第10课时 前n项和Sn的求法
1.理解等差数列、等比数列的求和公式.
2.掌握公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法等方法.
3.初步利用各种求和方法解决有关数列求和问题.
在推导等差数列的前n项和公式的时候我们用了倒序相加法,在推导等比数列的前n项和公式的时候我们用了错位相减法,今天,我们一起来看看数列的前n项和有哪些求法?
问题1:公式法:(1)如果一个数列是等差数列或等比数列,则求和时直接利用等差、等比数列的前n项和公式,注意等比数列公比q的取值情况要分 .?
(2)一些常见数列的前n项和公式:
①1+2+3+4+…+n= ;?
②1+3+5+7+…+2n-1= ;?
③2+4+6+8+…+2n= ;?
④12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1);
⑤13+23+33+…+n3=n2(n+1)2;
⑥1×2+2×3+…+n×(n+1)=.
问题2:(1)倒序相加法:如果一个数列{an},首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法.
(2)分组求和法:若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组转化法,分别求和而后相加减.
(3)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求,等比数列的前n项和就是用此法推导的.
(4)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.
问题3:常见的拆项公式有:
(1)= ;?
(2)= ;?
(3)= ;?
(4)= .?
问题4:若{an}是等差数列,则= ;= .?
1.1-4+9-16+…+(-1)n+1n2等于( ).
A. B.- C.(-1)n+1 D.以上答案均不对
2.在数列{an}中,an=,若{an}的前n项和为,则项数n为( ).
A.2011 B.2012 C.2013 D.2014
3.数列1,1+2,1+2+22,1+2+22+23,…,1+2+22+23+…+2n-1,…的前n项和为 .?
4.已知数列{an}满足an=试求其前n项和.
考查分组求和法
求下面数列的前n项和Sn:+,+,+,…,+,….
考查错位相减法求和
已知数列{an}中,a1=5且an=2an-1+2n-1(n≥2且n∈N+).
(1)求证:数列{}为等差数列;
(2)求数列{an-1}的前n项和Sn.
考查裂项相消法
已知数列{an}的前n项和是Sn,且Sn=2an-n(n∈N+).
(1)证明:数列{an+1}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)记bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
求下列数列的前n项和:
(1)1,1+2,1+2+3,…,1+2+3+…+n,…;
(2)1,1+,1++,…,1+++…+,….
已知数列{an}满足:a1=2,an+1=3an+3n+1-2n(n∈N+).
(1)设bn=,求证:数列{bn}为等差数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
求和:(1)+++…+;
(2)+++…+.
1.若数列{an}的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1+a2+…+a10等于( ).
A.15 B.12 C.-12 D.-15
2.已知数列{an}满足a1=1,an+1=则其前6项之和是( ).
A.16 B.20 C.33 D.120
3.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若a1=2,{an}的“差数列”的通项为2n,则数列{an}的前n项和Sn= .?
4.求和:1+++…+.
1.(2013年·陕西卷)观察下列等式
12=1
12-22=-3
12-22+32=6
12-22+32-42=-10
……
照此规律,第n个等式可为 .?
考题变式(我来改编):
2.(2013年·江西卷)正项数列{an}满足:-(2n-1)an-2n=0.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)令bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
考题变式(我来改编):
第10课时 前n项和Sn的求法
知识体系梳理
问题1:(1)q=1或q≠1 (2)① ②n2 ③n(n+1)
问题3:(1)- (2)(-)
(3)(-) (4)(-)
问题4:(-) (-)
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1.C 对n赋值验证,只有C正确.
2.C ∵an==-,∴Sn=1-==,解得n=2013.
3.2n+1-n-2 由题意得an=1+2+22+…+2n-1==2n-1,∴Sn=(21-1)+(22-1)+(23-1)+…+(2n-1)=(21+22+…+2n)-n=-n=2n+1-n-2.
4.解:(1)当n为奇数时,
Sn=(a1+a3+a5+…+an)+(a2+a4+a6+…+an-1)
=+=·2n+2+-.
(2)当n为偶数时,Sn=(a1+a3+a5+…+an-1)+(a2+a4+a6+…+an)
=+=·2n+1++-.
重点难点探究
探究一:【解析】Sn=++++…++
=(++…+)+(++…+)
=+=(1-).
【小结】若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组转化法,分别求和而后相加减.
探究二:【解析】(1)设bn=,b1==2.
∴bn-bn-1=-=(an-2an-1+1)
=(2n-1+1)=1.
∴数列{}是首项为2,公差为1的等差数列.
(2)由(1)知,=2+(n-1)×1,
∴an-1=(n+1)·2n,
∴Sn=2·21+3·22+…+n·2n-1+(n+1)·2n, ①
∴2Sn=2·22+3·23+…+n·2n+(n+1)·2n+1, ②
①-②,得-Sn=4+(22+23+…+2n)-(n+1)·2n+1,
∴Sn=-4-4(2n-1-1)+(n+1)·2n+1,
∴Sn=n·2n+1.
【小结】根据题中条件,利用等差数列的定义来判断数列的属性并求出通项公式,这一方法必须掌握,错位相减法求和方法是数列求和的常用方法.
探究三:【解析】(1)令n=1,得a1=2a1-1,由此得a1=1.
因为Sn=2an-n,所以Sn+1=2an+1-(n+1),两式相减得Sn+1-Sn=2an+1-(n+1)-2an+n,即an+1=2an+1,
所以an+1+1=2an+1+1=2(an+1),即=2,
故数列{an+1}是首项为a1+1=2,公比为2的等比数列,
所以an+1=2·2n-1=2n,
故数列{an}的通项公式是an=2n-1.
(2) 由(1)得,bn====-,
所以Tn=b1+b2+…+bn=(-)+(-)+…+(-)=1-.
【小结】要掌握裂项相消法的本质:裂项是为了消去相同项.
思维拓展应用
应用一:(1)∵an=1+2+3+…+n=n(n+1)=n2+n,
∴Sn=(12+22+…+n2)+(1+2+…+n)
=×n(n+1)(2n+1)+n(n+1)
=n(n+1)(n+2).
(2)先对通项求和
an=1+++…+=2-,
∴Sn=(2+2+…+2)-(1+++…+)
=2n-(1+++…+)
=2n-2+.
应用二:(1)∵bn+1-bn=-
=-=1,
又b1=0,∴{bn}是首项为0,公差为1的等差数列,
∴bn=n-1,∴an=(n-1)·3n+2n.
(2)设Tn=0·31+1·32+…+(n-1)·3n,则
3Tn=0·32+1·33+…+(n-1)·3n+1.
∴-2Tn=32+…+3n-(n-1)·3n+1
=-(n-1)·3n+1,
∴Tn=+=,
∴Sn=Tn+(2+22+…+2n)
=.
应用三:(1)=(-),
∴Sn=(1-+-+-+……+-+-)=(1+--)
=.
(2)=(-)
∴Sn=[(-)+(-)+(-)+…+(-)]=(-)=.
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1.A ∵an=(-1)n(3n-2),∴a1+a2+…+a10=-1+4-7+10-…-25+28=(-1+4)+(-7+10)+…+(-25+28)=3×5=15.
2.C a2=2a1=2,a3=a2+1=3,a4=2a3=6,a5=a4+1=7,a6=2a5=14,所以S6=1+2+3+6+7+14=33.
3.2n+1-2 ∵an+1-an=2n,∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+22+2+2=+2=2n-2+2=2n,∴Sn==2n+1-2.
4.解:∵an===2(-),
∴Sn=2[(1-)+(-)+…+(-)]=2(1-)=.
全新视角拓展
1.12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1
设等式右边的数的绝对值构成数列{an},∵a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,…,an-an-1=n,以上所有等式相加可得an-a1=2+3+4+…+n,即an=1+2+3+…+n=,再观察各式的符号可知第n个等式为:12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1.
2.解:(1)由-(2n-1)an-2n=0,得(an-2n)(an+1)=0.
由于{an}是正项数列,所以an=2n.
(2)由an=2n,bn=,
则bn==(-),
Tn=(1-+-+…+-+-)=(1-)=.
课件26张PPT。第10课时
前n项和Sn的求法1.理解等差数列、等比数列的求和公式.
2.掌握公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法等方法.
3.初步利用各种求和方法解决有关数列求和问题.
在推导等差数列的前n项和公式的时候我们用了倒序相加法,在推导等比数列的前n项和公式的时候我们用了错位相减法,今天,我们一起来看看数列的前n项和有哪些求法?q=1或q≠1公式法:(1)如果一个数列是等差数列或等比数列,则求和时直接利用等差、等比数列的前n项和公式,注意等比数列公比q的取值情况要分 .?n2n(n+1)(1)倒序相加法:如果一个数列{an},首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法.
(2)分组求和法:若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组转化法,分别求和而后相加减.(3)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求,等比数列的前n项和就是用此法推导的.
(4)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.1C【解析】对n赋值验证,只有C正确.2C47考查错位相减法求和考查裂项相消法A C
