山东省聊城市2023年中考数学试卷
一、单选题
1．（2023·聊城）的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
2．（2023·聊城）如图所示几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·聊城）4月15日是全民国家安全教育日.某校为了摸清该校1500名师生的国家安全知识掌握情况，从中随机抽取了150名师生进行问卷调查．这项调查中的样本是（ ）
A．1500名师生的国家安全知识掌握情况
B．150
C．从中抽取的150名师生的国家安全知识掌握情况
D．从中抽取的150名师生
4．（2023·聊城）若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
5．（2023·聊城）如图，分别过的顶点A，B作．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·聊城）如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·聊城）若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
8．（2023·聊城）如图，在直角坐标系中，各点坐标分别为，，．先作关于x轴成轴对称的，再把平移后得到．若，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·聊城）如图，该几何体是由一个大圆锥截去上部的小圆锥后剩下的部分．若该几何体上、下两个圆的半径分别为1和2，原大圆锥高的剩余部分为，则其侧面展开图的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·聊城）甲乙两地相距a千米，小亮8：00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻t（×时×分）的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为（ ）
A．8：28 B．8：30 C．8：32 D．8：35
11．（2023·聊城）已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确结论的个数为（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（2023·聊城）如图，已知等腰直角，，，点C是矩形与的公共顶点，且，；点D是延长线上一点，且．连接，，在矩形绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段达到最长和最短时，线段对应的长度分别为m和n，则的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
二、填空题
13．（2023·聊城）计算： ．
14．（2023·聊城）若不等式组的解集为，则m的取值范围是 ．
15．（2023·聊城）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点O，连接，，过点C作，交的延长线于点F，连接．若，，则四边形的面积为 ．
.
16．（2023·聊城）在一个不透明的袋子中，装有五个分别标有数字，，0，2，的小球，这些小球除数字外其他完全相同．从袋子中随机摸出两个小球，两球上的数字之积恰好是有理数的概率为 ．
17．（2023·聊城）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：；；；；…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对： ．
三、解答题
18．（2023·聊城）先化简，再求值：，其中．
19．（2023·聊城）如图，在四边形中，点E是边上一点，且，．
（1）求证：；
（2）若，时，求的面积．
20．（2023·聊城）某中学把开展课外经典阅读活动作为一项引领学生明是非、知荣辱、立志向、修言行的德育举措．为了调查活动开展情况，需要了解全校2000名学生一周的课外经典阅读时间．从本校学生中随机抽取100名进行调查，将调查的一周课外经典阅读的平均时间分为5组：①；②；③；④；⑤，并将调查结果用如图所示的统计图描述．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，一周课外经典阅读的平均时间的众数和中位数分别落在第 组和第 组（填序号）；一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生人数占被调查人数的百分比为 ；估计全校一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生有 人；
（2）若把各组阅读时间的下限与上限的中间值近似看作该组的平均阅读时间，估计这100名学生一周课外经典阅读的平均时间是多少？
（3）若把一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的人数百分比超过，作为衡量此次开展活动成功的标准，请你评价此次活动，并提出合理化的建议．
21．（2023·聊城）今年五一小长假期间，我市迎来了一个短期旅游高峰．某热门景点的门票价格规定见下表：
票的种类 A B C
购票人数/人 1~50 51~100 100以上
票价/元 50 45 40
某旅行社接待的甲、乙两个旅游团共102人（甲团人数多于乙团），在打算购买门票时，如果把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省730元．
（1）求两个旅游团各有多少人？
（2）一个人数不足50人的旅游团，当游客人数最低为多少人时，购买B种门票比购买A种门票节省？
22．（2023·聊城）东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应．如图所示，城门楼B在角楼A的正东方向处，南关桥C在城门楼B的正南方向处．在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东方向，南关桥C在南偏东方向（点A，B，C，P四点在同一平面内）．求明珠大剧院到龙堤的距离（结果精确到）．
（参考数据：，，，，，）
23．（2023·聊城）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）点在x轴负半轴上，连接AP，过点B作，交的图像于点Q，连接PQ．当时，若四边形APQB的面积为36，求n的值．
24．（2023·聊城）如图，在中，，的平分线交于点D，的平分线交于点E．以上的点O为圆心，为半径作，恰好过点E．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
25．（2023·聊城）如图①，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；
（3）如图②，当点从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作，交AC于点E，作，垂足为点D．当m为何值时，面积最大，并求出最大值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】解：由题意得的值为1，
故答案为：B
【分析】根据零指数幂进行运算即可求解。
2．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意得几何体的主视图是，
故答案为：D
【分析】根据三视图的定义结合题意即可求解。
3．【答案】C
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：由题意得这项调查中的样本是从中抽取的150名师生的国家安全知识掌握情况，
故答案为：C
【分析】根据样本的定义结合题意即可求解。
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有实数解，
∴，
∴且，
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程根与判别式的关系结合题意即可求解。
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵，
∴∠EBC=∠ADC=80°，
∴∠ACB=180°-80°-25°=75°，
故答案为：B
【分析】先根据平行线的性质即可得到∠EBC=∠ADC=80°，再根据三角形内角和定理即可求解。
6．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接OC，如图所示：
∵点I是的内心，，
∴∠CAB=70°，
∴∠BOC=140°，
∵OB=OC，
∴，
故答案为：C
【分析】连接OC，根据三角形内心的性质结合圆周角定理即可得到∠BOC=140°，再根据等腰三角形的性质结合题意即可求解。
7．【答案】A
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意得，
解得，
∵关于x的分式方程的解为非负数，
∴，
解得且，
故答案为：A
【分析】先解出分式方程，进而根据题意得到关于m的不等式，进而即可求解。
8．【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵关于x轴成轴对称的，再把平移后得到，，
∴B1（-1，-3），A1（-2，-1），
∴平移的规律是向右平移3个单位，向上平移4个单位，
∴点坐标为，
故答案为：B
【分析】先根据题意得到轴对称后的坐标，进而根据平移坐标的变化规律即可求解。
9．【答案】C
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；扇形的面积
【解析】【解答】解：
由题意得O1B=1，CO=2，△AOC∽△AO1B，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴其侧面展开图的面积为，
故答案为：C
【分析】先根据题意结合相似三角形的判定与性质即可得到，进而根据勾股定理得到，再运用扇形的面积即可求解。
10．【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：使小亮出发的时间对应的t值为0，小莹出发的时间对应的t值为10，则小亮到达时t值为70，小莹到达时t值为40，
设小亮的函数解析式为y1=kt，
把（70，a）代入得，
∴，
设小莹的函数解析式为y2=mt+n，
把（10，a），（40，0）代入得，
解得，
∴，
∴，
解得t=28，
∴小亮与小莹相遇的时刻为8：28，
故答案为：A
【分析】根据题意运用待定系数法求一次函数解析式，再联立即可求解。
11．【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：
①由题意对称轴为，
∴b=2a，
当x=1时，a+b+c＜0，
∴，①错误；
②由题意得对称轴为x=-1，a＜0，
∴，
∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离，
∴，②正确；
③由图像可知与y=-1存在两个不同的交点，
∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，③错误；
④由函数的对称性即可得到（0，2）与（-2，2）关于对称轴x=-1对称，
∵，
∴，④正确；
故答案为：B
【分析】先根据二次函数的对称轴即可得到b=2a，进而将x=1代入即可判断①；根据二次函数的性质结合点到对称轴的距离即可判断②；根据函数的图象结合题意即可判断③；根据二次函数的图象结合二次函数的对称性即可求解。
12．【答案】D
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：
∵△ABC为等腰直角三角形，，
∴CB=CA=1，
当BG达到最短时，点G在点C上方，B，G，C共线，如图所示：
∴GB=2，GD=1，
由勾股定理得，
∴n=，
当BG达到最长时，点G位于点C的下方，B，G，C共线，如图所示：
∴GB=4，GD=5，
由勾股定理得，
∴m=，
∴，
故答案为：D
【分析】先根据等腰直角三角形的性质结合题意即可得到CB=CA=1，进而分类讨论：当BG达到最短时，点G在点C上方，B，G，C共线；当BG达到最长时，点G位于点C的下方，B，G，C共线；再结合题意运用勾股定理求出m和n即可求解。
13．【答案】3
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：3
【分析】根据二次根式的混合运算即可求解。
14．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：由题意得，
解①得x≥-1，
解②得x≥m，
∵不等式组的解集为，
∴，
故答案为：
【分析】先分别解不等式①和②，进而根据题意即可求解。
15．【答案】24
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴∠OFC=∠OEB，
∵的垂直平分线交于点，
∴∠FOC=∠EOB=90°，OB=OC，
∴△FOC≌△EOB，
∴FO=EO，FC=EB，
∴四边形ECFB为平行四边形，
∴四边形ECFB为菱形，
∵DA=8，
∴CB=8，
∴CO=4，
由勾股定理得，
∴四边形的面积为，
故答案为：24
【分析】先根据平行线的性质即可得到∠OFC=∠OEB，进而根据垂直平分线的性质即可得到∠FOC=∠EOB=90°，OB=OC，然后根据三角形全等的判定与性质证明△FOC≌△EOB，进而即可得到FO=EO，FC=EB，再运用平行四边形的判定、菱形的判定与性质结合题意即可求解。
16．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：由题意得
0 2 π
0
0
0 0 0 0 0
2 0 2π
π 0 2π
∴共有20种可能的结果，其中两球上的数字之积恰好是有理数的结果有8种，
∴两球上的数字之积恰好是有理数的概率为，
故答案为：
【分析】先根据题意列表，进而即可得到共有20种可能的结果，其中两球上的数字之积恰好是有理数的结果有8种，然后根据等可能事件的概率即可求解。
17．【答案】
【知识点】探索数与式的规律；有序数对
【解析】【解答】解：由题意得每个数对的第一个数为3，7，13，21，31，......，，
每个数对的第二个数为5，10，17，26，37，......，，
∴第n个数对为，
故答案为：
【分析】根据数对的定义结合题意找出每个数变化的规律即可求解。
18．【答案】解：
；
当时，
．
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值
【解析】【分析】先运用分式的混合运算进行化简，进而代入求值即可求解。
19．【答案】（1）证明：∵，
∴，即，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点E作于F，
由（1）知，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】（1）先根据题意即可得到，进而更加三角形全等的判定与性质证明，进而等腰三角形的性质结合题意即可求解；
（2）过点E作于F，先根据含30°角的直角三角形的性质即可得到，进而根据勾股定理结合三角形的面积即可求解。
20．【答案】（1）③；③；；560
（2）解：由题意得，每组的平均阅读时间分别为1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，
∴估计这100名学生一周课外经典阅读的平均时间为：小时；
（3）解：一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的人数百分比为，
∵，
∴本次课外经典阅读活动不成功，
建议：①学校多举办经典阅读活动；②开设经典阅读知识竞赛，提高学生阅读兴趣等（答案不唯一）．
【知识点】用样本估计总体；条形统计图；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）第③组的人数最多且第50、51名学生都位于该组，
∴一周课外经典阅读的平均时间的众数和中位数都落在第③组，
∴一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生人数占被调查人数的百分比为，
全校一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生有（人），
故答案为：③ ， ③ ，，560，
【分析】（1）根据众数、中位数以及样本估计总体的知识结合题意即可求解；
（2）根据算数平均数的计算方法结合题意即可求解；
（3）根据（1）中的结果结合题意即可求解。
21．【答案】（1）解：设甲团人数有x人，乙团人数有y人，
由题意得：，
解得：，
答：甲团人数有58人，乙团人数有44人；
（2）解：设游客人数为a人时，购买B种门票比购买A种门票节省，
由题意得：，
解得：，
∵a为整数，
∴当游客人数最低为46人时，购买B种门票比购买A种门票节省．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设甲团人数有x人，乙团人数有y人，根据表格结合题意即可列出二元一次方程组，进而即可求解；
（2）设游客人数为a人时，购买B种门票比购买A种门票节省，进而结合题意即可列出不等式，从而解不等式得到a的取值范围再结合题意即可求解。
22．【答案】解：如图，
由题意得，，，，，，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴，即，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
答：明珠大剧院到龙堤的距离为．
【知识点】矩形的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】先根据题意即可得到，，，，，，，进而根据矩形的性质得到，，再运用解直角三角形的知识结合已知条件即可求解。
23．【答案】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点
∴，
故反比例函数的解析式为，
∴，
故，
∴，
解得，
∴直线的解析式为．
（2）解：∵，，，，，
∴四边形APQB是平行四边形，
∴点A到点P的平移规律是向左平移个单位，向下平移4个单位，
∴点到点Q的平移规律也是向左平移个单位，向下平移4个单位，
故，
∵在上，
∴，
解得．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；平行四边形的判定与性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求一次函数和反比例函数即可求解；
（2）先根据平行四边形的判定与性质即可得到点A到点P的平移规律是向左平移个单位，向下平移4个单位，进而根据平移坐标的变化即可得到，进而代入反比例函数即可求解。
24．【答案】（1）证明：连接，
由题意可知，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即，
∴是的切线；
（2）解：过点作，
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
可得：，
∴的半径为．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接，先根据等腰三角形的性质结合角平分线的性质即可得到，，进而得到，再根据平行线的判定与性质即可得到，然后结合切线的判定即可求解；
（2）过点作，根据角平分线的性质即可得到，进而根据锐角三角形函数的定义即可得到BF的长，再运用勾股定理即可得到BD、AD的长，然后根据相似三角形的判定与性质证明，进而求出EO即可求解。
25．【答案】（1）解：将，代入，得
，解得
∴抛物线解析式为：
（2）解：二次函数，当时，
∴点
设点，点，
当为边，为对角线时，
∵四边形为平行四边形，
∴，互相平分
∴解得，（舍去）或
点Q坐标；
当为边，为对角线时，
同理得，
解得，或，
∴
∴点Q坐标或
综上，点Q坐标，或或；
（3）解：如图，过点D作，过点E作，垂足为G，F，
∵，
∴
∴
∵
∴，同理可得
设直线的解析式为：
则，解得
∴直线：
同理由点，，可求得直线 ：
设点，，
则，，，
中，，
∴，
中，
∴，解得，
∴
∵
∴；
中，
∴，解得，
∴
∵
∴
∴，
即．
∵
∴时，，有最大值，最大值为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求二次函数的解析式即可求解；
（2）先根据二次函数的性质即可得到点C的坐标，设点，点，根据平行四边形的性质结合题意即可求出n，进而得到点Q坐标，
（3）过点D作，过点E作，垂足为G，F，先根据题意结合平行线的性质证明，同理可得，进而运用待定系数法求出直线AC的解析式，同理即可得到直线BC的解析式，设点，，则，，，，根据勾股定理即可求出BC，进而根据锐角三角函数的定义即可得到，进而即可得到，，再根据锐角三角函数的定义即可得到；同理可得，，进而根据三角形的面积即可得到，再求出二次函数的最值即可求解。
1 / 1山东省聊城市2023年中考数学试卷
一、单选题
1．（2023·聊城）的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】解：由题意得的值为1，
故答案为：B
【分析】根据零指数幂进行运算即可求解。
2．（2023·聊城）如图所示几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意得几何体的主视图是，
故答案为：D
【分析】根据三视图的定义结合题意即可求解。
3．（2023·聊城）4月15日是全民国家安全教育日.某校为了摸清该校1500名师生的国家安全知识掌握情况，从中随机抽取了150名师生进行问卷调查．这项调查中的样本是（ ）
A．1500名师生的国家安全知识掌握情况
B．150
C．从中抽取的150名师生的国家安全知识掌握情况
D．从中抽取的150名师生
【答案】C
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：由题意得这项调查中的样本是从中抽取的150名师生的国家安全知识掌握情况，
故答案为：C
【分析】根据样本的定义结合题意即可求解。
4．（2023·聊城）若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有实数解，
∴，
∴且，
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程根与判别式的关系结合题意即可求解。
5．（2023·聊城）如图，分别过的顶点A，B作．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵，
∴∠EBC=∠ADC=80°，
∴∠ACB=180°-80°-25°=75°，
故答案为：B
【分析】先根据平行线的性质即可得到∠EBC=∠ADC=80°，再根据三角形内角和定理即可求解。
6．（2023·聊城）如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接OC，如图所示：
∵点I是的内心，，
∴∠CAB=70°，
∴∠BOC=140°，
∵OB=OC，
∴，
故答案为：C
【分析】连接OC，根据三角形内心的性质结合圆周角定理即可得到∠BOC=140°，再根据等腰三角形的性质结合题意即可求解。
7．（2023·聊城）若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】A
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意得，
解得，
∵关于x的分式方程的解为非负数，
∴，
解得且，
故答案为：A
【分析】先解出分式方程，进而根据题意得到关于m的不等式，进而即可求解。
8．（2023·聊城）如图，在直角坐标系中，各点坐标分别为，，．先作关于x轴成轴对称的，再把平移后得到．若，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵关于x轴成轴对称的，再把平移后得到，，
∴B1（-1，-3），A1（-2，-1），
∴平移的规律是向右平移3个单位，向上平移4个单位，
∴点坐标为，
故答案为：B
【分析】先根据题意得到轴对称后的坐标，进而根据平移坐标的变化规律即可求解。
9．（2023·聊城）如图，该几何体是由一个大圆锥截去上部的小圆锥后剩下的部分．若该几何体上、下两个圆的半径分别为1和2，原大圆锥高的剩余部分为，则其侧面展开图的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；扇形的面积
【解析】【解答】解：
由题意得O1B=1，CO=2，△AOC∽△AO1B，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴其侧面展开图的面积为，
故答案为：C
【分析】先根据题意结合相似三角形的判定与性质即可得到，进而根据勾股定理得到，再运用扇形的面积即可求解。
10．（2023·聊城）甲乙两地相距a千米，小亮8：00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻t（×时×分）的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为（ ）
A．8：28 B．8：30 C．8：32 D．8：35
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：使小亮出发的时间对应的t值为0，小莹出发的时间对应的t值为10，则小亮到达时t值为70，小莹到达时t值为40，
设小亮的函数解析式为y1=kt，
把（70，a）代入得，
∴，
设小莹的函数解析式为y2=mt+n，
把（10，a），（40，0）代入得，
解得，
∴，
∴，
解得t=28，
∴小亮与小莹相遇的时刻为8：28，
故答案为：A
【分析】根据题意运用待定系数法求一次函数解析式，再联立即可求解。
11．（2023·聊城）已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确结论的个数为（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：
①由题意对称轴为，
∴b=2a，
当x=1时，a+b+c＜0，
∴，①错误；
②由题意得对称轴为x=-1，a＜0，
∴，
∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离，
∴，②正确；
③由图像可知与y=-1存在两个不同的交点，
∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，③错误；
④由函数的对称性即可得到（0，2）与（-2，2）关于对称轴x=-1对称，
∵，
∴，④正确；
故答案为：B
【分析】先根据二次函数的对称轴即可得到b=2a，进而将x=1代入即可判断①；根据二次函数的性质结合点到对称轴的距离即可判断②；根据函数的图象结合题意即可判断③；根据二次函数的图象结合二次函数的对称性即可求解。
12．（2023·聊城）如图，已知等腰直角，，，点C是矩形与的公共顶点，且，；点D是延长线上一点，且．连接，，在矩形绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段达到最长和最短时，线段对应的长度分别为m和n，则的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：
∵△ABC为等腰直角三角形，，
∴CB=CA=1，
当BG达到最短时，点G在点C上方，B，G，C共线，如图所示：
∴GB=2，GD=1，
由勾股定理得，
∴n=，
当BG达到最长时，点G位于点C的下方，B，G，C共线，如图所示：
∴GB=4，GD=5，
由勾股定理得，
∴m=，
∴，
故答案为：D
【分析】先根据等腰直角三角形的性质结合题意即可得到CB=CA=1，进而分类讨论：当BG达到最短时，点G在点C上方，B，G，C共线；当BG达到最长时，点G位于点C的下方，B，G，C共线；再结合题意运用勾股定理求出m和n即可求解。
二、填空题
13．（2023·聊城）计算： ．
【答案】3
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：3
【分析】根据二次根式的混合运算即可求解。
14．（2023·聊城）若不等式组的解集为，则m的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：由题意得，
解①得x≥-1，
解②得x≥m，
∵不等式组的解集为，
∴，
故答案为：
【分析】先分别解不等式①和②，进而根据题意即可求解。
15．（2023·聊城）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点O，连接，，过点C作，交的延长线于点F，连接．若，，则四边形的面积为 ．
.
【答案】24
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴∠OFC=∠OEB，
∵的垂直平分线交于点，
∴∠FOC=∠EOB=90°，OB=OC，
∴△FOC≌△EOB，
∴FO=EO，FC=EB，
∴四边形ECFB为平行四边形，
∴四边形ECFB为菱形，
∵DA=8，
∴CB=8，
∴CO=4，
由勾股定理得，
∴四边形的面积为，
故答案为：24
【分析】先根据平行线的性质即可得到∠OFC=∠OEB，进而根据垂直平分线的性质即可得到∠FOC=∠EOB=90°，OB=OC，然后根据三角形全等的判定与性质证明△FOC≌△EOB，进而即可得到FO=EO，FC=EB，再运用平行四边形的判定、菱形的判定与性质结合题意即可求解。
16．（2023·聊城）在一个不透明的袋子中，装有五个分别标有数字，，0，2，的小球，这些小球除数字外其他完全相同．从袋子中随机摸出两个小球，两球上的数字之积恰好是有理数的概率为 ．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：由题意得
0 2 π
0
0
0 0 0 0 0
2 0 2π
π 0 2π
∴共有20种可能的结果，其中两球上的数字之积恰好是有理数的结果有8种，
∴两球上的数字之积恰好是有理数的概率为，
故答案为：
【分析】先根据题意列表，进而即可得到共有20种可能的结果，其中两球上的数字之积恰好是有理数的结果有8种，然后根据等可能事件的概率即可求解。
17．（2023·聊城）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：；；；；…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对： ．
【答案】
【知识点】探索数与式的规律；有序数对
【解析】【解答】解：由题意得每个数对的第一个数为3，7，13，21，31，......，，
每个数对的第二个数为5，10，17，26，37，......，，
∴第n个数对为，
故答案为：
【分析】根据数对的定义结合题意找出每个数变化的规律即可求解。
三、解答题
18．（2023·聊城）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
；
当时，
．
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值
【解析】【分析】先运用分式的混合运算进行化简，进而代入求值即可求解。
19．（2023·聊城）如图，在四边形中，点E是边上一点，且，．
（1）求证：；
（2）若，时，求的面积．
【答案】（1）证明：∵，
∴，即，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点E作于F，
由（1）知，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】（1）先根据题意即可得到，进而更加三角形全等的判定与性质证明，进而等腰三角形的性质结合题意即可求解；
（2）过点E作于F，先根据含30°角的直角三角形的性质即可得到，进而根据勾股定理结合三角形的面积即可求解。
20．（2023·聊城）某中学把开展课外经典阅读活动作为一项引领学生明是非、知荣辱、立志向、修言行的德育举措．为了调查活动开展情况，需要了解全校2000名学生一周的课外经典阅读时间．从本校学生中随机抽取100名进行调查，将调查的一周课外经典阅读的平均时间分为5组：①；②；③；④；⑤，并将调查结果用如图所示的统计图描述．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，一周课外经典阅读的平均时间的众数和中位数分别落在第 组和第 组（填序号）；一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生人数占被调查人数的百分比为 ；估计全校一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生有 人；
（2）若把各组阅读时间的下限与上限的中间值近似看作该组的平均阅读时间，估计这100名学生一周课外经典阅读的平均时间是多少？
（3）若把一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的人数百分比超过，作为衡量此次开展活动成功的标准，请你评价此次活动，并提出合理化的建议．
【答案】（1）③；③；；560
（2）解：由题意得，每组的平均阅读时间分别为1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，
∴估计这100名学生一周课外经典阅读的平均时间为：小时；
（3）解：一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的人数百分比为，
∵，
∴本次课外经典阅读活动不成功，
建议：①学校多举办经典阅读活动；②开设经典阅读知识竞赛，提高学生阅读兴趣等（答案不唯一）．
【知识点】用样本估计总体；条形统计图；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）第③组的人数最多且第50、51名学生都位于该组，
∴一周课外经典阅读的平均时间的众数和中位数都落在第③组，
∴一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生人数占被调查人数的百分比为，
全校一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生有（人），
故答案为：③ ， ③ ，，560，
【分析】（1）根据众数、中位数以及样本估计总体的知识结合题意即可求解；
（2）根据算数平均数的计算方法结合题意即可求解；
（3）根据（1）中的结果结合题意即可求解。
21．（2023·聊城）今年五一小长假期间，我市迎来了一个短期旅游高峰．某热门景点的门票价格规定见下表：
票的种类 A B C
购票人数/人 1~50 51~100 100以上
票价/元 50 45 40
某旅行社接待的甲、乙两个旅游团共102人（甲团人数多于乙团），在打算购买门票时，如果把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省730元．
（1）求两个旅游团各有多少人？
（2）一个人数不足50人的旅游团，当游客人数最低为多少人时，购买B种门票比购买A种门票节省？
【答案】（1）解：设甲团人数有x人，乙团人数有y人，
由题意得：，
解得：，
答：甲团人数有58人，乙团人数有44人；
（2）解：设游客人数为a人时，购买B种门票比购买A种门票节省，
由题意得：，
解得：，
∵a为整数，
∴当游客人数最低为46人时，购买B种门票比购买A种门票节省．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设甲团人数有x人，乙团人数有y人，根据表格结合题意即可列出二元一次方程组，进而即可求解；
（2）设游客人数为a人时，购买B种门票比购买A种门票节省，进而结合题意即可列出不等式，从而解不等式得到a的取值范围再结合题意即可求解。
22．（2023·聊城）东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应．如图所示，城门楼B在角楼A的正东方向处，南关桥C在城门楼B的正南方向处．在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东方向，南关桥C在南偏东方向（点A，B，C，P四点在同一平面内）．求明珠大剧院到龙堤的距离（结果精确到）．
（参考数据：，，，，，）
【答案】解：如图，
由题意得，，，，，，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴，即，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
答：明珠大剧院到龙堤的距离为．
【知识点】矩形的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】先根据题意即可得到，，，，，，，进而根据矩形的性质得到，，再运用解直角三角形的知识结合已知条件即可求解。
23．（2023·聊城）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）点在x轴负半轴上，连接AP，过点B作，交的图像于点Q，连接PQ．当时，若四边形APQB的面积为36，求n的值．
【答案】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点
∴，
故反比例函数的解析式为，
∴，
故，
∴，
解得，
∴直线的解析式为．
（2）解：∵，，，，，
∴四边形APQB是平行四边形，
∴点A到点P的平移规律是向左平移个单位，向下平移4个单位，
∴点到点Q的平移规律也是向左平移个单位，向下平移4个单位，
故，
∵在上，
∴，
解得．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；平行四边形的判定与性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求一次函数和反比例函数即可求解；
（2）先根据平行四边形的判定与性质即可得到点A到点P的平移规律是向左平移个单位，向下平移4个单位，进而根据平移坐标的变化即可得到，进而代入反比例函数即可求解。
24．（2023·聊城）如图，在中，，的平分线交于点D，的平分线交于点E．以上的点O为圆心，为半径作，恰好过点E．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明：连接，
由题意可知，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即，
∴是的切线；
（2）解：过点作，
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
可得：，
∴的半径为．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接，先根据等腰三角形的性质结合角平分线的性质即可得到，，进而得到，再根据平行线的判定与性质即可得到，然后结合切线的判定即可求解；
（2）过点作，根据角平分线的性质即可得到，进而根据锐角三角形函数的定义即可得到BF的长，再运用勾股定理即可得到BD、AD的长，然后根据相似三角形的判定与性质证明，进而求出EO即可求解。
25．（2023·聊城）如图①，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；
（3）如图②，当点从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作，交AC于点E，作，垂足为点D．当m为何值时，面积最大，并求出最大值．
【答案】（1）解：将，代入，得
，解得
∴抛物线解析式为：
（2）解：二次函数，当时，
∴点
设点，点，
当为边，为对角线时，
∵四边形为平行四边形，
∴，互相平分
∴解得，（舍去）或
点Q坐标；
当为边，为对角线时，
同理得，
解得，或，
∴
∴点Q坐标或
综上，点Q坐标，或或；
（3）解：如图，过点D作，过点E作，垂足为G，F，
∵，
∴
∴
∵
∴，同理可得
设直线的解析式为：
则，解得
∴直线：
同理由点，，可求得直线 ：
设点，，
则，，，
中，，
∴，
中，
∴，解得，
∴
∵
∴；
中，
∴，解得，
∴
∵
∴
∴，
即．
∵
∴时，，有最大值，最大值为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求二次函数的解析式即可求解；
（2）先根据二次函数的性质即可得到点C的坐标，设点，点，根据平行四边形的性质结合题意即可求出n，进而得到点Q坐标，
（3）过点D作，过点E作，垂足为G，F，先根据题意结合平行线的性质证明，同理可得，进而运用待定系数法求出直线AC的解析式，同理即可得到直线BC的解析式，设点，，则，，，，根据勾股定理即可求出BC，进而根据锐角三角函数的定义即可得到，进而即可得到，，再根据锐角三角函数的定义即可得到；同理可得，，进而根据三角形的面积即可得到，再求出二次函数的最值即可求解。
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