山东省滨州市2023年中考数学试卷
一、单选题
1．（2018七上·无锡期中）﹣3的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·滨州）下列计算，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·滨州）如图所示摆放的水杯，其俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·滨州）一元二次方程根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能判定
5．（2023·滨州）由化学知识可知，用表示溶液酸碱性的强弱程度，当时溶液呈碱性，当时溶液呈酸性．若将给定的溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映溶液的与所加水的体积之间对应关系的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·滨州）在某次射击训练过程中，小明打靶次的成绩（环）如下表所示：
靶次 第次 第次 第次 第次 第次 第次 第次 第次 第次 第次
成绩（环）
则小明射击成绩的众数和方差分别为（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
7．（2023·滨州）如图，某玩具品牌的标志由半径为的三个等圆构成，且三个等圆相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·滨州）已知点是等边的边上的一点，若，则在以线段为边的三角形中，最小内角的大小为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023·滨州）计算的结果为 ．
10．（2023·滨州）一块面积为的正方形桌布，其边长为 ．
11．（2023·滨州）不等式组的解集为 ．
12．（2023·滨州）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为．若将向左平移3个单位长度得到，则点A的对应点的坐标是 ．
13．（2023·滨州）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子点数之和等于7的概率是 ．
14．（2023·滨州）如图，分别与相切于两点，且．若点是上异于点的一点，则的大小为 ．
15．（2023·滨州）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管长度应为 ．
16．（2023·滨州）如图，矩形的对角线相交于点，点分别是线段上的点．若，则的长为 ．
三、解答题
17．（2023·滨州）中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》中，对学生每天的作业时间提出明确要求：“初中书面作业平均完成时间不超过90分钟”．为了更好地落实文件精神，某县对辖区内部分初中学生就“每天完成书面作业的时间”进行了随机调查，为便于统计学生每天完成书面作业的时间（用t表示，单位h）状况设置了如下四个选项，分别为A：，B：，C：，D：，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
请根据以上提供的信息解答下列问题：
（1）此次调查，选项A中的学生人数是多少？
（2）在扇形统计图中，选项D所对应的扇形圆心角的大小为多少？
（3）如果该县有15000名初中学生，那么请估算该县“每天完成书面作业的时间不超过90分钟”的初中学生约有多少人？
（4）请回答你每天完成书面作业的时间属于哪个选项，并对老师的书面作业布置提出合理化建议．
18．（2023·滨州）先化简，再求值：，其中满足．
19．（2023·滨州）如图，直线为常数与双曲线（为常数）相交于，两点．
（1）求直线的解析式；
（2）在双曲线上任取两点和，若，试确定和的大小关系，并写出判断过程；
（3）请直接写出关于的不等式的解集．
20．（2023·滨州）（1）已知线段，求作，使得；（请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）
（2）求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（请借助上一小题所作图形，在完善的基础上，写出已知、求证与证明．）
21．（2023·滨州）如图，在平面直角坐标系中，菱形的一边在轴正半轴上，顶点的坐标为，点是边上的动点，过点作交边于点，作交边于点，连接．设的面积为．
（1）求关于的函数解析式；
（2）当取何值时，的值最大？请求出最大值．
22．（2023·滨州）如图，点是的内心，的延长线与边相交于点，与的外接圆相交于点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）求证：；
（4）猜想：线段三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0。因此－3的相反数是3。故答案为：D。
【分析】根据相反数的定义只有符号不同的两个数是相反数解答即可.
2．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方
【解析】【解答】解：
A、，A符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方进行运算即可求解。
3．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意得摆放的水杯其俯视图为，
故答案为：D
【分析】根据组合体的三视图结合题意即可求解。
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：A
【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系结合题意即可求解。
5．【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：由题意得水的体积不断增加时，PH不断下降且无限接近7，
∴函数图象应为，
故答案为：B
【分析】根据题意得到PH与所加水的体积之间的关系即可求解。
6．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差；众数
【解析】【解答】解：由题意得10出现的次数最多，
∴众数为10，
平均数为，
方差为，
故答案为：C
【分析】根据众数的定义结合平均数和方差的计算方法即可求解。
7．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；圆的认识；扇形的面积
【解析】【解答】解：由题意得图中三部分阴影面积相等，
连接AO1，AO2，O1O2，如图所示：
由题意得△AO1O2为等边三角形，
∴∠O2O1A=60°，且弓形AO1，AO2，O1O2的面积相等，
∴，
∴图中三个阴影部分的面积之和为，
故答案为：C
【分析】先根据圆的对称性即可得到图中三部分阴影面积相等，连接AO1，AO2，O1O2，进而得到△AO1O2为等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得到∠O2O1A=60°，且弓形AO1，AO2，O1O2的面积相等，然后运用扇形的面积公式结合题意即可求解。
8．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：将△PBA绕点A逆时针旋转60°得到△QCA，如图所示：
∴∠QAP=60°，PB=QC，QA=PA，∠BPA=∠CQA，
∴△QPA为等边三角形，
∴PA=PQ，
∴最小锐角为∠CQP，
∵，
∴∠BPA=76°，
∴∠CQA=∠BPA=76°，
∴∠CQP=16°，
故答案为：B
【分析】将△PBA绕点A逆时针旋转60°得到△QCA，根据旋转的性质即可得到∠QAP=60°，PB=QC，QA=PA，∠BPA=∠CQA，进而得到△QPA为等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得到PA=PQ，从而得到最小锐角为∠CQP，再结合题意即可求解。
9．【答案】
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：由题意得2-3=-1，
故答案为：-1
【分析】根据绝对值进行运算即可求解。
10．【答案】
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：由题意得其边长为，
故答案为：
【分析】根据正方形的性质结合题意即可求解。
11．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得，
解①得x≥3，
解②得x＜5，
∴不等式组的解集为，
故答案为：
【分析】分别解不等式①和②，进而即可求解。
12．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：由题意得点的坐标是，
故答案为：
【分析】根据平移坐标的变化结合题意即可求解。
13．【答案】
【知识点】列表法与树状图法；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：列出可能的结果如下：
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
∴两枚骰子点数之和等于7的概率是，
故答案为：
【分析】先运用列表法列出所有情况，进而结合等可能事件的概率即可求解。
14．【答案】或
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接CA，CB，如图所示：
当点C位于优弧AB上时，
∵分别与相切于两点，且，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-56°=124°，
∴∠ACB=62°，
当点C（C'）位于劣弧AB上时，
∠AC'B=180°-62°=118°，
综上所述，的大小为或，
故答案为：或
【分析】连接CA，CB，然后进行分类讨论：①当点C位于优弧AB上时，根据切线的性质即可得到∠AOB的度数，进而根据圆周角定理即可求解；②当点C（C'）位于劣弧AB上时，运用圆内接四边形的性质结合题意即可求解。
15．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：以池中心为原点，竖直的水管为y轴，垂直于水管方向为x轴，建立平面直角坐标系，
由题意得设抛物线的解析式为，
将（3，0）代入得，
∴抛物线的解析式为，
当x=0时，y=2.25，
∴水管的长度为，
故答案为：
【分析】先根据题意建立平面直角坐标系，进而设抛物线的解析式为，代入（3，0）即可求出a，再令x=0时求出y即可求解。
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：过点A作AM⊥BD于点M，过点B作BN⊥AC于点N，如图所示：
∵矩形，
∴DA=CB，
∴，
∴，
∴MA=NB，
∴△EMA≌△FNB（HL），
∴NF=EM，
设EM=NF=a，
∵MA=NB，
∴△BMA≌△ANB（HL），
∴MB=NA，
∴3-a=1+a，
解得a=1，
∴NA=MB=2，
由勾股定理得，
∴，
∴的长为，
故答案为：
【分析】过点A作AM⊥BD于点M，过点B作BN⊥AC于点N，先根据矩形的性质即可得到DA=CB，进而得到，再运用三角形的面积公式即可得到MA=NB，然后运用三角形全等的判定与性质证明△EMA≌△FNB（HL）即可得到NF=EM，设EM=NF=a，根据三角形全等的判定与性质证明△BMA≌△ANB（HL）即可得到MB=NA，进而即可求出a，再结合题意运用勾股定理即可求解。
17．【答案】（1）解：此次调查的总人数是人，
所以选项A中的学生人数是（人）；
（2）解：，
选项D所对应的扇形圆心角的大小为；
（3）解：；
所以估算该县“每天完成书面作业的时间不超过90分钟”的初中学生约有9600人；
（4）解：我的作业时间属于B选项；从调查结果来看：仅有的学生符合“初中书面作业平均完成时间不超过90分钟”，还有的学生每天完成书面作业的时间超过了90分钟，所以布置的作业应该精简量少．（答案不唯一，合理即可）．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图的信息即可求解；
（2）根据圆心角的计算公式即可求解；
（3）根据样本估计总体的知识结合题意即可求解；
（4）根据题意即可求解。
18．【答案】解：
；
∵，
即，
∴原式．
【知识点】分式的化简求值；负整数指数幂；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】运用分式的混合运算进行化简，进而运用负整数指数幂、特殊三角函数值进行运算即可得到，再代入即可求解。
19．【答案】（1）解：将点代入反比例函数，
∴，
∴
将点代入
∴，
将，代入，得
解得：，
∴
（2）解：∵，，
∴反比例函数在第二四象限，在每个象限内，随的增大而增大，
∴当或时，，
当时，根据图象可得，
综上所述，当或时，；当时，，
（3）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（3）∵直线为常数与双曲线（为常数）相交于，两点，
∴关于的不等式的解集为或
【分析】（1）运用待定系数法求一次函数和反比例函数即可求解；
（2）先根据反比例函数的性质结合题意即可求解；
（3）直接观察图像运用交点坐标即可求解。
20．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：已知：如图，为中斜边上的中线，，
求证：.
证明：延长并截取.
∵为边中线，∴，
∴四边形为平行四边形.
∵，
∴平行四边形为矩形，
∴，
∴
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；平行四边形的判定；矩形的判定与性质；作图-垂线；作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）先作射线AP，然后在AP上截取CA=m，过点C作CA的垂线MN，然后在NC上截取CB=n，连接BA即可求解；
（2）延长并截取，先根据中线的性质即可得到，进而根据平行四边形的判定与矩形的判定与性质即可得到，进而即可求解。
21．【答案】（1）解：如图所示，过点作于点，连接，
∵顶点的坐标为，
∴，，
∴，
∴
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴
∴是等边三角形，
∴
∵，
∴，
∴
∵，，则，
∴
∴
∴
∴
∴
（2）解：∵
∵，
∴当时，的值最大，最大值为．
【知识点】二次函数的最值；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）过点作于点，连接，先根据两点间的距离公式即可得到OA的长，进而得到，再根据菱形的判定与性质即可得到，，，进而根据等边三角形的判定与性质得到，，再根据相似三角形的判定与性质证明，进而即可得到，在结合题意即可求解；
（2）根据（1）中的答案，再将解析式转化为顶点式，进而即可求解。
22．【答案】（1）证明：如图所示，过点作垂足分别为，
∵点是的内心，
∴是的角平分线，
∵，
∴，
∵，
∴，
（2）证明：如图所示，过点作于点，
∵，
∴，
由（1）可得，
∴；
（3）证明：连接，
∵
∴
∴
∴，
∴
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴；
∴，
∴，
（4）
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】 （4）解：如图所示，连接 ，
∵点 是 的内心，
∴ 是 的角平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【分析】（1） 先根据三角形内心的性质结合角平分线的性质即可得到，再根据三角形的面积结合题意即可求解；
（2）过点作于点，先根据三角形的面积即可得到，由（1）可得，进而即可求解；
（3）连接，先根据圆周角定理即可得到，进而根据相似三角形判定与性质证明即可得到，再根据圆周角定理即可得到，再证明即可得到，进而根据即可求解；
（4）连接 ，先根据三角形内心的性质结合角平分线的性质即可得到 ，进而根据相似三角形的判定与性质证明 即可得到 ，再根据“ ， ”即可得到 ，进而根据等腰三角形的性质得到 ，从而结合题意即可求解。
1 / 1山东省滨州市2023年中考数学试卷
一、单选题
1．（2018七上·无锡期中）﹣3的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0。因此－3的相反数是3。故答案为：D。
【分析】根据相反数的定义只有符号不同的两个数是相反数解答即可.
2．（2023·滨州）下列计算，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方
【解析】【解答】解：
A、，A符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方进行运算即可求解。
3．（2023·滨州）如图所示摆放的水杯，其俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意得摆放的水杯其俯视图为，
故答案为：D
【分析】根据组合体的三视图结合题意即可求解。
4．（2023·滨州）一元二次方程根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能判定
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：A
【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系结合题意即可求解。
5．（2023·滨州）由化学知识可知，用表示溶液酸碱性的强弱程度，当时溶液呈碱性，当时溶液呈酸性．若将给定的溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映溶液的与所加水的体积之间对应关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：由题意得水的体积不断增加时，PH不断下降且无限接近7，
∴函数图象应为，
故答案为：B
【分析】根据题意得到PH与所加水的体积之间的关系即可求解。
6．（2023·滨州）在某次射击训练过程中，小明打靶次的成绩（环）如下表所示：
靶次 第次 第次 第次 第次 第次 第次 第次 第次 第次 第次
成绩（环）
则小明射击成绩的众数和方差分别为（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差；众数
【解析】【解答】解：由题意得10出现的次数最多，
∴众数为10，
平均数为，
方差为，
故答案为：C
【分析】根据众数的定义结合平均数和方差的计算方法即可求解。
7．（2023·滨州）如图，某玩具品牌的标志由半径为的三个等圆构成，且三个等圆相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；圆的认识；扇形的面积
【解析】【解答】解：由题意得图中三部分阴影面积相等，
连接AO1，AO2，O1O2，如图所示：
由题意得△AO1O2为等边三角形，
∴∠O2O1A=60°，且弓形AO1，AO2，O1O2的面积相等，
∴，
∴图中三个阴影部分的面积之和为，
故答案为：C
【分析】先根据圆的对称性即可得到图中三部分阴影面积相等，连接AO1，AO2，O1O2，进而得到△AO1O2为等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得到∠O2O1A=60°，且弓形AO1，AO2，O1O2的面积相等，然后运用扇形的面积公式结合题意即可求解。
8．（2023·滨州）已知点是等边的边上的一点，若，则在以线段为边的三角形中，最小内角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：将△PBA绕点A逆时针旋转60°得到△QCA，如图所示：
∴∠QAP=60°，PB=QC，QA=PA，∠BPA=∠CQA，
∴△QPA为等边三角形，
∴PA=PQ，
∴最小锐角为∠CQP，
∵，
∴∠BPA=76°，
∴∠CQA=∠BPA=76°，
∴∠CQP=16°，
故答案为：B
【分析】将△PBA绕点A逆时针旋转60°得到△QCA，根据旋转的性质即可得到∠QAP=60°，PB=QC，QA=PA，∠BPA=∠CQA，进而得到△QPA为等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得到PA=PQ，从而得到最小锐角为∠CQP，再结合题意即可求解。
二、填空题
9．（2023·滨州）计算的结果为 ．
【答案】
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：由题意得2-3=-1，
故答案为：-1
【分析】根据绝对值进行运算即可求解。
10．（2023·滨州）一块面积为的正方形桌布，其边长为 ．
【答案】
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：由题意得其边长为，
故答案为：
【分析】根据正方形的性质结合题意即可求解。
11．（2023·滨州）不等式组的解集为 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得，
解①得x≥3，
解②得x＜5，
∴不等式组的解集为，
故答案为：
【分析】分别解不等式①和②，进而即可求解。
12．（2023·滨州）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为．若将向左平移3个单位长度得到，则点A的对应点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：由题意得点的坐标是，
故答案为：
【分析】根据平移坐标的变化结合题意即可求解。
13．（2023·滨州）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子点数之和等于7的概率是 ．
【答案】
【知识点】列表法与树状图法；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：列出可能的结果如下：
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
∴两枚骰子点数之和等于7的概率是，
故答案为：
【分析】先运用列表法列出所有情况，进而结合等可能事件的概率即可求解。
14．（2023·滨州）如图，分别与相切于两点，且．若点是上异于点的一点，则的大小为 ．
【答案】或
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接CA，CB，如图所示：
当点C位于优弧AB上时，
∵分别与相切于两点，且，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-56°=124°，
∴∠ACB=62°，
当点C（C'）位于劣弧AB上时，
∠AC'B=180°-62°=118°，
综上所述，的大小为或，
故答案为：或
【分析】连接CA，CB，然后进行分类讨论：①当点C位于优弧AB上时，根据切线的性质即可得到∠AOB的度数，进而根据圆周角定理即可求解；②当点C（C'）位于劣弧AB上时，运用圆内接四边形的性质结合题意即可求解。
15．（2023·滨州）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管长度应为 ．
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：以池中心为原点，竖直的水管为y轴，垂直于水管方向为x轴，建立平面直角坐标系，
由题意得设抛物线的解析式为，
将（3，0）代入得，
∴抛物线的解析式为，
当x=0时，y=2.25，
∴水管的长度为，
故答案为：
【分析】先根据题意建立平面直角坐标系，进而设抛物线的解析式为，代入（3，0）即可求出a，再令x=0时求出y即可求解。
16．（2023·滨州）如图，矩形的对角线相交于点，点分别是线段上的点．若，则的长为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：过点A作AM⊥BD于点M，过点B作BN⊥AC于点N，如图所示：
∵矩形，
∴DA=CB，
∴，
∴，
∴MA=NB，
∴△EMA≌△FNB（HL），
∴NF=EM，
设EM=NF=a，
∵MA=NB，
∴△BMA≌△ANB（HL），
∴MB=NA，
∴3-a=1+a，
解得a=1，
∴NA=MB=2，
由勾股定理得，
∴，
∴的长为，
故答案为：
【分析】过点A作AM⊥BD于点M，过点B作BN⊥AC于点N，先根据矩形的性质即可得到DA=CB，进而得到，再运用三角形的面积公式即可得到MA=NB，然后运用三角形全等的判定与性质证明△EMA≌△FNB（HL）即可得到NF=EM，设EM=NF=a，根据三角形全等的判定与性质证明△BMA≌△ANB（HL）即可得到MB=NA，进而即可求出a，再结合题意运用勾股定理即可求解。
三、解答题
17．（2023·滨州）中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》中，对学生每天的作业时间提出明确要求：“初中书面作业平均完成时间不超过90分钟”．为了更好地落实文件精神，某县对辖区内部分初中学生就“每天完成书面作业的时间”进行了随机调查，为便于统计学生每天完成书面作业的时间（用t表示，单位h）状况设置了如下四个选项，分别为A：，B：，C：，D：，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
请根据以上提供的信息解答下列问题：
（1）此次调查，选项A中的学生人数是多少？
（2）在扇形统计图中，选项D所对应的扇形圆心角的大小为多少？
（3）如果该县有15000名初中学生，那么请估算该县“每天完成书面作业的时间不超过90分钟”的初中学生约有多少人？
（4）请回答你每天完成书面作业的时间属于哪个选项，并对老师的书面作业布置提出合理化建议．
【答案】（1）解：此次调查的总人数是人，
所以选项A中的学生人数是（人）；
（2）解：，
选项D所对应的扇形圆心角的大小为；
（3）解：；
所以估算该县“每天完成书面作业的时间不超过90分钟”的初中学生约有9600人；
（4）解：我的作业时间属于B选项；从调查结果来看：仅有的学生符合“初中书面作业平均完成时间不超过90分钟”，还有的学生每天完成书面作业的时间超过了90分钟，所以布置的作业应该精简量少．（答案不唯一，合理即可）．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图的信息即可求解；
（2）根据圆心角的计算公式即可求解；
（3）根据样本估计总体的知识结合题意即可求解；
（4）根据题意即可求解。
18．（2023·滨州）先化简，再求值：，其中满足．
【答案】解：
；
∵，
即，
∴原式．
【知识点】分式的化简求值；负整数指数幂；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】运用分式的混合运算进行化简，进而运用负整数指数幂、特殊三角函数值进行运算即可得到，再代入即可求解。
19．（2023·滨州）如图，直线为常数与双曲线（为常数）相交于，两点．
（1）求直线的解析式；
（2）在双曲线上任取两点和，若，试确定和的大小关系，并写出判断过程；
（3）请直接写出关于的不等式的解集．
【答案】（1）解：将点代入反比例函数，
∴，
∴
将点代入
∴，
将，代入，得
解得：，
∴
（2）解：∵，，
∴反比例函数在第二四象限，在每个象限内，随的增大而增大，
∴当或时，，
当时，根据图象可得，
综上所述，当或时，；当时，，
（3）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（3）∵直线为常数与双曲线（为常数）相交于，两点，
∴关于的不等式的解集为或
【分析】（1）运用待定系数法求一次函数和反比例函数即可求解；
（2）先根据反比例函数的性质结合题意即可求解；
（3）直接观察图像运用交点坐标即可求解。
20．（2023·滨州）（1）已知线段，求作，使得；（请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）
（2）求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（请借助上一小题所作图形，在完善的基础上，写出已知、求证与证明．）
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：已知：如图，为中斜边上的中线，，
求证：.
证明：延长并截取.
∵为边中线，∴，
∴四边形为平行四边形.
∵，
∴平行四边形为矩形，
∴，
∴
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；平行四边形的判定；矩形的判定与性质；作图-垂线；作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）先作射线AP，然后在AP上截取CA=m，过点C作CA的垂线MN，然后在NC上截取CB=n，连接BA即可求解；
（2）延长并截取，先根据中线的性质即可得到，进而根据平行四边形的判定与矩形的判定与性质即可得到，进而即可求解。
21．（2023·滨州）如图，在平面直角坐标系中，菱形的一边在轴正半轴上，顶点的坐标为，点是边上的动点，过点作交边于点，作交边于点，连接．设的面积为．
（1）求关于的函数解析式；
（2）当取何值时，的值最大？请求出最大值．
【答案】（1）解：如图所示，过点作于点，连接，
∵顶点的坐标为，
∴，，
∴，
∴
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴
∴是等边三角形，
∴
∵，
∴，
∴
∵，，则，
∴
∴
∴
∴
∴
（2）解：∵
∵，
∴当时，的值最大，最大值为．
【知识点】二次函数的最值；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）过点作于点，连接，先根据两点间的距离公式即可得到OA的长，进而得到，再根据菱形的判定与性质即可得到，，，进而根据等边三角形的判定与性质得到，，再根据相似三角形的判定与性质证明，进而即可得到，在结合题意即可求解；
（2）根据（1）中的答案，再将解析式转化为顶点式，进而即可求解。
22．（2023·滨州）如图，点是的内心，的延长线与边相交于点，与的外接圆相交于点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）求证：；
（4）猜想：线段三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．）
【答案】（1）证明：如图所示，过点作垂足分别为，
∵点是的内心，
∴是的角平分线，
∵，
∴，
∵，
∴，
（2）证明：如图所示，过点作于点，
∵，
∴，
由（1）可得，
∴；
（3）证明：连接，
∵
∴
∴
∴，
∴
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴；
∴，
∴，
（4）
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】 （4）解：如图所示，连接 ，
∵点 是 的内心，
∴ 是 的角平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【分析】（1） 先根据三角形内心的性质结合角平分线的性质即可得到，再根据三角形的面积结合题意即可求解；
（2）过点作于点，先根据三角形的面积即可得到，由（1）可得，进而即可求解；
（3）连接，先根据圆周角定理即可得到，进而根据相似三角形判定与性质证明即可得到，再根据圆周角定理即可得到，再证明即可得到，进而根据即可求解；
（4）连接 ，先根据三角形内心的性质结合角平分线的性质即可得到 ，进而根据相似三角形的判定与性质证明 即可得到 ，再根据“ ， ”即可得到 ，进而根据等腰三角形的性质得到 ，从而结合题意即可求解。
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