第1课时 不 等 关 系
1.了解现实世界和日常生活中存在的不等关系.
2.了解不等式的意义,会列不等式表示数量关系.
3.会用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.
4.掌握作差比较大小的基本步骤,并且能灵活应用来解决一些实际问题.
咖啡馆配制两种饮料,甲种饮料每杯分别用奶粉9 g,咖啡4 g,糖3 g;乙种饮料每杯分别用奶粉4 g,咖啡5 g,糖10 g.已知每天使用原料限额为奶粉3600 g,咖啡2000 g,糖3000 g,设每天应配制甲种饮料x杯,乙种饮料y杯,你能写出满足上述条件的所有不等式吗?
问题1:上述情境中的x,y满足的不等式分别为: , , ,x≥0,y≥0.?
问题2:作差法比较大小的依据是什么?
(1)a>b? ;(2)a=b? ;(3)a
要确定任意两个正实数a,b的大小关系,只需确定它们的 与 的大小关系即可.?
问题3:作商法比较大小的依据是什么?
设a,b∈R,且a>0,b>0.(1)a>b? ;(2)a=b? ;(3)a要确定任意两个正实数a,b的大小关系,只需确定它们的 与 的大小关系即可.?
问题4:比较大小的步骤和关键点
(1)步骤:作差→ → → .?
(2)关键点:变形是比较大小的关键,变形的目的在于 ,而不必考虑差的值是多少.常用方法有 、 、 、 等.作商法类似作差法.?
1.某工厂在招标会上,购得甲材料x吨,乙材料y吨,若维持工厂正常生产,甲、乙两种材料总量至少需要120吨,则x、y应满足的不等关系是( ).
A.x+y>120 B.x+y<120 C.x+y≥120 D.x+y≤120
2.设a=3x2-x+1,b=2x2+x,x∈R,则( ).
A.a>b B.a3.若a>0,b>0,则+ ?(填上适当的等号或不等号).
4.比较x2+3与3x的大小,其中x∈R.
用作差法比较大小
比较a4-b4与4a3(a-b)的大小.
用作商法比较大小
已知a>b>0,比较aabb与abba的大小.
用不等关系解决实际问题
六一节日期间,某商场儿童柜台打出广告:儿童商品按标价的80%出售;同时,当顾客在该商场内消费满一定金额后,按如下方案获得相应金额的奖券:(如表所示)
消费金额(元)
[200,400]
[400,500]
[500,700]
[700,900]
…
获奖券的金额(元)
30
60
100
130
…
依据上述方法,顾客可以获得双重优惠.(优惠率=(优惠金额+奖券金额)÷总标价)
试问:(1)若购买一件标价为1000元的商品,顾客得到的优惠率是多少?(2)对于标价在[500,800]内的商品,顾客购买标价为多少元的商品,可得到不小于的优惠率?
(1)试比较(x+1)(x+5)与(x+3)2的大小;
(2)已知0已知a≥1,试比较M=-和N=-的大小.
某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说:“如领队买全票一张,其余人可享受7.5折优惠”.乙车队说:“你们属团体票,按原价的8折优惠”.这两车队的原价、车型都是一样的,试根据单位去的人数,比较两车队的收费哪家更优惠.
1.某夏令营有48人,出发前要从A,B两种型号的帐篷中选择一种.A型号的帐篷比B型号的帐篷少5顶,若只选A型号的,每顶帐篷住4人,则帐篷不够;每顶帐篷住5人,则有一顶帐篷没住满.若只选B型号的,每顶帐篷住3人,则帐篷不够;每顶帐篷住4人,则有帐篷多余.设A型号的帐篷有x顶,则下列选项中,不需要x满足的条件是( ).
A.0<5x-48<5 B.3(x+5)<48 C.4(x+5)<48 D.4x<48
2.设P=,Q=-,R=-,则P、Q、R的大小顺序是( ).
A.P>Q>R B.P>R>Q C.Q>P>R D.Q>R>P
3.已知a<0且a≠-1,则比较大小:(a+1)2 (a+1)3.(用“>”或“<”填空)?
4.已知P=,Q=a2-a+1,比较P、Q的大小.
(2013年·新课标全国Ⅱ卷)设a=log36,b=log510,c=log714,则( ).
A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c
考题变式(我来改编):
?
第一章 数 列
第1课时 数列的概念与简单表示法
知识体系梳理
问题1:一定次序 数列的项 an=f(n)
问题2:(1)有穷数列 无穷数列 (2)递增数列 递减数列 常数列 (3)摆动数列
问题3:确定的 确定的 重复 不能重复 有顺序 无顺序 数 不是数
问题4:列表法 图像法 通项公式法 递推公式法 a1+a2+…+an
基础学习交流
1.D 按照数列定义得出答案D.
2.A 将n=1,2,3,4代入通项公式可知,应选A.
3.2 a2=,a3=-1,a4=2.
4.解:∵a1=3,an+1=2an+1,∴a2=7,a3=15,a4=31,a5=63,注意到:3=22-1,7=23-1,15=24-1,31=25-1,
∴猜得an=2n+1-1.
重点难点探究
探究一:【解析】(1)这是一个常用的摆动数列,奇数项为正,偶数项为负,所以它的通项可以是an=(-1)n+1(n∈N+)或an=cos(n+1)π(n∈N+)或an=sin π(n∈N+).
(2)观察发现每项减1即为2的n次方,所以an=2n+1(n∈N+).
(3)统一写成分母为2的分数,发现分子是n的平方,故an=(n∈N+).
【小结】已知数列的前几项,写出数列的通项公式,主要从以下几个方面来考虑:
(1)对于正负交错出现的数列,符号用(-1)n与(-1)n+1来调节,这是因为n和n+1奇偶交错.
(2)此类问题虽无固定模式,但也有其规律可循,主要用观察、比较、归纳、转化等方法.
(3)对于分数形式的数列,分子、分母可分别找通项,并充分借助分子、分母的关系.
探究二:【解析】(1)设an=kn+b,
则解得
∴an=2n+1(n∈N+),∴a2015=4031.
(2)又∵a2,a4,a6,a8,…即为5,9,13,17,…,∴bn=4n+1(n∈N+).
【小结】数列的通项公式an是关于n(n∈N+)的函数,即an=f(n).待定系数法是求通项公式的一种常用方法.
探究三:【解析】∵(n,an)(n∈N+)是函数f(x)=x2+λx图像上的点,且数列{an}为递增数列,
只需-≤1,即λ≥-2,∴λ的取值范围是[-2,+∞).
[问题]递增数列是单调递增函数吗?
[结论]利用二次函数的单调性时,忽视了数列的离散型特征.数列{an}为递增数列,只要求满足a1于是,正确解答为:∵数列{an}是递增数列,且an=n2+λn,其对称轴x=-既可以x≤1,也可以在 1-3,∴λ的取值范围是(-3,+∞).
【答案】(3,+∞)
【小结】此题极易出错,考虑问题要全面.
思维拓展应用
应用一:(1)从原数列不能看出通项公式,但可改写为,,-,,,,….分母依次为1,2,3,4,…,分子依次为1,0,-1,0,…,呈周期性变化,可以用sinπ表示,也可用cosπ表示,故an=(n∈N+)或an=(n∈N+).
(2)∵0.9,0.99,0.999,…的通项公式为an=1-(n∈N+),∴0.7,0.77,0.777,…的通项公式为an=(1-)(n∈N+).
应用二:由
可得x=1,y=-2.
∴an=n2-2n(n∈N+).
应用三:(1)由an=n2-5n+4<0得1∴n=2,3,即数列中有2项是负数.
(2)an=(n-)2-(n∈N+),∴n=2,3时an最小,此时a2=a3=-2.
(3)由(1)(2)知a1=a4=0,a2=a3=-2,当n≥4时,an>0,∴S3,S4最小,且S3=S4=-4.
基础智能检测
1.C 由n2-n-50=-8,得n=7或n=-6(舍去).
2.C 令n=1,2,3,4,代入A、B、C、D检验即可.排除A、B、D,从而答案是C.
3.10 ∵=,∴n(n+2)=10×12,∴n=10.
4.解:(1)a10=,an+1=.
(2)设an=79,即=,解得n=15或n=-16(舍去),即79是数列中的第15项.
全新视角拓展
1 0 a2009=a4×503-3=1,a2014=a1007=a4×252-1=0.
思维导图构建
有序性 集合无序性
