2022-2023 学年度下学期高二学年
齐齐哈尔市恒昌中学期末教学质量检测
数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共 150 分，考试时间 120 分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一．选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 设集合 , ,则 ∩ （ ）
A. B. C. ， D. ，
2. 设命题 , 则﹁ 为（ ）
A. 膀 th B. 膀 th
C. 膀 th D. 膀 th
3. 下列有关事件的说法正确的是（）
A. 事件 h中至少有一个发生的概率一定比 h中恰有一个发生的概率大
B. 若 h h ，则事件 h为对立事件
C. 若 A，B 为互斥事件，则 h
D. 若事件 h 满足条件 h ， 和 为互斥事件，
则 h h h
4. 已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲只用银联卡
结账，顾客乙只用微信和银联卡结账，顾客丁与甲.乙结账方式不同，丙用哪种结账方式都可
以若甲乙丙丁购物后依次结账，那么他们结账方式的组合种数共有（ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5. 设随机变量 ,且满足 , ,则 （ ）
A. B. C. D.
6. 已知 , 则（ ）
A. B. C. D.
7. 某次考试共有8道单选题,某学生对其中7道题有思路, 道题完全没有思路.有思路的题目
每道做对的概率为 0.6,没有思路的题目,只好任意猜一个答案,猜对的概率为 .若从这 8 道
题中任选 道,则这个学生 道题全做对的概率为（ ）
A.0.27 B.0.0375 C.0.3075 D.0.3175
高二数学期末试卷 第 1页 共 5页
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8. 已知函数 的定义域为 ,值域为 ,且 , ,
函数 的最小值为 ,则 （ ）
A. B. C. D.
t
二、多选题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 在每小题给出的选项中，有多个项符合
题目要求的.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 下列命题不正确的是（ ）
A. 是 的充分不必要条件,
B.
C. 若 ,则
D. 设 , 为两个集合,若 不包含于 ,则 ,使得
10. 已知 是定义在 上的奇函数， 是定义在 上的偶函数，且 ， 在
单调递增，则（ ）
A. t B. t
C. t D. t
11. 某地区高三女生的“ 米跑”测试成绩 (单位:秒)服从正态分布 ,且 ≤
.从该地区高三女生的“ 米跑”测试成绩中随机抽取 个,其中成绩在 内的个
数记为 ,则下列说法正确的有（ ）
A. B.
t
C. D. ≥
12. 如图是导函数 的导函数的图像,则下列说法正确的是（ ）
A. 函数 在区间 t 上单调递增
B. 函数 在区间 上单调递减
C. 函数 在 处取极小值
D. 函数 在 处取极大值
高二数学期末试卷 第 2页 共 5页
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第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
三、填空题：本大题 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 把正确答案填在题中横线上.
13. “石头、剪刀、布”是民间广为流传的游戏,游戏时双方每次任意出“石头”、“剪刀”、
“布”这三种手势中的一种,那么游戏时“双方所出的手势相同”的概率为__________.
14. 设函数
则 __________.
15. 如图所示,靶子由一个中心圆面 和两个同心圆环 , 构成,射
手命中 , , 的概率分别为 ， ， ,则不命中靶的概率是
__________.
16. 盲盒常指装有不同公仔手办,但消费者不能提前得知款式的盒装玩具,一般按系列贩售.
它的随机性和一些隐藏款吸引着很多年轻人重复购买.小明购买了7个冰墩墩单只盲盒,拆开后
发现有 3 个相同的“竹林春熙”以及“海晏河清”、“冰雪派对”、“青云出岫”、“如意东
方”各 个.小明想将这 7 个摆件排成一排,要求相同的摆件不相邻.若相同摆件视为相同元素,
则一共有__________种摆放方法.
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. （本题满分 10 分）已知 .
(1)求 的值;
(2)求 的值.
18. （本题满分 12 分）作为一种益智游戏,中国象棋具有悠久的历史,中国象棋的背后,体现的
是博大精深的中华文化.为了推广中国象棋,某地举办了一次地区性的中国象棋比赛,李夏作为
选手参加.除李夏以外的其他参赛选手中, 是一类棋手, 是二类棋手,其余的是三类棋
手.李夏与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是 和 .
(1)从参赛选手中随机选取一位棋手与李夏比赛,求李夏获胜的概率;
(2)如果李夏获胜,求与李夏比赛的棋手为一类棋手的概率.
高二数学期末试卷 第 3页 共 5页
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19. （本题满分 12 分）已知函数 .
(1)若 在 处的切线方程为 ,求实数 的值;
(2)记 ,若 在 时有极值 ,求实数 的值.
20. （本题满分 12 分）近几年我国新能源汽车产业发展迅速.下表是某省新能源汽车的年销售
量与年份的统计表:
年份 2018 2019 2020 2021 2022
年销售量（万台） 13 22 25 20 40
某机构调查了该省 200 位购车车主的性别与购车种类情况,得到的部分数据如下表所示:
购置传统燃油汽车 购置新能源汽车 总计
男性车主 30 150
女性车主 30
总计 200
(1)求新能源汽车的销售量 关于年份 的样本相关系数 ,并推断 与 的相关程度;
(2)请将上述 列联表补充完整,并根据小概率值 的 独立性检验,判断购车
车主购置新能源汽车是否与性别有关.
参考公式:相关系数 ,
参考数据: ≈ ,若 ,则可判断 与 相关程度很强.
卡方统计量 ,其中
高二数学期末试卷 第 4页 共 5页
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附表:
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
21. （本题满分 12 分）据世界田联官方网站消息，原定于 年 月 、 日在中国广州举
办的世界田联接力赛延期至 年 月至 月举行.据了解，甲、乙、丙三支队伍将会参加
年 月至 月在广州举行的 米接力的角逐.接力赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、
半决赛都获胜才能进入决赛.已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为 和 ；乙队在预赛和
半决赛中获胜的概率分别为 和 ；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为 和 .
(1)甲、乙、丙三队中，谁进入决赛的可能性最大；
(2)设甲、乙、丙三队中进入决赛的队伍数为 ，求 的分布列.
22. （本题满分 12 分）已知函数 ,其中 为实数.
(1)若 ,求函数 的最小值.
(2)若方程 有两个实数解 ,求证： .
高二数学期末试卷 第 5页 共 5页
{#{QQABQQCAggCAAABAARBCQw3QCgAQkgEAAAgGQEAcIEAASRNABCA=}#}2022-2023 学年下学期高二数学期末答案
一、选择题（每小题 5分，共 8小题 40 分）
1. 设集合 ā ā , ,则 （）
A. B. C. ， D. ，
【答案】B
【解析】集合 ā ā ,而 ,
所以 . 故选:B.
2. 设命题 th hth , 则﹁ 为（）
A. th hth B. th hth
C. th hth D. th hth
【答案】D
【解析】存在量词命题的否定为全称量词命题 故选:D.
3. 下列有关事件的说法正确的是（）
A. 事件 A，B 中至少有一个发生的概率一定比 A，B 中恰有一个发生的概率大
B. 若 ，则事件 A，B 为对立事件
C. 若 A，B 为互斥事件，则
D. 若事件 A，B，C 满足条件 ā ， 和 为互斥事件，
则 ā ā ā
【答案】C
【解析】对于 A，若事件 和 都为不可能事件．所以 A 错误； 对于 B，若在不同试验下，虽然有
，但事件 和 不对立．若在同一试验下，说明事件 和 对立，
则 B 错误； 对于 C， 互斥，若 对立，则 ，若 不对立，则
，C 正确；若事件 A，B，C 满足条件 ā ， 和 为互斥事件，则 ā
ā ā ，则 D 错误， 故选：C．
4. 已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲只用银联卡结账，顾客乙
只用微信和银联卡结账，顾客丁与甲.乙结账方式不同，丙用哪种结账方式都可以若甲乙丙丁购物后依次结
第 1页，共 12页
{#{QQABQQCAggCAAABAARBCQw3QCgAQkgEAAAgGQEAcIEAASRNABCA=}#}
账，那么他们结账方式的组合种数共有（）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
【答案】A
【解析】当乙用银联卡结算时，此时甲和乙都用银联卡结算，所以丁有 3 种方法，丙有 4 种方法， 共有
种方法；当乙用微信结算时，此时甲用银联卡结算，丁有 2 种方法，丙有 4 种方法，共有
种方法， 综上，共有 种方法. 故选：A
5. 设随机变量 dā 6 ,且满足 ā1 , ㈠ ,则 （）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依题意可知, 6 6 ā1 ,即6ā 6 1ā ,
解得 1 或 1 .又 ㈠ ,
所以 ㈠ 6㈠ 6 ㈠ ā ā 6 6 ,所以 6 6 ,解得
ā .
所以 1 . 故选:A.
6. 已知 th ā h
ā th ā t
th
ā , 则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为 th ā th
ā ā
ā h th ā ā th ā th , , ,由ā
,所以 ,由 ,而 ,则
,所以 ,综上: , 故选:B
7. 某次考试共有 8道单选题,某学生对其中 7道题有思路,1道题完全没有思路.有思路的题目每道做对的概
率为 0.6,没有思路的题目,只好任意猜一个答案,猜对的概率为 .若从这 8道题中任选 道,则这个学生 道
题全做对的概率为（）
A.0.27 B.0.0375 C. 0.3075 D.0.3175
第 2页，共 12页
{#{QQABQQCAggCAAABAARBCQw3QCgAQkgEAAAgGQEAcIEAASRNABCA=}#}
【答案】C
C
【解析】设事件 表示“两道题全做对”,若两个题目都有思路,则p × 16 1 C ,若两个题目中一个8
C C
有思路一个没有思路,则p × 16 × 1 5 1 5C ,8
故 1 5,故选:C.
8. 已知函数 的定义域为 ,值域为 ,且 , ā ā,函数
的最小值为 ,则 （）
A. B. C. D.
㈠ ā ㈠
【答案】D
【解析】方法一
令 ,有 ,则 满足 .
又因为 ,
所以 ,
因为 ,
所以 ,
所以 ā ā ā
ā
=,
ā ā
ā
所以 6
6
8 6 6 6 .
方法二:抽象出特殊函数 ,其满足题目要求,从而快速求得答案
6 6 8 6 6 6 故选:D.
二、多选题（每小题 5分，共 4小题 20 分）
9. 下列命题不正确的是（）
A. 是 的充分不必要条件,
B.
C. 若 ,则
第 3页，共 12页
{#{QQABQQCAggCAAABAARBCQw3QCgAQkgEAAAgGQEAcIEAASRNABCA=}#}
D. 设 , 为两个集合,若 不包含于 ,则 ,使得
【答案】AC
【解析】由 可知 或 ,所以 是 的必要不充分条件,所以 A 不正确; 当
时, ,所以 B 正确;若 ,则 ,不正确,例如 , ,所以 C 不正确 ;由集合间的基
本关系可知,D 正确;故选:AC.
10. 已知 是定义在 上的奇函数， 是定义在 上的偶函数，且 ， 在 单调递
增，则（）
A. ā B. h h ā
C. h ā D. h h h ā
【答案】B,C
【解析】因为 是定义在 上的奇函数， 是定义在 上的偶函数，且两函数在 上单调递
增，所以 在 上单调递增， 在 上单调递减， 在 上单调递增，所以
，所以 ， h h ā ，h ā ， 所
以 BC 正确，A 错误； 若 h ā ，则 h h h ā ，D 错误. 故选：BC
11. 某地区高三女生的“ 米跑”测试成绩 (单位:秒)服从正态分布 ,且 8 1 .从该地区
高三女生的“ 米跑”测试成绩中随机抽取 个,其中成绩在 8 内的个数记为 ,则下列说法正确的有
（）
A. 8 16 B. 1 5
C. D. 1
【答案】A,C,D
【解析】A.因为 d μ ,正态分布密度曲线的对称轴为 ,
根据对称性可知, 8 1 8 8 16 ,故 A 正确; B.
15 1 1
,
所以 1 5 ,故 B 错误;
C. , ,故 C 正确;
第 4页，共 12页
{#{QQABQQCAggCAAABAARBCQw3QCgAQkgEAAAgGQEAcIEAASRNABCA=}#}
D. , ,
,故 D 正确.
故选:ACD.
12. 如图是导函数 的导函数的图像,则下列说法正确的是（）
A. 函数 在区间 上单调递增
B. 函数 在区间 上单调递减
C. 函数 在 处取极小值
D. 函数 在 处取极大值
【答案】A,D
【解析】由图像可知,当 时, ,则函数 单调递增,
当 时, ,则函数 单调递减,
所以当 时,函数 有极大值,故 A,D 正确,;
当 时, ,则函数 单调递增,故 B 错误;
当 时, ,则函数 单调递增,
当 时, ,则函数 单调递增,
所以 不是函数 的极值点,故 C 错误.
故选:AD.
三、填空题（每小题 5分，共 4小题 20 分）
13. “石头、剪刀、布”是民间广为流传的游戏,游戏时双方每次任意出“石头”、“剪刀”、“布”这
三种手势中的一种,那么游戏时“双方所出的手势相同”的概率为__________.
【答案】
第 5页，共 12页
{#{QQABQQCAggCAAABAARBCQw3QCgAQkgEAAAgGQEAcIEAASRNABCA=}#}
【解析】游戏时,双方所出的手势共有 种;其中“双方所出的手势相同”有 种; “双方所出的手势
相同”的概率 .
14. 设函数 t 则 __________.
【答案】1
【解析】由 6 5 × t .故答案为:1.
15. 如图所示,靶子由一个中心圆面 和两个同心圆环 , 构成,射手命中 , , 的概率分别为
1 5， 1 ， 1 ,则不命中靶的概率是__________.
【答案】0.22
【解析】故射手不中靶的概率为,1-0.15-0.23-0.4=0.22
16. 盲盒常指装有不同公仔手办,但消费者不能提前得知款式的盒装玩具,一般按系列贩售.它的随机性和
一些隐藏款吸引着很多年轻人重复购买.小明购买了 7 个冰墩墩单只盲盒,拆开后发现有 3 个相同的“竹林
春熙”以及“海晏河清”、“冰雪派对”、“青云出岫”、“如意东方”各 个.小明想将这 7 个摆件排成
一排,要求相同的摆件不相邻.若相同摆件视为相同元素,则一共有__________种摆放方法.
【答案】240
【解析】记 3 个相同的“竹林春熙”为 , , “海晏河清”为 B“冰雪派对”为 C,“青云出岫”为
D“如意东方”为E,先摆放 , , ,E 一共有A 种摆放方式,再将 3个 插空放入, 有C
5 种摆
放方式,所以,一共有 24×10=240 种摆放方式.
四、解答题（第 17 题 10 分，第 18 题 12 分，第 19 题 12 分，第 20 题 12 分，第 21 题 12 分，第 22 题 12
分，共 6小题 70 分）
17. 已知 ā ā ā .
(1)求
8的值;
(2)求 的值.
【答案】见解析
第 6页，共 12页
{#{QQABQQCAggCAAABAARBCQw3QCgAQkgEAAAgGQEAcIEAASRNABCA=}#}
【解析】(1)令 ,可得 ,…………………………………………………………………………………………1 分
令
,可得 ……………………………………………………………………3 分
所以
所以
8 , ……………………………………………5 分
(2)因为 ā āā ,
则 ā ā ā ……………………………………………………………………………8 分
令 ,则. 8………………………………………………………………………10 分
18. 作为一种益智游戏,中国象棋具有悠久的历史,中国象棋的背后,体现的是博大精深的中华文化.为了推
广中国象棋,某地举办了一次地区性的中国象棋比赛,李夏作为选手参加.除李夏以外的其他参赛选手
中, %是一类棋手, %是二类棋手,其余的是三类棋手.
李夏与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是 0.2、 和 .
(1)从参赛选手中随机选取一位棋手与李夏比赛,求李夏获胜的概率;
(2)如果李夏获胜,求与李夏比赛的棋手为一类棋手的概率.
【答案】见解析
【解析】(1)设 “李夏与第 ( , , )类棋手相遇”,根据题意 1 1 1 ,
记 “李夏获胜”,则有 1 , , ,………3 分
由全概率公式,
李夏在比赛中获胜的概率为
1 × 1 1 × 1 1 × 15 1 5.
所以李夏获胜的概率为 0.35. ……………………………………………………………………………………………7 分
(2) 李夏获胜时,则与李夏比赛的棋手为一类棋手的概率为
1 × 1 8
1 5 5.
即李夏获胜,对手为一类棋手的概率为 8 5. ……………………………………………………………………………12 分
19. 已知函数 .
(1)若 在 处的切线方程为 5 ,求实数 的值;
第 7页，共 12页
{#{QQABQQCAggCAAABAARBCQw3QCgAQkgEAAAgGQEAcIEAASRNABCA=}#}
(2)记 ,若 在 时有极值 ,求实数 的值.
【答案】见解析
【解析】(1)函数 ,求导得, ……………………………………………………1 分
因 在 处的切线方程为 5 ,
5
则 5 ,解得 ,
所以 . ……………………………………………………………………………………………………………4 分
(2)依题意, ,求导得 , ………………………………5 分
因 在 时有极值 ,
则 ,解得 或
, ………………………………………………………8 分
当 时 , , 当 时, ,当
时, , 则函数 在 时有极值 ,所以
当 时, , 当 时, ,当
时, ,则函数 在 时有极值 ,所以, . ……………………………………………11 分
综上，符合题意的 的值为 或 ,……………………………………………………………………………12 分
20. 近几年我国新能源汽车产业发展迅速.下表是某省新能源汽车的年销售量与年份的统计表:
年份 2018 2019 2020 2021 2022
年销售量（万台） 13 22 25 20 40
某机构调查了该省 200 位购车车主的性别与购车种类情况,得到的部分数据如下表所示:
购置传统燃油汽车 购置新能源汽车 总计
男性车主 30 150
女性车主 30
总计 200
(1)求新能源汽车的销售量 关于年份 的样本相关系数 ,并推断 与 的相关程度;
第 8页，共 12页
{#{QQABQQCAggCAAABAARBCQw3QCgAQkgEAAAgGQEAcIEAASRNABCA=}#}
(2)请将上述 列联表补充完整,并根据小概率值 的 独立性检验,判断购车车主购置新能源
汽车是否与性别有关.
参考公式:相关系数 ,
卡方统计量 ,其中 .
参考数据: 8 ≈ 6 1 ,若 ,则可判断 与 相关程度很强.
附表:
【答案】见解析
(1)依题意x 8 y 5 【解析】 5 5 ,.
故 5i xi x yi y × × × × 6 5 ,
, 5 i yi y 6 56 8 , ………………………5 分
5 5
则 , ≈ ≈ 18 1 5 × 8 6 1
故 与 相关程度很强. ……………………………………………………………………………………………………6 分
(2) 列联表如下:
第 9页，共 12页
{#{QQABQQCAggCAAABAARBCQw3QCgAQkgEAAAgGQEAcIEAASRNABCA=}#}
购置传统燃油汽车 购置新能源汽车 总计
男性车主 120 30 150
女性车主 30 20 50
总计 150 50 200
……………8 分
零假设 :购车车主是否购置新能源乘用车与性别无关. …………………………………………………………9 分
根据 列联表中的数据,可得χ × × × 18 , …………………………………11 分
5 ×5 × 5 ×5
根据小概率值 的 独立性检验,我们推断 不成立,
即认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关,此推断犯错误的概率不超过 .……………12 分
21. 据世界田联官方网站消息，原定于 年 月 、 日在中国广州举办的世界田联接力赛延期至
年 月至 月举行.据了解，甲、乙、丙三支队伍将会参加 年 月至 月在广州举行的 米接力的角
逐.接力赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛.已知甲队在预赛和半决赛中
获胜的概率分别为 和5；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为
和 ；丙队在预赛和半决赛中获胜的概
率分别为 和 .
(1)甲、乙、丙三队中，谁进入决赛的可能性最大；
(2)设甲、乙、丙三队中进入决赛的队伍数为 ，求 的分布列.
【答案】见解析
【解析】(1) 甲队进入决赛的概率为 ，
乙队进入决赛的概率为 ，
丙队进入决赛的概率为 ，
显然甲队进入决赛的概率最大，所以甲进入决赛的可能性最大. ……………………………………………5 分
(2)由(1)可知：甲、乙、丙三队进入决赛的概率分别为 , , ，
的可能取值为 ， ， ， ，
第 10页，共 12页
{#{QQABQQCAggCAAABAARBCQw3QCgAQkgEAAAgGQEAcIEAASRNABCA=}#}
，
，
，
，…………10 分
所以 的分布列为： …………………………………12 分
22. 已知函数 ,其中 为实数.
(1)若 ,求函数 的最小值.
(2)若方程 有两个实数解 ,求证： .
【答案】见解析
【解析】(1)当 时, ,则 , ………………………………………………………………1 分
由 得 ,
当 时, ;当 时, . ………………………………………………2 分
在 上单调递减,在 上单调递增, ……………………………………………………………3 分
. ………………………………………………………………………………………………………4 分
(2)证明:方法 1:由题意得 ,令 ,
两式相除得 ,变形得 . …………………………………………………………6 分
欲证 ,即证 ,即证 . …………………………………………8 分
记 , ,
故 在 上单调递减, …………………………………………………………………………………………10 分
第 11页，共 12页
{#{QQABQQCAggCAAABAARBCQw3QCgAQkgEAAAgGQEAcIEAASRNABCA=}#}
从而 ,即 ,所以 得证. …………………………………12 分
方法 2:由题意得:
由(1)可知 , ,令 ,则 ,则 ,两式相除得
, , ,
欲证 ,即证 ,即证 .…………………………7 分
记 , ,
令 , ,
故 在 上单调递减,则 , …………………………………………………………………10 分
即 ,∴ 在 上单调递减,从面 ,
∴ 得证,
即 得证……………………………………………………………………………………………………12 分
第 12页，共 12页
{#{QQABQQCAggCAAABAARBCQw3QCgAQkgEAAAgGQEAcIEAASRNABCA=}#}
