浙江省宁波市部分学校2023-2024学年高一上学期7月入学分班测试数学试卷（Word版含解析）

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宁波市部分学校2023-2024学年高一上学期7月入学分班测试
数学试卷
姓名：___________ 准考证号：___________
考生须知：
1.全卷分试题卷Ⅰ、试题卷Ⅱ和答题卷。试题卷共6页，有四个大题，22个小题。满分为150分，考试时长为120分钟。
2.请将姓名、准考证号分别填写在试题卷和答题卷的规定位置上。
3.答题时，把试题卷Ⅰ的答案在答题卷Ⅰ上对应的选项位置用2B铅笔涂黑、涂满。将试题卷Ⅱ的答案用黑色字迹的钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题区域书写的答案无效。
4.不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示。
试 题 卷 Ⅰ
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的点，两点，规定其坐标“积和”运集为：．若，，，四个点的“积和”运算满足：，则以，，，为顶点的四边形不可能是
A．等腰梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形
2．已知二次函数y＝2x2+bx+1，当b取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，如图中的实线型抛物线分别是b取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），则这条虚线型抛物线的解析式是
A．y＝﹣x2+1 B．y＝﹣2x2+1 C．y＝﹣x2+1 D．y＝﹣4x2+1
3．如图，点O是边长为2的等边△ABC的内心，将△OBC绕点O逆时针旋转30°得到△OB1C1，B1C1交BC于点D，B1C1交AC于点E，则DE的长为
A．2 B． C． D．
4．如图，中，，于点，，是线段上的一个动点，则的最小值是
A． B． C． D．
（第2题图） （第3题图） （第4题图）
5．已知，在△ABC中，，如图，（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D； （2）作射线AD，连接BD，CD．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是
A． B．△BCD是等边三角形
C．AD垂直平分BC D．
6．如图，是抛物线（）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线（）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①； ②抛物线与x轴的另一个交点是（，0）；③方程有两个相等的实数根；④当时，有；⑤若，且；则．则命题正确的个数为
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
7．在中，，，是等边三角形．点在边上，点在外部，于点，过点作，交线段的延长线于点，，，则的长为
A． B． C． D．
（第5题图） （第6题图） （第7题图）
8．某假日，小磊和其他六名同学轻装徒步去郊游，途中，他用18元钱买饮料为大家解渴，每人至少要分得一瓶饮料，商店只有冰红茶和矿泉水，冰红茶3元一瓶，矿泉水2元一瓶，如果18元刚好用完，则选择购买的方案有
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．在直角坐标系中,若三点A（1,﹣2）,B（2,﹣2）,C（2,0）中恰有两点在抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＞0且a,b均为常数）的图象上,则下列结论正确的是
A．抛物线的对称轴是直线
B．抛物线与x轴的交点坐标是（﹣,0）和（2,0）
C．当t＞时,关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝t有两个不相等的实数根
D．若P（m,n）和Q（m+4,h）都是抛物线上的点且n＜0,则 ．
10．如图，正六边形，点在线段上运动，记图中的面积为，，，，，，已知正六边形边长为2，下列式子的值不随点变化而变化的是
A． B． C． D．
11．若一个平行四边形的四个顶点分别在矩形的四条边上，且一边和矩形的对角线平行，则称这样的平行四边形为该矩形的“反射平行四边形”已知为矩形的“反射平行四边”，点E、F、G、H分别在边、、、上，，设的周长为，和矩形的面积分别为，，则下列结论正确的有
A． B． C． D．
12．如图，正方形的边长为8，点，分别在边，上，将正方形沿折叠，使点落在边上的处，点落在处，交于．下列结论正确的是
A．当为中点时，
B．当时，
C．当（点不与、重合）在上移动时，周长随着位置变化而变化
D．连接，则
（第10题图） （第12题图）
试 题 卷 Ⅱ
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知：点是内一点，，与的中垂线交于点，
（1）______°．
（2）若，，，则的最小值是______．
14．如图，在正方形中，，点E在边上，且，将沿对折至，延长交边于点G，连接，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是_________（填序号）．
15．如图，在菱形中，，，点是的中点，点是上一动点，连接，点分别是的中点，连接，则的最小值是_________．
16．如图，等边△ABC中，AB=2，点D是以A为圆心，半径为1的圆上一动点，连接CD，取CD的中点E，连接BE，则线段BE的最大值与最小值之和为____．
（第14题图） （第15题图） （第16题图）
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．阅读短文，解决问题
如果一个三角形和一个菱形满足条件：三角形的一个角与菱形的一个角重合，且菱形的这个角的对角顶点在三角形的这个角的对边上，则称这个菱形为该三角形的“亲密菱形”.如图1，菱形AEFD为△ABC的“亲密菱形”.
如图2，在△ABC中，以点A为圆心，以任意长为半径作弧，交AB、AC于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP，交BC于点F，过点F作FD//AC，FE//AB．
(1)求证：四边形AEFD是△ABC的“亲密菱形”；
(2)当AB=6，AC=12，∠BAC=45°时，求菱形AEFD的面积.
（第17题图）
18．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE＝AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q．
（1）求∠ABP的度数；
（2）求的值；
（3）若CD边上有且只有2个点G，使△GPD与△GFC相似，请直接写出的值．
19．心理学家通过实验发现：初中学生听讲的注意力随时间变化，讲课开始时，学生注意力逐渐增强，中间有一段平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间表t（分钟）变化的函数图象如下．当0≤t≤10时，图像是抛物线的一部分，当10≤t≤20时和20≤t≤40时，图像是线段．
（1）当0≤t≤10时，求注意力指标数y与时间t的函数关系式；
（2）一道数学探究题需要讲解24分钟，问老师能否经过恰当安排，使学生在探究这道题时，注意力指标数不低于45？请通过计算说明．
20．刘老师在“矩形的折叠”活动课上引导学生对矩形纸片进行折叠．
如图，将矩形纸片折叠，点与点重合，点与点重合，将纸片展开，折痕为，在边上找一点，沿将折叠，得到，点的对应点为点．
(1)问题提出：若点落在上，，连接．
①是______三角形；
②若是等边三角形，则的长为______．
(2)深入探究：在（1）的条件下，当时，判断的形状并证明；
(3)拓展延伸：若，，其他条件不变，当点落在矩形内部包括边时，连接，直接写出的取值范围．
21．如图①②，和均为直角三角形，，，，点C在边EF的延长线上，，射线EM与AD交于点M，（）．
（第21题图）
(1)如图①，当点B落在射线EF上时，EM与BA的延长线相交于点G，则______．
(2)如图②，把绕点C逆时针旋转度（），的值是否保持不变？请仅就图②给出你的证明．
(3)若，在绕点C旋转过程中，直接写出线段AD的最大值和最小值．
22．如图，四边形是矩形，点是延长线一点，连接，垂直平分，垂足为，点在上，点在上，且．
(1)若，，求；
(2)若，求证：．
（第22题图）
宁波市部分学校2023-2024学年高一上学期7月入学分班测试数学参考答案及解析
1．D
【分析】根据坐标“积和”运集的计算规则可知A、B、C、D四个点均在反比例函数图象上，据此即可判断结果．
【详解】设、、、，
则有：，，
，，
依据，得，
令，
则可知、、、均在反比例函数上，
根据题意可设构成的四边形为ABCD，则该四边形的对角线为AC和BD，
根据反比例函数图象的特征可知，四个顶点均在双曲线上的四边形的对角线AC与BD无法使得AC⊥BD，故构成的四边形不可能是菱形，
故选：D．
【点睛】本题虽是选择题但构思巧妙，难度较大，主要考查了反比例函数图象特征以及平行四边形、菱形的判定等知识．根据判断、、、均在反比例函数上是解答本题的关键．
2．B
【分析】用含b的式子表示出抛物线的顶点坐标，然后消去b即可得到所求抛物线的解析式．
【详解】解：∵y＝2x2+bx+1的顶点坐标是，
设x＝，y＝，
∴b＝﹣4x，
∴y＝＝＝1﹣2x2．
∴所求抛物线的解析式为：y＝1﹣2x2．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，用含b的式子表示出抛物线的顶点坐标，然后再消去参数b是解题的关键．
3．D
【分析】令与BC的交点为F，与的交点为M，过点F作FN于点N，根据等边三角形的性质及三角形内心的性质，证明△为等腰三角形，继而证明△△，根据相似三角形对应边成比例的性质，解得，再结合△△及解直角三角形求得，由此可解得DE的长．
【详解】令与BC的交点为F，与的交点为M，过点F作FN于点N，如图，
将△OBC绕点O逆时针旋转30°得到△OB1C1，
点O是边长为2的等边△ABC的内心，
△FOB为等腰三角形，
△△
在△和△中
△△
在△中，
故选：D．
【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心、旋转的性质、等边三角形的性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
4．D
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CG⊥AB于点G，由勾股定理可求BE=4，根据AAS可证△AEB≌△AGC，得CG=BE=4，易证△BDF∽△BAE，得出=，得出DF=，求最小值，即求DF+CD的最小值，由垂线段最短求解即可.
【详解】解：过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CG⊥AB于点G
又于点
∴∠AEB=90°，∠DFB=90°，∠AGC=90°
又∠ABE为公共角
∴△BDF∽△BAE
∴=
又，
∴DF=
∴=DF+CD
∵DF+CD≥CG
∴≥CG
即的最小值为CG的长
在Rt△ABE中
BE===4
∵，∠AEB=90°，∠AGC=90°
又∠A为公共角
∴△AEB≌△AGC（AAS）
∴CG=BE=4
∴的最小值为4
故选：D
【点睛】本题主要考查最短路径中的垂线段最短问题，解决本题借助了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形以及勾股定理求边长，综合性较强，难度较大.
5．D
【分析】根据作图过程及所作图形可知，得出△BCD是等边三角形；又因为，，推出，继而得出；根据，，可知AD为的角平分线，根据三线合一得出AD垂直平分BC；
四边形ABCD的面积等于的面积与的面积之和，为．
【详解】解：∵
∴△BCD是等边三角形
故选项B正确；
∵，
∴
∴
故选项A正确；
∵，
∴据三线合一得出AD垂直平分BC
故选项C正确；
∵四边形ABCD的面积等于的面积与的面积之和
∴
故选项D错误．
故选：D．
【点睛】本题考查的知识点是等边三角形的判定、全等三角形的判定及性质、线段垂直平分线的判定以及四边形的面积，考查的范围较广，但难度不大．
6．B
【分析】先利用待定系数法求出抛物线解析式，和一次函数解析式，根据抛物线对称轴可判断①，利用抛物线的对称轴与x轴的一个交点可求另一交点可判断②，利用抛物线平移和顶点的位置可判断③，利用二次函数图像与一次函数的图象的位置比较大小，可判断④，根据可得出y1=y2，利用对称性与对称轴关系可判断⑤即可．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），
∴，
把B点坐标代入得，
解得，
抛物线，
直线（）与抛物线交于A，B两点，
∴，
解得，
直线，
①∵对称轴为，则
故①正确；
②∵对称轴为直线，与轴的一个交点是，设另一交点为（m，0），
∴1-m=4-1，
∴m=-2，
与轴的另一个交点是，故②正确；
③∵把抛物线向下平移3个单位，得到，
∴顶点坐标变为，即抛物线与只有一个交点，
∴方程有两个相等的实数根，故③正确；
④当时，二次函数图像在一次函数图像的上方
∴，故④正确；
⑤若，即
即，
则关于函数的对称轴对称，
故，即，故⑤错误，
∴命题正确的有①②③④四个．
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线与的交点，以及函数图象上点的坐标特征，要求学生熟练掌握函数与坐标轴的交点，顶点等点坐标的求法以及这些点代表的意义及函数特征．
7．B
【分析】取的中点，连接、、，根据题意得出和全等，然后得出和全等，设，则，，根据题意列出一元一次方程求出的值得出答案．
【详解】取的中点，连接、、，

，，
，，
为等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
∵
，
，
，
，
，
，
，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
设，则，
，
∴
在和中，
，
，
设，则，，
，
，
，
解得，，
即．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，平行线的性质，熟练掌握是解题的关键．
8．C
【分析】本题的等量关系为：冰红茶总价钱+矿泉水总价钱=18，冰红茶瓶数+矿泉水瓶数≥7，然后整理求非负整数解即可.
【详解】解：设买冰红茶x瓶、矿泉水y瓶，
根据题意得 ，（且x、y均为非负整数）
则，
所以有3种购买方式，故选C.
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系，讨论出符合条件的整数解.
9．ACD
【分析】利用待定系数法将各点坐标两两组合代入,求得抛物线解析式为 ,再根据对称轴直线 求解即可得到A选项是正确答案,由抛物线解析式为,令 ,求解即可得到抛物线与x轴的交点坐标（-1,0）和（2,0）,从而判断出B选项不正确,令关于x的一元二次方程 的根的判别式当,解得 ,从而得到C选项正确,根据抛物线图象的性质由 ,推出 ,从而推出 ,得到D选项正确．
【详解】当抛物线图象经过点A和点B时,将A（1,-2）和B（2,-2）分别代入,
得,解得 ,不符合题意,
当抛物线图象经过点B和点C时,将B（2,-2）和C（2,0）分别代入,
得,此时无解,
当抛物线图象经过点A和点C时,将A（1,-2）和C（2,0）分别代入得,解得,因此,抛物线经过点A和点C,其解析式为,抛物线的对称轴为直线 ,故A选项正确,
因为,所以 ,抛物线与x轴的交点坐标是（-1,0）和（2,0）,故B选项不正确,
由得,方程根的判别式 当 , 时, ,当时,即,解得 ,此时关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,故C选项正确,
因为抛物线与x轴交于点（-1,0）和（2,0）,且其图象开口向上,若P（m,n）和Q（m+4,h）都是抛物线上的点,且n<0,得 ,又得 ,
所以h＞0,故D选项正确．
故选ACD．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点 根的判别式 二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用数形结合思想，充分掌握求二次函数的对称轴及交点坐标的解答方法．
10．BD
【分析】连接，，，，交于，在正六边形中求得，推得，易得，，，设，则，分别求得计算即可．
【详解】解：连接，，，，交于，
∵六边形为正六边形，
∴，，
∴，
∴，，，
∴四边形是矩形，
在中，，∴，
故
∴，，
∵，，
∴
则，,
∴，
设，则，
∴，
，
，
，
，
，
故；
；
；
；
故选：BD．
【点睛】本题考查了正多边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积公式，矩形的判定和性质，角所对的直角边等于斜边的一半等，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．
11．BCD
【分析】延长，交于点，根据平行四边形的性质，矩形的性质，以及平行线分线段成比例，逐一进行判断即可．
【详解】如图，延长，交于点，

在平行四边形中，，
，
，与不一定相等，
不一定成立，
即不一定相等，故A选项不符合题意；
在矩形中，
，，
，
在平行四边形中，
，
，
，
，
，
，，
，
，故B选项正确；
，，
，，
在矩形中，
，
，故C选项正确；
点为中点，，
点为中点，同理可得点为中点，
∴，，
设，则，
，，
，
，
，故D选项正确．
故选BCD．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，矩形的性质，平行线分线段成比例，配方法的应用．熟练掌握相关性质，并灵活运用，根据题意正确的画出图形，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
12．ABD
【分析】当为CD中点时，设则，由勾股定理列方程求解，进一步求得的值，进而可判断A的正误；当三边之比为3：4：5时，设，，，由可求a 的值，进一步求得的值，进而可判断B的正误；过点A作，垂足为H，连接，AG，先证，可得，，再证，可得，由此证得周长＝16，进而可判断C的正误；过点E作EM⊥BC，垂足为M，连接交EM，EF于点N，Q，证明，进而可判断D的正误．
【详解】：∵为CD中点，正方形ABCD的边长为8，
∴，
由折叠的性质，设则，
在中，由勾股定理得，即42+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝5，
∴AE＝5，DE＝3，
∴，
故A正确；
当三边之比为3：4：5时，设，，，则，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
故B正确；
过点A作，垂足为H，连接，AG，则，
由折叠的性质可知，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴周长
，
∴当在CD上移动时，周长不变，
故C错误；
如图，过点E作EM⊥BC，垂足为M，连接交EM，EF于点N，Q，
∴，，
∴，
由翻折可知：EF垂直平分，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
，
∴，
故D正确．
故选：ABD．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
13． 90
【分析】（1）设，画出图形，由得，由得，由得，再利用三角形内角和定理得到答案；
（2）求出是定值，点P在以M为圆心，长为半径的圆上，连接，交圆M于点，得到，过点M作，根据三角函数求出，，由勾股定理求出连接，则，当P与重合时，有最小值，求出即可．
【详解】解：（1）设，如图，
则，
由题意可得，M是和中垂线上的点，
∴即，
∵，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，，
在中，有，
∴，
即，
即；
故答案为：90
（2）如图，
∵，
∴，即，
在中，，
∵是定值，
∴是定值，
即点P在以M为圆心，长为半径的圆上，
连接，交圆M于点，
由(1)中结论可知，又，
∴，
又，
∴，
过点M作，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，即，
又，
∴，
连接，则，
当P与重合时，有最小值，
∵，即，即
∴，即最小值为
综上，最小值为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，锐角三角函数，动点问题，勾股定理，正确作出辅助线及掌握各知识点是解题的关键．
14．①②③④⑤
【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△ABG≌Rt△AFG；在直角△ECG中，根据勾股定理可证BG=GC；通过证明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，由平行线的判定可得AG//CF；分别求出S△EGC与S△AFE的面积比较即可；求得∠GAF=45°，∠AGB+∠AED=180°－∠GAF=135°，即可得到答案．
【详解】解：∵AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG = 90°，
∴，
故①正确；
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即：，
解得：，
∴，
∴，
故②正确；
∵，
∴，
∵是等腰三角形，，
∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴，
∴，
∴，
∴，
故③正确；
∵，，
∴，
故④正确；
∵，
又∵，
∴，
∴，
故⑤正确；
故答案为：①②③④⑤．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．
15．
【分析】连接交于点，连接易证得，得到点G为的中点，所以是中位线，可得到，求最小值即为求最小值的一半，随着点E的变化，点M在上动，即当时，有最小值，然后在中，借助三角函数计算即可．
【详解】解：如图，连接交于点，连接，过点作于点N，
∵点为中点，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点G为的中点，
∵点H为的中点，
∴是中位线，
∴，
∴求最小值即为求最小值的一半，随着点E的变化，点M在上动，即当时，有最小值，即最小值=，
∵是的中点，
∴，
∵
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查动点最值，根据条件做出辅助线，利用中位线转化所求线段，然后借助点到线距离垂线段最短计算即可．
16．
【分析】取点D的特殊位置：当点D与点F重合时，当点D在CA延长线与圆A的交点时，当CD与圆A相切时，确定FE的长度都是0.5，从而得到点E的运动轨迹是以点F为圆心，0.5为半径的圆上运动，故而得到线段BE的最大值与最小值，由此得到答案．
【详解】∵△ABC为等边三角形，AB=2，
∴AC=AB=2，
设AC交圆A于点F，
∵点D是以A为圆心，半径为1的圆上一动点，
∴当点D与点F重合时，如图1，FE=0.5，
当点D在CA延长线与圆A的交点时,如图2，FE=0.5，
当CD与圆A相切时，FE=0.5，
故点E在以点F为圆心，0.5为半径的圆上运动，
当点B、F、E三点共线时，线段BE有最大值和最小值，如图4：
∵AF=1，AC=2，
∴FC=1，
∴点F是AC的中点，
∵△ABC是等边三角形，
∴BF⊥AC，
∴BF= ，
线段BE的最大值=，最小值=，
∴线段BE的最大值与最小值之和为，
故答案为：．
【点睛】此题考查圆与动点问题，圆的性质，圆的切线的性质定理，等边三角形的性质，勾股定理，根据题意理解点D运动的路线得到点E的运动轨迹是解题的关键．
17．(1)证明见解析；(2) 四边形的面积为.
【详解】【分析】（1）根据尺规作图可知AF平分∠BAC，再根据DF//AC，可得AD=DF，再由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEFD是平行四边形，继而可得平行四边形AEFD是菱形，根据“亲密菱形”的定义即可得证；
（2）设菱形的边长为a，即DF=AD=a，则BD=6-a，可证得△BDF∽△BAC，根据相似三角形的性质可求得a=4，过D作DG⊥AC，垂足为G，在Rt△ADG中， DG=2，继而可求得面积.
【详解】（1）由尺规作图可知AF平分∠BAC，
∴∠DAF=∠EAF，
∵DF//AC，∴∠DFA=∠EAF，∴∠DAF=∠DFA，∴AD=DF，
∵FD//AC，FE//AB，∴四边形AEFD是平行四边形，
∴平行四边形AEFD是菱形，
∵∠BAC与∠DAE重合，点F点BC上，
∴菱形AEFD为△ABC的“亲密菱形”；
（2）设菱形的边长为a，即DF=AD=a，则BD=6-a，
∵DF//AC，∴△BDF∽△BAC，
∴BD：BA=BF：AC，
即（6-a）:6=a：12，
∴a=4，
过D作DG⊥AC，垂足为G，
在Rt△ADG中，∠DAG=45°，∴DG=AD=2，
∴S菱形AEFD=AE DG=8，
即四边形AEFD的面积为8.
【点睛】本题考查了尺规作图，新概念题，菱形的判定与性质等，正确理解新概念是解题的关键.
18．（1）∠ABP=30°；（2）3；（3）
【分析】（1）证明，推出即可解决问题．
（2）由翻折可知：EF垂直平分PB，设，求出即可解决问题．
（3）如图3﹣1中，作点P关于CD的对称点N，连接FN交CD于G，此时 ，以PF为直径作圆交CD 于，此时 ，．①当点G与G2重合时，满足条件，易证 ，设．构建方程求出a与b的关系即可解决问题．②当G1，与G2重合时，满足条件，此时以PF为直径的圆与CD相切，设，构建方程求出m与n的关系即可解决问题．
【详解】解：（1）∵ ，
∴，
由翻折可知：，
∴ ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵ ，
∴ ，
∴．
（2）由翻折可知：EF垂直平分PB，设，
在中，∵ ，
∴，
在中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）如图3﹣1中，作点P关于CD的对称点N，连接FN交CD于G，此时，以PF为直径作圆交CD 于G1，G2，此时 ，．
①当点G与G2重合时，满足条件，易证，设 ，
则： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
②当G1，与G2重合时，满足条件，此时以PF为直径的圆与CD相切，设 ，
则：, ，
∵，
∴ ，
∴，
∴，，
∴ ．
【点睛】本题属于相似三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.
19．（1）；（2）能，理由见解析．
【详解】试题分析：（1）直接利用待定系数法求二次函数解析式进而得出答案；
（2）首先利用待定系数法求出一次函数解析式，进而令y=45，有45=-x+95，求出x的值，进而得出讲课后注意力不低于45的时间．
（1）当0≤t≤10时，设抛物线的函数关系式为y=ax2+bx+c．由于它的图象经过点（0，25），（4，45），（10，60），
所以，
解得：，
所以；
（2）当20≤x≤40时，设函数解析式为：y=kx+d，将（20，60），（40，25）代入得：
，
解得：
∴，
令y=45，有45=-x+95，
解得：x=，
即讲课后第分钟时注意力不低于45，
当0≤x≤10时，令y=45，有45=-x2+6x+25，
解得：x1=4，x2=20（舍去），
即讲课后第4分钟时，注意力不低于45，
所以讲课后注意力不低于45的时间有（分钟）＞24（分钟），
所以老师可以经过适当的安排，使学生在探究这道数学题时，注意力指数不低于45．
考点：二次函数的应用．
20．(1)①等腰；②1
(2)是等腰直角三角形，证明见解析
(3)的取值范围是
【分析】（1）①根据折叠的性质得出垂直平分，根据垂直平分线的性质即可得出是等腰三角形；
②由折叠得，若是等边三角形，则，根据矩形的性质得出，
（2）由得，根据勾股定理的逆定理得出，证明是直角三角形，进而即可得出结论；
（3）连接，以点为圆心，长为半径作圆交于点，交于点，得出，即点在上运动，连接、、，则，当点落在矩形内部包括边时，则．
【详解】（1）如图1，①将矩形纸片沿折叠，点与点重合，
垂直平分，
，
是等腰三角形，
故答案为：等腰．
②由折叠得，
若是等边三角形，则，
四边形是矩形，
，
故答案为：．
（2）是等腰直角三角形，
证明：如图，由得，
∴，
∵，
∴
∴，
是直角三角形，
，
是等腰直角三角形．
（3）如图，连接，以点为圆心，长为半径作圆交于点，交于点，
，，，
，
，
点在上运动，
连接、、，则，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
当点落在矩形内部包括边时，则，
即，
∴的取值范围是．
【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理，圆外一点到圆的最值问题，轴对称的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
21．(1)
(2)保持不变，见解析
(3)线段AD的最大值为，最小值为
【分析】（1）在Rt△DEF中，根据，，求出，在Rt△ABC中，根据，，求出，在Rt△GEB中，根据，，求出，算出AG，证明，得出即可；
（2）过B点作，交射线EM于点G，连接AG，根据，，证明，得出，，证明，得，进而得出即可；
（3）由题意得，点A在以C为圆心，以CA为半径的圆上移动，当点D、A、C三点共线时，是最小值，是最大值，然后求出DC、AC即可得出答案．
（1）
解：∵在Rt△DEF中，，，
∴，
∵在Rt△ABC中，，，
∴，
，
∴，
∵在Rt△GEB中，
∴
∴，
，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）
保持不变．理由如下：
过B点作，交射线EM于点G，连接AG，
∵，
∴，，
∵在中，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（3）
由题意得，点A在以C为圆心，以CA为半径的圆上移动，如图所示：
∴当点D、A、C三点共线时，是最小值，是最大值，
∵在中，，，
∴，
∵在Rt△ABC中，，，
∴，
∴线段AD的最大值为，最小值为．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，特殊角的三角函数值，勾股定理，三角形相似的判定和性质，平行线的判定和性质，根据题意得出点A在以C为圆心，以CA为半径的圆上移动，当点D、A、C三点共线时，是最小值，是最大值，是解决问题的关键．
22．(1)
(2)见解析
【分析】（1）由垂直平分线的性质可得，由勾股定理可求，的长，即可求解；
（2）在上截取，在上截取，连接．由“”可得，可得，，可证，通过证明，可得，结合题意即可得出，进而得出，最后由三角形中位线的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，连接，
，，
．
垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图，在上截取，在上截取，连接．
在和中，，
∴，
∴，，，
∴．
又∵，
∴，
，
．
，，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．