2022-2023学年江西省宜春重点中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年江西省宜春重点中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设集合，，
则( )
A. B.
C. D.
2. 函数的零点所在的大致区间是( )
A. B. C. D.
3. 下列函数中最小值为的是( )
A. B.
C. D.
4. 已知函数，，则图象为如图的函数可能是( )
A.
B.
C.
D.
5. 在中，“”是“为钝角三角形”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 小红在手工课上设计了一个剪纸图案，她先在一个半径为的圆纸片上画一个内接正方形，再画该正方形的内切圆，依次重复以上画法，得到了一幅由个圆和个正方形构成的图案，依次剪去夹在正方形及其内切圆的部分，并剪去最小正方形内的部分，得到如图所示的一幅剪纸，则该图案阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
7. 函数的部分图象如图所示，若，且，则( )
A.
B.
C.
D.
8. 已知，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列求导运算正确的是( )
A.
B.
C.
D.
10. 已知函数，则( )
A. 函数的定义域为 B. 函数的值域为
C. 函数在上单调递增 D. 函数在上单调递减
11. 已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，，则下列选项正确的为( )
A. 数列是等比数列 B. 数列是等差数列
C. 数列的通项公式为 D.
12. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的有( )
A.
B. 的取值范围为
C. 的取值范围为
D. 的取值范围为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为______ ．
14. 若角的终边过点，则 ______ ．
15. 已知，且，则的最小值为______．
16. 已知函数，若方程恰有四个不同的实数解，分别记为，，，，则的取值范围是______
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
设函数的定义域为，集合．
求集合；
若：，：，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
18. 本小题分
在中，，．
求；
再从条件、条件、这两个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求边上中线的长．
条件：的面积为；
条件：的周长为．
19. 本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期及对称轴方程；
将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，求在上的单调递减区间．
20. 本小题分
已知函数且，满足．
若方程，有解，求的取值范围；
设，求不等式的解集．
21. 本小题分
已知数列满足，，其中．
设，求证：数列是等差数列．
在的条件下，求数列的前项和．
在的条件下，若，是否存在实数，使得对任意的，都有，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
22. 本小题分
已知函数．
若，求的取值范围；
证明：若有两个零点，，则．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查交集的计算，关键是掌握交集的定义，涉及到不等式的求解，属于基础题．
根据题意，求出集合、，由交集的定义计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，或，
，
则，
故选A．

2.【答案】
【解析】解：由于函数在上是增函数，
，，，
故函数的零点所在的大致区间是，
故选：．
由于函数在上是增函数，，，由此得出结论．
本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数最值的求解，涉及了二次函数最值的求解，利用基本不等式求解最值的应用，考查了转化思想，属于中档题．
利用二次函数的性质求出最值，即可判断选项A，根据基本不等式以及取最值的条件，即可判断选项B，利用基本不等式求出最值，即可判断选项C，利用特殊值验证，即可判断选项D．
【解答】
解：对于，，
所以函数的最小值为，故选项A错误；
对于，因为，所以，
当且仅当，即时取等号，
因为，所以等号取不到，
所以，故选项B错误；
对于，因为，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以函数的最小值为，故选项C正确；
对于，因为当时，，
所以函数的最小值不是，故选项D错误．
故选：．

4.【答案】
【解析】解：易知函数是偶函数，是奇函数，给出的图象对应的函数是奇函数，
对于，因为，，
当时，，函数单调递增，由图象可知所求函数在上不单调，故A不符合题意；
对于，为非奇非偶函数，故C不符合题意；
对于，为非奇非偶函数，故C不符合题意．
故选：．
由函数的奇偶性与单调性，结合图象，逐项分析排除即可得答案．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性以及排除法进行判断是解决本题的关键，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：若，则，所以是钝角，为钝角三角形，充分性成立；
若为钝角三角形，不一定是是钝角，所以不一定是，必要性不成立；
是充分不必要条件．
故选：．
分别判断充分性和必要性是否成立即可．
本题考查了充分与必要条件的判断问题，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，设个圆的面积从大到小依次为、、，，
易得个圆的面积构成一个公比为的等比数列，且其首项，
设个正方形的面积从大到小依次为、、，，
易得、、，也构成一个公比为的等比数列，且其首项，
故该图案的面积．
故选：．
根据题意，设个圆的面积从大到小依次为、、，，个正方形的面积从大到小依次为、、，，分析可得两个数列都是公比为的等比数列，又由该图案的面积，计算可得答案．
本题考查合情推理的应用，涉及等比数列的性质和求和，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由图象可得，，解得，
，
代入点可得
，，
又，，
，
，即图中点的坐标为，
又，且，
，
，
故选：．
由图象可得，由周期公式可得，代入点可得值，进而可得，再由题意可得，代入计算可得．
本题考查三角函数的图象与解析式，属基础题．
8.【答案】
【解析】解：设，，
所以在单调递增，则，所以，所以，
因为，因为当，所以，即，所以；
所以．
故选：．
由结合三角函数的性质可得；构造函数，利用导数可得，即可得解．
本题考查了三角函数线以及导数知识的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误．
故选：．
根据已知条件，结合导数的求导法则，即可求解．
本题主要考查导数的求导法则，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：令，则．
对于，的定义域与的定义域相同，为，故A正确；
对于，，的值域为，所以函数的值域为，故B正确；
对于、，因为在上单调递增，且，在定义域上单调递减，
所以根据复合函数单调性法则，得函数在上单调递减，所以不正确，D正确．
故选：．
由函数的表达式可得函数的定义域可判断；令，则，，结合指数函数的单调性得到函数的值域，可判断；根据复合函数单调性的判断方法可得函数的单调性可判断、．
本题主要考查复合函数的单调性，函数定义域、值域的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：，
，即，
又，
则数列是首项为，公比为的等比数列，故B错误；
则，即，故C正确；
，
数列是首项为，公比为的等比数列，故A正确；
又，
，故D正确．
故选：．
根据题意可得，数列是首项为，公比为的等比数列，求出，逐一分析选项，即可得出答案．
本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于，，
由正弦定理可得，
又，
，即，
，
，，为锐角，
，即，A正确，
对于，为锐角三角形，，
，
，解得，故B错误，
，故C正确，
，
又，
，
令，，
则，
由对勾函数性质可知，在上单调递增，
又，，
，故D正确．
故选：．
对于，结合正弦定理，以及正弦的两角和公式，即可求解，
对于，结合的结论，以及为锐角三角形，即可求解，
对于，结合正弦定理，以及角的取值范围，即可求解，
对于，先对原式化简，再结合换元法，以及对勾函数的性质，即可求解．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由，得，
，
则曲线在点处的切线方程为，
即．
故答案为：．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再由直线方程的斜截式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为角的终边过点，
所以，
所以
．
故答案为：．
由题意利用任意角的三角函数的定义以及三角函数恒等变换即可求解．
本题考查了任意角的三角函数的定义以及三角函数恒等变换在三角函数求值中的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为，，，
则，
当且仅当且时取等号，此时取得最小值．
故的最小值为．
故答案为：．
利用“乘法”与基本不等式的性质即可得出．
本题考查了“乘法”与基本不等式的性质，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：因为函数，
当时，，
令，解得，
当时，，
当时，，
令，解得或，
令，解得或，
函数的图象如图所示：
因为方程恰有四个不同的实数解，即与恰有四个交点，所以，
不妨令，
则，且与关于对称，所以，
又，
即，
所以，即，
所以，
所以，
因为在上单调递增，
所以，
所以，
即的取值范围是
故答案为：
求出时的函数解析式，画出函数图象，不妨令，则，且与关于对称，再根据对数的运算得到，转化为关于的函数，结合对勾函数的性质计算即可得出结论．
本题考查了三角恒等变换、二次函数和对数函数的性质应用问题，也考查了数形结合思想与转化思想，是难题．
17.【答案】解：要使得函数有意义，只需要，解得，
集合；
是的必要不充分条件，，
当时，，解得舍去，
当时，有，解得，
综上可知，实数的取值范围是．
【解析】由根式内部的代数式大于等于，对数式的真数大于联立不等式组求解；
由题意可得，然后分和求解．
本题考查函数的定义域及其求法，考查充分必要条件的判定及应用，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：，
由正弦定理可得，
，
，
，可得，
，解得；
若选择：由可得，即，
则，解得，
则由余弦定理可得边上的中线的长度为：．
若选择：由可得，
设的外接圆半径为，
则由正弦定理可得，
，
则周长，
解得，则，
由余弦定理可得边上的中线的长度为：；
【解析】由正弦定理，二倍角公式化简已知等式可得，结合角的范围即可求解的值；
若选择：由利用三角形内角和定理可求，可得，利用三角形的面积公式可求的值，进而利用余弦定理即可求解；
若选择：由可得，设的外接圆半径为，由正弦定理可得，的值，进而利用余弦定理即可求解．
本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式以及三角函数恒等变换在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
19.【答案】，，
所以函数的最小正周期为，
令，，得函数的对称轴方程为，．
将函数的图象向左平移个单位后所得图象的解析式为，所以，
令，所以又，
所以在上的单调递减区间为．
【解析】直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和对称轴方程．
利用关系式的平移和伸缩变换，进一步利用整体思想求出函数的单调递减区间．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数单调性的应用、周期性的应用，函数关系式的平移和伸缩变换及相关的运算问题．
20.【答案】解：已知函数且，满足，
所以，
解得或舍去，
所以；
此时方程，
令，，
不妨设，函数定义域为，
可得，单调递减，
所以当时，函数取得极大值也是最大值，最大值，
当时，函数取得极小值也是最小值，最小值，
则的取值范围为；
已知，
因为，
所以函数为上的偶函数，
当时，因为和单调递增，
所以在上单调递增，
此时，
即，
所以，
解得．
故不等式的解集为．
【解析】由题意，结合所给函数解析式以及，列出等式求出的值，利用换元法，令，，将方程，有解，转化成函数的值域，对函数进行求导，利用导数得到的单调性，进而可得的取值范围；
先得到函数的解析式，结合偶函数的定义得到函数在上为偶函数，利用对数函数和指数函数的单调性得到在上单调递增，再列出等式求解即可．
本题考查函数与方程的综合应用，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
21.【答案】证明：，
，数列是首项为，公差为的等差数列；
解：，设，
则，，
得，
；
存在，理由如下：
，
，
则，
若对任意的，都有，则等价于恒成立，即恒成立，，
当为偶数时，，则；
当为奇数时，时，则．
综上，存在，使得对任意的，都有．
【解析】结合递推关系，证明为常数即可；
由错位相减法求和；
命题等价成恒成立，转为说明恒成立，对分奇偶讨论，分别求恒成立问题即可．
本题主要考查数列递推式，数列的求和，等差数列的证明，数列与不等式的综合，考查运算求解能力，属于难题．
22.【答案】
解：定义域为，，
令，所以当时，，单调递减
当时，单调递增，要使得恒成立，
即满足．
由知，若有两个零点，则，
而，
即，
因为函数在上单调递增，所以成立，
令，且，易知在上单调递减，在上单调递增，
不妨设要证明，即证明，
即证明 证明在上恒成立．
下面构造函数，
则恒成立，
在单调递增，而，
所以，即在上恒成立，
从而得证．
【解析】对函数求导研究其在定义域内单调性，由于函数在恒大于等于，故，解出的范围即可．
首先将原不等式转化为证明，再利用函数在单调递增，即转化为证明，继而构造函数证明其在恒小于即可．
本题主要考查利用导函数研究函数单调性，即构造函数证明不等式恒成立问题，属于较难题目．
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