1.2空间向量基本定理课件——2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册(共20张PPT)

(共20张PPT)
1.2
空间向量基本定理
人教A版（2019）选择性必修第一册
学习目标
1.了解空间向量基本定理及其意义。
2.掌握空间向量的正交分解，会用基底表示空间向量。
3.初步感受并学会用空间向量基本定理解决立体几何问题。
4.核心素养：数学抽象、直观想象、数学运算
一、复习导入
平面向量基本定理
如果和是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数和，使
a= +
若和不共线，我们把{，}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
空间中的任意向量能不能通过有限个向量的线性运算来表示呢？
二、新课讲授
问题1：为了表示空间中的任意向量，我们至少需要几个向量？两个不共线的向量还够用吗？
1、空间向量基本定理
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使得：p=xa+yb
向量的线性运算只能表示其共面的向量，不能表示不共面的向量，所以我们至少需要三个向量
问题2：任给三个向量都可以表示空间中的任意向量吗？
三个向量共面
不能
三个向量不共面
Q
p
P
O
= +
yj
xi
=xi+yj
zk
+zk
我们称xi，yj，zk分别为向量p在i，j，k上的分向量
因此，如果i，j，k是空间中三个来那个量垂直的向量，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序是数组（x，y，z）使得：
p=xi+yj+zk
问题3：如果给定三个不共面的向量不是两两垂直的，能用它们的线性运算表示任意给一个空间向量吗？
O
P
= + ==xa+yb+zk
平面向量基本定理 空间向量基本定理
如果和是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数和，使
a= +
如果三个向量，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组，使
p= + b + c
那么，所有空间向量组成的集合就是
{p丨p= + b + c， ∈R}
空间向量基本定理
如果三个向量，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组，使
p= + b + c
我们把{，b}叫做空间的一个基底， ，b，c都叫做基向量.
注：1、存在性、唯一性；
2、三个向量不共面就隐含着它们都不是零向量．（零向量与任意非零向量共线，与任意两个非零向量共面）
问题4：空间的基底有多少个？需要满足什么条件？
答：无穷多个。任意三个不共面的向量都能构成空间的一个基底。
{，b}是空间的一个基底， ，b，c不共面.
特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{，}表示。
由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可分解为三个向量xi，yj，zk，使a=xi+yj+zk。
像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，就做把空间向量进行正交分解。
平面向量基本定理 空间向量基本定理
如果和是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数和，使：a= + 如果三个向量，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组，使：p= + b + c
平面向量基本定理与空间向量基本定理的联系与区别
{，}
{，b}
二维
三维
平面向量基本定理 空间向量基本定理
如果和是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数和，使：a= + 如果三个向量，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组，使：p= + b + c
{，} {，b}
二维 三维
一维
{a}
向量a（a≠0）与向量b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ ，使：b= λ a
向量共线充要条件
推论:设O、A、B、C是不共面的四个点，则对空间任一点P，都存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使
说明：
若 x ＋ y ＋ z ＝１ ，则根据共面向量定理得： P 、 A 、 B 、 C 四点共面．
三、巩固新知
例1 如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且= ON, = N,用向量， ， 表示
解： = + = +
= + ( )
= + -
= + ( + )
= + +
例2 如图,在平行六面体ABCD－A B C D 中,AB＝4，AD＝4,AA ＝5,∠DAB＝60 ,∠BAA ＝60 ,∠DAA ＝60 ，M，N 分别为D C ，C B 的中点．
求证 MN⊥AC ．
证明：设= = ,= ,这三个向量不共面,{，b}构成空间的一个基底，我们用它们表示， ,则
=+ =
=++ = + +
所以
=( ) (+ +c)
= + -
= cos60°+ cos60° cos60°- -cos60°
=0
所以MN⊥
例3 如图,正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1,E,F,G分别为C'D',A'D',D'D的中点．
（1）求证：EF∥AC ;
（2）求CE与AG所成角的余弦值．
（1）证明：设= = ,= ,则{， }构成空间的一个单位正交基底.所以
=- = = ()
=- =
所以=
所以
（2）解:因为
= =-
= =
cos< , >= = =
所以CE与AG所成角的余弦值为
应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行,可求两条异面直线所成的角等.
首先根据几何体的特点,选择一个基底,把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示.
(1)若证明线线垂直,只需证明两向量数量积为0;
(2)若证明线线平行,只需证明两向量共线;
(3)若要求异面直线所成的角,则转化为两向量的夹角(或其补角).
小结
四、课堂小结
五、作业布置
课本P14：练习 第2、3题