湖南省郴州市2023年中考数学试卷
一、单选题
1．（2023·郴州）的倒数是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：由题意得的倒数是，
故答案为：B
【分析】根据倒数的定义结合题意即可求解。
2．（2023·郴州）下列图形中，能由图形通过平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：由题意得能由图形通过平移得到，
故答案为：B
【分析】根据平移的性质结合题意即可求解。
3．（2023·郴州）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：
A、，A符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意
故答案为：A
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项、完全平方公式进行运算，进而即可求解。
4．（2023·郴州）下列几何体中，各自的三视图完全一样的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：
A、该几何体的俯视图为三角形，与主视图长方形和左视图长方形不同，A不符合题意；
B、该几何体的俯视图为圆，与主视图三角形和左视图三角形不同，B不符合题意；
C、该几何体的俯视图为圆，与主视图长方形和左视图长方形不同，C不符合题意；
D、该几何体的三视图完全相同，均为圆，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据简单几何体的三视图结合题意即可求解。
5．（2023·郴州）下列问题适合全面调查的是（ ）
A．调查市场上某品牌灯泡的使用寿命
B．了解全市人民对湖南省第二届旅发大会的关注情况
C．了解郴江河的水质情况
D．神舟十六号飞船发射前对飞船仪器设备的检查
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：
A、调查市场上某品牌灯泡的使用寿命，样本的数量较大，不适合用全面调查，A不符合题意；
B、了解全市人民对湖南省第二届旅发大会的关注情况，样本的数量较大，不适合用全面调查，B不符合题意；
C、了解郴江河的水质情况，不适合用全面调查，C不符合题意；
D、神舟十六号飞船发射前对飞船仪器设备的检查，适合使用全面调查，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据全面调查的定义结合题意即可求解。
6．（2023·郴州）一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得，
解①得x≤3，
解②得x＞-1，
∴不等式组的解集为-1＜x≤3，
∴在数轴上表示为，
故答案为：C
【分析】先分别解不等式①和②，进而即可得到不等式组的解集，再表示在数轴上即可求解。
7．（2023·郴州）小王从A地开车去B地，两地相距240km．原计划平均速度为km/h，实际平均速度提高了50%，结果提前1小时到达．由此可建立方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：B
【分析】设原计划平均速度为km/h，根据“小王从A地开车去B地，两地相距240km，实际平均速度提高了50%，结果提前1小时到达”即可列出分式方程，进而即可求解。
8．（2023·郴州）第11届中国（湖南）矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午开车前往会展中心参观．途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间．车修好后，他们继续开车赶往会展中心．以下是他们家出发后离家的距离与时间的函数图象．分析图中信息，下列说法正确的是（ ）
A．途中修车花了
B．修车之前的平均速度是/
C．车修好后的平均速度是/
D．车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的倍
【答案】D
【知识点】函数的图象；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：
A、途中修车花了，A不符合题意；
B、修车之前的平均速度是，B不符合题意；
C、车修好后的平均速度是，C不符合题意；
D、900÷600=1.5，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据函数图象结合题意即可求解。
二、填空题
9．（2018八上·南安期中）计算： ．
【答案】3
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】根据立方根的定义，求数a的立方根，也就是求一个数x，使得x3=a，则x就是a的一个立方根：
∵33=27，∴ 。
【分析】开三次方根
10．（2023·郴州）在一次函数中，随的增大而增大，则的值可以是 （任写一个符合条件的数即可）．
【答案】3（答案不唯一）
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意得k-2＞0，
∴k＞2，
故答案为：3（答案不唯一）
【分析】根据一次函数的性质即可求出k的取值范围，进而即可求解。
11．（2023·郴州）在一个不透明的袋子中装有3个白球和7个红球，它们除颜色外，大小、质地都相同．从袋子中随机取出一个球，是红球的概率是 ．
【答案】
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：由题意得红球的概率是，
故答案为：
【分析】根据等可能事件的概率结合题意即可求解。
12．（2023·郴州）抛物线与轴只有一个交点，则 ．
【答案】9
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线与轴只有一个交点，
∴，
∴c=9，
故答案为：9
【分析】根据二次函数与x轴的交点问题结合题意即可求解。
13．（2023·郴州）为积极响应“助力旅发大会，唱响美丽郴州”的号召，某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占30%，演唱技巧占50%，精神面貌占20%考评．某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分．则该参赛队的最终成绩是 分．
【答案】93
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：由题意得90×30%+94×50％+95×20%=93（分），
故答案为：93
【分析】根据加权平均数的计算方法结合题意即可求解。
14．（2023八下·晋安期中）在 Rt △ABC中， ∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB的中点，则 .
【答案】5
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，
∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8
∴
∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=AB=×10=5.
故答案为5.
【分析】由勾股定理求出AB=10，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求解.
15．（2023·郴州）如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点处安装了一台监视器，它的监控角度是，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 台．
【答案】4
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：由题意得∠P所对应的圆心角的度数为110°，
∴360÷110≈3.27，
∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台，
故答案为：4
【分析】先根据圆周角定理即可得到∠P所对应的圆心角的度数，进而结合题意即可求解。
16．（2023·郴州）如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转，得到，若点的对应点恰好落在线段上，则点的运动路径长是 cm（结果用含的式子表示）．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；弧长的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图所示，弧即为点C的运动路径：
∵在中，，，
∴BC=6，
∴由勾股定理得，
由旋转可知AB=AB'，∠CAC'=60°，
∵∠B=60°，
∴△ABB'为等边三角形，
∴∠B'AB=60°，
∴点的运动路径长是，
故答案为：
【分析】先根据含30°角的直角三角形的性质结合勾股定理即可求出CA的长，进而根据旋转即可得到AB=AB'，∠CAC'=60°，再结合等边三角形的判定与性质即可得到∠B'AB=60°，最后运用弧长的计算公式即可求解。
三、解答题
17．（2023·郴州）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；负整数指数幂；特殊角的三角函数值；分数指数幂
【解析】【分析】运用负整数指数幂、特殊三角形函数值、零指数幂、绝对值进行运算，进而即可求解。
18．（2023·郴州）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先运用分式的混合运算进行化简，再代入求值即可求解。
19．（2023·郴州）某校计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D、E五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图．
（1）请把图1中缺失的数据，图形补充完整；
（2）请计算图2中研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数；
（3）若该校共有1200名学生，请估计最喜欢去D地研学的学生人数．
【答案】（1）解：（人）
选择的人数：（人）
补全图形如下：
（2）解：，
∴研学活动地点所在扇形的圆心角的度数；
（3）解：（人）
答：最喜欢去地研学的学生人数共有人．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【分析】（1）先根据题意求出总人数，进而即可得到选择A的人数，再补全统计图即可求解；
（2）根据圆心角的计算公式即可求解；
（3）根据样本估计总体的知识结合题意即可求解
20．（2023·郴州）如图，四边形是平行四边形．
（1）尺规作图；作对角线的垂直平分线（保留作图痕迹）；
（2）若直线分别交，于，两点，求证：四边形是菱形
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
如图：设与交于点，
∵是的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形．
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据作图-垂直平分线即可求解；
（2）先根据平行四边形的性质结合平行线的性质即可得到，设与交于点，根据垂直平分线的性质即可得到，，再根据三角形全等的判定与性质即可得到，再运用平行四边形的判定与菱形的判定即可求解。
21．（2023·郴州）某次军事演习中，一艘船以的速度向正东航行，在出发地测得小岛在它的北偏东方向，小时后到达处，测得小岛在它的北偏西方向，求该船在航行过程中与小岛的最近距离（参考数据：，．结果精确到）．
【答案】解：过点作，垂足为，
∵，，，，，
∴，，，
在中，，即，
∴，
在中，，即，
∴，
∴，
∴（），
∴该船在航行过程中与小岛的最近距离．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过点作，垂足为，根据解直角三角形的知识结合题意即可求解。
22．（2023·郴州）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．
（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
【答案】（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，由题意，得：
，
解得：（负值已舍掉）；
答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为；
（2）解：设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，由题意，得：
，
解得：；
∴5月份后10天日均接待游客人数最多是1万人．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，根据“2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人”结合题意即可列出一元二次方程，进而即可求解；
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，根据题意即可求出y的取值范围，进而即可求解。
23．（2023·郴州）如图，在中，是直径，点是圆上一点．在的延长线上取一点，连接，使．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积（结果用含的式子表示）．
【答案】（1）证明：连接，
∵是直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，解得，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）先根据圆周角定理即可得到，进而根据题意结合等腰三角形的性质即可得到，进而根据切线的判定即可求解；
（2）先根据题意结合圆周角定理即可得到∠AOC的度数，再运用特殊三角形函数值、锐角三角形函数的定义即可求出OC的长，进而运用扇形的面积公式结合即可求解。
24．（2023·郴州）在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘（固定）中放置一个物体，在右边托盘（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘与点的距离（）（），记录容器中加入的水的质量，得到下表：
托盘与点的距离 30 25 20 15 10
容器与水的总质量 10 12 15 20 30
加入的水的质量 5 7 10 15 25
把上表中的与各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的关于的函数图象．
（1）请在该平面直角坐标系中作出关于的函数图象；
（2）观察函数图象，并结合表中的数据：
①猜测与之间的函数关系，并求关于的函数表达式；
②求关于的函数表达式；
③当时，随的增大而 （填“增大”或“减小”），随的增大而 （填“增大”或“减小”），的图象可以由的图象向 （以“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到．
（3）若在容器中加入的水的质量（g）满足，求托盘与点的距离（cm）的取值范围．
【答案】（1）解：函数图象如图所示，
（2）解：①②③减小；减小；下
（3）解：当时，解得，
当时，解得，
∴托盘与点的距离（）的取值范围．
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】（2） ①观察图象可知， 可能是 反比例函数，设 ，
把 的坐标代入 ，得 ，
经检验，其余各个点坐标均满足 ，
∴ 关于 的函数表达式 ；
②观察表格以及①可知， 可能与 成反比例，设 ，
把 的坐标代入 ，得 ，
经检验，其余各个点坐标均满足 ，
∴ 关于 的函数表达式 ；
③由图图像可知，当 时， 随 的增大而减小， 随 的增大而减小， 的图象可以由 的图象向下平移得到，
故答案为：减小，减小，下；
【分析】（1）平滑的连接平面直角坐标系中的点即可求解；
（2）①先观察图象可知， 可能是 反比例函数，设 ，进而待定系数法求出反比例函数的解析式，再检验即可求解；②观察表格以及①可知， 可能与 成反比例，设 ，进而即可求解；③根据反比例函数的性质即可求解；
（3）根据反比例函数的性质代入和即可求解。
25．（2023·郴州）已知是等边三角形，点是射线上的一个动点，延长至点，使，连接交射线于点．
（1）如图1，当点在线段上时，猜测线段与的数量关系并说明理由；
（2）如图2，当点在线段的延长线上时，
①线段与的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，连接．设，若，求四边形的面积．
【答案】（1）解：，理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
过点作，交于点，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，，
又，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①成立，理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
过点作，交的延长线于点，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，，
又，
∴，
∴，
∴；
②过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，交于点，则：，
由①知：为等边三角形，，，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则：，，
∴，
∵，
∴，
∴，即：②，
联立①②可得：（负值已舍去），
经检验是原方程的根，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的面积为
．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1），理由如下：先根据等边三角形的性质即可得到，过点作，交于点，根据等边三角形的判定与性质得到，进而得到，，然后运用三角形全等的判定与性质证明，进而即可求解；
（2）①成立，理由如下：先根据等边三角形的性质得到，过点作，交的延长线于点，再根据等边三角形的判定与性质即可得到，进而得到，，再根据三角形全等的判定与性质结合题意即可求解；
②过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，交于点，则：，先根据为等边三角形即可得到，进而根据勾股定理即可得到AH的长，然后根据三角形全等的判定与性质证明，即可得到，，再根据锐角三角形函数的定义即可得到，设，则：，，进而得到，根据相似三角形的判定与性质即可得到②，联立①②即可求出x，再运用三角形的面积结合即可求解。
26．（2023·郴州）已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求的值；
（3）如图2，取线段的中点，在抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，，
∴，解得：，
∴；
（2）解：∵，当时，，
∴，抛物线的对称轴为直线
∵的周长等于，为定长，
∴当的值最小时，的周长最小，
∵关于对称轴对称，
∴，当三点共线时，的值最小，为的长，此时点为直线与对称轴的交点，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
当时，，
∴，
∵，
∴，，
∴；
（3）解：存在，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
①当点在点上方时：
过点作，交抛物线与点，则：，此时点纵坐标为2，
设点横坐标为，
则：，
解得：，
∴或；
②当点在点下方时：设与轴交于点，
则：，
设，
则：，，
∴，解得：，
∴，
设的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
联立，解得：或，
∴或；
综上：或或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）运用待定系数法求二次函数解析式即可求解；
（2）先根据二次函数的性质即可得到抛物线的对称轴和点C，进而根据题意得到当的值最小时，的周长最小，再根据对称即可得到，当三点共线时，的值最小，为的长，此时点为直线与对称轴的交点，设直线的解析式为：，运用待定系数法求一次函数的解析式，进而得到点P的坐标，再运用两点间的距离公式结合题意求出PA和PC即可；
（3）存在，先根结合已知条件得到，然后分类讨论：①当点在点上方时：过点作，交抛物线与点，则：，此时点纵坐标为2，设点横坐标为，进而根据题意即可求出Q的坐标；②当点在点下方时：设与轴交于点，则：，设，根据勾股定理即可求出p，进而得到点E的坐标，再运用待定系数法求直线DE的解析式，进而联立直线和抛物线即可求出点Q的坐标，最后总结即可。
1 / 1湖南省郴州市2023年中考数学试卷
一、单选题
1．（2023·郴州）的倒数是（ ）
A．2 B． C． D．
2．（2023·郴州）下列图形中，能由图形通过平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·郴州）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·郴州）下列几何体中，各自的三视图完全一样的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·郴州）下列问题适合全面调查的是（ ）
A．调查市场上某品牌灯泡的使用寿命
B．了解全市人民对湖南省第二届旅发大会的关注情况
C．了解郴江河的水质情况
D．神舟十六号飞船发射前对飞船仪器设备的检查
6．（2023·郴州）一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·郴州）小王从A地开车去B地，两地相距240km．原计划平均速度为km/h，实际平均速度提高了50%，结果提前1小时到达．由此可建立方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·郴州）第11届中国（湖南）矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午开车前往会展中心参观．途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间．车修好后，他们继续开车赶往会展中心．以下是他们家出发后离家的距离与时间的函数图象．分析图中信息，下列说法正确的是（ ）
A．途中修车花了
B．修车之前的平均速度是/
C．车修好后的平均速度是/
D．车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的倍
二、填空题
9．（2018八上·南安期中）计算： ．
10．（2023·郴州）在一次函数中，随的增大而增大，则的值可以是 （任写一个符合条件的数即可）．
11．（2023·郴州）在一个不透明的袋子中装有3个白球和7个红球，它们除颜色外，大小、质地都相同．从袋子中随机取出一个球，是红球的概率是 ．
12．（2023·郴州）抛物线与轴只有一个交点，则 ．
13．（2023·郴州）为积极响应“助力旅发大会，唱响美丽郴州”的号召，某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占30%，演唱技巧占50%，精神面貌占20%考评．某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分．则该参赛队的最终成绩是 分．
14．（2023八下·晋安期中）在 Rt △ABC中， ∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB的中点，则 .
15．（2023·郴州）如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点处安装了一台监视器，它的监控角度是，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 台．
16．（2023·郴州）如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转，得到，若点的对应点恰好落在线段上，则点的运动路径长是 cm（结果用含的式子表示）．
三、解答题
17．（2023·郴州）计算：．
18．（2023·郴州）先化简，再求值：，其中．
19．（2023·郴州）某校计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D、E五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图．
（1）请把图1中缺失的数据，图形补充完整；
（2）请计算图2中研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数；
（3）若该校共有1200名学生，请估计最喜欢去D地研学的学生人数．
20．（2023·郴州）如图，四边形是平行四边形．
（1）尺规作图；作对角线的垂直平分线（保留作图痕迹）；
（2）若直线分别交，于，两点，求证：四边形是菱形
21．（2023·郴州）某次军事演习中，一艘船以的速度向正东航行，在出发地测得小岛在它的北偏东方向，小时后到达处，测得小岛在它的北偏西方向，求该船在航行过程中与小岛的最近距离（参考数据：，．结果精确到）．
22．（2023·郴州）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．
（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
23．（2023·郴州）如图，在中，是直径，点是圆上一点．在的延长线上取一点，连接，使．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积（结果用含的式子表示）．
24．（2023·郴州）在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘（固定）中放置一个物体，在右边托盘（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘与点的距离（）（），记录容器中加入的水的质量，得到下表：
托盘与点的距离 30 25 20 15 10
容器与水的总质量 10 12 15 20 30
加入的水的质量 5 7 10 15 25
把上表中的与各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的关于的函数图象．
（1）请在该平面直角坐标系中作出关于的函数图象；
（2）观察函数图象，并结合表中的数据：
①猜测与之间的函数关系，并求关于的函数表达式；
②求关于的函数表达式；
③当时，随的增大而 （填“增大”或“减小”），随的增大而 （填“增大”或“减小”），的图象可以由的图象向 （以“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到．
（3）若在容器中加入的水的质量（g）满足，求托盘与点的距离（cm）的取值范围．
25．（2023·郴州）已知是等边三角形，点是射线上的一个动点，延长至点，使，连接交射线于点．
（1）如图1，当点在线段上时，猜测线段与的数量关系并说明理由；
（2）如图2，当点在线段的延长线上时，
①线段与的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，连接．设，若，求四边形的面积．
26．（2023·郴州）已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求的值；
（3）如图2，取线段的中点，在抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：由题意得的倒数是，
故答案为：B
【分析】根据倒数的定义结合题意即可求解。
2．【答案】B
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：由题意得能由图形通过平移得到，
故答案为：B
【分析】根据平移的性质结合题意即可求解。
3．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：
A、，A符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意
故答案为：A
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项、完全平方公式进行运算，进而即可求解。
4．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：
A、该几何体的俯视图为三角形，与主视图长方形和左视图长方形不同，A不符合题意；
B、该几何体的俯视图为圆，与主视图三角形和左视图三角形不同，B不符合题意；
C、该几何体的俯视图为圆，与主视图长方形和左视图长方形不同，C不符合题意；
D、该几何体的三视图完全相同，均为圆，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据简单几何体的三视图结合题意即可求解。
5．【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：
A、调查市场上某品牌灯泡的使用寿命，样本的数量较大，不适合用全面调查，A不符合题意；
B、了解全市人民对湖南省第二届旅发大会的关注情况，样本的数量较大，不适合用全面调查，B不符合题意；
C、了解郴江河的水质情况，不适合用全面调查，C不符合题意；
D、神舟十六号飞船发射前对飞船仪器设备的检查，适合使用全面调查，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据全面调查的定义结合题意即可求解。
6．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得，
解①得x≤3，
解②得x＞-1，
∴不等式组的解集为-1＜x≤3，
∴在数轴上表示为，
故答案为：C
【分析】先分别解不等式①和②，进而即可得到不等式组的解集，再表示在数轴上即可求解。
7．【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：B
【分析】设原计划平均速度为km/h，根据“小王从A地开车去B地，两地相距240km，实际平均速度提高了50%，结果提前1小时到达”即可列出分式方程，进而即可求解。
8．【答案】D
【知识点】函数的图象；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：
A、途中修车花了，A不符合题意；
B、修车之前的平均速度是，B不符合题意；
C、车修好后的平均速度是，C不符合题意；
D、900÷600=1.5，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据函数图象结合题意即可求解。
9．【答案】3
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】根据立方根的定义，求数a的立方根，也就是求一个数x，使得x3=a，则x就是a的一个立方根：
∵33=27，∴ 。
【分析】开三次方根
10．【答案】3（答案不唯一）
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意得k-2＞0，
∴k＞2，
故答案为：3（答案不唯一）
【分析】根据一次函数的性质即可求出k的取值范围，进而即可求解。
11．【答案】
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：由题意得红球的概率是，
故答案为：
【分析】根据等可能事件的概率结合题意即可求解。
12．【答案】9
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线与轴只有一个交点，
∴，
∴c=9，
故答案为：9
【分析】根据二次函数与x轴的交点问题结合题意即可求解。
13．【答案】93
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：由题意得90×30%+94×50％+95×20%=93（分），
故答案为：93
【分析】根据加权平均数的计算方法结合题意即可求解。
14．【答案】5
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，
∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8
∴
∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=AB=×10=5.
故答案为5.
【分析】由勾股定理求出AB=10，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求解.
15．【答案】4
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：由题意得∠P所对应的圆心角的度数为110°，
∴360÷110≈3.27，
∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台，
故答案为：4
【分析】先根据圆周角定理即可得到∠P所对应的圆心角的度数，进而结合题意即可求解。
16．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；弧长的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图所示，弧即为点C的运动路径：
∵在中，，，
∴BC=6，
∴由勾股定理得，
由旋转可知AB=AB'，∠CAC'=60°，
∵∠B=60°，
∴△ABB'为等边三角形，
∴∠B'AB=60°，
∴点的运动路径长是，
故答案为：
【分析】先根据含30°角的直角三角形的性质结合勾股定理即可求出CA的长，进而根据旋转即可得到AB=AB'，∠CAC'=60°，再结合等边三角形的判定与性质即可得到∠B'AB=60°，最后运用弧长的计算公式即可求解。
17．【答案】解：原式
．
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；负整数指数幂；特殊角的三角函数值；分数指数幂
【解析】【分析】运用负整数指数幂、特殊三角形函数值、零指数幂、绝对值进行运算，进而即可求解。
18．【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先运用分式的混合运算进行化简，再代入求值即可求解。
19．【答案】（1）解：（人）
选择的人数：（人）
补全图形如下：
（2）解：，
∴研学活动地点所在扇形的圆心角的度数；
（3）解：（人）
答：最喜欢去地研学的学生人数共有人．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【分析】（1）先根据题意求出总人数，进而即可得到选择A的人数，再补全统计图即可求解；
（2）根据圆心角的计算公式即可求解；
（3）根据样本估计总体的知识结合题意即可求解
20．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
如图：设与交于点，
∵是的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形．
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据作图-垂直平分线即可求解；
（2）先根据平行四边形的性质结合平行线的性质即可得到，设与交于点，根据垂直平分线的性质即可得到，，再根据三角形全等的判定与性质即可得到，再运用平行四边形的判定与菱形的判定即可求解。
21．【答案】解：过点作，垂足为，
∵，，，，，
∴，，，
在中，，即，
∴，
在中，，即，
∴，
∴，
∴（），
∴该船在航行过程中与小岛的最近距离．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过点作，垂足为，根据解直角三角形的知识结合题意即可求解。
22．【答案】（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，由题意，得：
，
解得：（负值已舍掉）；
答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为；
（2）解：设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，由题意，得：
，
解得：；
∴5月份后10天日均接待游客人数最多是1万人．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，根据“2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人”结合题意即可列出一元二次方程，进而即可求解；
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，根据题意即可求出y的取值范围，进而即可求解。
23．【答案】（1）证明：连接，
∵是直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，解得，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）先根据圆周角定理即可得到，进而根据题意结合等腰三角形的性质即可得到，进而根据切线的判定即可求解；
（2）先根据题意结合圆周角定理即可得到∠AOC的度数，再运用特殊三角形函数值、锐角三角形函数的定义即可求出OC的长，进而运用扇形的面积公式结合即可求解。
24．【答案】（1）解：函数图象如图所示，
（2）解：①②③减小；减小；下
（3）解：当时，解得，
当时，解得，
∴托盘与点的距离（）的取值范围．
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】（2） ①观察图象可知， 可能是 反比例函数，设 ，
把 的坐标代入 ，得 ，
经检验，其余各个点坐标均满足 ，
∴ 关于 的函数表达式 ；
②观察表格以及①可知， 可能与 成反比例，设 ，
把 的坐标代入 ，得 ，
经检验，其余各个点坐标均满足 ，
∴ 关于 的函数表达式 ；
③由图图像可知，当 时， 随 的增大而减小， 随 的增大而减小， 的图象可以由 的图象向下平移得到，
故答案为：减小，减小，下；
【分析】（1）平滑的连接平面直角坐标系中的点即可求解；
（2）①先观察图象可知， 可能是 反比例函数，设 ，进而待定系数法求出反比例函数的解析式，再检验即可求解；②观察表格以及①可知， 可能与 成反比例，设 ，进而即可求解；③根据反比例函数的性质即可求解；
（3）根据反比例函数的性质代入和即可求解。
25．【答案】（1）解：，理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
过点作，交于点，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，，
又，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①成立，理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
过点作，交的延长线于点，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，，
又，
∴，
∴，
∴；
②过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，交于点，则：，
由①知：为等边三角形，，，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则：，，
∴，
∵，
∴，
∴，即：②，
联立①②可得：（负值已舍去），
经检验是原方程的根，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的面积为
．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1），理由如下：先根据等边三角形的性质即可得到，过点作，交于点，根据等边三角形的判定与性质得到，进而得到，，然后运用三角形全等的判定与性质证明，进而即可求解；
（2）①成立，理由如下：先根据等边三角形的性质得到，过点作，交的延长线于点，再根据等边三角形的判定与性质即可得到，进而得到，，再根据三角形全等的判定与性质结合题意即可求解；
②过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，交于点，则：，先根据为等边三角形即可得到，进而根据勾股定理即可得到AH的长，然后根据三角形全等的判定与性质证明，即可得到，，再根据锐角三角形函数的定义即可得到，设，则：，，进而得到，根据相似三角形的判定与性质即可得到②，联立①②即可求出x，再运用三角形的面积结合即可求解。
26．【答案】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，，
∴，解得：，
∴；
（2）解：∵，当时，，
∴，抛物线的对称轴为直线
∵的周长等于，为定长，
∴当的值最小时，的周长最小，
∵关于对称轴对称，
∴，当三点共线时，的值最小，为的长，此时点为直线与对称轴的交点，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
当时，，
∴，
∵，
∴，，
∴；
（3）解：存在，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
①当点在点上方时：
过点作，交抛物线与点，则：，此时点纵坐标为2，
设点横坐标为，
则：，
解得：，
∴或；
②当点在点下方时：设与轴交于点，
则：，
设，
则：，，
∴，解得：，
∴，
设的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
联立，解得：或，
∴或；
综上：或或或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）运用待定系数法求二次函数解析式即可求解；
（2）先根据二次函数的性质即可得到抛物线的对称轴和点C，进而根据题意得到当的值最小时，的周长最小，再根据对称即可得到，当三点共线时，的值最小，为的长，此时点为直线与对称轴的交点，设直线的解析式为：，运用待定系数法求一次函数的解析式，进而得到点P的坐标，再运用两点间的距离公式结合题意求出PA和PC即可；
（3）存在，先根结合已知条件得到，然后分类讨论：①当点在点上方时：过点作，交抛物线与点，则：，此时点纵坐标为2，设点横坐标为，进而根据题意即可求出Q的坐标；②当点在点下方时：设与轴交于点，则：，设，根据勾股定理即可求出p，进而得到点E的坐标，再运用待定系数法求直线DE的解析式，进而联立直线和抛物线即可求出点Q的坐标，最后总结即可。
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