第2课时 不等式的性质
1.掌握常用不等式的基本性质.
2.会用不等式的性质证明简单的不等式.
建筑设计规定,民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准,窗户面积与地板面积的比值应不小于10%,且这个比值越大,住宅的采光条件越好.试问:同时增加相等的窗户面积和地板面积,住宅的采光条件是变好了,还是变坏了?请说明理由.
问题1:在上述情境中假设原住宅的窗户面积与地板面积分别为a,b,则0
问题2:不等式的基本性质
(1)对称性:a>b?b a;?
(2)传递性:a>b,b>c?a c;?
(3)可加性:a>b?a+c b+c;?
(4)a>b,c>d?a+c b+d;?
(5)可乘性:a>b,c>0?ac bc;?
(6)a>b>0,c>d>0?ac bd;?
(7)a>b,c<0?ac bc;?
(8)乘方性:a>b>0?an bn(n∈N,n≥2);?
(9)开方性:a>b>0? ?(n∈N,n≥2);
(10)a>b,ab>0? ?.
问题3:证明不等式的方法有(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;(5) ;(6) .?
问题4:使用不等式的性质求取值范围时的注意事项:要注意不等式性质中哪些是 的,如同向不等式 、同向不等式 的性质都是不可逆的,明确这些性质,才能避免错用性质.?
1.若a>b,ab≠0,则下列不等式恒成立的是( ).
A.< B.<1 C.2a>2b D.lg(a-b)>0
2.已知四个条件:
①b>0>a;②0>a>b;③a>0>b;④a>b>0.能推出<成立的有( ).
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.实数a、b、c、d满足下列两个条件:①d>c;②a+d4.已知12不等式性质的应用
实数a、b、c、d满足条件:①a0;③(a-d)(b-d)<0,试比较a,b,c,d四者的大小.
证明不等式
设x≥1,y≥1,求证:x+y+≤++xy.
确定取值范围
若二次函数y=f(x)的图像过原点,且1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4.求f(-2)的取值范围.
设a>b>1,c<0,试比较logb(a-c)与loga(b-c)的大小.
已知a>b>0,c>d>0.求证:>.
已知1≤4a-2b≤2,且3≤a+b≤4,求4a+2b的取值范围.
1.设a,b是非零实数,若aA.a22.若a=,b=,c=,则( ).
A.a3. 若a,b∈R且a>b,给出下面三个不等式:①ac2>bc2;②<;③a-c>b-c.其中成立的是 .?
4.比较大小:(1)(x+5)(x+7)与(x+6)2;
(2)lo与lo.
(2013年·北京卷)设a,b,c∈R,且a>b,则( ).
A.ac>bc B.< C.a2>b2 D.a3>b3
考题变式(我来改编):
第2课时 数列的函数特性
知识体系梳理
问题1:正整数集N+ 函数值
问题2:递推公式 an=f(an-1)(n≥2)
问题3:第2项 an+1>an 第2项 an+1问题4:
基础学习交流
1.A 由数列的概念及数列的函数特性知,①②正确,故应选A.
2.B 由an=3n2-28n知通项公式是一个二次函数,对称轴是-=-==4,5离4最近,∴最小项是第5项.
3.140 85 观察上表规律,收缩压每次增加5,舒张压相应增加3或2,且是间隔出现的,故应填140,85.
4.解:(1)a3=13,a4=29.
(2)令2n+1-3=253,则2n+1=256,
∴n+1=8,∴n=7,∴253是第7项.
重点难点探究
探究一:【解析】(1)a1=4,a2=f(4)=1,a3=f(1)=5,a4=f(5)=2.
(2)由(1)知a1=4,a2=1,a3=5,a4=2,a5=f(2)=4,…,该数列是周期为4的周期数列,所以a2015=a3=5.
【小结】通过求数列的前几项,发现规律,找到周期是本题的关键.
探究二:【解析】(1)a1=S1=-1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n-5,
由于a1也适合此等式,所以an=4n-5.
(2)a1=S1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2·3n-1,
由于a1不适合此等式,
所以an=
【小结】利用an=Sn-Sn-1(n≥2)来求an的方法也可以叫作公式法.
探究三:【解析】an=-n2+10n+11=-(n-5)2+36,
∴当n=5时an最大,∴从首项起到第5项的和最大.
[问题]an最大是从首项起到第n项的和Sn最大吗?
[结论]由于审题不清,错把-n2+10n+11当成Sn,从而利用二次函数知识得到:n=5时,取最大值显然不合题意.
于是,正确解答为:由an=-n2+10n+11≥0得n2-10n-11≤0,∴-1≤n≤11.
即a1,a2,…,a10>0,a11=0,当n≥12时,an<0.
∴从首项起到第10项或第11项的和最大.
【小结】这是一道易错题,审题要清楚,深刻理解通项公式an是关于n(n∈N+)的函数.
思维拓展应用
应用一:A 由?f(an)>an,此式说明了对于函数y=f(x)图像上的任一点,(an,f(an))都有纵坐标f(an)大于横坐标an,所以函数f(x)的图像在直线y=x的上方.
应用二:(1)由an=
解得an=5-4n.
(2)∵a1=5-4×1=1,∴na1=n,
∴nan=5n-4n2,
∴na1-Sn=n-(3n-2n2)=2n2-2n=2n(n-1)>0.
又∵Sn-nan=3n-2n2-(5n-4n2)=2n2-2n>0,
∴na1>Sn>nan.
应用三:(法一:作差法)∵an+1-an=(n+2)()n+1-(n+1)()n=()n,
当n<9时,an+1-an>0,an+1>an;
当n=9时,an+1-an=0,an+1=an;
当n>9时,an+1-an<0,an+1故a1a11>…
∴数列{an}有最大项,为第9,10项.
(法二:作商法)∵==,
当n<9时,10n+20>11n+11,>1,即an+1>an;
当n=9时,10n+20=11n+11,=1,即an+1=an;
当n>9时,10n+20<11n+11,<1,即an+1故a1a11>…
∴数列{an}有最大项,为第9,10项.
(法三:两边夹)假设an为最大项,则
即解得
∴9≤n≤10,∴n=9或10,即第9,10项最大.
基础智能检测
1.A ∵an+1=an+3,∴数列{an}是递增数列.
2.B 数列{an}对应的点列为(n,an),即有an=(n∈N+).
3.48 当n≥2时,an+1=Sn+1,an=Sn-1+1,两式相减,得an+1-an=Sn-Sn-1=an,即an+1=2an,则a2=a1+1=3,a3=2a2=6,a4=2a3=12,a5=2a4=24,a6=2a5=48.
4.解:考察函数y==1+,因为直线x=15.6为函数图像的渐近线,且函数在(-∞,15.6)上单调递减,在(15.6,+∞)上单调递减,所以当n=16时,an最大,即第16项最大.
全新视角拓展
(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)
根据等式两边的规律可知: 第n个等式为(n+1)(n+2)·(n+3)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1).
思维导图构建
an=
