1.3 集合的基本运算
考点预览
知识点讲解
知识点1：并集
自然语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作 (读作“A并B")
符号语言：
图像语言：
对并集概念的理解
(1)仍是一个集合,由所有属于集合或属于集合的元素组成.
(2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“或”包括下列三种情况:①,且;②,且;③,且.可用下图所示形象地表示.
知识点练习：
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出集合，再由并集的定义求出.
【详解】由，又，
可知.
故选：D.
2．集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据并集的运算可得答案.
【详解】因为，，所以.
故选：B.
知识点2：交集
自然语言：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集,记作 (读作“A交B")
符号语言：
图形语言：
对交集概念的理解
(1)仍是一个集合,由所有属于集合且属于集合的元素组成.
(2)对于“”,包含以下两层意思:①中的任一元素都是与的公共元素;②与的公共元素都属于,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如,,则,而不是或或.
(3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合与集合没有公共元素时,不能说集合与集合没有交集,而是.
(4)当时,和同时成立.
知识点练习：
3．集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，由集合的交集运算即可得到结果.
【详解】因为集合，，则.
故选：C
4．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接根据交集的运算求解.
【详解】由题意，，于是.
故选：B
知识点3：全集与补集
1、全集的定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
符号表示：全集通常记作.
2、补集：
自然语言：对于一个集合A,由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对全集的补集﹐简称为集合的补集﹐记作
符号语言：
图形语言：
知识点练习：
5．已知集合，，则集合（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据补集的定义求解即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：A.
6．设全集或，则＝（ ）
A．或 B．或
C． D．{0，1，2，3，4，5，6}
【答案】D
【分析】根据集合的并运算即可求解.
【详解】由于或，所以，
故选：D
考点解析
考点1：交、并集的运算
1．已知集合，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】根据题意，将集合B化简，然后结合集合的交集与并集运算，即可得到结果.
【解答】因为集合，集合，
所以，故AC均错误；
，故B正确，D错误．
故选：B．
2．已知集合，，若，则实数的值可能为（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】C
【分析】由题意可得，由得，所以，排除AB，然后选项CD代入验证即可.
【详解】因为当时，，当时，，
所以
因为，所以，
所以，得，
所以AB错误，
对于C，若，则，此时，所以C正确，
对于D，若，则，此时，不合题意，所以D错误，
故选：C
3．已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出集合，再利用可得实数的取值范围.
【详解】由，得，所以，
因为，所以，故．
故选：C．
4．已知集合，，则（ ）
A．S B．T C．R D．
【答案】A
【分析】对n分奇、偶讨论，判断出，即可得到.
【详解】集合，.
当时，有；
当时，有.
所以，所以.
故选：A
考点2：补集的运算
5．设集合，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为即可.
【详解】由题意可得，则，选项A正确；
，则，选项B错误；
，则或，选项C错误；
或，则或，选项D错误；
故选：A.
6．已知集合，，则集合（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据补集的定义求解即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：A.
7．已知全集，集合满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据补集的定义求出集合，再判断即可.
【详解】因为，且，
所以，
所以，，，.
故选：D
8．已知集合，则（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】根据全集的定义和运算即可求解.
【详解】由，，
得或.
故选：C.
考点3：交、并、补混合运算
9．已知全集，，，，则
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】试题分析：由题意得，，所以画出集合运算的韦恩图可知，集合．
考点：集合的运算与集合的表示．
【思路点晴】 本题主要考查了集合的运算与集合的表示，属于基础题，解答本题的关键在于正确采用集合的韦恩图法作出运算，是题目的一个难点．
10．已知全集U={1,2,3,4,5,6}，集合P={1,3,5}，Q={1,2,4}，则下列结论正确的是（ ）
A． ={1} B． ={1,2,3,4,5,6}
C． ={1,2,4,6} D．={3,5}
【答案】ACD
【分析】根据集全的交并补运算求解.
【详解】∵P={1,3,5}，Q={1,2,4}，
∴ ={1}，={1,2,3,4,5}.
又 ={2,4,6}， ={3,5,6}，
∴ ={1,2,4,6}，
={3,5}.
故选：ACD.
11．设全集，，则）等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求得，根据集合的交集运算，即得答案.
【详解】由题意，则，
故，
故选：C
12．已知集合 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出集合A,B，求出，根据集合的交集运算求得答案.
【详解】由题意得或 ，
或，
故，所以或，
故选：A
考点4：Venn图的应用
13．如图所示，两个大圆和一个小圆分别表示集合、、，它们是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】题图中的阴影部分是的子集，但该子集中不含集合中的元素，且该子集包含于集合的补集，用关系式表示出来即可．
【详解】由图知，首先阴影部分是的子集，其次不含集合中的元素且在集合的补集中，
可得阴影部分所表示的集合是或.
故选：C.
14．设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】观察出图中阴影部分表示的集合为，结合交集的定义即可求解.
【详解】由得，
图中阴影部分表示的集合是，故 .
故选：A
15．设S是全集，集合M、P是它的子集，则图中阴影部分可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据集合的表示方法，结合韦恩图的运算，即可求解.
【详解】根据图形，可知阴影不包含，且是的子集，
根据集合的运算，可得阴影是.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及集合的运算，其中解答中熟记集合的表示方法，结合韦恩图求解是解答的关键，着重考查推理与论证能力.
16．移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”.某中学为了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调查了100位学生，其中使用过移动支付或共享单车的学生共90位，使用过移动支付的学生共有80位，使用过共享单车且使用过移动支付的学生共有60位，则该校使用共享单车的学生人数为（ ）
A．50 B．60 C．70 D．80
【答案】C
【分析】由题意可知：只使用过共享单车但没使用过移动支付的学生有10人，使用过共享单车且使用过移动支付的学生共有60位，再计算即可得解.
【详解】根据题意使用过移动支付、共享单车的人数用韦恩图表示如下图，
使用过共享单车或移动支付的学生共有90位，使用过移动支付的学生共有80位，
则可得：只使用过共享单车但没使用过移动支付的学生有90-80=10人，
又使用过共享单车且使用过移动支付的学生共有60位，
即使用过共享单车的学生人数为10+60=70，
故选:C.
17．重庆一中计划面向高一学生开设“科技与创新”，“人文与阅读”两类选修课，为了解学生对这两类选修课的兴趣，对高一某班共46名学生调查发现，喜欢“科技与创新”类的学生有34名，喜欢“人文与阅读”类的学生有18名，两类均不喜欢的有6名，则只喜欢“科技与创新”类选修课的学生有（ ）名．
A．34 B．22 C．12 D．6
【答案】B
【分析】设两类均喜欢的有x名,布列方程即可得到结果.
【详解】设两类均喜欢的有x名,
则，解得，
故只喜欢“科技与创新”类选修课的学生有名，
故选：B
18．某学校举办运动会，比赛项目包括田径 游泳 球类，经统计高一年级有人参加田径比赛，有人参加游泳比赛，有人参加球类比赛.参加球类比赛的同学中有人参加田径比赛，有人参加游泳比赛；同时参加田径比赛和游泳比赛的有人；同时参加三项比赛的有人.则高一年级参加比赛的同学有（ ）
A．98人 B．106人 C．104人 D．110
【答案】B
【分析】根据韦恩图可求高一年级参加比赛的同学的人数.
【详解】
由上述韦恩图可得高一年级参加比赛的同学的人数为：
，
故选：B.
19．某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（ ）名
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【分析】画出图，由题意求出分别单独参加物理、数学和化学的人数，即可求出参赛人数，进而求出没有参加任何竞赛的学生.
【详解】画三个圆分别代表数学、物理、化学的人，
因为有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，
参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、化两科的有5名，
只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，
所以单独参加数学的有人，
单独参加物理的有人，单独参加化学的有，
故参赛人数共有人，
没有参加任何竞赛的学生共有人.
故选：D.
考点5：含参数的集合运算
20．已知集合，．
(1)若，求实数m的取值范围；
(2)当时，求C的非空真子集的个数．
【答案】(1)
(2)254
【分析】（1）依题意有，分和两种情况讨论，由包含关系求实数m的取值范围；
（2）由集合C中元素个数，求C的非空真子集的个数.
【详解】（1）∵，∴，
①若，则，解得；
②若，则，可得.
由可得，解得，此时.
综上所述，实数m的取值范围是.
（2）∵，集合C中共8个元素，
因此，集合C的非空真子集个数为.
21．已知集合或，．
(1)若，求的取值范围；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，列不等式，即可求出的取值范围；
（2）由，得到，列不等式，即可求出的取值范围．
【详解】（1）因为，所以解得．
故的取值范围是．
（2）因为，所以，
则或，解得或．
故的取值范围是．
22．已知集合，，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求得，得到，结合题意得到不等式，即可求解.
【详解】由集合，，
可得，
因为，所以，解得，即实数的取值范围是.
故选：C.
23．设集合或，若，则的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】B
【分析】先求出，根据，可求得结果.
【详解】由集合或，得，又集合且，则2或，即或.
故选：B.
24．设，集合，，若，且
(1)求集合；
(2)求集合
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先由条件确定，求得，再求集合；
（2）根据，确定，代入求，再求集合，最后求.
【详解】（1）由条件可知，，，
所以，解得：，
，解得：或，
所以
（2）因为，所以,代入，
解得：
代入集合，，解得：或
所以,
所以.
25．已知集合.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若中只有一个整数，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意推出，分和时分类讨论即可；
（2）首先推理出整数为，再利用数轴得到不等式，解出不等式即可.
【详解】（1），
当即时，满足题意；
当即时，；欲使，则有，即.
综上所述：实数的取值范围是.
（2）易得
当即时，，不符合题意；
当即时，，若中只有一个整数，则此整数为
依题意得，即
综上所述：实数的取值范围是.
课后练习
1．若集合或，则集合
A．或 B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用交集的定义运算即得.
【详解】∵集合或，
∴.
故选：D．
2．已知全集中有m个元素，中有n个元素．若非空，则的元素个数为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为
所以，
所以共有个元素，故选D．
3．设M，N是非空集合，且（U为全集），则下列集合表示空集的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由集合的包含关系结合集合的运算即可得解.
【详解】集合是非空集合，对集合中任一元素，
∵，∴，∴，
又若，则，∵，∴，
∴.
故选：A.
4．设 ，，，则_____．
【答案】；
【详解】试题分析：由题：，则：
考点：集合的运算.
5．设M，P是两个非空集合，定义集合M，P的差集运算为且设集合请你写出一个集合A，使得则集合A=___________.
【答案】(答案不唯一)
【分析】由集合的新定义转化条件为，且A中不再含中的其他任何元素，即可得解.
【详解】由题意，知，且A中不再含中的其他任何元素，
而是否再含中的元素则不影响等式，
因此符合题意.
故答案为：(答案不唯一)
6．设全集，集合，
（1）求；
（2）若集合，满足，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）化简集合B，根据交集运算即可求解；
（2）由可得，据此建立不等式求解即可.
【详解】（1）∵，
∴；
（2）由集合C中的不等式，解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得
7．已知集合M={1，2，3，4}，N={-2,2}，下列结论成立的是
A．NM B．M∪N=M C．M∩N=N D．M∩N={2}
【答案】D
【详解】试题分析：由M={1，2，3，4}，N={﹣2，2}，则可知，﹣2∈N，但是﹣2 M，则N M，M∪N={1，2，3，4，﹣2}≠M，M∩N={2}≠N，从而可判断．
解：A、由M={1，2，3，4}，N={﹣2，2}，可知﹣2∈N，但是﹣2 M，则N M，故A错误；
B、M∪N={1，2，3，4，﹣2}≠M，故B错误；
C、M∩N={2}≠N，故C错误；
D、M∩N={2}，故D正确．
故选D．
考点：集合的包含关系判断及应用．
8．设集合M={-1,0,1}，N={|=}，则M∩N=
A．{-1，0，1} B．{0,1} C．{1} D．{0}
【答案】B
【详解】 M="{-1,0,1}" M∩N={0,1}
【点评】本题考查了集合的基本运算，较简单，易得分.先求出，再利用交集定义得出M∩N
9．已知集合A={（x，y）|x，y为实数，且x2+y2=1}，B=|（x，y）|x，y为实数，且x+y=1}，则A∩B的元素个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【详解】由题得
∴或A∩B={(1,0),(0,1)}.
故选C.
10．设全集U={1，2，3，4，5，6} ，设集合P={1，2，3，4}， Q={3，4，5}，则P∩（CUQ）=
A．{1，2，3，4，6} B．{ 1，2，3，4，5} C．{1，2，5} D．{1,2}
【答案】D
【详解】选D.
【考点定位】此题主要考查集合运算
11．已知全集，集合，，则为
A．{1,2,4} B．{2,3,4} C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}
【答案】C
【分析】先根据全集U求出集合A的补集，再求与集合B的并集．
【详解】由题得，故选C.
【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题．
12．设全集U＝{a，b，c，d}，集合A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，则_____．
【答案】
【解析】先分别求出，，即可求出并集.
【详解】，，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查集合的补集并集混合运算，属于基础题.
13．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_______
【答案】12
【详解】设两者都喜欢的人数为x人，
则只喜爱篮球的有(15-x)人，
只喜爱乒乓球的有(10-x)人,
(15-x)+(10-x)+x+8= 30
解得x=3,
所以15- x= 12
故喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为12人.
14．如图所示，是全集，是的子集，则阴影部分所表示的集合是__________
【答案】
【详解】试题分析：根据韦恩图可知，图中阴影部分为集合与集合在中的补集的交集，即.
考点：1.韦恩图；2.集合的交集，并集，补集.
15．已知全集求
【答案】，.
【分析】由集合的交、并、补的定义即可得解.
【详解】∵，，，
，或，
.
16．已知下列三个方程：，，至少有一个方程有实根，求实数的取值范围.
【答案】或
【分析】至少有一个方程有实根的对立面是三个方程都没有根，由于正面解决此问题分类较多，而其对立面情况单一，故求解此类问题一般先假设没有一个方程有实数根，然后由根的判别式解得三方程都没有根的实数的取值范围，其补集即为个方程 ，，至少有一个方程有实根成立的实数的取值范围．此种方法称为反证法
【详解】假设没有一个方程有实数根，则：
得解得：
所以至少有一个方程有实根，则实数的取值范围为或.1.3 集合的基本运算
考点预览
知识点讲解
知识点1：并集
自然语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作 (读作“A并B")
符号语言：
图像语言：
对并集概念的理解
(1)仍是一个集合,由所有属于集合或属于集合的元素组成.
(2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“或”包括下列三种情况:①,且;②,且;③,且.可用下图所示形象地表示.
知识点练习：
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
知识点2：交集
自然语言：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集,记作 (读作“A交B")
符号语言：
图形语言：
对交集概念的理解
(1)仍是一个集合,由所有属于集合且属于集合的元素组成.
(2)对于“”,包含以下两层意思:①中的任一元素都是与的公共元素;②与的公共元素都属于,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如,,则,而不是或或.
(3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合与集合没有公共元素时,不能说集合与集合没有交集,而是.
(4)当时,和同时成立.
知识点练习：
3．集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
知识点3：全集与补集
1、全集的定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
符号表示：全集通常记作.
2、补集：
自然语言：对于一个集合A,由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对全集的补集﹐简称为集合的补集﹐记作
符号语言：
图形语言：
知识点练习：
5．已知集合，，则集合（ ）
A． B．
C． D．
6．设全集或，则＝（ ）
A．或 B．或
C． D．{0，1，2，3，4，5，6}
考点解析
考点1：交、并集的运算
1．已知集合，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知集合，，若，则实数的值可能为（ ）
A． B． C．0 D．2
3．已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知集合，，则（ ）
A．S B．T C．R D．
考点2：补集的运算
5．设集合，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知集合，，则集合（ ）
A． B．
C． D．
7．已知全集，集合满足，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知集合，则（ ）
A． B．
C．或 D．或
考点3：交、并、补混合运算
9．已知全集，，，，则
A． B． C． D．
10．已知全集U={1,2,3,4,5,6}，集合P={1,3,5}，Q={1,2,4}，则下列结论正确的是（ ）
A． ={1} B． ={1,2,3,4,5,6}
C． ={1,2,4,6} D．={3,5}
11．设全集，，则）等于（ ）
A． B． C． D．
12．已知集合 ，则（ ）
A． B．
C． D．
考点4：Venn图的应用
13．如图所示，两个大圆和一个小圆分别表示集合、、，它们是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
14．设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
15．设S是全集，集合M、P是它的子集，则图中阴影部分可表示为（ ）
A． B．
C． D．
16．移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”.某中学为了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调查了100位学生，其中使用过移动支付或共享单车的学生共90位，使用过移动支付的学生共有80位，使用过共享单车且使用过移动支付的学生共有60位，则该校使用共享单车的学生人数为（ ）
A．50 B．60 C．70 D．80
17．重庆一中计划面向高一学生开设“科技与创新”，“人文与阅读”两类选修课，为了解学生对这两类选修课的兴趣，对高一某班共46名学生调查发现，喜欢“科技与创新”类的学生有34名，喜欢“人文与阅读”类的学生有18名，两类均不喜欢的有6名，则只喜欢“科技与创新”类选修课的学生有（ ）名．
A．34 B．22 C．12 D．6
18．某学校举办运动会，比赛项目包括田径 游泳 球类，经统计高一年级有人参加田径比赛，有人参加游泳比赛，有人参加球类比赛.参加球类比赛的同学中有人参加田径比赛，有人参加游泳比赛；同时参加田径比赛和游泳比赛的有人；同时参加三项比赛的有人.则高一年级参加比赛的同学有（ ）
A．98人 B．106人 C．104人 D．110
19．某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（ ）名
A．7 B．8 C．9 D．10
考点5：含参数的集合运算
20．已知集合，．
(1)若，求实数m的取值范围；
(2)当时，求C的非空真子集的个数．
21．已知集合或，．
(1)若，求的取值范围；
(2)若，求的取值范围．
22．已知集合，，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
23．设集合或，若，则的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
24．设，集合，，若，且
(1)求集合；
(2)求集合
25．已知集合.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若中只有一个整数，求实数的取值范围.
课后练习
1．若集合或，则集合
A．或 B．
C． D．
2．已知全集中有m个元素，中有n个元素．若非空，则的元素个数为
A． B． C． D．
3．设M，N是非空集合，且（U为全集），则下列集合表示空集的是（ ）
A． B．
C． D．
4．设 ，，，则_____．
5．设M，P是两个非空集合，定义集合M，P的差集运算为且设集合请你写出一个集合A，使得则集合A=___________.
6．设全集，集合，
（1）求；
（2）若集合，满足，求实数a的取值范围.
7．已知集合M={1，2，3，4}，N={-2,2}，下列结论成立的是
A．NM B．M∪N=M C．M∩N=N D．M∩N={2}
8．设集合M={-1,0,1}，N={|=}，则M∩N=
A．{-1，0，1} B．{0,1} C．{1} D．{0}
9．已知集合A={（x，y）|x，y为实数，且x2+y2=1}，B=|（x，y）|x，y为实数，且x+y=1}，则A∩B的元素个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
10．设全集U={1，2，3，4，5，6} ，设集合P={1，2，3，4}， Q={3，4，5}，则P∩（CUQ）=
A．{1，2，3，4，6} B．{ 1，2，3，4，5} C．{1，2，5} D．{1,2}
11．已知全集，集合，，则为
A．{1,2,4} B．{2,3,4} C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}
12．设全集U＝{a，b，c，d}，集合A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，则_____．
13．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_______
14．如图所示，是全集，是的子集，则阴影部分所表示的集合是__________
15．已知全集求
16．已知下列三个方程：，，至少有一个方程有实根，求实数的取值范围.1.3 集合的基本运算
考点预览
知识点讲解
知识点 1：并集
自然语言：由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合,称为集合 A 与 B 的并集,记作 A B (读作
“A并 B")
符号语言： A B ={x∣x A或 x B}
图像语言：
{#{QQABLYaAggiAAgBAAABCQwWQCEGQkhECCCgOQBAYsEIAyAFABCA=}#}
对并集概念的理解
(1) AUB仍是一个集合, AUB由所有属于集合 A或属于集合B 的元素组成.
(2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并
集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“ x A或 x B”包括下列三种情况:① x A,且 x B;
② x A,且 x B;③ x A,且 x B.可用下图所示形象地表示.
知识点练习：
1．已知集合 A= 1,0,1 , B = x∣x2 3x+2 = 0 ，则 A B=（ ）
A． 1 B． 1,2 C． 1,0,1 D． 1,0,1, 2
1
2．集合 A = x 0 x 8 ， B = x x 10 ，则 A B=（ ）
2
1
A． x x 8 B． x 0 x 10
2
1 1
C． x x 8 D． x x 10
2 2
知识点 2：交集
自然语言：由属于集合 A且属于集合 B的所有元素组成的集合，称为 A与 B的交集,记作 ∩ (读作“A交
B")
符号语言： ∩ = { ∣ ∈ 且 ∈ }
图形语言：
{#{QQABLYaAggiAAgBAAABCQwWQCEGQkhECCCgOQBAYsEIAyAFABCA=}#}
对交集概念的理解
(1) ∩ 仍是一个集合, ∩ 由所有属于集合 A且属于集合B 的元素组成.
(2)对于“ ∩ = { | ∈ 且 ∈ }”,包含以下两层意思:① ∩ 中的任一元素都是 A与 B 的公共元素;②
A与 B 的公共元素都属于 ∩ ,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如 A={1,2,3,4}, B ={2,3,4,5},
则 ∩ = {2,3,4},而不是{2}或{3}或{4}.
(3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合 A与集合 B 没有公共元素时,不能说集合 A与集合 B 没有交
集,而是 ∩ = .
(4)当 A= B时, ∩ = 和 ∩ = 同时成立.
知识点练习：
3．集合 A = x x 2 ， B = 0,1,2,3 ，则 ∩ =（ ）
A． 0,1, 2,3 B． 1 C． 0,1 D．{0,1,2}
4．已知集合M ={x 3 x 7}, N ={x Z 5 x 1}，则M N =（ ）
A． 3, 2, 1,0 B． 2, 1,0 C． ( 3,1) D． ( 5,7)
知识点 3：全集与补集
1、全集的定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
符号表示：全集通常记作 .
2、补集：
自然语言：对于一个集合 A,由全集U 中不属于集合 A的所有元素组成的集合称为集合 A相对全集U 的补
集﹐简称为集合 A的补集﹐记作
符号语言： = { | ∈ ,且 }
图形语言：
{#{QQABLYaAggiAAgBAAABCQwWQCEGQkhECCCgOQBAYsEIAyAFABCA=}#}
知识点练习：
5．已知集合U = x x 1 ， A = x x 2 ，则集合 =（ ）
A． x 1 x 2 B． x 1 x 2
C． x x 2 D． x x 2
6．设全集U = Z, A = x Z | x 0或 x 6 ，则 ＝（ ）
A． x | x 0,或 x 6 B． x | x 0,或 x 6
C． x | 0 x 6 D．{0，1，2，3，4，5，6}
考点解析
考点 1：交、并集的运算
1．已知集合 A = x 1 x 3 ，集合B = x x 2 ，则（ ）
A． A B = x 2 x 3 B． A B = x 2 x 3
C． A B = x 1 x 2 D． A B = x x 3
x
2．已知集合 A = y y = ，B = x x a 0 ，若 A B = 1 ，则实数 a 的值可能为（ ）
x
A． 2 B． 1 C．0 D．2
{#{QQABLYaAggiAAgBAAABCQwWQCEGQkhECCCgOQBAYsEIAyAFABCA=}#}
3．已知集合 A = x 1 x 4 ，B = x x 2a 0 ，若 A B = ，则实数 a 的取值范围为（ ）
1 1 1
A． a a B． a a C． a a D． a a 0
2 2 2
4．已知集合 S = s | s = 5n 2,n Z ，T = t | t =10n +8,n Z ，则S T =（ ）
A．S B．T C．R D．
考点 2：补集的运算
5．设集合U =R，集合M = x x 1 ， N = x 1 x 2 ，则 x x 2 =（ ）
A． ( ∪ ) B． ∪
C． ( ∩ ) D． ∪
6．已知集合U = x x 1 ， A = x x 2 ，则集合 =（ ）
A． x 1 x 2 B． x 1 x 2
C． x x 2 D． x x 2
7．已知全集U = x 0 x 5 ，集合A 满足 = { |1 < < 3}，则（ ）
A．1 A B．2 A C．3 A D．4 A
{#{QQABLYaAggiAAgBAAABCQwWQCEGQkhECCCgOQBAYsEIAyAFABCA=}#}
8．已知集合U = x| 5 x 2 , A = x| 3 x 0 ，则 =（ ）
A． x| 3 x 0 B． x| 3 x 0
C．{x | 5 x 3或0 x 2} D．{x | 5 x 3或0 x 2}
考点 3：交、并、补混合运算
9．已知全集U ={x N+ | x 9}， (CU A) B = 1,6 ， A (CU B) = 2,3 ，CU (A B) = 5,7,8 ，则B =
A． 2,3, 4 B． 1, 4,6 C． 4,5,7,8 D． 1, 2,3,6
10．已知全集 U={1,2,3,4,5,6}，集合 P={1,3,5}，Q={1,2,4}，则下列结论正确的是（ ）
A． ∩ ={1} B． ∪ ={1,2,3,4,5,6}
C．( ) ∪ ={1,2,4,6} D． ∩ ( )={3,5}
11．设全集U =R，M = x |1 x 5 ,N = x | x 0 ，则 ∩ ( )）等于（ ）
A． x | 1 x 0 B． x | 0 x 5 C． x |1 x 5 D． x | 0 x 5
12．已知集合 A= x R x2 9 ,B = x R x2 x 2 0 ，则( ) ∩ =（ ）
A．[ 3, 1) ∪ (2,3] B．[ 3, 2) ∪ (1,3]
C． ( , 3)U(2,+ ) D． ( , 1) (3,+ )
{#{QQABLYaAggiAAgBAAABCQwWQCEGQkhECCCgOQBAYsEIAyAFABCA=}#}
考点 4：Venn 图的应用
13．如图所示，两个大圆和一个小圆分别表示集合M 、S、 P ，它们是V 的三个子集，则阴影部分所表示
的集合是（ ）
A．( ∩ ) ∩ B．( ∩ ) ∪
C．( ∩ ) ∩ ( ) D．( ∩ ) ∪ ( )
2
14．设全集U =R ，集合N = {x Z∣1 x 10}，M = x∣x x 6 = 0 ，则图中阴影部分表示的集合为
（ ）
A． 2 B． 3 C． 3，2 D． 2，3
15．设 S是全集，集合 M、P 是它的子集，则图中阴影部分可表示为（ ）
A．( ∪ ) ∩ ( ∩ ) B．( ∪ ) ∩ ( ∪ )
C．( ∩ ) ∪ ( ∪ ) D．( ∩ ) ∪ ( ∩ )
{#{QQABLYaAggiAAgBAAABCQwWQCEGQkhECCCgOQBAYsEIAyAFABCA=}#}
16．移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”.某中学为了解本校学生中新“四大
发明”的普及情况，随机调查了 100位学生，其中使用过移动支付或共享单车的学生共 90位，使用过移
动支付的学生共有 80位，使用过共享单车且使用过移动支付的学生共有 60位，则该校使用共享单车的学
生人数为（ ）
A．50 B．60 C．70 D．80
17．重庆一中计划面向高一学生开设“科技与创新”，“人文与阅读”两类选修课，为了解学生对这两类
选修课的兴趣，对高一某班共 46名学生调查发现，喜欢“科技与创新”类的学生有 34名，喜欢“人文与
阅读”类的学生有 18名，两类均不喜欢的有 6名，则只喜欢“科技与创新”类选修课的学生有
（ ）名．
A．34 B．22 C．12 D．6
18．某学校举办运动会，比赛项目包括田径 游泳 球类，经统计高一年级有57 人参加田径比赛，有11人
参加游泳比赛，有62人参加球类比赛.参加球类比赛的同学中有14人参加田径比赛，有4人参加游泳比
赛；同时参加田径比赛和游泳比赛的有8人；同时参加三项比赛的有2人.则高一年级参加比赛的同学有
（ ）
A．98人 B．106 人 C．104人 D．110
19．某城市数、理、化竞赛时，高一某班有 26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生
参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有 7名，只参加数、物两科的有 6名，只参加物、化两科
的有 8名，只参加数、化两科的有 5名．若该班学生共有 51名，则没有参加任何竞赛的学生共有
（ ）名
A．7 B．8 C．9 D．10
{#{QQABLYaAggiAAgBAAABCQwWQCEGQkhECCCgOQBAYsEIAyAFABCA=}#}
考点 5：含参数的集合运算
20．已知集合 A={x | 2 x 5}，B= x m+1 x 2m 1 ．
(1)若 A B = A，求实数 m的取值范围；
(2)当C={x | x A, x Z}时，求 C的非空真子集的个数．
21．已知集合 A = { x x 1或 x 3}，B = x a x a+2 ．
(1)若 A B = ，求a 的取值范围；
(2)若 A B = A，求a 的取值范围．
22．已知集合 A={x Z| 1 x 3}，B ={x | 3x a 0}，且 ∩ ( ) = {1,2}，则a 的取值范围为
（ ）
A． (0, 4) B． (0, 4 C． (0,3 D． (0,3)
A ={x∣x 2 x 4}, B = x∣a x a +1 23．设集合 或 ，若( ) ∩ = ，则a 的取值范围是
（ ）
A．a 1或 a 4 B．a 1或a 4
C．a 1 D．a 4
{#{QQABLYaAggiAAgBAAABCQwWQCEGQkhECCCgOQBAYsEIAyAFABCA=}#}
A= x|x2 +mx+3= 0 B = x|x224．设U =R，集合 ， 7x+n = 0 ，若 A B ，且( ) ∩ = {4}
(1)求集合 B ；
(2)求集合 A B
25．已知集合 A ={x | 1 x 2}, B ={x | 2a x 1}.
(1)若 AI B = B，求实数a 的取值范围；
(2)若( ) ∩ 中只有一个整数，求实数a 的取值范围.
{#{QQABLYaAggiAAgBAAABCQwWQCEGQkhECCCgOQBAYsEIAyAFABCA=}#}
课后练习
1．若集合 A = x | 2 x 3 , B = x | x 1或 x 4 ，则集合 ∩ =
A． x x 3或 x 4 B． x | 1 x 3
C． x | 3 x 4 D． x | 2≤x 1
2．已知全集U = A B中有 m个元素，( ) ∪ ( )中有 n个元素．若 A B非空，则 A B的元素个数
为
A．mn B．m + n C．n m D．m n
3．设 M，N是非空集合，且M N U （U为全集），则下列集合表示空集的是（ ）
A． ∩ ( ) B．( ) ∩
C．( ) ∩ ( ) D．M N
4．设U = R ， A = x x 0 ，B = x x 1 ，则 ∩ ( ) =_____．
5．设 M，P是两个非空集合，定义集合 M，P的差集运算为M P = x x M ,且 x P ,设集合
B = 2,4,6,8 ,请你写出一个集合 A，使得 A B = 5 ,则集合 A=___________.
6．设全集U =R，集合 A ={x | 1 x 3}，B ={x | 2x 4 x 2}
（1）求 A B；
（2）若集合C = x | 2x + a 0 ，满足B∪C =C，求实数 a的取值范围.
{#{QQABLYaAggiAAgBAAABCQwWQCEGQkhECCCgOQBAYsEIAyAFABCA=}#}
7．已知集合 M={1，2，3，4}，N={-2,2}，下列结论成立的是
A．N M B．M∪N=M C．M∩N=N D．M∩N={2}
8．设集合 M={-1,0,1}，N={ x | x2 = x }，则 M∩N=
A．{-1，0，1} B．{0,1} C．{1} D．{0}
9．已知集合 A={（x，y）|x，y为实数，且 x2+y2=1}，B=|（x，y）|x，y为实数，且 x+y=1}，则 A∩B的
元素个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
10．设全集 U={1，2，3，4，5，6} ，设集合 P={1，2，3，4}， Q={3，4，5}，则 P∩（CUQ）=
A．{1，2，3，4，6} B．{ 1，2，3，4，5} C．{1，2，5} D．{1,2}
11．已知全集U = 0,1, 2,3, 4 ，集合 A ={1,2,3}，B = 2,4 ，则( ) ∪ 为
A．{1,2,4} B．{2,3,4} C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}
12．设全集 U＝{a，b，c，d}，集合 A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，则( ) ∪ ( ) =_____．
13．某班共 30人，其中 15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱
篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_______
{#{QQABLYaAggiAAgBAAABCQwWQCEGQkhECCCgOQBAYsEIAyAFABCA=}#}
14．如图所示，U 是全集， A、B是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是__________
15．已知全集U = x 1 x 4 , A= x 1 x 1 , B = x 0 x 3 , 求( ) ∩
16．已知下列三个方程： 2 2 2x + 4ax 4a+3= 0， x + (a 1)x + a = 0， x2 + 2ax 2a = 0至少有一个方程有实
根，求实数a 的取值范围.
{#{QQABLYaAggiAAgBAAABCQwWQCEGQkhECCCgOQBAYsEIAyAFABCA=}#}
