(共14张PPT)
2.2.1
必修第一册
基本不等式
XXX学校 XXX
2023.09
1. 正方形ABCD的面积
S=＿＿＿＿＿
2. 四个直角三角形的面积和
S’ =＿＿
3. S与S’有怎样的不等关系？
S>S′
那么它们有相等的情况吗？
(a≠b)
00
导入
a
b
猜想： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
当且仅当a=b时，等号成立。
(a＝b)
=
(a≠b)
00
导入
替换后得到：
即：
即：
问题一： 如果a>0，b>0，我们用 分别代替a，b，可以得到什么结论？
01
基本不等式的定义
思考：基本不等式的几何解释是什么？
01
基本不等式的定义
说明: (1)适用范围：a,b∈R*
(2)取“=”条件：a=b
(3)语言描述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 .
对任意的a,b∈R* ，都有
，
当且仅当a=b时，等号成立.
如图, AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD, BD,
半径OD=________ ，则CD=_________.
上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时，等号成立.
几何意义：半径不小于半弦长
OD与CD的大小关系怎样
OD_____CD
≥
02
基本不等式的意义
适用范围
文字叙述
“=”成立条件
a=b
a=b
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
两数的平方和不小于它们积的2倍
a,b∈R
a>0,b>0
03
比较不等式的不同形式
例1 x＞0，求 的最小值
变式一：x＜0，求x + 的最大值
解：
例1 (1) 已知a>0，b>0，ab=36，求a+b的最小值.
已知和为定值，求积的最值
解：
例1 (2) 已知a>0，b>0，a+b=18，求ab的最小值.
已知积为定值，求和的最值
例2 (1) 已知x<0，求 的最小值.
一正
二定
三相等
基本不等式使用的条件：一正二定三相等
解：
一正
二定
凑项：使积成定值
三相等
例2 (2) 已知x>0，求 的最小值.
基本不等式使用的条件：一正二定三相等
解: ∵00.
1
2
∴y=x(1-2x)= 2x (1-2x)
1
2
当且仅当 时, 取“=”号.
2x=(1-2x),
即 x=
1
4
∴当 x = 时, 函数 y=x(1-2x) 的最大值是 .
1
4
1
8
一正
二定
凑项：使和成定值
三相等
例2 (2) 已知 ，求x(1-2x) 的最大值.
基本不等式使用的条件：一正二定三相等
解：
利用基本不等式求最值的条件：
一正、二定、三相等。(共16张PPT)
2.2.2
必修第一册
基本不等式（习题课）
XXX学校 XXX
2023.09
1-1 若x>0，则 的最小值是__________;
1-2 若x<0，则 的最大值是__________;
1-3 若x>0，则 的
最____值是__________;
大
01
利用基本不等式求“和”的最值
01
利用基本不等式求“和”的最值（配凑）
1-4 若x>2，则 的最小值是__________;
1-5 若x<2，则 的最大值是__________;
1-6 若 ，则 的最 ____值是_______;
大
常用的变形技巧：
（1）配凑系数；
（2）拆补项；
（3）变符号；
练习
02
分式利用基本不等式求最值（2次/1次）
变式 若x>-2，则 的最小值是__________;
特征：分子或分母分别出现一次项和二次项
练习：分式利用基本不等式求最值（2次/1次 或 1次/2次）
2-1 若02-2 若02-3 若003
利用基本不等式求“积”的最值
练习：利用基本不等式求“积”的最值
练习：利用基本不等式求“积”的最值
3-1 若a>0, b>0, a+b=2，则 ab 的最小值是__________;
3-2 若a>0, b>0, a+9b=1，则 ab 的最小值是__________;
练习：利用基本不等式求“积”的最值（变式：2个变量）
04
利用基本不等式求条件最值
练习：利用基本不等式求条件最值
4-2 若a>0,b>0,a+2b=1，则 的最小值是__________;
4-3 若a>0,b>0,a+b=2，则 的最小值是__________;
4-1 若x>0, y>0, ，则 的最小值是________;
4-4 若x>0, y>0, x+8y=2xy，则 的最小值是_______;
练习：利用基本不等式求条件最值
1 若x>0, y>0, ，则 的最大值是________;
2 实数x, y满足 ， 则 x+y 的最大值是________;
练习：利用基本不等式求条件最值（升级版）
5-2 若a>0,b>0，则不等式 恒成立，则m的最大值是 __________;
5-1 若a>0,b>0，则不等式 恒成立，则m的最大值是 __________;
5-3 若a>0,b>0， ，若不等式 恒成立，则m的最大值是 __________;
05
利用基本不等式求恒成立问题
