吉林省2023年中考数学试卷
一、单选题
1．（2023·吉林）月球表面的白天平均温度零上，记作，夜间平均温度零下，应记作（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·吉林）图①是2023年6月11日吉林市全程马拉松男子组颁奖现场．图②是领奖台的示意图，则此领奖台的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·吉林）下列算式中，结果等于的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·吉林）一元二次方程根的判别式的值是（ ）
A．33 B．23 C．17 D．
5．（2023·吉林）如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·吉林）如图，，是的弦，，是的半径，点为上任意一点（点不与点重合），连接．若，则的度数可能是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2023·吉林）计算：
8．（2023·吉林）不等式的解集为 ．
9．（2023·吉林）计算： ．
10．（2023·吉林）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是 ．
11．（2023·吉林）如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两孤交于点D，作直线交于点E．若，则的大小为 度．
12．（2023·吉林）《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱．问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为x人，可列方程为 ．
13．（2023·吉林）如图①，A，B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点O是圆心，半径r为，点A，B是圆上的两点，圆心角，则的长为 ．（结果保留）
14．（2023·吉林）如图，在中，．点，分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为点．若点刚好落在边上，，则的长为 ．
三、解答题
15．（2023·吉林）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M是单项式．请写出单项式M，并将该例题的解答过程补充完整．
例 先化简，再求值：，其中． 解：原式 ……
16．（2023·吉林）2023年6月4日，“神舟”十五号载人飞船返回舱成功着陆．某校为弘扬爱国主义精神，举办以航天员事迹为主题的演讲比赛，主题人物由抽卡片决定，现有三张不透明的卡片，卡片正面分别写着费俊龙、邓清明、张陆三位航天员的姓名，依次记作A，B，C，卡片除正面姓名不同外，其余均相同．三张卡片正面向下洗匀后，甲选手从中随机抽取一张卡片，记录航天员姓名后正面向下放回，洗匀后乙选手再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率．
17．（2023·吉林）如图，点C在线段上，在和中，．
求证：．
18．（2023·吉林）2022年12月28日查干湖冬捕活动后，某商家销售A，B两种查干湖野生鱼，如果购买1箱A种鱼和2箱B种鱼需花费1300元：如果购买2箱A种鱼和3箱B种鱼需花费2300元．分别求每箱A种鱼和每箱B种鱼的价格．
19．（2023·吉林）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．
20．（2023·吉林）笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．已知波长与频率f是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值：
频率f（） 10 15 50
波长（m） 30 20 6
（1）求波长关于频率f的函数解析式．
（2）当时，求此电磁波的波长．
21．（2023·吉林）某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下：
填写人：王朵 综合实践活动报告 时间：2023年4月20日
活动任务：测量古树高度
活动过程
【步骤一】设计测量方案 小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量．
【步骤二】准备测量工具 自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示准备皮尺．
【步骤三】实地测量并记录数据如图③，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点． 如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角． 测出眼睛到地面的距离． 测出所站地方到古树底部的距离． ． ． ．
【步骤四】计算古树高度．（结果精确到） （参考数据：）
请结合图①、图④和相关数据写出的度数并完成【步骤四】．
22．（2023·吉林）为了解年吉林省粮食总产量及其增长速度的情况，王翔同学查阅相关资料，整理数据并绘制了如下统计图：
2年吉林省粮食总产量及其增长速度
（以上数据源于《年吉林省国民经济和社会发展统计公报》）
注：．
根据此统计图，回答下列问题：
（1）年全省粮食总产量比年全省粮食总产量多 万吨．
（2）年全省粮食总产量的中位数是 万吨．
（3）王翔同学根据增长速度计算方法得出年吉林省粮食总产量约为万吨．
结合所得数据及图中信息对下列说法进行判断，正确的画“√”，错误的画“×”
①年全省粮食总产量增长速度最快的年份为年，因此这年中，年全省粮食总产量最高．（ ）
②如果将年全省粮食总产量的中位数记为万吨，年全省粮食总产量的中位数记为万吨，那么．（ ）
23．（2023·吉林）甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．
（1）甲组比乙组多挖掘了 天．
（2）求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
（3）当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组己停工的天数．
24．（2023·吉林）
（1）【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形．转动其中一张纸条，发现四边形总是平行四边形其中判定的依据是 ．
（2）【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条和（，），其中，，将它们按图②放置，落在边上，与边分别交于点M，N．求证：是菱形．
（3）【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条不动，将平行四边形纸条沿或平移，且始终在边上．当时，延长交于点P，得到图③．若四边形的周长为40，（为锐角），则四边形的面积为 ．
25．（2023·吉林）如图，在正方形中，，点是对角线的中点，动点，分别从点，同时出发，点以的速度沿边向终点匀速运动，点以的速度沿折线向终点匀速运动．连接并延长交边于点，连接并延长交折线于点，连接，，，，得到四边形．设点的运动时间为（）（），四边形的面积为（）
（1）的长为 ，的长为 ．（用含x的代数式表示）
（2）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
（3）当四边形是轴对称图形时，直接写出的值．
26．（2023·吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点，在此抛物线上，其横坐标分别为，连接，．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）当点与此抛物线的顶点重合时，求的值．
（3）当的边与轴平行时，求点与点的纵坐标的差．
（4）设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为．当时，直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵零上，记作，
∴零下应记作，
故答案为：B
【分析】根据正数和负数的认识结合题意即可求解。
2．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意得此领奖台的主视图是，
故答案为：A
【分析】根据简单组合体的三视图结合题意即可求解。
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、不是同类项，不能进行加减运算，不符合题意；
B、根据同底数幂的乘法可知，底数不变，指数相加，结果是，符合题意；
C、根据幂的乘方可知，底数不变，指数相乘，结果是，不符合题意；
D、根据同底数幂的除法可知，底数不变，指数相减，结果是，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，即可判断B；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断C；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减，即可判断D.
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程的判别式结合题意即可求解。
5．【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴=，
故答案为：A
【分析】先根据平行线段成比例即可得到，进而结合题意即可求解。
6．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴∠BOC=140°，
∵为△OPC的外角，
∴＞∠BOC，
故答案为：D
【分析】先根据圆周角定理即可得到∠BOC=140°，再根据三角形外角的性质结合题意即可求解。
7．【答案】
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：-的绝对值是.故答案为.
【分析】根据绝对值意义，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是0，依此解答。
8．【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意得，
解得x＞2，
故答案为：
【分析】根据题意解不等式即可求解。
9．【答案】
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：
【分析】根据题意运用单项式乘多项式的知识即可求解。
10．【答案】三角形具有稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：由题意得钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性
【分析】根据题意结合三角形的稳定性即可求解。
11．【答案】55
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意得AD为∠BAC的角平分线，
∴，
故答案为：55
【分析】根据题意即可得到AD为∠BAC的角平分线，进而根据角平分线的性质即可求解。
12．【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设合伙人数为x人，由题意得，
故答案为：
【分析】设合伙人数为x人，根据“每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱”即可列出方程，进而即可求解。
13．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由题意得的长为，
故答案为：10π
【分析】根据弧长的计算公式结合题意即可求解。
14．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵将沿折叠，点的对应点为点．若点刚好落在边上，，
∴BE=B'E=2CE=6，
∴=6+3=9，
故答案为：9
【分析】根据折叠的性质结合含30°角的直角三角形的性质即可求出BE的长，进而即可求解。
15．【答案】解：由题意，第一步进行的是通分，
∴，
∴，
原式
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先通过通分即可得到M，再运用分式的化简求值即可求解。
16．【答案】解法一：画树状图，根据题意，画树状图结果如下：
由树状图可以看出，所有等可能出现的结果一共有9种，而两张卡片中相同的结果有3种，
所以甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率．
解法二：用列表法，根据题意，列表结果如下：
A B C
A AA BA CA
B AB BB CB
C AC BC CC
由表格可以看出，所有等可能出现的结果一共有9种，而两张卡片中相同的结果有3种，
所以甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；等可能事件的概率
【解析】【分析】先画出树状图或列表，进而得到所有等可能出现的结果一共有9种，而两张卡片中相同的结果有3种，进而根据等可能事件的概率结合题意即可求解。
17．【答案】证明：在和中，
∴
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】根据题意运用三角形全等的判定与性质即可求解。
18．【答案】解：设每箱A种鱼的价格是元，每箱B种鱼的价格是元，
由题意得：，
解得，
答：每箱A种鱼的价格是700元，每箱B种鱼的价格是300元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设每箱A种鱼的价格是元，每箱B种鱼的价格是元，根据“如果购买1箱A种鱼和2箱B种鱼需花费1300元：如果购买2箱A种鱼和3箱B种鱼需花费2300元”即可列出二元一次方程组，进而即可求解。
19．【答案】解：如图所示，
如图①，，则是等腰三角形，且是锐角三角形，
如图②，，，则，则是等腰直角三角形，
如图③，，则是等腰三角形，且是钝角三角形，
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】根据勾股定理求出AB，进而根据等腰三角形的定义结合题意即可求解。
20．【答案】（1）解：设波长关于频率f的函数解析式为，
把点代入上式中得：，
解得：，
；
（2）解：当时，，
答：当时，此电磁波的波长为．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）运用待定系数法求反比例函数即可求解；
（2）将代入即可求解。
21．【答案】解：测角仪显示的度数为，∴，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，，
在中，，
∴．
【知识点】矩形的性质；解直角三角形
【解析】【分析】先根据题意即可得到，进而得到四边形是矩形，，，再结合解直角三角形的知识即可求出CE，进而结合题意求解。
22．【答案】（1）
（2）
（3）解：①×
②√
【知识点】条形统计图；折线统计图；中位数
【解析】【解答】解：（1）由题意得4039.2-3877.9=161.3，
故答案为：
（2）将数据从小到大排列可得年全省粮食总产量的中位数是万吨，
故答案为：
（3）①年全省粮食总产量增长速度最快的年份为年，因此这年中，年全省粮食总产量不是最高。
故答案为：×
②由题意得a=3877.9，，
故答案为：√
【分析】（1）根据题意直接作差即可求解；
（2）根据中位数的定义结合题意即可求解；
（3）①根据题意即可求解；②根据中位数的定义进行计算即可求解。
23．【答案】（1）30
（2）解：设乙组停工后y关于x的函数解析式为，
将和两个点代入，可得，
解得，
∴
（3）解：10天
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：（1）甲组比乙组多挖掘了60-30=30（天），
故答案为：30；
（3）
【分析】（1）根据题意直接作差即可求解；
（2）设乙组停工后y关于x的函数解析式为，运用待定系数法求一次函数解析式代入点即可求解；
（3）先算出甲组每天挖和甲乙合作每天挖的路程，进而即可得到乙组每天挖的路程和乙组挖掘的总长度，设乙组己停工的天数为a，进而根据题意即可求解。
24．【答案】（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴平行四边形是菱形；
（3）80
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；平移的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1）由题意得剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形，
∴FE∥NM，FM∥EN，
∴两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（3）∵将平行四边形纸条沿或平移，
∴GM∥DP，PG∥MD，
∴四边形DMGP、GHNM、FMDC为平行四边形，
∵GM=MD，
∴四边形DMGP为菱形，
∵四边形EFMN为菱形，
∴四边形HPCE为菱形，
∵四边形的周长为40，
∴FG=FH=10，
作CB⊥GQ于点Q，
∴，
∴QG=8，
∴四边形的面积为80，
故答案为：80
【分析】（1）根据平行四边形的判定结合题意运用平移的性质即可求解；
（2）先根据平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，再运用平行线的判定结合平行四边形的判定与性质证明四边形是平行四边形即可得到，进而根据菱形的判定即可求解；
（3）先根据平移的性质即可得到GM∥DP，PG∥MD，进而得到四边形DMGP、GHNM、FMDC为平行四边形，再根据菱形的判定与性质即可得到FG=FH=10，作CB⊥GQ于点Q，根据锐角三角函数的定义即可求出QG的长，进而即可求解。
25．【答案】（1）；
（2）解：当时，点在上，
由（1）可得，
同理可得，
∵，，
则
；
当时，如图所示，
则，，
，
∴；
综上所述，；
（3）或
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】
（1）解：由题意得AP=x，则PB=（4-x），
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD=∠BAD=90°，CB∥DA，
∴∠NQC=∠QNA，
∵O为AC的中点，
∴NO=QO，PO=MO，
∴四边形NMQP为平行四边形，
∴NP=QM，QM∥PN，
∴∠NQM=∠PNQ，
∴∠CQM=∠PNA，
∴△MQC≌△PNA（AAS），
∴CM=PA=x，
故答案为：（4-x）；x；
（3）解：依题意，①当四边形 是矩形时，此时
即
解得： ，
当四边形 是菱形时，则 ，
∴ ，
解得： （舍去）；
②如图所示，当 时，
，解得 ，
当四边形 是菱形时，则 ，即 ，解得： （舍去），
综上所述，当四边形 是轴对称图形时， 或 ．
【分析】（1）根据题意即可得到AP=x，则PB=（4-x），进而根据正方形的性质即可得到∠BCD=∠BAD=90°，CB∥DA，再根据平行线的性质即可得到∠NQC=∠QNA，进而结合题意得到NO=QO，PO=MO，再根据平行四边形的判定与性质即可得到NP=QM，QM∥PN，进而结合题意得到∠CQ，M=∠PNA，再根据三角形全等的判定与性质证明△MQC≌△PNA（AAS）即可得到CM=PA=x；
（2）当时，点在上，由（1）可得，同理可得，进而即可得到，，再根据即可求解；当时，则，，进而得到，从而即可求出y；
（3）①当四边形 是矩形时，此时 即 ，进而即可求出x，然后根据菱形的性质结合题意即可求解；②当 时，进而即可求出x，当四边形 是菱形时，则 ，从而根据题意即可求出x；最后总结即可。
26．【答案】（1）解：∵抛物线经过点．
∴
∴抛物线解析式为；
（2）解： ∵，
顶点坐标为，
∵点与此抛物线的顶点重合，点的横坐标为
∴，
解得：；
（3）解：①轴时，点关于对称轴对称，
，
∴，则，，
∴，
∴点与点的纵坐标的差为；
②当轴时，则关于直线对称，
∴，
则
∴，；
∴点与点的纵坐标的差为；
综上所述，点与点的纵坐标的差为或；
（4）或
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】（4） ①如图所示，当 都在对称轴 的左侧时，
则
∴
∵ ， 即
∴ ；
∵
∴
解得： 或 （舍去）；
②当 在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时，
则 ，即 ，
则 ，
∴ ，
解得： （舍去）或 （舍去）；
③当点 在 的右侧且在直线 上方时，即 ，
，
∴
解得： 或 （舍去）；
④当 在直线 上或下方时，即 ，
，
，
，
解得： （舍去）或 （舍去）
综上所述， 或 ．
【分析】（1）代入点A即可求解；
（2）先根据抛物线解析式得到顶点坐标，进而根据题意即可求出m；
（3）分类讨论：①轴时，点关于对称轴对称，②当轴时，则关于直线对称，进而根据题意即可求出点P和点Q的坐标，进而即可求解；
（4）分类讨论：①如图所示，当 都在对称轴 的左侧时，②当 在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时，③当点 在 的右侧且在直线 上方时，即 ，④当 在直线 上或下方时，即 ，进而即可表示出和，根据题意即可求出m。
1 / 1吉林省2023年中考数学试卷
一、单选题
1．（2023·吉林）月球表面的白天平均温度零上，记作，夜间平均温度零下，应记作（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵零上，记作，
∴零下应记作，
故答案为：B
【分析】根据正数和负数的认识结合题意即可求解。
2．（2023·吉林）图①是2023年6月11日吉林市全程马拉松男子组颁奖现场．图②是领奖台的示意图，则此领奖台的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意得此领奖台的主视图是，
故答案为：A
【分析】根据简单组合体的三视图结合题意即可求解。
3．（2023·吉林）下列算式中，结果等于的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、不是同类项，不能进行加减运算，不符合题意；
B、根据同底数幂的乘法可知，底数不变，指数相加，结果是，符合题意；
C、根据幂的乘方可知，底数不变，指数相乘，结果是，不符合题意；
D、根据同底数幂的除法可知，底数不变，指数相减，结果是，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，即可判断B；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断C；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减，即可判断D.
4．（2023·吉林）一元二次方程根的判别式的值是（ ）
A．33 B．23 C．17 D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程的判别式结合题意即可求解。
5．（2023·吉林）如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴=，
故答案为：A
【分析】先根据平行线段成比例即可得到，进而结合题意即可求解。
6．（2023·吉林）如图，，是的弦，，是的半径，点为上任意一点（点不与点重合），连接．若，则的度数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴∠BOC=140°，
∵为△OPC的外角，
∴＞∠BOC，
故答案为：D
【分析】先根据圆周角定理即可得到∠BOC=140°，再根据三角形外角的性质结合题意即可求解。
二、填空题
7．（2023·吉林）计算：
【答案】
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：-的绝对值是.故答案为.
【分析】根据绝对值意义，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是0，依此解答。
8．（2023·吉林）不等式的解集为 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意得，
解得x＞2，
故答案为：
【分析】根据题意解不等式即可求解。
9．（2023·吉林）计算： ．
【答案】
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：
【分析】根据题意运用单项式乘多项式的知识即可求解。
10．（2023·吉林）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是 ．
【答案】三角形具有稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：由题意得钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性
【分析】根据题意结合三角形的稳定性即可求解。
11．（2023·吉林）如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两孤交于点D，作直线交于点E．若，则的大小为 度．
【答案】55
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意得AD为∠BAC的角平分线，
∴，
故答案为：55
【分析】根据题意即可得到AD为∠BAC的角平分线，进而根据角平分线的性质即可求解。
12．（2023·吉林）《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱．问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为x人，可列方程为 ．
【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设合伙人数为x人，由题意得，
故答案为：
【分析】设合伙人数为x人，根据“每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱”即可列出方程，进而即可求解。
13．（2023·吉林）如图①，A，B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点O是圆心，半径r为，点A，B是圆上的两点，圆心角，则的长为 ．（结果保留）
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由题意得的长为，
故答案为：10π
【分析】根据弧长的计算公式结合题意即可求解。
14．（2023·吉林）如图，在中，．点，分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为点．若点刚好落在边上，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵将沿折叠，点的对应点为点．若点刚好落在边上，，
∴BE=B'E=2CE=6，
∴=6+3=9，
故答案为：9
【分析】根据折叠的性质结合含30°角的直角三角形的性质即可求出BE的长，进而即可求解。
三、解答题
15．（2023·吉林）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M是单项式．请写出单项式M，并将该例题的解答过程补充完整．
例 先化简，再求值：，其中． 解：原式 ……
【答案】解：由题意，第一步进行的是通分，
∴，
∴，
原式
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先通过通分即可得到M，再运用分式的化简求值即可求解。
16．（2023·吉林）2023年6月4日，“神舟”十五号载人飞船返回舱成功着陆．某校为弘扬爱国主义精神，举办以航天员事迹为主题的演讲比赛，主题人物由抽卡片决定，现有三张不透明的卡片，卡片正面分别写着费俊龙、邓清明、张陆三位航天员的姓名，依次记作A，B，C，卡片除正面姓名不同外，其余均相同．三张卡片正面向下洗匀后，甲选手从中随机抽取一张卡片，记录航天员姓名后正面向下放回，洗匀后乙选手再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率．
【答案】解法一：画树状图，根据题意，画树状图结果如下：
由树状图可以看出，所有等可能出现的结果一共有9种，而两张卡片中相同的结果有3种，
所以甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率．
解法二：用列表法，根据题意，列表结果如下：
A B C
A AA BA CA
B AB BB CB
C AC BC CC
由表格可以看出，所有等可能出现的结果一共有9种，而两张卡片中相同的结果有3种，
所以甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；等可能事件的概率
【解析】【分析】先画出树状图或列表，进而得到所有等可能出现的结果一共有9种，而两张卡片中相同的结果有3种，进而根据等可能事件的概率结合题意即可求解。
17．（2023·吉林）如图，点C在线段上，在和中，．
求证：．
【答案】证明：在和中，
∴
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】根据题意运用三角形全等的判定与性质即可求解。
18．（2023·吉林）2022年12月28日查干湖冬捕活动后，某商家销售A，B两种查干湖野生鱼，如果购买1箱A种鱼和2箱B种鱼需花费1300元：如果购买2箱A种鱼和3箱B种鱼需花费2300元．分别求每箱A种鱼和每箱B种鱼的价格．
【答案】解：设每箱A种鱼的价格是元，每箱B种鱼的价格是元，
由题意得：，
解得，
答：每箱A种鱼的价格是700元，每箱B种鱼的价格是300元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设每箱A种鱼的价格是元，每箱B种鱼的价格是元，根据“如果购买1箱A种鱼和2箱B种鱼需花费1300元：如果购买2箱A种鱼和3箱B种鱼需花费2300元”即可列出二元一次方程组，进而即可求解。
19．（2023·吉林）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．
【答案】解：如图所示，
如图①，，则是等腰三角形，且是锐角三角形，
如图②，，，则，则是等腰直角三角形，
如图③，，则是等腰三角形，且是钝角三角形，
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】根据勾股定理求出AB，进而根据等腰三角形的定义结合题意即可求解。
20．（2023·吉林）笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．已知波长与频率f是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值：
频率f（） 10 15 50
波长（m） 30 20 6
（1）求波长关于频率f的函数解析式．
（2）当时，求此电磁波的波长．
【答案】（1）解：设波长关于频率f的函数解析式为，
把点代入上式中得：，
解得：，
；
（2）解：当时，，
答：当时，此电磁波的波长为．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）运用待定系数法求反比例函数即可求解；
（2）将代入即可求解。
21．（2023·吉林）某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下：
填写人：王朵 综合实践活动报告 时间：2023年4月20日
活动任务：测量古树高度
活动过程
【步骤一】设计测量方案 小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量．
【步骤二】准备测量工具 自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示准备皮尺．
【步骤三】实地测量并记录数据如图③，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点． 如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角． 测出眼睛到地面的距离． 测出所站地方到古树底部的距离． ． ． ．
【步骤四】计算古树高度．（结果精确到） （参考数据：）
请结合图①、图④和相关数据写出的度数并完成【步骤四】．
【答案】解：测角仪显示的度数为，∴，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，，
在中，，
∴．
【知识点】矩形的性质；解直角三角形
【解析】【分析】先根据题意即可得到，进而得到四边形是矩形，，，再结合解直角三角形的知识即可求出CE，进而结合题意求解。
22．（2023·吉林）为了解年吉林省粮食总产量及其增长速度的情况，王翔同学查阅相关资料，整理数据并绘制了如下统计图：
2年吉林省粮食总产量及其增长速度
（以上数据源于《年吉林省国民经济和社会发展统计公报》）
注：．
根据此统计图，回答下列问题：
（1）年全省粮食总产量比年全省粮食总产量多 万吨．
（2）年全省粮食总产量的中位数是 万吨．
（3）王翔同学根据增长速度计算方法得出年吉林省粮食总产量约为万吨．
结合所得数据及图中信息对下列说法进行判断，正确的画“√”，错误的画“×”
①年全省粮食总产量增长速度最快的年份为年，因此这年中，年全省粮食总产量最高．（ ）
②如果将年全省粮食总产量的中位数记为万吨，年全省粮食总产量的中位数记为万吨，那么．（ ）
【答案】（1）
（2）
（3）解：①×
②√
【知识点】条形统计图；折线统计图；中位数
【解析】【解答】解：（1）由题意得4039.2-3877.9=161.3，
故答案为：
（2）将数据从小到大排列可得年全省粮食总产量的中位数是万吨，
故答案为：
（3）①年全省粮食总产量增长速度最快的年份为年，因此这年中，年全省粮食总产量不是最高。
故答案为：×
②由题意得a=3877.9，，
故答案为：√
【分析】（1）根据题意直接作差即可求解；
（2）根据中位数的定义结合题意即可求解；
（3）①根据题意即可求解；②根据中位数的定义进行计算即可求解。
23．（2023·吉林）甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．
（1）甲组比乙组多挖掘了 天．
（2）求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
（3）当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组己停工的天数．
【答案】（1）30
（2）解：设乙组停工后y关于x的函数解析式为，
将和两个点代入，可得，
解得，
∴
（3）解：10天
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：（1）甲组比乙组多挖掘了60-30=30（天），
故答案为：30；
（3）
【分析】（1）根据题意直接作差即可求解；
（2）设乙组停工后y关于x的函数解析式为，运用待定系数法求一次函数解析式代入点即可求解；
（3）先算出甲组每天挖和甲乙合作每天挖的路程，进而即可得到乙组每天挖的路程和乙组挖掘的总长度，设乙组己停工的天数为a，进而根据题意即可求解。
24．（2023·吉林）
（1）【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形．转动其中一张纸条，发现四边形总是平行四边形其中判定的依据是 ．
（2）【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条和（，），其中，，将它们按图②放置，落在边上，与边分别交于点M，N．求证：是菱形．
（3）【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条不动，将平行四边形纸条沿或平移，且始终在边上．当时，延长交于点P，得到图③．若四边形的周长为40，（为锐角），则四边形的面积为 ．
【答案】（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴平行四边形是菱形；
（3）80
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；平移的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（1）由题意得剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形，
∴FE∥NM，FM∥EN，
∴两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（3）∵将平行四边形纸条沿或平移，
∴GM∥DP，PG∥MD，
∴四边形DMGP、GHNM、FMDC为平行四边形，
∵GM=MD，
∴四边形DMGP为菱形，
∵四边形EFMN为菱形，
∴四边形HPCE为菱形，
∵四边形的周长为40，
∴FG=FH=10，
作CB⊥GQ于点Q，
∴，
∴QG=8，
∴四边形的面积为80，
故答案为：80
【分析】（1）根据平行四边形的判定结合题意运用平移的性质即可求解；
（2）先根据平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，再运用平行线的判定结合平行四边形的判定与性质证明四边形是平行四边形即可得到，进而根据菱形的判定即可求解；
（3）先根据平移的性质即可得到GM∥DP，PG∥MD，进而得到四边形DMGP、GHNM、FMDC为平行四边形，再根据菱形的判定与性质即可得到FG=FH=10，作CB⊥GQ于点Q，根据锐角三角函数的定义即可求出QG的长，进而即可求解。
25．（2023·吉林）如图，在正方形中，，点是对角线的中点，动点，分别从点，同时出发，点以的速度沿边向终点匀速运动，点以的速度沿折线向终点匀速运动．连接并延长交边于点，连接并延长交折线于点，连接，，，，得到四边形．设点的运动时间为（）（），四边形的面积为（）
（1）的长为 ，的长为 ．（用含x的代数式表示）
（2）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
（3）当四边形是轴对称图形时，直接写出的值．
【答案】（1）；
（2）解：当时，点在上，
由（1）可得，
同理可得，
∵，，
则
；
当时，如图所示，
则，，
，
∴；
综上所述，；
（3）或
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】
（1）解：由题意得AP=x，则PB=（4-x），
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD=∠BAD=90°，CB∥DA，
∴∠NQC=∠QNA，
∵O为AC的中点，
∴NO=QO，PO=MO，
∴四边形NMQP为平行四边形，
∴NP=QM，QM∥PN，
∴∠NQM=∠PNQ，
∴∠CQM=∠PNA，
∴△MQC≌△PNA（AAS），
∴CM=PA=x，
故答案为：（4-x）；x；
（3）解：依题意，①当四边形 是矩形时，此时
即
解得： ，
当四边形 是菱形时，则 ，
∴ ，
解得： （舍去）；
②如图所示，当 时，
，解得 ，
当四边形 是菱形时，则 ，即 ，解得： （舍去），
综上所述，当四边形 是轴对称图形时， 或 ．
【分析】（1）根据题意即可得到AP=x，则PB=（4-x），进而根据正方形的性质即可得到∠BCD=∠BAD=90°，CB∥DA，再根据平行线的性质即可得到∠NQC=∠QNA，进而结合题意得到NO=QO，PO=MO，再根据平行四边形的判定与性质即可得到NP=QM，QM∥PN，进而结合题意得到∠CQ，M=∠PNA，再根据三角形全等的判定与性质证明△MQC≌△PNA（AAS）即可得到CM=PA=x；
（2）当时，点在上，由（1）可得，同理可得，进而即可得到，，再根据即可求解；当时，则，，进而得到，从而即可求出y；
（3）①当四边形 是矩形时，此时 即 ，进而即可求出x，然后根据菱形的性质结合题意即可求解；②当 时，进而即可求出x，当四边形 是菱形时，则 ，从而根据题意即可求出x；最后总结即可。
26．（2023·吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点，在此抛物线上，其横坐标分别为，连接，．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）当点与此抛物线的顶点重合时，求的值．
（3）当的边与轴平行时，求点与点的纵坐标的差．
（4）设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为．当时，直接写出的值．
【答案】（1）解：∵抛物线经过点．
∴
∴抛物线解析式为；
（2）解： ∵，
顶点坐标为，
∵点与此抛物线的顶点重合，点的横坐标为
∴，
解得：；
（3）解：①轴时，点关于对称轴对称，
，
∴，则，，
∴，
∴点与点的纵坐标的差为；
②当轴时，则关于直线对称，
∴，
则
∴，；
∴点与点的纵坐标的差为；
综上所述，点与点的纵坐标的差为或；
（4）或
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】（4） ①如图所示，当 都在对称轴 的左侧时，
则
∴
∵ ， 即
∴ ；
∵
∴
解得： 或 （舍去）；
②当 在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时，
则 ，即 ，
则 ，
∴ ，
解得： （舍去）或 （舍去）；
③当点 在 的右侧且在直线 上方时，即 ，
，
∴
解得： 或 （舍去）；
④当 在直线 上或下方时，即 ，
，
，
，
解得： （舍去）或 （舍去）
综上所述， 或 ．
【分析】（1）代入点A即可求解；
（2）先根据抛物线解析式得到顶点坐标，进而根据题意即可求出m；
（3）分类讨论：①轴时，点关于对称轴对称，②当轴时，则关于直线对称，进而根据题意即可求出点P和点Q的坐标，进而即可求解；
（4）分类讨论：①如图所示，当 都在对称轴 的左侧时，②当 在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时，③当点 在 的右侧且在直线 上方时，即 ，④当 在直线 上或下方时，即 ，进而即可表示出和，根据题意即可求出m。
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