2022-2023学年广东省广州市番禺区高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省广州市番禺区高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 设复数，则复数在复平面内对应的点的坐标为( )
A. B. C. D.
3. 在中，点满足，则( )
A. B. C. D.
4. 函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
5. 已知函数，则( )
A. 在上单调递减 B. 在上单调递增
C. 在上单调递增 D. 在上单调递减
6. 近年来，电动自行车以其快捷、轻便、经济等优点成为老百姓的代步工具，但随之出现了一系列问题，如违规停放，私拉电线充电，占用安全通道等，给人民安全带来隐患为进一步规范电动自行车管理，某社区持续开展了两轮电动车安全检查和宣传教育，为了解工作效果，该社区将四名工作人员随机分派到，，三个小区进行抽查，每人被分派到哪个小区互不影响，则三个小区中恰有一个小区未分配到任何工作人员的概率为( )
A. B. C. D.
7. 已知变量关于变量的回归方程为，其一组数据如表所示：
若，则的值大约为( )
A. B. C. D.
8. 已知，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 对于的展开式，下列说法正确的是( )
A. 展开式共有项 B. 展开式中各项系数之和为
C. 展开式中的常数项是 D. 展开式中的二项式系数之和为
10. 直线过抛物线：的焦点，且与交于，两点，则下列说法正确的是( )
A. 抛物线的焦点坐标为
B. 的最小值为
C. 对任意的直线，
D. 以为直径的圆与抛物线的准线相切
11. 甲箱中有个红球，个白球和个黑球，乙箱中有个红球，个白球和个黑球先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示从甲箱中取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙箱中随机取出一球，以表示从乙箱中取出的球是红球的事件，则( )
A. B.
C. D.
12. 如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且，，分别为，的中点，则( )
A. 平面
B. 四棱锥的外接球的表面积为
C. 与平面所成角的正弦值为
D. 点到平面的距离为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 某校名学生参加数学文化知识竞赛，每名学生的成绩，成绩不低于分为优秀，依此估计优秀的学生人数为______ 结果填整数附：若，则，．
14. 已知正数等比数列的前项和为，，则 ______ ．
15. 已知函数，若过点的直线与曲线相切，则该直线斜率为______ ．
16. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，椭圆在第一象限存在点，使得，直线与轴交于点，且是的角平分线，则椭圆的离心率为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
记为正数数列的前项的和，已知．
证明：数列是等差数列；
求数列的前项之和．
18. 本小题分
在中，角，，所对的边长为，，，，．
Ⅰ若，求的面积；
Ⅱ是否存在正整数，使得为钝角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
19. 本小题分
某企业为在推进中国式现代化新征程中展现更大作为，在提升员工敬业精神和员工管理水平上实施新举措制定新方案现对员工敬业精神和员工管理水平进行评价，从企业中选出人进行统计，其中对员工敬业精神和员工管理水平都满意的有人，对员工敬业精神满意的人数是总人数的，对员工管理水平满意的人数是总人数的．
完成对员工敬业精神和员工管理水平评价的列联表，依据小概率值的独立性检验能否认为对员工敬业精神满意与对员工管理水平满意有关联？
员工敬业精神 员工管理水平 合计
满意 不满意
满意
不满意
合计
若将频率视为概率，随机从企业员工中抽取人参与此次评价，设对员工敬业精神和对员工管理水平都满意的人数为随机变量，求的分布列和数学期望．
附：，
20. 本小题分
如图，三棱柱中，平面，，，，以，为邻边作平行四边形，连接和．
求证：平面；
线段上是否存在点，使平面与平面垂直？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．
21. 本小题分
已知双曲线的离心率为的右焦点到其渐近线的距离为．
求该双曲线的方程；
若直线与双曲线在第一象限交于，两点，直线交线段于点，且：：，证明：直线过定点．
22. 本小题分
已知函数，．
当，求的单调递减区间；
若在恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
则．
故选：．
求出集合，利用交集定义能求出．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，得到，
所以复数在复平面内对应的点的坐标为，
故选：．
利用复数的运算法则求出复数，从而得到，再利用复数的几何意义即可求出结果．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
，
，
．
故选：．
由得出，然后根据向量的数乘运算求出向量即可．
本题考查了向量减法的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，易知的定义域为，
因为，
所以为奇函数，
图象关的原点对称．排除，选项；
又，，所以排除选项．
故选：．
先判断函数的奇偶性，然后再代入特殊值计算即可判断．
本题主要考查了函数图象的变换，考查了函数奇偶性的判断，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，周期，
的单调递减区间为，单调递增区间为，
对于，在上单调递增，故A错误，
对于，在上单调递增，在上单调递减，故B错误，
对于，在上单调递减，在上单调递增，故C错误；
对于，在上单调递减，故D正确．
故选：．
利用二倍角公式化简得，周期，根据余弦函数的单调性可得的单调递减区间为，单调递增区间为，进而逐个判断各个选项的正误即可．
本题主要考查了二倍角公式，考查了余弦函数的单调性，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：依题意，可得三个小区中恰有一个小区末分配到任何工作人员的概率为．
故选：．
根据分组分配法求出分配方案数后，由古典概型概率公式计算出概率．
本题考查古典概型相关知识，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由，令，则，
由题意，，，
，解得，
，
把代入，解得．
故选：．
由，令，得，求出与的值，代入线性回归方程求得，把代入，取求解值得结论．
本题考查回归方程的求法，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：，，
，
令，则，
当时，，即在上单调递增，
，
；
，由，
，
．
故选：．
利用常见放缩，构造函数，判断出，然后利用，构造，从而判断，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：二项式的次数为，
展开式共有项，故A错误；
的通项为，当时，展开式中的常数项为，故C正确；
令，则展开式中各项系数之和为，故B正确；
展开式中的二项式系数之和为，故D错误．
故选：．
根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．
本题考查二项式定理的应用，考查二项式系数的性质，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：抛物线：的焦点，选项错误；
抛物线的焦点弦中，通径最短，故的最小值为，选项正确；
由题意，直线斜率存在，设直线的方程为，代入抛物线方程得，则，选项错误；
如图所示，的中点为，过，，分别作准线的垂线，垂足分别为，，，则，可知以为直径的圆与抛物线的准线相切，选项正确．
故选：．
由抛物线方程求焦点坐标验证选项A；焦点弦中通径最短验证选项B；直线与抛物线联立方程组由韦达定理计算验证选项C；由圆心到直线的距离判断选项D．
本题主要考查抛物线的性质，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：因为，，，
若发生，则乙箱中有个红球，个白球和个黑球，，故A正确；
若发生，则乙箱中有个红球，个白球和个黑球，，
若发生，则乙箱中有个红球，个白球和个黑球，，
，故B正确；
，
，故C错误；
，故D正确．
故选：．
根据全概率公式及条件概率概率公式计算可得．
本题主要考查条件概率，全概率公式，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于：连接，
因为平面，平面，
可得
由为正方形，可得，
，，平面，
所以平面，
又因为，分别为，的中点，则，
可得平面，故A正确；
对于：四棱锥的外接球即为以为顶点，，，为相邻三边的正方体的外接球，
则外接球的半径，
所以表面积为，故B正确；
如图，以为坐标原点，，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，
对于：可知平面的法向量，，
则，，
所以与平面所成角的正弦值为，故C正确；
对于：可得，，，
设平面的法向量，则，
令，则，，即，
所以点到平面的距离为，故D正确；
故选：．
对于：根据线面垂直的判定定理结合平行关系分析判断；对于：将四棱锥转化为正方体，根据正方体的外接球分析运算；建系，对于：利用空间向量求线面夹角；对于：利用空间向量求点到面的距离．
本题主要考查了线面垂直的判定，考查了利用空间向量求点到平面的距离和求直线与平面的的夹角，属于中档题．
13.【答案】也可以
【解析】解：由每名学生的成绩，得，，
则，
则优秀的学生人数为．
故答案为：也可以．
根据，得出，再乘以总人数得出结果．
本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：设数列的公比为，且，
因为等比数列的前项和为，
所以，化简得，解得或舍负，
所以．
故答案为：．
由等比数列的前项和公式求得公比，再由等比数列的通项公式得解．
本题考查等比数列的性质，熟练掌握等比数列的通项公式与前项和公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：设切点为，
函数的导数为，可得切线的斜率为，
即，
解得，即有．
故答案为：．
设出切点的坐标，求得的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，再由两点的斜率公式解方程可得所求值．
本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由题意得，
又由椭圆定义得，
记，
则，，
则，
所以，
故∽，
则，
则，即，
，负值已舍．
故答案为：．
根据题意和椭圆定义可得到，和，的关系式，再根据∽，可得到关于，的齐次式，进而可求得椭圆的离心率．
本题主要考查椭圆的性质，考查转化能力，属于中档题．
17.【答案】证明：由题意，当时，，
整理，得，
解得舍去，或，
当时，由，
可得，
两式相减，可得，
化简整理，得，
，，
，
，即，
数列是以为首项，为公差的等差数列．
解：由可得，，
则，
数列的前项之和为：
．
【解析】先将代入题干表达式计算出的值，当时，由，可得，两式相减进一步推导即可证得数列是以为首项，为公差的等差数列；
先根据第题的结果计算出的表达式，进一步推导出数列的通项公式，最后运用裂项相消法即可计算出前项和．
本题主要考查等差数列的判定，以及数列求和问题．考查了分类讨论思想，转化与化归思想，裂项相消法，等差数列求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
18.【答案】解：，
根据正弦定理可得，
，，
，，，
在中，运用余弦定理可得，
，
，
．
，
为钝角三角形时，必角为钝角，
，
，
，
，
三角形的任意两边之和大于第三边，
，即，即，
，
为正整数，
．
【解析】根据已知条件，以及正弦定理，可得，，，再结合余弦定理、三角形面积公式，即可求解，由，可推得为钝角三角形时，必角为钝角，运用余弦定理可推得，再结合，三角形的任意两边之和大于第三边定理，即可求解．
本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．
19.【答案】解：由题意可得关于对员工敬业精神和员工管理水平评价的列联表：
项目 对员工管理水平满意 对员工管理水平不满意 合计
对员工敬业精神满意
对员工敬业精神不满意
合计
零假设为：对员工敬业精神满意与对员工管理水平满意无关，
根据表中数据计算得：，
根据小概率值的独立性检验，我们推断零假设不成立，
即认为对员工敬业精神满意与对员工管理水平满意有关联；
对员工敬业精神和对员工管理水平都满意的概率为，
随机变量的可能取值为，，，，
，，，，
所以随机变量的分布列为：
．
【解析】根据给定的数据完善列联表，再计算观测值作答；
求出的可能值，求出对应的概率，列出分布列并计算期望作答．
本题考查离散型随机变量的应用，属于中档题．
20.【答案】解：证明：连结，
由三棱柱的性质可知，且，
由平行四边形，得且，
且，
四边形为平行四边形，，
平面，平面，
平面；
由，四边形为平行四边形，
得，底面，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，
，，
，，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，可得，
设，，则，
设平面的法向量为，
则，即
令，则，，
所以，
假设平面与平面垂直，
则，即，
解得，
线段上不存在点，使平面与平面垂直．
【解析】连结，证明，再用线面平行的判定定理即可得证；
建立空间直角坐标系，求得平面与平面的法向量，利用向量解决即可．
本题考查线面平行的判定及用向量解决垂直问题，属于中档题．
21.【答案】解：因为双曲线的渐近线为，
又因为双曲线的右焦点到其渐近线的距离为，所以，
又，，联立解得，
所以双曲线的方程为；
由知，双曲线的右焦点为，
设，，则，又，得到，
所以，
又因为，所以，同理可得，
如图，，
显然直线的斜率存在，设直线的方程为，
所以，即，
化简得，又，所以，即，
所以直线的方程为，恒过点，
故直线过定点．
【解析】利用条件直接求出，，从而求出双曲线的方程；
设出，，利用两点间距离公式和点在双曲线上，得到，，再利用条件即可得出结果．
本题考查双曲线的几何性质，化归转化思想，属中档题．
22.【答案】解：当时，，
所以，令，所以，
当时，，故为增函数；
当时，，故为减函数，
所以，即，
所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间．
因为，所以，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
转化为在上恒成立，
令，，则且
当时，恒成立，故在上为增函数，
所以，即时不满足题意；
当时，由，得，
若，则，故在上为减函数，在上为增函数，
所以存在，使得，即时不满足题意；
若，则，故在上为减函数，
所以，所以恒成立，
综上所述，实数的取值范围是．
【解析】当时，，，令，利用导数研究函数的单调性即可得出．
由，可得，可得在上恒成立，即在上恒成立，转化为在上恒成立，令，，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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