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湖南省邵阳市2023年中考数学试卷
一、单选题
1．（2023·邵阳）的倒数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·邵阳）下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·邵阳）党的二十大报告提出，要坚持以文塑旅、以旅彰文，推进文化和旅游深度融合发展．湖南是文化旅游资源大省，深挖红色文化、非遗文化和乡村文化，推进文旅产业赋能乡村振兴．湖南红色旅游区（点）2022年接待游客约165000000人次，则165000000用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·邵阳）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·邵阳）如图，直线被直线所截，已知，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·邵阳）不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·邵阳）有数字4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是5的倍数的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·邵阳）如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图像上，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·邵阳）如图，在四边形中， ，若添加一个条件，使四边形为平形四边形，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·邵阳）已知是抛物线（a是常数，上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线；②点在抛物线上；③若，则；④若，则其中，正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2019·苏州模拟）的立方根是 ．
12．（2020·连云模拟）分解因式：3a2+6ab+3b2= .
13．（2023·邵阳）分式方程的解是 ．
14．（2023·邵阳）下表是小红参加一次“阳光体育”活动比赛的得分情况：
项目 跑步 花样跳绳 跳绳
得分 90 80 70
评总分时，按跑步占，花样跳绳占，跳绳占考评，则小红的最终得分为 ．
15．（2023·邵阳）如图，是的直径，是的弦，与相切于点，连接，若，则的大小为 ．
16．（2023·邵阳）如图，某数学兴趣小组用一张半径为的扇形纸板做成一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的面积为 ．（结果保留）
17．（2023·邵阳）某校截止到年底，校园绿化面积为平方米．为美化环境，该校计划年底绿化面积达到平方米．利用方程想想，设这两年绿化面积的年平均增长率为，则依题意列方程为 ．
18．（2023·邵阳）如图，在矩形中，，动点在矩形的边上沿运动．当点不与点重合时，将沿对折，得到，连接，则在点的运动过程中，线段的最小值为 ．
三、解答题
19．（2023·邵阳）计算：．
20．（2023·邵阳）先化简，再求值：，其中．
21．（2023·邵阳）如图，，点是线段上的一点，且．已知．
（1）证明：．
（2）求线段的长．
22．（2023·邵阳）低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．低碳环保，绿色出行成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台元，乙型自行车进货价格为每台元．该公司销售台甲型自行车和台乙型自行车，可获利元，销售台甲型自行车和台乙型自行车，可获利元．
（1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？
（2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共台，且资金不超过元，最少需要购买甲型自行车多少台？
23．（2023·邵阳）某市对九年级学生进行“综合素质”评价，评价的结果为A（优）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级．现从中随机抽测了若干名学生的“综合素质”等级作为样本进行数据处理，并作出了如下频数分布图和如图（八）所示的条形统计图（不完整）．请根据图表中的信息回答下列问题．
等级 频数 频率
A a 0.2
B 1600 b
C 1400 0.35
D 200 0.05
（1）求频数分布表中a，b的值．
（2）补全条形统计图．
（3）该市九年级学生约人，试估计该市有多少名九年级学生可以评为“A”级．
24．（2023·邵阳）我国航天事业捷报频传，2023年5月30日，被誉为“神箭”的长征二号F运载火箭托举神舟十六号载人飞船跃入苍穹中国空间站应用与发展阶段首次载人发射任务取得圆满成功，如图（九），有一枚运载火箭从地面处发射，当火箭到达处时，地面处的雷达站测得距离是，仰角为．，火箭直线到达处，此时地面处雷达站测得处的仰角为．求火箭从到处的平均速度（结果精确到）．（参考数据：）
25．（2023·邵阳）如图，在等边三角形中，为上的一点，过点做的平行线交于点，点是线段上的动点（点不与重合）．将绕点逆时针方向旋转，得到，连接交于．
（1）证明：在点的运动过程中，总有．
（2）当为何值时，是直角三角形？
26．（2023·邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，且与直线交于两点（点在点的右侧），点为直线上的一动点，设点的横坐标为．
（1）求抛物线的解析式．
（2）过点作轴的垂线，与拋物线交于点．若，求面积的最大值．
（3）抛物线与轴交于点，点为平面直角坐标系上一点，若以为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：由题意得的倒数是，
故答案为：C
【分析】根据倒数的定义结合题意即可求解。
2．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：
A、是中心对称图形，A符合题意；
B、不是中心对称图形，B不符合题意；
C、不是中心对称图形，C不符合题意；
D、不是中心对称图形，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据中心对称图形的定义结合题意即可求解。
3．【答案】B
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：由题意得165000000用科学记数法可表示为，
故答案为：B
【分析】 把一个数写成a×10的形式(其中1＜|a|≤10 ， n为整数) ，这种记数的方法叫做科学记数法。
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；分式的混合运算；零指数幂；幂的乘方
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据同底数幂的除法、幂的乘方、分式的化简、零指数幂进行运算，进而即可求解。
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：
由题意得∠3=∠2，
∵，
∴∠1=∠3=∠2=50°，
故答案为：B
【分析】先根据对顶角即可得到∠3=∠2，进而根据平行线的性质即可求解。
6．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得，
解①得x＜1，
解②得x≥-2，
∴不等式组的解集为-2≤x＜1，
∴在数轴上可表示为，
故答案为：A
【分析】先分别解①和②，进而即可得到不等式组的解集，再表示在数轴上即可求解。
7．【答案】C
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：由题意得可摆出456，465，564，546，654，645，
∴摆出的三位数是5的倍数的是465，645，
∴摆出的三位数是5的倍数的概率是，
故答案为：C
【分析】先根据题意列举出可能的三位数，进而根据等可能事件的概率结合题意即可求解。
8．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵点的坐标为，
∴k=8，
∴反比例函数，
设正方形的边长为a，则点E（2+a，a），
∴a（2+a）=8，
解得a=2或-4（舍去）
∴E（4，2），
故答案为：D
【分析】先根据点B的坐标即可得到反比例函数，再设正方形的边长为a，则点E（2+a，a），进而根据题意即可求解。
9．【答案】D
【知识点】平行线的判定；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：
A、添加无法使四边形为平形四边形，A不符合题意；
B、添加无法使四边形为平形四边形，B不符合题意；
C、添加无法使四边形为平形四边形，C不符合题意；
D、∵，
∴∠C＋∠ABC=180°，
∵，
∴∠A+∠ABC=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据平行线的判定结合平行四边形的判定即可求解。
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：
①抛物线的对称轴是直线，①正确；
②当x=0时，y=3，
∴点在抛物线上，②正确；
③当a＜0时，y1＜y2，
当a＞0时，y1＞y2，③错误；
④由题意得，
∴，④错误；
故答案为：B
【分析】根据二次函数的对称轴公式即可判断①；将x=0代入求出y即可判断②；根据二次函数系数与开口关系结合题意即可判断③；根据二次函数图象的对称性即可判断④。
11．【答案】2
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：∵=8，
∴的立方根是2；
故答案为：2．
【分析】根据算术平方根的定义先求出，再根据立方根的定义即可得出答案．
12．【答案】3（a+b）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：3a2+6ab+3b2=3（a2+2ab+b2）=3（a+b）2.
故答案为：3（a+b）2.
【分析】先提取公因式3，再根据完全平方公式进行二次分解.
13．【答案】
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母，得2（x-2）-x=0，
解得x=4，
经检验，x=4为原方程的解，
故答案为：
【分析】根据题意直接解分式方程即可求解。
14．【答案】分
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：由题意得小红的最终得分为90×50%+80×30%+70×20%=83（分），
故答案为：83
【分析】根据加权平均数的计算方法结合题意即可求解。
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：
∵与相切于点，
∴∠OBC=90°，
∵，
∴∠OBA=25°，
∵OB=OA，
∴∠DAB=25°，
∴∠DOB=50°，
故答案为：50°
【分析】先根据切线的性质即可得到∠OBC=90°，进而结合题意即可得到∠OBA=25°，再根据等腰三角形的性质结合圆周角定理即可求解。
16．【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：由题意得这张扇形纸板的面积为，
故答案为：
【分析】根据圆锥侧面积的计算方式结合题意即可求解。
17．【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设这两年绿化面积的年平均增长率为，由题意得，
故答案为：
【分析】设这两年绿化面积的年平均增长率为，由题意即可得到2023年底绿化面积为1000（1+x），则2024年底绿化面积为，进而即可求解。
18．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；点与圆的位置关系；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵矩形中，，
∴，
由勾股定理得，
①当点P在CB上时，如图所示：
∴BA=B'A=2，
∴点B'位于以A为圆心，2为半径的圆上运动，
故当A，C，B'三点共线时，CB'最短，
∴；
②当点P在AD上时，如图所示：
由题意得；
③当点P位于CD上时，如图所示：
由题意得；
综上所述，线段的最小值为，
故答案为：
【分析】先根据矩形的性质结合折叠的性质即可得到，进而根据勾股定理即可得到CA的长，然后运用圆外一点到圆上的距离进行分类讨论即可求解。
19．【答案】解：
．
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；负整数指数幂；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】运用特殊三角形函数值、负整数指数幂、绝对值进行运算，进而即可求解。
20．【答案】解：
当时，
原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据完全平方公式、平方差公式进行运算，进而代入求值即可求解。
21．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得：．
【知识点】垂线；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据垂线的定义即可得到，，进而得到，再根据相似三角形的判定即可求解；
（2）根据相似三角形的性质即可得到，进而代入数值即可求解。
22．【答案】（1）解：该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为元，根据题意得，
，
解得：，
答：该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为元；
（2）解：设需要购买甲型自行车台，则购买乙型自行车台，依题意得，
，
解得：，
∵为正整数，
∴的最小值为，
答：最少需要购买甲型自行车台．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为元，根据“公司销售台甲型自行车和台乙型自行车，可获利元，销售台甲型自行车和台乙型自行车，可获利元”即可列出方程组，进而即可求解；
（2）设需要购买甲型自行车台，则购买乙型自行车台，由题意即可列出不等式，进而得到a的取值范围，再根据题意即可求解。
23．【答案】（1）解：样本容量：，
则，
故的值为，的值为．
（2）解：如图
（3）解：(名)
答：该市约有名九年级学生可以评为“A”级．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；条形统计图
【解析】【分析】（1）先根据题意求出样本容量，进而即可求出a和b的值；
（2）根据题意补全条形统计图即可求解；
（3）根据样本估计总体的知识直接运算即可求解。
24．【答案】解：依题意，得，，，，
在中，，
，
在中，，
∴，
∴火箭从到处的平均速度为，
答：火箭从到处的平均速度为．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据题意运用解直角三角形的知识即可求解。
25．【答案】（1）证明：∵等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵绕点逆时针方向旋转，得到，
∴，
∴时等边三角形，
∴，
∴，
∴四点共圆，
∴，
∴．
（2）解： 如图，根据题意，只有当 时，成立，
∵ 绕点 逆时针方向旋转 ，得到 ，
∴ ，
∴ 时等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵等边三角形 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】平行线的性质；等边三角形的性质；圆内接四边形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）先根据等边三角形的性质即可得到，，再根据平行线的性质即可得到，进而根据旋转的性质得到，进而结合题意得到四点共圆，进而即可求解；
（2）
26．【答案】（1）解：∵抛物线经过点和点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：∵抛物线与直线交于两点，（点在点的右侧）
联立，
解得：或，
∴，
∴，
∵点为直线上的一动点，设点的横坐标为．
则，，
∴，当时，取得最大值为，
∵，
∴当取得最大值时，最大，
∴，
∴面积的最大值；
（3）解：∵抛物线与轴交于点，
∴，当时，，即，
∵，
∴，
，，
①当为对角线时，，
∴，
解得：，
∴，
∵的中点重合，
∴，
解得：，
∴，
②当为边时，
当四边形为菱形，
∴，
解得：或，
∴或，
∴或，
由的中点重合，
∴或，
解得：或，
∴或，
当时；
如图所示，即四边形是菱形，
点的坐标即为四边形为菱形时，的坐标，
∴点为或，
综上所述，点为或或或或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；菱形的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）运用待定系数法求二次函数即可得到解析式；
（2）联立抛物线和直线即可得到，进而得到，设点的横坐标为，则，，然后即可表示MN的长，进而根据三角形的面积结合题意即可求解。
（3）先根据题意求出点C的坐标，再根据两点间的距离公式即可得到BC和BM2的长，然后进行分类讨论结合菱形的性质即可求解。
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湖南省邵阳市2023年中考数学试卷
一、单选题
1．（2023·邵阳）的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：由题意得的倒数是，
故答案为：C
【分析】根据倒数的定义结合题意即可求解。
2．（2023·邵阳）下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：
A、是中心对称图形，A符合题意；
B、不是中心对称图形，B不符合题意；
C、不是中心对称图形，C不符合题意；
D、不是中心对称图形，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据中心对称图形的定义结合题意即可求解。
3．（2023·邵阳）党的二十大报告提出，要坚持以文塑旅、以旅彰文，推进文化和旅游深度融合发展．湖南是文化旅游资源大省，深挖红色文化、非遗文化和乡村文化，推进文旅产业赋能乡村振兴．湖南红色旅游区（点）2022年接待游客约165000000人次，则165000000用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：由题意得165000000用科学记数法可表示为，
故答案为：B
【分析】 把一个数写成a×10的形式(其中1＜|a|≤10 ， n为整数) ，这种记数的方法叫做科学记数法。
4．（2023·邵阳）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；分式的混合运算；零指数幂；幂的乘方
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据同底数幂的除法、幂的乘方、分式的化简、零指数幂进行运算，进而即可求解。
5．（2023·邵阳）如图，直线被直线所截，已知，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：
由题意得∠3=∠2，
∵，
∴∠1=∠3=∠2=50°，
故答案为：B
【分析】先根据对顶角即可得到∠3=∠2，进而根据平行线的性质即可求解。
6．（2023·邵阳）不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得，
解①得x＜1，
解②得x≥-2，
∴不等式组的解集为-2≤x＜1，
∴在数轴上可表示为，
故答案为：A
【分析】先分别解①和②，进而即可得到不等式组的解集，再表示在数轴上即可求解。
7．（2023·邵阳）有数字4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是5的倍数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：由题意得可摆出456，465，564，546，654，645，
∴摆出的三位数是5的倍数的是465，645，
∴摆出的三位数是5的倍数的概率是，
故答案为：C
【分析】先根据题意列举出可能的三位数，进而根据等可能事件的概率结合题意即可求解。
8．（2023·邵阳）如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图像上，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵点的坐标为，
∴k=8，
∴反比例函数，
设正方形的边长为a，则点E（2+a，a），
∴a（2+a）=8，
解得a=2或-4（舍去）
∴E（4，2），
故答案为：D
【分析】先根据点B的坐标即可得到反比例函数，再设正方形的边长为a，则点E（2+a，a），进而根据题意即可求解。
9．（2023·邵阳）如图，在四边形中， ，若添加一个条件，使四边形为平形四边形，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的判定；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：
A、添加无法使四边形为平形四边形，A不符合题意；
B、添加无法使四边形为平形四边形，B不符合题意；
C、添加无法使四边形为平形四边形，C不符合题意；
D、∵，
∴∠C＋∠ABC=180°，
∵，
∴∠A+∠ABC=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据平行线的判定结合平行四边形的判定即可求解。
10．（2023·邵阳）已知是抛物线（a是常数，上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线；②点在抛物线上；③若，则；④若，则其中，正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：
①抛物线的对称轴是直线，①正确；
②当x=0时，y=3，
∴点在抛物线上，②正确；
③当a＜0时，y1＜y2，
当a＞0时，y1＞y2，③错误；
④由题意得，
∴，④错误；
故答案为：B
【分析】根据二次函数的对称轴公式即可判断①；将x=0代入求出y即可判断②；根据二次函数系数与开口关系结合题意即可判断③；根据二次函数图象的对称性即可判断④。
二、填空题
11．（2019·苏州模拟）的立方根是 ．
【答案】2
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：∵=8，
∴的立方根是2；
故答案为：2．
【分析】根据算术平方根的定义先求出，再根据立方根的定义即可得出答案．
12．（2020·连云模拟）分解因式：3a2+6ab+3b2= .
【答案】3（a+b）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：3a2+6ab+3b2=3（a2+2ab+b2）=3（a+b）2.
故答案为：3（a+b）2.
【分析】先提取公因式3，再根据完全平方公式进行二次分解.
13．（2023·邵阳）分式方程的解是 ．
【答案】
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母，得2（x-2）-x=0，
解得x=4，
经检验，x=4为原方程的解，
故答案为：
【分析】根据题意直接解分式方程即可求解。
14．（2023·邵阳）下表是小红参加一次“阳光体育”活动比赛的得分情况：
项目 跑步 花样跳绳 跳绳
得分 90 80 70
评总分时，按跑步占，花样跳绳占，跳绳占考评，则小红的最终得分为 ．
【答案】分
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：由题意得小红的最终得分为90×50%+80×30%+70×20%=83（分），
故答案为：83
【分析】根据加权平均数的计算方法结合题意即可求解。
15．（2023·邵阳）如图，是的直径，是的弦，与相切于点，连接，若，则的大小为 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：
∵与相切于点，
∴∠OBC=90°，
∵，
∴∠OBA=25°，
∵OB=OA，
∴∠DAB=25°，
∴∠DOB=50°，
故答案为：50°
【分析】先根据切线的性质即可得到∠OBC=90°，进而结合题意即可得到∠OBA=25°，再根据等腰三角形的性质结合圆周角定理即可求解。
16．（2023·邵阳）如图，某数学兴趣小组用一张半径为的扇形纸板做成一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的面积为 ．（结果保留）
【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：由题意得这张扇形纸板的面积为，
故答案为：
【分析】根据圆锥侧面积的计算方式结合题意即可求解。
17．（2023·邵阳）某校截止到年底，校园绿化面积为平方米．为美化环境，该校计划年底绿化面积达到平方米．利用方程想想，设这两年绿化面积的年平均增长率为，则依题意列方程为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设这两年绿化面积的年平均增长率为，由题意得，
故答案为：
【分析】设这两年绿化面积的年平均增长率为，由题意即可得到2023年底绿化面积为1000（1+x），则2024年底绿化面积为，进而即可求解。
18．（2023·邵阳）如图，在矩形中，，动点在矩形的边上沿运动．当点不与点重合时，将沿对折，得到，连接，则在点的运动过程中，线段的最小值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；点与圆的位置关系；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵矩形中，，
∴，
由勾股定理得，
①当点P在CB上时，如图所示：
∴BA=B'A=2，
∴点B'位于以A为圆心，2为半径的圆上运动，
故当A，C，B'三点共线时，CB'最短，
∴；
②当点P在AD上时，如图所示：
由题意得；
③当点P位于CD上时，如图所示：
由题意得；
综上所述，线段的最小值为，
故答案为：
【分析】先根据矩形的性质结合折叠的性质即可得到，进而根据勾股定理即可得到CA的长，然后运用圆外一点到圆上的距离进行分类讨论即可求解。
三、解答题
19．（2023·邵阳）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；负整数指数幂；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】运用特殊三角形函数值、负整数指数幂、绝对值进行运算，进而即可求解。
20．（2023·邵阳）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
当时，
原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据完全平方公式、平方差公式进行运算，进而代入求值即可求解。
21．（2023·邵阳）如图，，点是线段上的一点，且．已知．
（1）证明：．
（2）求线段的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得：．
【知识点】垂线；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据垂线的定义即可得到，，进而得到，再根据相似三角形的判定即可求解；
（2）根据相似三角形的性质即可得到，进而代入数值即可求解。
22．（2023·邵阳）低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．低碳环保，绿色出行成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台元，乙型自行车进货价格为每台元．该公司销售台甲型自行车和台乙型自行车，可获利元，销售台甲型自行车和台乙型自行车，可获利元．
（1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？
（2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共台，且资金不超过元，最少需要购买甲型自行车多少台？
【答案】（1）解：该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为元，根据题意得，
，
解得：，
答：该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为元；
（2）解：设需要购买甲型自行车台，则购买乙型自行车台，依题意得，
，
解得：，
∵为正整数，
∴的最小值为，
答：最少需要购买甲型自行车台．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为元，根据“公司销售台甲型自行车和台乙型自行车，可获利元，销售台甲型自行车和台乙型自行车，可获利元”即可列出方程组，进而即可求解；
（2）设需要购买甲型自行车台，则购买乙型自行车台，由题意即可列出不等式，进而得到a的取值范围，再根据题意即可求解。
23．（2023·邵阳）某市对九年级学生进行“综合素质”评价，评价的结果为A（优）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级．现从中随机抽测了若干名学生的“综合素质”等级作为样本进行数据处理，并作出了如下频数分布图和如图（八）所示的条形统计图（不完整）．请根据图表中的信息回答下列问题．
等级 频数 频率
A a 0.2
B 1600 b
C 1400 0.35
D 200 0.05
（1）求频数分布表中a，b的值．
（2）补全条形统计图．
（3）该市九年级学生约人，试估计该市有多少名九年级学生可以评为“A”级．
【答案】（1）解：样本容量：，
则，
故的值为，的值为．
（2）解：如图
（3）解：(名)
答：该市约有名九年级学生可以评为“A”级．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；条形统计图
【解析】【分析】（1）先根据题意求出样本容量，进而即可求出a和b的值；
（2）根据题意补全条形统计图即可求解；
（3）根据样本估计总体的知识直接运算即可求解。
24．（2023·邵阳）我国航天事业捷报频传，2023年5月30日，被誉为“神箭”的长征二号F运载火箭托举神舟十六号载人飞船跃入苍穹中国空间站应用与发展阶段首次载人发射任务取得圆满成功，如图（九），有一枚运载火箭从地面处发射，当火箭到达处时，地面处的雷达站测得距离是，仰角为．，火箭直线到达处，此时地面处雷达站测得处的仰角为．求火箭从到处的平均速度（结果精确到）．（参考数据：）
【答案】解：依题意，得，，，，
在中，，
，
在中，，
∴，
∴火箭从到处的平均速度为，
答：火箭从到处的平均速度为．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据题意运用解直角三角形的知识即可求解。
25．（2023·邵阳）如图，在等边三角形中，为上的一点，过点做的平行线交于点，点是线段上的动点（点不与重合）．将绕点逆时针方向旋转，得到，连接交于．
（1）证明：在点的运动过程中，总有．
（2）当为何值时，是直角三角形？
【答案】（1）证明：∵等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵绕点逆时针方向旋转，得到，
∴，
∴时等边三角形，
∴，
∴，
∴四点共圆，
∴，
∴．
（2）解： 如图，根据题意，只有当 时，成立，
∵ 绕点 逆时针方向旋转 ，得到 ，
∴ ，
∴ 时等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵等边三角形 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】平行线的性质；等边三角形的性质；圆内接四边形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）先根据等边三角形的性质即可得到，，再根据平行线的性质即可得到，进而根据旋转的性质得到，进而结合题意得到四点共圆，进而即可求解；
（2）
26．（2023·邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，且与直线交于两点（点在点的右侧），点为直线上的一动点，设点的横坐标为．
（1）求抛物线的解析式．
（2）过点作轴的垂线，与拋物线交于点．若，求面积的最大值．
（3）抛物线与轴交于点，点为平面直角坐标系上一点，若以为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线经过点和点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：∵抛物线与直线交于两点，（点在点的右侧）
联立，
解得：或，
∴，
∴，
∵点为直线上的一动点，设点的横坐标为．
则，，
∴，当时，取得最大值为，
∵，
∴当取得最大值时，最大，
∴，
∴面积的最大值；
（3）解：∵抛物线与轴交于点，
∴，当时，，即，
∵，
∴，
，，
①当为对角线时，，
∴，
解得：，
∴，
∵的中点重合，
∴，
解得：，
∴，
②当为边时，
当四边形为菱形，
∴，
解得：或，
∴或，
∴或，
由的中点重合，
∴或，
解得：或，
∴或，
当时；
如图所示，即四边形是菱形，
点的坐标即为四边形为菱形时，的坐标，
∴点为或，
综上所述，点为或或或或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；菱形的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）运用待定系数法求二次函数即可得到解析式；
（2）联立抛物线和直线即可得到，进而得到，设点的横坐标为，则，，然后即可表示MN的长，进而根据三角形的面积结合题意即可求解。
（3）先根据题意求出点C的坐标，再根据两点间的距离公式即可得到BC和BM2的长，然后进行分类讨论结合菱形的性质即可求解。
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