2.1.2 指数函数及其性质（全课时，57PPT）

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2.1.2 指数函数及其性质
在印度有一个古老的传说：舍罕王
打算奖赏国际象棋的发明人--宰相
西萨·班·达依尔。国王问他想要什么，
他对国王说："陛下，请您在这棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍。请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧!"国王觉得这要求太容易满足了，命令给他这些麦粒。
当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求。
1.棋盘上的麦粒
总数为：=18446744073709551615(粒) ，1000粒约40克
麦粒有7000多亿吨（现每年全球的小麦总量约6.5亿吨）
问题引入
1．现在假设棋盘上第一格给2粒麦子，第二格给4粒，第三格给8粒…，…到第　 格时，请写出给的麦子粒数 与格子数　 的关系式。
交流探讨、形成概念
…
麦子粒数
…
４
３
２
１
2.《庄子 天下篇》
庄 子
问题2 ：《庄子.逍遥游》记载：一尺之椎，日取其半，万世不竭.
意思是一尺长的木棒，一天截取一半，很长时间也截取不完.
这样的一个木棒截取 x 次，剩余长度y与x的关系是
…...
一尺之木 日取其半
第1次后
第2次后
第3次后
第4次后
第x次后
1
2.《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半万世不竭”.请你写出截取　次后，木棰的剩留量　与截取次数　的关系式 ．
1．现在假设棋盘上第一格给2粒麦子，第二格给4粒，第三格给8粒……，到第　 格时，请写出给的麦子粒数 与格子数　 的关系式。
交流探讨、形成概念
…
木棰剩余量
…
麦子粒数
…
４
３
２
１
从前面我们的两个实例抽象得到的两个式子：
思考：
1 、这两个是函数吗？
2 、如果是，这两个函数有什么特点
底数为实数
底数为实数
指数都含有x
我
们
是
幂
的
形
式
指数函数的定义：
形如y = (a 0，且a 1)的函数叫做指数函数，其中x是自变量 .
为何规定a 0，且a 1
函数的定义域是R
课本58页练习 2
当a 0时，ax 对有些数会没有意义，如(-2) ,0 等都没有意义；
而当a=1时，函数值y恒等于1，没有研究的必要.
记住：在y= 中a一定大于零！
为何规定a 0，且a 1


0
1
a
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a 1。
指数函数的特征：
【提示】依据指数函数y＝ax(a>0且a≠1)解析式的结构特征：
①底数：大于零且不等于1的常数；
②指数：自变量x；
③系数：1；
④只有一项ax .
说明
概念理解
例、指出下面哪个函数是指数函数：
是
否
否
是
(1)当k=1时，是；
(2)当k≠1时，否。
思考：
反思：
指数函数的解析式 y=
中，
的系数是1.
有些函数貌似指数函数，实际上却不是，
如:
( a>0 且 a
1，k
Z)；
有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，
如:
因为它可以化为
【例1】 函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，求a的值．
全优49页典例剖析
研究函数的一般思路：
研究函数的一般方法是：
函数的
图象
函数的
性质
特殊的
函数
函数的
定义
用性质
解问题
探求新知、深化理解
特殊点
定义域
奇偶性
单调性
值域
对称性
探求新知、深化理解
在同一坐标系中画出下列函数的图象（可用描点法，也可借助科学计算器或计算机）．
已知函数的解析式，怎么得到函数的图象，一般用什么方法？
列表、描点、连线作图
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=2x … 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 …
y=3x … 1/27 1/9 1/3 1 3 9 27 …
1
x
y
o
1
2
3
-1
-2
-3
当a>1时， 的大致图像如下图：
x
y
0
y=1
y=ax
(a>1)
(0,1)
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=2-x … 8 4 2 1 1/2 1/4 1/8 …
y=3-x … 27 9 3 1 1/3 1/9 1/27 …
X
O
Y
Y=1
y
0
(0x
y=1
y=ax
(0,1)
当0图象和性质：
a>1 0图
象
性
质 1.定义域：
2.值域：
3.过点 ，即x= 时，y=
4.在 R上是 函数 在R上是 函数
答案：A
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2．函数y＝ax－3＋3(a>0且a≠1)的图象恒过定点__________．
【答案】(3,4)
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全优96页1
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X
O
Y
Y=1
y=3X
y = 2 x
观察右边图象，回答问题：
问：从图形的对称性上看，右边函数图像有什么对称特征？
指数函数 与 的图像关于y轴对称；
X
O
Y
Y=1
y=3X
y = 2 x
①当a>1时， 的图象随着a由小变大会有什么样的变化？
②当0①当a>1时， 的图象随着a由小变大会有越靠近y轴；
②当0只看第一象限！
练习、此图是①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是（ ）
A a＜b ＜1 ＜ c ＜ d
B b＜a ＜1 ＜ d ＜ c
C 1＜a ＜b＜ c ＜ d
D a＜b ＜1 ＜d ＜ c
①
②
③
④
例6. 已知指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象经过点（3， ），求f(0)，f(1)，f(-3)的值.
解：
∵ f(x)=ax的图象过点(3，π)
例7. 比较下列各题中两个值的大小：
（1）1.72.5，1.73；
（2）0.8-0.1，0.8-0.2；
（3）1.70.3，0.93.1.
解：（1）1.72.5、1.73可以看作函数y=1.7x的两个函数值.
∵底数1.7>1，
∴y=1.7x在R上是增函数,
∵2.5<3，
∴1.72.5<1.73 ,
即： 1.72.5<1.73 .
解：（2）0.8-0.1、0.8-0.2可以看作函数y=0.8x的两个函数值.
∵底数0<0.8<1，
∴y=0.8x在R上是减函数,
∵-0.1>-0.2，
∴0.8-0.1<0.8-0.2,
即： 0.8-0.1<0.8-0.2.
解：（3） ∵1.70.3>1.70=1，
0.93.1<0.90=1,
∴1.70.3>1>0.93.1,
即： 1.70.3>1>0.93.1.
小结：比较指数大小的方法：
①、构造函数法：要点是利用函数的单调性，数的特征是同底不同指（包括可以化为同底的），若底数是参变量要注意分类讨论。
②、中间媒介法：用别的数如为媒介（如1等）。数的特征是不同底不同指。
课本59页习题A7,8 60页B4
【例1】 比较下列各题中两个值的大小：(3)1.40.1与0.90.3.
(3)分别构造函数y＝1.4x与y＝0.9x.
∵1.4>1,0<0.9<1，∴y＝1.4x与y＝0.9x
在(－∞，＋∞)上分别为增函数和减函数．
∵0.1>0，∴1.40.1>1.40＝1.
∵0.3>0，∴0.90.3<0.90＝1，
∴1.40.1>1>0.90.3，∴1.40.1>0.90.3.
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2．(2)已知0.2x<25，求实数x的取值范围．
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【例2】 如果a2x＋1≤ax－5(a>0且a≠1)，求x的取值范围．
解：(1)当0∴2x＋1≥x－5，解得x≥－6.
(2)当a>1时，由于a2x＋1≤ax－5，
∴2x＋1≤x－5，解得x≤－6.
综上所述，当01时，x的取值范围是{x|x≤－6}．
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例8.截止到1999年底，我国人口约13亿.如果今后将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？
解：设今后人口年平均增长率为1%，经过x年后，我国人口数为y亿.
1999年底，我国人口约为13亿；
经过1年（即2000年），人口数为
13+13×1%=13×(1+1%)（亿）；
经过2年（即2001年），人口数为
13×(1+1%)+13×(1+1%)×1%
=13×(1+1%)2（亿）；
经过3年（即2002年），人口数为
13×(1+1%)2+13×(1+1%)2×1%
=13×(1+1%)3（亿）；
……
所以，经过x年，人口数为
y=13×(1+1%)x=13×1.01x（亿）.
当x=20时，
y=13×1.0120≈16（亿）.
所以，经过20年后，我国人口数最多为16亿.
课本58页练习 3
课本59页习题A6
课本60页习题B2
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答案：D
全优97页
3．若函数f(x)＝e－(x－u)2的最大值为m，且f(x)是偶函数，则m＋u＝________.
解析：∵f(－x)＝f(x)，
∴e－(x＋u)2＝e－(x－u)2，
∴(x＋u)2＝(x－u)2，
∴u＝0，∴f(x)＝e－x2.
∵x2≥0，∴－x2≤0，∴0＜e－x2≤1，
∴m＝1，∴m＋u＝1＋0＝1.
答案：1
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