第4课时 等差数列的前n项和
1.理解等差数列的前 n项和.
2.应用两个等差数列的前 n项和公式解决有关等差数列的问题.
3.掌握两个等差数列的前 n项和公式的推导方法.
高斯是数学发展史上有很大影响的伟大数学家之一.高斯十岁时数学老师出了一道题: 1+2+3+…+99+100. 老师刚写完题目高斯就把解题用的小石板交给了老师,上面只有5050一个答案.当时高斯的思路和解答方法是:S=1+2+3+…+99+100,把加数倒序写一遍:S=100+99+98+…+2+1.
∴2S=(1+100)+(2+99)+…+(99+2)+(100+1)=100×101,∴S=50×101=5050.
问题1:利用“高斯的算法”求和:1+2+3+…+n.
设Sn=1+2+3+…+(n-1)+n,又Sn=n+(n-1)+(n-2)+…+2+1,
∴2Sn=(1+n)+[2+(n-1)]+…+[(n-1)+2]+(n+1)=n(n+1),
∴Sn= .?
问题2:用“倒序相加法”证明Sn=.
∵Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an
=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n-2)d]+[a1+(n-1)d],
Sn=an+an-1+an-2+…+a2+a1
=an+(an-d)+(an-2d)+…+[an-(n-2)d]+[an-(n-1)d],
∴2Sn= ,?
由此可得等差数列{an}的前n项和公式: .?
问题3:用等差数列的通项公式推导:Sn=na1+×d.
Sn=a1+a2+a3+…+an
=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n-1)d]
=na1+ ?
=na1+[1+2+3+…+(n-1)]d
= .?
问题4:用定义推导Sn=nan-×d.
∵Sn=an+an-1+an-2+…+a1
=an+(an-d)+(an-2d)+…+[an-(n-1)×d]
=nan-(d+2d+3d+…+(n-1)d)
= .?
1.等差数列{an}中,S10=4S5,则等于( ).
A. B.2 C. D.4
2.在小于100的自然数中,所有被7除余2的数之和为( ).
A.765 B.665 C.763 D.663
3.在等差数列中,若a4=0,a8=8,Sn为数列{an}的前n项和,则S11= .?
4.已知等差数列{an}中,a2=6,a5=15,若bn=a3n,求数列{bn}的前9项和S9 .
前n项和公式中变量的求解
在等差数列{an}中,已知a1=20,an=54,Sn=999,求d,n.
考查前n项和公式Sn
已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足:a2+a4=14,S7=70.求an和Sn.
前n项和公式Sn与n的关联
若{an}是等差数列,首项a1>0,a2003+a2004>0,a2003·a2004<0,求使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是多少?
已知数列{an}为等差数列.
(1)a1=,d=,Sn=30,求n及an;
(2)d=2,n=15,an=-10,求a1及Sn.
设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知S3·S4=(S5)2,S3与S4的等差中项为1,求数列{an}的通项公式.
已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足:a3·a4=117,a2+a5=22.
(1)求数列{an}的前n项和公式Sn;
(2)若数列{bn}是等差数列,且bn=,求非零常数c.
1.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sk+2-Sk=24,则k等于( ).
A.8 B.7 C.6 D.5
2.设数列{an}和{bn}都是等差数列,且a1=10,b1=30,a2+b2=40,则数列{an+bn}的前10项的和为( ).
A.100 B.300 C.400 D.800
3.一个等差数列的项数为2n,若a1+a3+…+a2n-1=90,a2+a4+…+a2n=72,且a1-a2n=33,则该数列的公差是 .?
4.在等差数列{an}中,a4=0.8,a11=2.2,求a51+a52+…+a80.
(2013年·新课标全国卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m等于( ).
A.3 B.4 C.5 D.6
考题变式(我来改编):
?
第4课时 等差数列的前n项和
知识体系梳理
问题1:
问题2:(a1+an)×n Sn=
问题3:[d+2d+3d+…+(n-1)d] na1+d
问题4:nan-×d
基础学习交流
1.A 由题意得:10a1+×10×9d=4(5a1+×5×4d),∴10a1+45d=20a1+40d,∴10a1=5d,∴=.
2.B 由题意可知,所有被7除余2的数可构成一等差数列,设为{an}.∴a1=2,d=7,an=2+(n-1)×7<100,解得n<15,∴n=14,S14=14×2+×14×13×7=665.
3.44 由为等差数列,得a4+a8=a1+a11=8,S11===44.
4.解:由?所以an=3+3(n-1)=3n,bn=a3n=9n,数列{bn}的前9项和为S9=×9=405.
重点难点探究
探究一:【解析】∵Sn=,∴=999,
解得n=27,代入通项公式得d=.
【小结】已知a1,d,n,an,Sn中的三个量求解其他两个量,无非就是利用通项公式或前n项和公式列出方程来求解.
探究二:【解析】设公差为d,
则有即
解得
所以an=3n-2,Sn=[1+(3n-2)]=.
【小结】熟记等差数列{an}的通项公式和前n项和公式.
探究三:【解析】要使Sn>0,即使na1+d>0,这样很难求出a1,d.由题可判断a2003>0,a2004<0,所以前2003项都为正,从第2004项起为负,由等差数列前n项和的对称性知S4006=0,
∴S4005>0,故使前n项和Sn>0成立的最大自然数n=4005.
[问题]上述解法正确吗?
[结论]不正确.此题在运用等差数列前n项和的性质及图像时忽视了a2003和a2004两项的大小.
于是,正确解答如下:
∵a1>0,a2003+a2004>0,a2003·a2004<0,且{an}为等差数列,∴{an}表示首项为正数,公差为负数的单调递减等差数列,且a2003是绝对值最小的正数,a2004是绝对值最小的负数(第一个负数),且|a2003|>|a2004|,∴在等差数列{an}中,a2003+a2004=a1+a4006>0,S4006=>0,∴使Sn>0成立的最大自然数n是4006.
【小结】此题还要看清楚是求Sn>0成立的最大自然数n,而不是Sn的最大值.
思维拓展应用
应用一:(1)由题意得+=30,解得n=15,
∴an=a15=a1+(n-1)d=.
(2)a15=-10,a15=a1+14d,∴a1=-38,
Sn=S15==-360.
应用二:由已知得
即解得或
∴an=1或an=-n.
经验证an=1或an=-n均满足题意,即为所求.
应用三:(1)设等差数列{an}的公差为d,且d>0.
∵a3+a4=a2+a5=22,又a3·a4=117,
∴a3,a4是方程x2-22x+117=0的两个根.
又公差d>0,∴a3
∴∴
∴Sn=n·1+·4=2n2-n.
(2)由(1)知,bn==,∴b1=,b2=,b3=.
∵{bn}是等差数列,∴2b2=b1+b3,∴2c2+c=0,
∴c=-(c=0舍去).
基础智能检测
1.D ∵Sk+2-Sk=ak+1+ak+2=a1+kd+a1+(k+1)d=2a1+(2k+1)d=2×1+(2k+1)×2=4k+4=24,∴k=5.
2.C 由题知,数列{an+bn}为等差数列,其公差为0,故前10项的和为400,选C.
3.-3 由得nd=-18.又a1-a2n=-(2n-1)d=33,解得d=-3.
4.解:∵a4=0.8,a11=2.2,
∴由a11=a4+7d,得d=0.2,∴a51=a11+40d=10.2,
∴a51+a52+…+a80=30·a51+d
=30×10.2+×0.2=393.
全新视角拓展
C 由题意知Sm==0,∴a1=-am=-(Sm-Sm-1)=-2,am+1=Sm+1-Sm=3,∴公差d=am+1-am=1,∴3=am+1=-2+m,∴m=5,故选C.
思维导图构建
三个 两个
课件16张PPT。第4课时 等差数列的前n项和1.理解等差数列的前 n项和.
2.应用两个等差数列的前 n项和公式解决有关等差数列的问题.
3.掌握两个等差数列的前 n项和公式的推导方法.高斯是数学发展史上有很大影响的伟大数学家之一.高斯十岁时数学老师出了一道题: 1+2+3+…+99+100. 老师刚写完题目高斯就把解题用的小石板交给了老师,上面只有5050一个答案.当时高斯的思路和解答方法是:S=1+2+3+…+99+100,把加数倒序写一遍:S=100+99+98+…+2+1.
∴2S=(1+100)+(2+99)+…+(99+2)+(100+1)=100×101,∴S=50×101=5050.?利用“高斯的算法”求和:1+2+3+…+n.
设Sn=1+2+3+…+(n-1)+n,
又Sn=n+(n-1)+(n-2)+…+2+1,
∴2Sn=(1+n)+[2+(n-1)]+…+[(n-1)+2]+(n+1)=n(n+1),
∴Sn=? .?(a1+an)×n???[d+2d+3d+…+(n-1)d]???1B2A344?4前n项和公式中变量的求解考查前n项和公式Sn7前n项和公式Sn与n的关联DC-3