2022-2023学年甘肃省兰州市教育局第四片区高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年甘肃省兰州市教育局第四片区高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知直线：，直线：，若，则( )
A. B. C. D.
2. 在等比数列中，，，则( )
A. B. C. 或 D.
3. 若的顶点坐标、，的周长为，则顶点的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
4. 在的展开式中，常数项为( )
A. B. C. D.
5. 已知双曲线的渐近线与圆相切，则( )
A. B. C. D.
6. 已知函数，是函数的导函数，则函数的部分图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
7. 已知，则等于( )
A. B. C. D.
8. 如图，在平行六面体中，已知，，，则用向量，，可表示向量( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 关于双曲线，下列说法正确的是( )
A. 实轴长为 B. 焦距为
C. 顶点坐标为 D. 离心率为
10. 若，则等于( )
A. B. C. D.
11. 已知直线、的方向向量分别是，，若且，则的值可以是( )
A. B. C. D.
12. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是( )
A. 函数在区间内单调递增
B. 当时，函数取得极小值
C. 函数在区间内单调递增
D. 当时，函数有极小值
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 关于空间向量的命题：
方向不同的两个向量不可能是共线向量；
长度相等，方向相同的向量是相等向量；
平行且模相等的两个向量是相等向量；
若，则
其中所有真命题的序号有 ．
14. 已知双曲线的实轴长，虚轴长，焦距依次成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为______ ．
15. 已知函数，，则函数与的交点坐标为______ ，在交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积为______ ．
16. 某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁、戊这名应届大学毕业生安排到该市所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，则不同的安排方法种数是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知抛物线的焦点为．
求；
斜率为的直线过点，且与抛物线交于，两点，求线段的长．
18. 本小题分
用、、、、这五个数字组数．
可以组成多少个允许数字重复的三位数？
可以组成多少个无重复数字的三位数？
可以组成多少个无重复数字的三位偶数？
19. 本小题分
已知向量，，，，．
求向量，，；
求向量与所成角的余弦值．
20. 本小题分
已知函数的图象在点处的切线与直线平行．
求切线的方程．
若函数有个零点，求实数的取值范围．
21. 本小题分
已知向量，向量满足以下三个条件：
；
；
与向量垂直；
求向量．
22. 本小题分
如图所示，某风景区在一个直径为的半圆形花园中设计一条观光路线，在点与圆弧上一点之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点到点设计为沿圆弧的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带注：小路及绿化带的宽度忽略不计
设弧度，将绿化带总长度表示为的函数；
试确定的值，使得绿化带总长度最大．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线垂直的判断，涉及直线的一般式方程，属于基础题．
根据题意，由直线垂直的判断方法可得关于的方程，计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，直线：，直线：，
若，则有，解可得，
故选：．

2.【答案】
【解析】解：设等比数列的公比为，
是等比数列，
，则，
当时，有，解得，
此时，则，
当时，有，解得，
此时舍去，
综上．
故选：．
由题意可知，进一步结合即可求出与的值，最后根据即可求出的值．
本题考查等比数列的通项公式与性质，考查学生逻辑推理与运算求解的能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了椭圆的定义，考查了椭圆的标准方程，属基础题．
由的个顶点坐标、，的周长为，得顶点到、的距离和为定值，由椭圆定义可知，顶点的轨迹为椭圆，且求得椭圆的长轴长及焦距，则答案可求．
【解答】
解：、，，
又的周长为，．
顶点的轨迹是一个以、为焦点的椭圆，
设该椭圆方程为，
则，，，
顶点的轨迹方程为．
故选：．

4.【答案】
【解析】解：在的展开式中，通项公式为，
令，求得，
可得常数项为，故选：．
在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得常数项．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：双曲线的渐近线为：，即，又其与圆相切，
圆心到近线的距离等于圆的半径，
即，又，
解得．
故选：．
根据双曲线的渐近线的结论，直线与圆相切建立的方程即可求解．
本题考查双曲线的渐近线，直线与圆相切，方程思想，属基础题．
6.【答案】
【解析】解：，即，因为为偶函数，故排除，
又当时，，故排除．
因为，所以在处的切线斜率为负数．排除，
故选：．
求出函数的导数，判断函数的奇偶性，利用排除法进行判断即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，以及排除法是解决本题的关键，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：由，
得：，
取得：，
所以，．
所以
故，
故选：．
把给出的函数求导得其导函数，在导函数解析式中取可求的值．
本题考查了导数运算，解答此题的关键是理解原函数解析式中的，在这里只是一个常数，此题是基础题．
8.【答案】
【解析】解：
故选：．
从要表示的向量的起点出发，沿着平行六面体的棱把向量顺次首尾相连，写出结果，这样三个向量都是指定的基底中的向量，得到结果．
本题考查向量的基本定理及其意义，在几何体中一般用由一个公共点的三个向量作为基底来使用，这种题目和平面向量中的题目做法相同．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了双曲线的方程和性质，属于基础题．
根据双曲线的方程和性质分别求出即可．
【解答】
解：双曲线，则，，则，，
则，则，焦距，
所以实轴长为，顶点坐标为，
离心率．
故选：．

10.【答案】
【解析】解：由已知可得或，
解得或，
故选：．
根据组合数的性质可得或，进而可以求解．
本题考查了组合数的运算性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：直线、的方向向量分别是，，且，
，解得，
或，
或．
故选：．
由且，列出方程组，求出，的值，由此能求出的值．
本题考查两数和的求法，考查向量的模、直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：由函数的导函数的图象可知，
对于，函数在区间内的导数值有正有负，故在区间内有增有减，故A不正确；
对于，当时，其左侧的导数小于，其右侧的导数大于，故函数在处取得极小值，故B正确；
对于，当时，恒有，则函数在区间上单调递增，故C正确；
对于，当时，，故D不正确．
故选：．
观察函数的导函数的图象，可对四个选项逐一分析，得到答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查识图能力与逻辑推理能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了共线向量、相等向量、模相等的向量，考查了推理能力，属于基础题．
由向量的基本概念可以得到答案．
【解答】
解：例如同一条直线上方向相反的两个单位向量是共线向量，因此不正确；
长度相等，方向相同的向量是相等向量，正确；
平行且模相等的两个向量是相等向量或相反向量，错误；
若，则，不正确，例如，而．
其中所有真命题的序号为．
故答案为：．

14.【答案】
【解析】解：双曲线的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，
所以，及，
又，
即有，
化简可得，
双曲线的渐近线方程为：
即为
故答案为：
通过双曲线的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，可得，再由，，的关系，求出，的关系式，然后求解双曲线的渐近线方程即可．
本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线的渐近线方程，同时考查等差数列的性质，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：联立，解得．
函数与的交点坐标为；
由，得，则，
曲线在处的切线方程为，即，
取，得；
由，得，则，
曲线在处的切线方程为，即，
取，可得．
在交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积为．
故答案为：；．
联立方程组求得两曲线的交点坐标，再利用导数求出过交点的两曲线的切线方程，分别求出两切线在轴上的截距，代入三角形面积公式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：根据题意可得不同的安排方法种数是：．
故答案为：．
根据组合数公式及排列数公式即可求解．
本题考查组合数公式及排列数公式的应用，属基础题．
17.【答案】解：由焦点的坐标可得，
所以；
由可得抛物线的方程为，
设直线的方程为：，，，
联立直线与抛物线的方程可得：，整理可得：，
所以，
由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离，
所以弦长．
【解析】由焦点的坐标直接可得值；
由题意设直线的方程，与抛物线联立求出两根之和，再由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离，可得弦长的值．
本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合，属于基础题．
18.【答案】解：根据题意，百位数字不能为，则百位数字有种情况，
十位、个数数字可以为五个数字中任意一个，有种情况，
则有个允许数字重复的三位数，
根据题意，百位数字不能为，则百位数字有种情况，
在剩下的个数字中任选个，安排在十位和个位，有种情况，
则有个无重复数字的三位数，
根据题意，分种情况讨论：
若在个位，有个偶数，
若不在个位，则数字，作个位，有个偶数，
所以共有个偶数．
【解析】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
根据题意，依次分析三位数的百位、十位、个位的情况数目，由分步计数原理计算可得答案，
根据题意，不能在百位，由此分析三位数的百位、十位、个位的情况数目，由分步计数原理计算可得答案，
根据题意，分在个位和不在个位两种情况讨论，求出每种情况下的偶数的数目，由加法原理计算可得答案．
19.【答案】解：向量，，，
且，，
，
解得，，；
向量，，；
向量，，
，
，
；
与所成角的余弦值为
．
【解析】根据空间向量的坐标表示与，且，列出方程组求出、、的值即可；
根据空间向量的坐标运算与数量积运算，利用公式求出与所成角的余弦值．
本题考查了空间向量的坐标运算与数量积的应用问题，是基础题目．
20.【答案】解：函数的导数为，
可得图象在点处的切线斜率为，
切线与直线平行，可得，解得，
可得，切点为，
则切线方程为，即；
函数有个零点，
即为有个交点，
由函数的导数为，
可得在递减；在，递增，
可得的极小值为，极大值为，
可得，即的范围是．
【解析】求得的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件可得，可得切点，由点斜式方程可得切线方程；
由题意可得有个交点，求得的单调性，可得极值，以及的范围．
本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值，考查函数零点与方程的关系，以及化简运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：设，，，，与向量垂直；
，，
，
解得，，．
或，，．
．
【解析】设，由于，，，与向量垂直；可得，，，解出即可．
本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量的模的计算公式，属于基础题．
22.【答案】解：如图，连接，，
在直角三角形中，，，
所以，
由于，所以弧的长为，
所以，，
即，；
，，
当时，，当时，，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，有最大值，
所以当时，绿化带总长度最大．
【解析】连接，，在直角三角形中，用表示出，弧长，由此可以求解；利用导数求出函数的单调性，进而可以求解．
本题考查了函数的实际应用问题，涉及到三角函数和导数的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．
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