北师大版数学九年级上册 2.3 用公式法求解一元二次方程 （1）教学设计

2.3　用公式法求解一元二次方程
第1课时
整体设计
教学目标
【知识与技能】　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　会用公式法解一元二次方程.
【过程与方法】
体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程,明确运用公式求根的前提条件是b2-4ac≥0.
【情感态度与价值观】
在公式的推导过程中,培养学生的符号感.
教学重难点
【重点】　
1.掌握一元二次方程的求根公式,并应用它熟练地解一元二次方程.
2.根的判别式的运用.
【难点】　求根公式的使用.
教学准备
【教师准备】　预设学生学习过程中遇到的困难.
【学生准备】　复习配方法解一元二次方程的步骤.
教学过程
新课导入　　　　　　　　　　　　　　　　　　
导入一:
用配方法解下列方程.
(1)2x2＋3＝7x;　　　(2)3x2＋2x＋1＝0.
学生在练习本上运算,可找同学上黑板演算,并由学生总结用配方法解一元二次方程的一般步骤.
解:(1)将方程化成一般形式:2x2-7x＋3＝0,
两边都除以二次项系数:x2-x＋＝0,
配方,得x2-x＋-＝0,
即-＝0,所以,
所以x-＝±,解得x1＝3,x2＝.
(2)两边都除以二次项系数:x2＋x＋＝0,
配方,得x2＋x＋-＝0,
即＝0,所以＝-,
因为-<0,所以原方程无解.
[设计意图]　进一步夯实用配方法解一元二次方程的一般步骤.在这里相对于书上的解题方法做了小小的改动,没有把常数项移到方程右边,而是在方程的左边直接加上再减去一次项系数(除以二次项系数后的)一半的平方.选择了一个没有解的方程,让学生切实感受到并不是所有的一元二次方程在实数范围内都有解.
导入二:
1.复习用配方法解一元二次方程的一般步骤.
2.如何解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
[设计意图]　本环节复习了解一元二次方程的配方法,因为这是推导公式的基础,然后抛出了富有启发性的问题,激发学生的学习兴趣.
新知构建
一、求根公式
思路一
[过渡语]　我们发现,利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的.因此,如果能用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0),得到根的一般表达式,那么再解一元二次方程时,就会方便简捷得多.
你能用配方法解方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)吗 请你试一试,并与同伴交流.
教师给出答案.
解:方程两边都除以a,得x2＋x＋＝0,
移项,得x2＋x＝-,
配方,得x2＋x＋＝-,
即,
∵a≠0,∴4a2>0,
当b2-4ac≥0时,x＋＝±,
∴x1＝,x2＝.
一般地,对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0),当b2-4ac≥0时,它的根是x＝,当b2-4ac<0时,一元二次方程无实数根.
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式,用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.
[设计意图]　先让学生自己动手解答,在复习配方法解一元二次方程的同时,也让学生理解了求根公式.教师给出解答过程,让学生学会规范解答.
思路二
　[过渡语]　同学们,下面我们共同来解一下一元二次方程的一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
解方程:ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
解:两边都除以二次项系数:x2＋x＋＝0,
问:为什么可以两边都除以二次项系数a
答:∵a≠0.
配方,得x2＋x＋-＝0,
即-＝0,
∴.
问:现在可以两边开平方吗
答:不可以,∵不能保证≥0.
问:什么情况下≥0
答:∵a≠0,∴4a2>0,要使≥0,只要b2-4ac≥0即可.
当b2-4ac≥0时,两边开平方,得x＋＝± ＝±,
∴x1＝,x2＝.
问:如果b2-4ac<0,会出现什么问题
答:方程无解.
问:如果b2-4ac＝0呢
答:此时＝0,x1＝x2＝-,即方程有两个相等的实数根.
[设计意图]　学生能否自主推导出来公式并不重要,重要的是由学生亲身经历公式的推导过程,只有经历了这一过程,他们才能发现问题,汲取教训,总结经验,形成自己的认识,在集体交流的时候,才能有感而发.
二、根的判别式
　[过渡语]　前面我们在推导求根公式的过程中发现一个问题:一元二次方程的根的情况与b2-4ac有关,我们再深入研究一下.
1.你能解一元二次方程x2-2x＋3＝0吗 你是怎么想的
2.对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0),当b2-4ac<0时,它的根的情况是怎样的
学生思考,与同伴交流,教师总结.
对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0),
当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;
当b2-4ac＝0时,方程有两个相等的实数根;
当b2-4ac<0时,方程没有实数根.
由此可知,一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况可由b2-4ac来判定,我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式,通常用希腊字母“Δ”来表示.
[设计意图]　在探究中,体会方程的根的判别式存在的意义.
三、例题讲解
　[过渡语]　前面我们学会了一元二次方程的求根公式,下面我们通过例题来研究一下怎样来应用.
(教材列题)解方程.
(1)x2-7x-18＝0;　(2)4x2＋1＝4x.
〔解析〕　要求一元二次方程的解,需先确定a,b,c的值,注意a,b,c带有符号.第(2)小题要先将方程化成一般形式,再用求根公式求解.
解:(1)这里a＝1,b＝-7,c＝-18.
∵b2-4ac＝(-7)2-4×1×(-18)＝121>0,
∴x＝,
即x1＝9,x2＝-2.
(2)原方程化为一般形式,得4x2-4x＋1＝0,
这里a＝4,b＝-4,c＝1.
∵b2-4ac＝(-4)2-4×4×1＝0,
∴x＝,
即x1＝x2＝.
[知识拓展]　公式法解一元二次方程的一般步骤:
(1)把方程化为一般形式,进而确定a,b,c的值(注意符号);
(2)求出b2-4ac的值(先判断方程是否有根);
(3)在b2-4ac≥0的前提下,把a,b,c的值代入求根公式,求出的值,最后写出方程的根.
　不解方程,判断下列方程根的情况.
(1)2x2＋3x-4＝0;
(2)4y2＋9＝12y;
(3)5(x2＋1)-7x＝0.
〔解析〕　先把方程化为一般形式,确定a,b,c的值后,再算出b2-4ac的值,对方程的根给予判定.
解:(1)∵a＝2,b＝3,c＝-4,
∴b2-4ac＝32-4×2×(-4)>0,
∴原方程有两个不相等的实数根.
(2)原方程可化为4y2-12y＋9＝0,
∴a＝4,b＝-12,c＝9,
∴b2-4ac＝(-12)2-4×4×9＝0,
∴原方程有两个相等的实数根.
(3)原方程可化为5x2-7x＋5＝0,
∴a＝5,b＝-7,c＝5,
∴b2-4ac＝(-7)2-4×5×5<0,
∴原方程无实数根.
[设计意图]　这一环节是在学生解决了疑难后的跟踪训练,体现了重点问题强化训练的教学要求,同时又使学生对所学知识的掌握情况得到进一步的理解.
[知识拓展]　一般地,对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0),当b2-4ac≥0时,方程有两个实数根:x＝;当b2-4ac<0时,方程没有实数根.在运用该公式时,有的学生会出现盲目套公式的现象.正确使用求根公式解一元二次方程时应注意以下五点:(1)注意化方程为一般形式:ax2＋bx＋c＝0(a≠0);(2)注意a,b,c的值应包括各自的符号;(3)注意方程有实数根的前提条件是判别式b2-4ac≥0;(4)由判别式Δ的值决定方程的根,解题时灵活选用解题方法和技巧;(5)用公式法解出的根应注意适当化简.总之,先化方程为一般形式:ax2＋bx＋c＝0(a≠0),再确定a,b,c的值(注意应包括各自的符号),计算出判别式b2-4ac的值,再代入求根公式求解,最后注意化简结果.
课堂小结
1.一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式:x＝.
2.利用求根公式解一元二次方程的步骤:
(1)把方程化为一般形式,进而确定a,b,c的值(注意符号);
(2)求出b2-4ac的值(先判断方程是否有根);
(3)在b2-4ac≥0的前提下,把a,b,c的值代入求根公式,求出的值,最后写出方程的根.
3.一元二次方程的根的判别式与一元二次方程的根之间的关系:
对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0),
当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;
当b2-4ac＝0时,方程有两个相等的实数根;
当b2-4ac<0时,方程没有实数根.
由此可知,一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况可由b2-4ac来判定,我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式,通常用希腊字母“Δ”来表示.
检测反馈
1.把方程4-x2＝3x化为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式为　　　　　　,b2-4ac＝　　　　.
解析:可以把方程左边的项移到右边,这样化简比较简便.原方程可化为x2＋3x-4＝0,这里a＝1,b＝3,c＝-4,b2-4ac＝32-4×1×(-4)＝25.
答案:x2＋3x-4＝0　25
2.方程x2＋x-1＝0的根是　　　　　　.
解析:直接代入公式x＝即可.方程x2＋x-1＝0中,a＝1,b＝1,c＝-1,∴b2-4ac＝5,∴x＝,即x1＝,x2＝.故填x1＝,x2＝.
3.用公式法解方程x2＋4x＝2时,其中求得的b2-4ac的值是　　　　　　.
解析:要求b2-4ac的值,需将原方程先转化为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式.原方程可化为x2＋4x-2＝0,b2-4ac＝(4)2-4××(-2)＝64.故填64.
4.用公式法解下列方程.
(1)3x2-x-2＝0;
(2)2x2＋1＝3x;
(3)4x2-3x-1＝x-2;
(4)3x(x-3)＝2(x-1)(x＋1).
解:(1)∵a＝3,b＝-1,c＝-2,
∴b2-4ac＝(-1)2-4×3×(-2)＝25>0,
∴x＝,
∴x1＝1,x2＝-.
(2)移项,得2x2-3x＋1＝0,
∴a＝2,b＝-3,c＝1,
∴b2-4ac＝(-3)2-4×2×1＝1>0,
∴x＝,
∴x1＝1,x2＝.
(3)整理,得4x2-4x＋1＝0,
∴a＝4,b＝-4,c＝1,
∴b2-4ac＝(-4)2-4×4×1＝0,
∴x＝,
∴x1＝x2＝.
(4)整理,得x2-9x＋2＝0,
∴a＝1,b＝-9,c＝2,
∴b2-4ac＝(-9)2-4×1×2＝73>0,
∴x＝,
∴x1＝,x2＝.
板书设计
第1课时
1.求根公式
2.根的判别式
3.例题讲解
布置作业
【必做题】
教材第43页随堂练习.
【选做题】
教材第43页习题2.5的2题.