2022-2023学年安徽省合肥市六校联盟高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省合肥市六校联盟高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 数列中，”是“是公比为的等比数列”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 某质点沿直线运动，位移单位：与时间单位：之间的关系为，则质点在时的瞬时速度为( )
A. B. C. D.
3. 若直线与垂直，则的值为( )
A. B. C. D.
4. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想可以表述为“每个大于的偶数都可以表示为两个质数的和”，如：在不超过的质数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率为( )
A. B. C. D.
5. 函数的大致图象为( )
A. B.
C. D.
6. 已知圆：，直线上动点，过点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7. 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为：，货车中途停车修理的概率为，客车为今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为( )
A. B. C. D.
8. 设函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则不等式其中为自然对数的底数的解集是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列说法中正确的有( )
A. 将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变
B. 设有一个线性回归方程，变量增加个单位时，平均增加个单位
C. 设具有相关关系的两个变量，的相关系数为，则越接近于，和之间的线性相关程度越弱
D. 在一个列联表中，由计算得的值，在的前提下，的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大．
10. 已知数列是首项为，公差为的等差数列，则下列判断正确的是( )
A. B. 若，则
C. 可能为 D. ，，可能成等差数列
11. 如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是( )
A. 直线平面
B. 三棱锥的体积为定值
C. 异面直线与所成角的取值范围是
D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
12. 已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 当时，函数的单调增区间为
B. 当时，函数的极小值为
C. 若在定义域内不单调，则
D. 若对有成立，则
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 某数学兴趣小组的名学生负责讲述“宋元数学四大家”秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰的故事，每名学生只讲一个数学家的故事，每个数学家的故事都有学生讲述，则不同的分配方案有 种
14. 展开式中含有项的系数为______．
15. 某工厂为研究某种产品的产量吨与所需某种原材料吨的相关性，在生产过程中收集了对应数据如表所示：根据表中数据，得出关于的回归直线方程为据此计算出在样本处的残差为，则表中的值为______ 注：残差是实际观察值与估计值之间的差
16. 设抛物线：的焦点为，点，过点的直线交于，两点，直线垂直轴，，则 ______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知等比数列是递增数列，．
求数列的通项公式；
Ⅱ求数列的前项和．
18. 本小题分
已知四棱锥中，侧面为等边三角形，底面为直角梯形，，，，．
求证：平面平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
19. 本小题分
博鳌亚洲论坛年会员大会于月日在海南博鳌举办，大会组织者对招募的名服务志愿者培训后，组织了一次知识竞赛，将所得成绩制成如下频率分布直方图假定每个分数段内的成绩均匀分布，组织者计划对成绩前名的参赛者进行奖励．
试确定受奖励的分数线；
从受奖励的以下和的人中采取分层抽样的方法从中选人在主会场服务，组织者又从这人中任选人为贵宾服务，记其中成绩在分以上含分的人数为，求的分布列与数学期望．
20. 本小题分
某企业为了了解年广告费单位：万元对年销售额单位：万元的影响，统计了近年的年广告费和年销售额的数据，得到如表的表格：
年广告费
年销售额
由表中数据，可判定变量，的线性相关关系较强．
建立关于的线性回归方程；
已知该企业的年利润与，的关系为，根据的结果，年广告费约为何值时小数点后保留一位，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；参考数据：，．
21. 本小题分
如图，已知椭圆的右焦点为，上顶点为，右顶点为．
求椭圆的标准方程；
若点是椭圆上异于，的一点，且直线、分别与轴和轴交于点，，求证：为定值．
22. 本小题分
已知函数．
当时，求函数在点处的切线方程；
设，是函数的两个极值点，证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：当时，如时，不是等比数列，充分性不成立，
当“是公比为的等比数列时，成立，必要性成立．
故选：．
由已知结合等比数列的定义分别检验充分必要性即可判断．
本题以充分必要性的判断为载体，考查了等比数列的判断，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，
所以，令，则，
故选：．
求出函数的导数，然后令代入导数即可求解．
本题考查了导数的运算公式以及导数的几何意义，考查了学生的运算能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：直线：的斜率，
当时，直线：的斜率为，由于两直线垂直，
，解得；
若，，直线的斜率不存在，要保证必有，显然不成立；
．
故选：．
根据两直线垂直，斜率之积等于求解．
本题主要考查了直线平行条件的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：不超过的质数为，，，，；
随机选取两个不同的数，共有种方法，
其和为偶数的共有种方法，
其和为偶数的概率为．
故选：．
写出不超过的质数有哪些，再利用古典概率模型求概率即可．
本颞考查了古典概型的概率计算问题，是基础题．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，属于基础题．
判断函数的奇偶性，利用函数的单调性和函数值的变化趋势判断即可．
【解答】
解：，
，
为奇函数，其图象关于原点对称，故排除，，
当时，，故排除
故选：．
6.【答案】
【解析】解：圆：中，圆心，半径
设，则，
则，
当时，．
故选：．
首先得出切线长的表达式，再以二次函数求值域的方法解之即可．
本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：设表示该汽车是货车，表示该汽车是客车，
则，，
设表示汽车中途停车修理，
则，，
今有一辆汽车中途停车修理，则由贝叶斯公式得该汽车是货车的概率为：
．
故选：．
设表示该汽车是货车，表示该汽车是客车，即可得到，，设表示汽车中途停车修理，利用贝叶斯公式能求出结果．
本题考查概率的求法，考查全概率公式、贝叶斯公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：设，
，即，
，
在上单调递减，又，
不等式，
即，，
原不等式的解集为．
故选：．
设，由已知结合导数可得函数的单调性，由可得，则答案可求．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化思想，构造函数是关键，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：根据方差的定义可知每个数据都加上同一个常数，则平均数也增加了这个常数，方差不变，故A正确；
根据回归直线的定义可知变量增加，增加的量大约是故B错误；
相关系数是反映两个变量之间线性相关程度的，相关系数越接近，相关性越强，越接近相关性就越弱，故C正确；
独立性检验中的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大．
故选：．
根据方差，相关系数，回归直线方程，独立性检验的概念，经过计算可以直接解题．
本题考查了方差，相关系数，回归直线方程，独立性检验的概念．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查等差数列的通项公式及性质，属于中档题．
利用等差数列的性质和通项公式，逐个选项进行判断即可得解．
【解答】
解：由已知可得数列的通项公式为，
当时，，解得，故A正确；
若，则，所以，故B错误；
若，则，故，故C正确；
若，，成等差数列，则，又，
则，
所以，解得，故，，可能成等差数列，故D正确．
故选：．

11.【答案】
【解析】解：对于选项A，正方体中，，，，且，平面，
平面，平面，，
同理，，
，且，平面，
直线平面，选项正确；
对于选项B，正方体中，平面，平面，
平面，点在线段上运动，
到平面的距离为定值，又的面积是定值，
三棱锥的体积为定值，选项正确；
对于选项C，，异面直线与所成角为直线与直线的夹角，
易知为等边三角形，
当为的中点时，；
当与点或重合时，直线与直线的夹角为，
故异面直线与所成角的取值范围是，选项错误；
对于选项D，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，点竖坐标为，，
则，，，，
所以，
由选项A正确：可知是平面的一个法向量，
直线与平面所成角的正弦值为：
，
当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，选项正确．
故选：．
在选项A中，推导出，，从而直线平面；
在选项B中，由平面，得到到平面的距离为定值，再由的面积是定值，从而三棱锥的体积为定值；
在选项C中，异面直线与所成角转化为直线与直线的夹角，可求取值范围；
在选项D中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可．
本题主要考查直线与平面所成的角，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：，
对于、，当时，，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以函数的单调增区间为，在有极小值，故A、都正确；
对于，因为，，
当 时，恒成立，函数在定义域内单调递增，
当时，符号不确定，函数在定义域内不单调，故C正确；
对于，因为对有 成立，
即成立，
令，
由题意知在上恒成立，即函数在上为增函数，
则恒成立，故，
因为，所以，故D错误．
故选：．
对于、，求导后，判断导数的正负后即可判断；对于，分和两种情况讨论即可判断；对于，把化为，令，从而问题转化为函数在上为增函数，求导后得到，结合二次函数即可判断．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，不等式恒成立求参数范围问题，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意，分步进行分析：
将人分为组，有种分法，
安排组学生分别讲个故事，有种情况，
则有种分配方案；
故答案为：．
根据题意，分步进行分析：将人分为组，安排组学生分别讲个故事，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，
项的系数为：，
故答案为：．
利用二项式定理展开式，即可解出．
本题考查了二项式定理的展开式，学生的数学运算能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：，
，
则样本点的中心的坐标为，
代入，可得．
关于的回归直线方程为．
在样本处的残差为，时的预测值为．
即，可得．
故答案为：．
由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求解，由题意求得时的预测值，结合回归直线方程求解值．
本题考查线性回归方程与残差的求法，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：由题意得，因为直线垂直于轴，，准线方程为，
所以点的横坐标为，设，，
根据抛物线的定义知，解得，
则：，则，可设直线的方程为，
联立抛物线方程有可得，
，，则，
则，解得，则．
故答案为：．
根据抛物线定义求出，再设直线的方程为，得到韦达定理式，求出点横坐标，再利用抛物线定义即可求出的长．
本题主要考查抛物线的性质，属于中档题．
17.【答案】解：由题意，设首项为，公比为，则，或
等比数列是递增数列，，
；
Ⅱ，
得
．
【解析】由题意，设首项为，公比为，利用条件，建立方程组求出基本量，从而可得数列的通项；
Ⅱ，利用错位相减法，可求数列的和．
本题考查数列的通项与求和，正确运用数列的求和方法是关键．
18.【答案】解：证明：四棱锥中，，，
则，，，
，
，
又，且，，平面，
平面，又平面，
平面平面，即平面平面；
如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】由题意，利用勾股定理逆定理证明，由已知，证明平面，从而证明平面平面；
建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得．
本题考查面面垂直的证明，线面角的求解，属中档题．
19.【答案】解：由频率分布直方图知，竞赛成绩在分的人数为；
竞赛成绩在的人数为，受奖励分数线在之间；
设受奖励分数线为，则，解得：，
受奖励分数线为．
由知：受奖励的人中，分数在分的人数为，则分数在分以下的人数为；
从受奖励的人中分层抽样选人在主会场服务，其中分数在分以下的有人，分数在的有人，
人中成绩在分以上含分的人数的可能取值为，，，，，
；；
；；
；
的分布列为：
数学期望为．
【解析】根据频率分布直方图首先确定奖励分数线所在区间，从而构造方程求得结果；
根据分层抽样原则确定人中，分数在分以下和分以上含分的人数，从而得到所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望公式可计算得到期望值．
本题考查离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．
20.【答案】解：由表格数据，得，，，
由公式，得，
所以，
故关于的线性回归方程为；
由可得，，
设，则，
所以，
故当时，取得最大值，此时，
即年广告费约为万元时，年利润的预报值最大．
【解析】根据最小二乘法公式计算即可；
结合的结果，利用换元法求二次函数最值及取得最值时的自变量值即可．
本题主要考查了线性回归方程的求解，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：由右焦点，上顶点可得，，
，
即椭圆的标准方程为；
证明：易知，由点是异于，的一点，设，则，；
设，，
由，，三点共线得，即，可得，
；
由，，三点共线得，即，得，
．
故，
点在椭圆上，，
代入即得为定值．
【解析】根据焦点和顶点坐标即可得，代入可得椭圆的标准方程；
设，利用三点共线斜率相等即可求得点，得的坐标，进而可表示出的表达式，结合化简可得．
本题主要考查椭圆的性质及标准方程，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：当时，，，
所以，．
所以函数在点处的切线方程为，即．
证明：令，
即有两个不等正实根，，
则解得所以，．
故
，其中．
令，，，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故．
所以成立．
【解析】先求导函数，再根据点斜式，即可求解．
先求导函数，根据韦达定理得两极值点的关系，代入到中化简，构造，求出最值，即可求证．
本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的极值，不等式的证明，考查运算求解能力，属于难题．
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