参照秘密级管理★启用前
2022—2023学年度第二学期高二教学质量检测
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，则（ ）
A．0 B． C． D．
2．已知等差数列的前n项和为，，则（ ）
A．25 B．40 C．45 D．80
3．某市高二年级进行了一次教学质量检测，考生共2万人，经统计分析数学成绩服从正态分布，其平均分为85分，60分以下的人数约15%，则数学成绩在85分至110分之间的考生人数约为（ ）
A．3000 B．5000 C．7000 D．14000
4．某医院要安排5名医生到A，B，C三个社区参加义诊，每位医生必须去一个社区，每个社区至少有一名医生．则不同的安排方法数为（ ）
A．150 B．210 C．240 D．180
5．已知的展开式中第三项与第四项的系数之比为，则其展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项
6．意大利数学家斐波那契在1202年著的《计算之书》中记载了斐波那契数列，此数列满足：，且从第三项开始，每一项都是它的前两项的和，即，则在该数列的前2023项中，奇数的个数为（ ）
A．672 B．675 C．1349 D．2022
7．如图，圆O的半径为1，从中剪出扇形AOB围成一个圆锥（无底），所得的圆锥的体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．可把直线作为切线的曲线是（ ）
A． B． C． D．
10．已知，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知数列的首项为1，，是数列的前n项和，则下列选项正确的是（ ）
A． B．数列是等差数列 C． D．
12．事件A，B的概率分别为：，，则（ ）
A．若A，B为互斥事件， B．
C．若A，B相互独立， D．若，则A，B相互独立
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．记为等比数列的前n项和．若，，则______．
14．随机变量X的分布列为：
X 1 2 3
P
则______．
15．一个袋子中有个红球和5个白球，每次从袋子中随机摸出2个球．若“摸出的两个球颜色不相同”发生的概率记为，则的最大值为______．
16．若不等式对任意成立，则实数a的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知首项为2的等差数列满足：．
（1）求的通项公式；
（2）数列的前n项和为，且，求n的最小值．
18．（12分）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若对，恒成立，求a的取值范围．
19．（12分）现有甲、乙两个袋子，其中甲袋中有6个红球和2个白球，乙袋中有3个红球和5个白球，两袋子中小球形状和大小完全相同．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中一次摸出两个球，称为一次试验．已知选择甲袋子的概率为，选择乙袋子的概率为．拟进行多次重复试验，直到摸出的两个球均为红球，不再试验．
（1）求第一次试验摸出两个红球的概率；
（2）已知需进行第二次试验，计算第一次试验摸出的两个球来自甲袋的概率．
20．（12分）某校为增强学生保护生态环境的意识，举行了以“要像保护眼睛一样保护自然和生态环境”为主题的知识竞赛．比赛分为三轮，每轮先朗诵一段爱护环境的知识，再答3道试题，每答错一道题，用时额外加20秒，最终规定用时最少者获胜．已知甲、乙两人参加比赛，甲每道试题答对的概率均为，乙每道试题答对的概率均为，甲每轮朗诵的时间均比乙少10秒，假设甲、乙两人答题用时相同，且每道试题是否答对互不影响．
（1）若甲、乙两人在第一轮和第二轮答对的试题的总数量相等，求最终乙获胜的概率；
（2）请用统计学的知识解释甲和乙谁获胜的可能性更大．
21．（12分）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知，
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求的通项公式．
22．（12分）已知函数．
（1）证明：函数有唯一的极值点，及唯一的零点；
（2）对于（1）问中，，比较与的大小，并证明你的结论．参照秘密级管理★启用前
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数学参考答案
一、单项选择题： 本题共8小题， 每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. D; 2. B; 3. C; 4. A; 5. C; 6. C; 7. D; 8. D;
二、多项选择题： 本题共4小题， 每小题5分， 共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得0分.
9. ACD; 10. AC; 11. ACD; 12. AD.
三、填空题： 本题共4小题， 每小题5分， 共20分.
四、解答题： 本题共6小题， 共 70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)解: (1)由等差数列的通项公式 且
2+(3n-1)d=3[2+(n-1)d]-2,
解得d=1…2分
则 …4分
(2)由(1)知
…5分
故 …7分
由 得
解得n>4.…9分
因为n∈N*,所以n的最小值为5.…10分
18.(12分)解:( …1分
当a>0时,f(x)>0,得x>a或x<0, f'(x)<0,得0
函数的单调递增区间是(-∞,0)和(a,+∞),单调递减区间是(0,a); …3分
当a<0时, f(x)>0, 得x>0或x函数的单调递增区间是(-∞,a)和(0,+∞),单调递减区间是(a,0); …5分
当a=0时, 恒成立，
函数在(-∞，+∞)单调递增，无单减区间.…6分
(2)若函数f(x)=2x -3ax +1≥0恒成立，
即 恒成立，…7分
定义 …8分
F'(x)在区间(0,1)上小于0, 在区间(1,+∞)上大于0,
即F(x) 在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增, …10分
…11分
若在(0,+∞)上f(x)≥0恒成立,则a≤1…12分
19.(12分)解:(1)设在第一次试验中, A=“选择甲袋”,
B=“摸出的两个球均为红球”，则 选择乙袋”，
…1分
…2分
由全概率公式，得：
所以第一次试验摸出两个红球的概率为 …5分
(2)设B=“第一次试验摸出的两个球不都是红球”，“需进行第二次试验”即事件B发生，
由(1)知, …6分
…8分
所以
所以需进行第二次试验的条件下，第一次试验摸出的两个球来自甲袋的概率为 …12分
20.(12分)解：(1)因为甲、乙两人在第一轮和第二轮答对的试题的总数量相同，且甲每轮朗诵的时间均比乙少 10秒，
所以第三轮答题中乙要比甲多答对 2道题以上才能获胜.…2分
若乙答对 2道试题，甲答对 0道试题，
则 …3分
若乙答对3道试题，甲答对 0或1道试题，则
…5分
所以，乙获胜的概率 …6分
(2)由题意设甲在比赛中答错的题的数量为X，乙在比赛中答错的题的数量为Y，则
…8分
则…9分
则甲因答错试题额外增加的时间的期望值为 秒, …10分
乙因答错试题额外增加的时间的期望值为3×20=60秒. …11分
因为三轮中， 甲朗诵的时间比乙少30秒，
所以最后甲所用的时间的期望比乙少18秒，
所以甲获胜的可能性更大.…12分
21.(12分)解:(1)由题意, bn与Sn皆不为0,
当n=1时,由S =b 得 …1分
当n≥2时,
于是， …3分
代入 可得，
即 其中n≥2,n∈N*,…5分
所以数列{b }是以 为首项， 以 为公差等差数列 6分
(2)由(1)可知, …7分
代入 得 …8分
当n=1时, …9分
当n≥2时, …10分
显然对于n=1不成立，
所以 …12分
22.(12分) 解证:(1)因为 …1分
当 时, …2分
当 时, …3分
当 时，记
单调递减，…4分
所以
函数f(x)在( 上单调递减，又
故有唯一的 使 f'(α)=0. …6分
于是,当x∈(0,α)时f'(x)>0, 函数f(x)单调递增; 当x∈(α,π)时,
f'(x)<0, 函数 f(x)单调递减,则函数 f(x)有唯一的极值点α. ……7分
又f(α)>f(0)=0, f(π)=-ln(1+π)<0,故存在唯一的β∈(α,π)使f(β)=0.…8分
(2)由第(1)可知, 在函数f(x)的单调递减区
间(α,π)内,且f'(α)=0即 …9分
……11分
所以,2α>β.…12分参照秘密级管理★启用前
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数学参考答案
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1．D；2．B；3．C；4．A；5．C；6．C；7．D；8．D；
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项
中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9．ACD；10．AC；11．ACD；12．AD．
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
31 11 5 1
13． ；14． ；15． ；16．a ．
16 16 9 2e
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10 分）解：(1)由等差数列的通项公式an 2 (n 1)d ，且a3n 3an 2；
2 (3n 1)d 3[2 (n 1)d] 2，
解得d 1 ……………………………2 分
则an n 1， ………………………4 分
(2)由(1)知
2 2 1 1
2( ) ， …………………5 分
an an 1 (n 1) (n 2) n 1 n 2
1 1 1 1 1 1 1 1
故 Sn 2[( ) ( ) ( )] 2( ) …………7 分
2 3 3 4 n 1 n 2 2 n 2
2
由 Sn 得
3
1 1 2
Sn 2( ) ，解得n 4 . ………………………9 分
2 n 2 3
高二数学试题 第 1 页（共 6 页）
{#{QQABYQCAggigAgAAARACQwVACAMQkgEACKgGgEAQIEAASAFABCA=}#}
因为 n N*，所以n 的最小值为 5. ………………………10 分
2
18．（12 分）解：（1） f x 6x 6ax 6x x a ， ……………1 分
当a 0时， f (x) >0，得 x a或 x 0 ， f x 0，得0 x a ，
函数的单调递增区间是 ,0 和 a, ，单调递减区间是 0,a ；……………3 分
当 a 0时， f (x) >0，得 x 0或 x a， f x 0，得a x 0，
函数的单调递增区间是 ,a 和 0, ，单调递减区间是 a,0 ；……………5 分
当a 0时， f x 6x2 0恒成立，
函数在 , 单调递增，无单减区间． ……………………………6 分
(2)若函数 f x 2x3 3ax2 1 0恒成立，
2 1
即 a x 恒成立， ……………………………7 分
3 3x2
3
2 1 2 2 2(x 1)
定义F x x ， F x ………………………8 分
3 3x2 3 3x3 3x3
F x 在区间 (0,1)上小于0 ，在区间 (1, )上大于0 ，
即 F x 在区间 (0,1)上单调递减，在区间 (1, )上单调递增， …………10 分
F x F(1) 1， ……………………………………………11 分
min
若在 0, 上 f x 0 恒成立，则a 1 ……………12 分
19．（12 分）解：(1)设在第一次试验中， A “选择甲袋”，
B “摸出的两个球均为红球”，则 A “选择乙袋”，
C2 15
P(B | A) 6 ， 2 …………………………………………1 分 C8 28
高二数学试题 第 2 页（共 6 页）
{#{QQABYQCAggigAgAAARACQwVACAMQkgEACKgGgEAQIEAASAFABCA=}#}
C2 3
P(B | A) 3 …………………………………………2 分
C28 28
2 2
1 C6 2 C3 1
由全概率公式，得：P(B) P(A)P(B A) P(A)P(B A) ，
3 C2 28 3 C8 4
1
所以第一次试验摸出两个红球的概率为 ． …………………5 分
4
（2）设B “第一次试验摸出的两个球不都是红球”，“需进行第二次试验”即事件 B
发生，
1 3
由（1）知，P B 1 P B 1 ， ……………………………6 分
4 4
C2 13
P(B | A) 1 P(B | A) 1 6 ， …………………………8 分
C28 28
1 13
P(AB) P(A)P(B | A) 3 28 13
所以P(A | B) ，
P(B) P(B) 3 63
4
13
所以需进行第二次试验的条件下，第一次试验摸出的两个球来自甲袋的概率为 ．
63
………………………12 分
20．（12 分）解：(1)因为甲、乙两人在第一轮和第二轮答对的试题的总数量相同，
且甲每轮朗诵的时间均比乙少 10 秒，
所以第三轮答题中乙要比甲多答对 2 道题以上才能获胜．… …………2 分
若乙答对 2 道试题，甲答对 0 道试题，
2 2 2 1 2 3 96
则 P1 C3 ( ) ( ) ( ) …………………………3 分
3 3 5 3375
若乙答对 3 道试题，甲答对 0 或 1 道试题，则
2 3 2 3 1 3 2 352P2 ( ) [( ) C3( )( )
2] ， ………………………………5 分
3 5 5 5 3375
高二数学试题 第 3 页（共 6 页）
{#{QQABYQCAggigAgAAARACQwVACAMQkgEACKgGgEAQIEAASAFABCA=}#}
96 352 448
所以，乙获胜的概率P P1 P2 ． ………………6 分
3375 3375 3375
（2）由题意设甲在比赛中答错的题的数量为 X ，乙在比赛中答错的题的数量为Y ，
则
2 1
X B(9, ) ，Y B(9, )， ………………………………………8 分
5 3
2 18 1
则 E(X ) 9 ，E(Y ) 9 3 ……………………9 分
5 5 3
18
则甲因答错试题额外增加的时间的期望值为 20 72秒， …………… 10 分
5
乙因答错试题额外增加的时间的期望值为3 20 60秒． ………………… 11 分
因为三轮中，甲朗诵的时间比乙少 30 秒，
所以最后甲所用的时间的期望比乙少 18 秒，
所以甲获胜的可能性更大． ……………………………………12 分
21．（12 分）解：(1)由题意，bn 与 Sn 皆不为 0，
3
当n 1时，由 S1 b1得b1 , …………………………1 分
2
当n 2时，
bn S1 S2 S3 Sn，
bn 1 S1 S2 S3 Sn 1
bn
于是，b S n bn 1 Sn ， n …………………………3 分 bn 1
2 1 2bn 1 1
代入 2可得， 2
Sn bn bn bn
高二数学试题 第 4 页（共 6 页）
{#{QQABYQCAggigAgAAARACQwVACAMQkgEACKgGgEAQIEAASAFABCA=}#}
1
即bn bn 1 ，其中n 2,n N
*， …………………………5 分
2
3 1
所以数列{bn}是以b1 为首项，以 为公差等差数列 ………………………6 分
2 2
3 1 n 2
(2)由(1)可知，bn n 1 ， …………………………7 分
2 2 2
2 1 n 2
代入 2，得 Sn ， …………………………8 分 Sn bn n 1
3
当n 1时，a1 S1 ， …………………………9 分
2
n 2 n 1 1
当n 2时，an Sn Sn 1 ，………………………10 分
n 1 n n n 1
显然对于n 1不成立，
3
,n 1
2
所以a ，n n N* . …………………………12 分 1
,n 2
n n 1
1
22．（12 分）解证：（1）因为 f x 2cosx ， …………………1 分
1 x
π 1
当 x [ ,π) 时， f x 2cosx 0； …………………2 分
2 1 x
π 1 1 1
当 x (0, ]时， f x 2cosx 2 0； ………3 分
3 1 x 2 1 x
π π 1
当 x ( , )时，记 g(x) f x 2cosx ，
3 2 1 x
1
g (x) 2sinx 单调递减， …………………………4 分
(1 x)2
高二数学试题 第 5 页（共 6 页）
{#{QQABYQCAggigAgAAARACQwVACAMQkgEACKgGgEAQIEAASAFABCA=}#}
3 1 1
所以 f (x) g(x) g( ) 2 3 0，
3 2 (1 1)2 4
π π 1 1
函数 f x 在 ( , ) 上单调递减，又 f ( ) 2 0 ，
3 2 3 2
1
3
1
f ( ) 2 0 0，故有唯一的 ( , )使 f ( ) 0．…6 分
2 3 2
1
2
于是，当 x (0, ) 时 f x 0 ，函数 f x 单调递增；当 x ( , ) 时，
f x 0，函数 f x 单调递减，则函数 f x 有唯一的极值点 ． ……7 分
又 f f 0 0， f ln(1 ) 0，故存在唯一的 ( , )使
f ( ) 0． ………………………………………8 分
2π
（2）由第（1）可知， 2 ( , )， ( , ) 在函数 f x 的单调递减区
3
1
间 ( , )内，且 f ( ) 0即2cos ， …………………………9 分
1
2sin
f (2 ) 2sin2 ln 1 2 4sin cos ln 1 2 ln 1 2
1
2 2 2 2 3
ln(1 ) ln(1 ) 1 ln3 0 f ( ) ， ……11 分
1 3 1 1 3
所以，2 ． ………………………………………12 分
高二数学试题 第 6 页（共 6 页）
{#{QQABYQCAggigAgAAARACQwVACAMQkgEACKgGgEAQIEAASAFABCA=}#}参照秘密级管理★启用前
2022-2023学年度第二学期高二教学质量检测
数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写
在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回】
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的，
1.已知f(x)=x2+2.xf"(1),则f(0=
A.0
B.-4
C.-2
D.-3
2.己知等差数列{a。}的前n项和为S,a2+a=10,则S,-a=
A.25
B.40
C.45
D.80
3.某市高二年级进行了一次教学质量检测，考生共2万人，经统计分析数学成绩服
从正态分布，其平均分为85分，0分以下的人数约15%，则数学成绩在85分至110
分之间的考生人数约为
A.3000
B.5000
C.7000
D.14000
4.某医院要安排5名医生到A,B,C三个社区参加义诊，每位医生必须去一个社区，
每个社区至少有一名医生.则不同的安排方法数为
A.150
B.210
C.240
D.180
5.已知(x2+)“的展开式中第三项与第四项的系数之比为二，则其展开式中二项式
系数最大的项为
A.第3项
B.第4项
C.第5项
D.第6项
6.意大利数学家斐波那契在1202年著的《计算之书》中记载了斐波那契数列{F},
此数列满足：E=F=1,且从第三项开始，每一项都是它的前两项的和，即
F2=F,+Fn(n∈N*),则在该数列的前2023项中，奇数的个数为
A.672
B.675
C.1349
D.2022
高二数学试题
第1页（共4页）
7.如图，圆O的半径为1，从中剪出扇形AOB围成一个圆锥（无底），所得的圆锥的
体积的最大值为
A.
B.v2
D.
25
4
12
C.s
2>
8.已知a=1.8,b=e8,c=1+lnl.8,则a,b,c的大小关系正确的是
A.c>b>a
B.a>b>c
C.b>c>a
D.b>a>c
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项
中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
3
9.可把直线y=二x+m作为切线的曲线是
B.y=cosx
C.y=Inx
D.y=e
10.已知(2x+3)=a+a,(x+1)+4(x+1)2+a(x+)3+a,(x+),则
A.a=1
B.a+a2+a3+a4=81C.a3=32
D.a4=-16
1L.已知数列{an}的首项为1，a=2an+3,Sn是数列{an}的前n项和，则下列
选项正确的是
A.43=13
B.数列{an+3}是等差数列
C.an=2+-3
D.Sn=22-3n-4
12.事件AB的概率分别为：P(A)=P(B)=}则
A若B为斥率作，P氏4+)-名BP(+8>
C.若4B相互独立，P()月
D.若P(A)=3则4B相互独立
高二数学试题
第2页（共4页）