的函数 如果是，说明它们的定义域、值域；如果不是，说明理由.
⑴A=R,B={x}x>0},f(x)=|x|;
⑵A=Z,B=Z,f(x)=x2;
⑶A=Z,B=Z,f(x)= ;
⑷A={x|-1≤x≤1},B={0},f(x)=0.
解:⑴不是.因为对于集合A中的元素x=0,按照对应法则f(x)=|x|在集合B中没有元素与它对应，所以不是函数.
⑵是函数.定义域为A,值域为{0，1，4，9，……}
⑶不是.因为对于集合A中的负整数,按照对应法则f(x)= 在集合B中没有元素与它对应，所以不是函数.
⑷是函数.定义域为A,值域为B.
初试身手
1.下列说法正确的是(　　)
A．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应
B．函数的定义域和值域可以是空集
C．函数的定义域和值域一定是非空的数集
D．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了.
2.下列对应是否为A到B的函数：
⑴A=R,B=R+,f:x y=x2; ⑵A=R,B=R,f:x y=±x;
⑶A={x|0≤x≤2},B={y|0≤y≤4},f:x y=2x.
P63-64练习 第1，2题.
答案：1.C 2.⑴不是；⑵不是 ；⑶是.
课堂总结
设A，B是非空的数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么
就称f:A B为从集合A到集合B的一个函数.
初中
高中
⑵函数的三要素
1)定义域
2)对应关系
3)值域
作业布置
作业：p64 练习 3，4.
补充题：
1.下列图中，可能表示函数的是（ ）
2.下列( )函数与函数y=x是同一个函数.
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
A
B
C
D
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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