第6课时 等比数列的定义和通项
1.理解等比数列、公比、等比中项的概念.
2.掌握等比数列的通项公式.
3.会运用等比数列的通项公式解决相关数列问题.
某种细胞,如果每个细胞每分钟分裂为2个,那么每过1分钟,1个细胞分裂的个数依次为多少?
问题1:等比数列的定义
如果一个数列从 ,每一项与它前一项的比等于 ,那么这个数列就叫作等比数列,这个常数就叫作等比数列的 ,常用字母“q”表示.?
即数列{an}为等比数列?an÷an-1=q(n≥2,n∈N+).
问题2:等比数列通项公式的推导
(1)累乘法
类比等差数列,如何推导等比数列的通项公式?
设等比数列{an}中,=q(n∈N+,n≥2,q为常数),
那么=q,=q,…,=q.
将以上这n-1个等式相乘,得··…·=qn-1,
整理得an=a1qn-1,当n=1时上面的式子也成立,
所以等比数列的通项公式为 .?
(2)归纳法
若一等比数列{an}的首项是a1,公比是q,则据其定义可得:
a2÷a1=q,即a2=a1· ,?
a3÷a2=q,即a3=a2·q=a1· ,?
a4÷a3=q,即a4=a3·q=a1· ,…?
由此归纳等比数列的通项公式可得:an= .?
问题3:(1)等比中项: 若三个数a,G,b构成等比数列,则G叫作a与b的 ,并且G= .?
(2)在等比数列中,①= ,②=an+1·an-1=an+2·an-2=…?
问题4:若{an}是等比数列,则数列{kan}是 ,公比为 .?
1.已知等比数列{an}的前三项依次为a-1,a+1,a+4,则an等于( ).
A.4·()n B.4·()n C.4·()n-1 D.4·()n-1
2.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则公比q等于( ).
A.- B.-2 C.2 D.
3.在等比数列{an}中,a1=1,公比q=2,若an=64,则n的值为 .?
4.一个等比数列{an}中,a1+a4=133,a2+a3=70,求这个数列的通项公式.
用定义探究通项公式
已知数列{an}为等比数列.
(1)若a2=2,a6=162,求a10;
(2)若a1+a2=30,a3+a4=120,求a5+a6;
(3)若a1a2a3…a30=230,求a2a5a8…a29.
等比数列的定义考查
一个等比数列的前三项依次是a,2a+2,3a+3,则-13是否是这个数列中的一项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由.
等比中项的考查
若a、b、c成等比数列,试证:a2+b2,ab+bc,b2+c2也成等比数列.
设{an}是公比大于1的等比数列,若a1+a2+a3=7,且a1+3,3a2,a3+4构成等差数列.求数列{an}的通项公式.
已知等比数列1,x1,x2,…,x2n,2,求x1·x2·x3·…·x2n.
已知三个数成等差数列,其和为126;另外三个数成等比数列,把两个数列的对应项依次相加,分别得到85,76,84.求这两个数列.
1.一个各项均为正数的等比数列,其每一项都等于它后面的相邻两项之和,则公比q等于( ).
A. B. C. D.
2.等比数列{an}的各项为正数,公比为q,若q2=4,则的值为( ).
A. B.± C.2 D.±2
3.在等比数列中,已知首项为,末项为,公比为,则项数n= .?
4.数列{an}的前n项和记为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1,n∈N+),求数列{an}的通项公式.
(2013年·江西卷)等比数列x,3x+3,6x+6,…的第四项等于( ).
A.-24 B.0 C.12 D.24
考题变式(我来改编):
第6课时 等比数列的定义和通项
知识体系梳理
问题1:第二项起 同一个非零常数 公比
问题2:(1)an=a1qn-1 (2)q q2 q3 a1·qn-1
问题3:(1)等比中项 ± (2)qn-m
问题4:等比数列 q
基础学习交流
1.C 由题意得(a+1)2=(a-1)(a+4),解得a=5,∴a1=4,q=,∴an=4·()n-1.
2.D 由通项公式及已知得a1q=2,a1q4=,∴q3=,解得q=.
3.7 因为an=a1qn-1且a1=1,q=2,所以64=26=1×2n-1,所以n=7.
4.解:由题设知两式相除得q=或,
代入a1+a4=133,可求得a1=125或8,
∴an=125()n-1或an=8()n-1.
重点难点探究
探究一:【解析】(1)设数列{an}的公比为q.
∵a6=a2q4,即有162=2·q4,∴q4=81,
∴a10=a6q4=162×81=13122.
(2)∵a1+a2,a3+a4,a5+a6构成等比数列,
∴a5+a6===480.
(3)∵=a1a3,=a4a6,=a7a9,…
∴a1a2a3…a30=…=(a2a5a8…a29)3=230,
∴a2a5a8…a29=210.
【小结】在等比数列中,应用性质解决问题更简便.解题时注意已知数列中项与项之间的关系,可以帮助找出解题的关键.
探究二:【解析】∵a,2a+2,3a+3是等比数列的前三项,∴a(3a+3)=(2a+2)2,
解得a=-1或a=-4.
当a=-1时,数列的前三项依次为-1,0,0,与等比数列的定义矛盾,故a=-1舍去.
当a=-4时,数列的前三项依次为-4,-6,-9,
则公比为q=,∴an=-4()n-1,
令-4()n-1=-13,即()n-1==()3,
∴n-1=3,即n=4,∴-13是这个数列中的第4项.
【小结】注意等比数列中的项不能为0,公比也不能为0.
探究三:【解析】由a、b、c成等比数列,则abc≠0且b2=ac,
(a2+b2)(b2+c2)=(a2+ac)(ac+c2)=ac(a+c)2=b2(a+c)2=(ab+bc)2,
显然a2+b2、b2+c2都不等于零,且ab+bc≠0,
∴a2+b2,ab+bc,b2+c2成等比数列.
【小结】证明数列成等比数列,可利用等比数列的定义,而证明三个数a,b,c成等比数列,可证明b2=ac,要注意说明a、b、c全不为零.
思维拓展应用
应用一:设数列{an}的公比为q.
由题意得:
把①-②得:a1=,把a1=代入①得:+2+2q=7,
解得q1=2,q2=.又∵q>1,∴q=2,∴a1=1,
∴数列{an}的通项公式为:an=2n-1.
应用二:∵1,x1,x2,…,x2n,2成等比数列,公比q,
∴2=1·q2n+1,xn=qn,
∴x1·x2·x3·…·x2n=q·q2·q3…q2n=q1+2+3+…+2n
==qn(2n+1)=2n.
应用三:设成等差数列的三个数为b-d,b,b+d,由已知,b-d+b+b+d=126,
∴b=42,这三个数可写成42-d,42,42+d.
再设另三个数为a,aq,aq2.
由题设,得整理得
解方程组,得a=17或68.
当a=17时,q=2,d=-26;
当a=68时,q=,d=25.
从而得到:成等比数列的三个数为17,34,68,此时成等差的三个数为68,42,16;或者成等比的三个数为68,34,17,此时成等差的三个数为17,42,67.
基础智能检测
1.C ∵an=an+1+an+2,∴a1qn-1=a1qn+a1qn+1,即q2+q-1=0,又该数列各项为正,可解得q=.
2.A ∵q2=4,∴q=±2.又∵各项为正数,∴q=2.∴===.
3.4 由题意可知,=×()n-1,解得n=4.
4.解:由an+1=2Sn+1,可得an=2Sn-1+1(n≥2),两式相减,得an+1-an=2an,
∴an+1=3an(n≥2).又a2=2S1+1=3,∴a2=3a1,
故{an}是首项为1,公比为3的等比数列.
∴an=3n-1.
全新视角拓展
A (3x+3)2=x·(6x+6),∴x=-1或-3,若x=-1,则3x+3=0不能为等比数列中的项,∴x=-3,前三项为-3,-6,-12,∴第4项为-24.
