2022-2023学年重庆市联合检测高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年重庆市联合检测高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知随机变量，若，则( )
A. B. C. D.
2. 下列两个变量中，成正相关的两个变量是( )
A. 汽车自身的重量与行驶每公里的耗油量
B. 每个人体育锻炼的时间与身体的重量
C. 花费在体育活动上面的时间与期末考试数学成绩
D. 期末考试随机编排的准考证号与期末考试成绩总分
3. 设是函数的导函数，的图象如图所示，则下列说法不正确的是( )
A. 函数有三个零点
B. 函数有两个极小值点
C. 函数有一个极大值点
D. 函数有两个单调递减区间
4. 对于线性回归直线，样本点的残差为( )
A. B. C. D.
5. 若函数的满足，则( )
A. B. C. D.
6. 在星期一，某校高二所有班级的三节晚自习都是排的数学、物理、化学、生物，按规定每班每节晚自习只安排一门学科，且每科在每班至多安排一节晚自习，若高二所有班级的晚自习安排都不同，则该校高二班级个数最多为( )
A. B. C. D.
7. 生物的性状是由遗传因子决定的每个因子决定着一种特定的性状，其中决定显性性状的为高茎遗传因子，用大写字母如来表示；决定隐性性状的为矮茎遗传因子，用小写字母如来表示如图，在孟德尔豌豆试验中，的基因型为，子二代的基因型为，，，且这三种基因型的比为：：如果在子二代中任意选取颗踠豆进行杂交试验，则子三代中高茎的概率为( )
A.
B.
C.
D.
8. 设是函数的导函数，当时，，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 设为正整数，若，则( )
A. B. C. D.
10. 对于变量和变量，已知由，，，共个样本点组成的样本中心为的一个样本，其线性回归方程是，若去除前两个已知样本点后得到新的线性回归方程是，则对于新的样本数据( )
A. 新的样本中心为
B. 相关变量与具有正相关的关系
C. 新的线性回归方程与线性回归方程是相同的
D. 随着变量的增加，变量的增加速度增大
11. 已知函数的导函数是，则下列结论正确的有( )
A. 必有一个极大值
B. 的单调递减区间为和
C. 方程有三个实数解
D. 的单调递减区间为
12. 杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的详解九章算法而得名，它的排列规律如图所示：在第一行的中间写下数字；在第二行写下两个，和第一行的形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和那么下列说法中正确的是( )
A. 第行的第个位置的数是
B. 若从杨辉三角形的第三行起，每行第个位置的数依次组织一个新的数列，则数列是两项奇数和两项偶数交替呈现的数列
C. 在杨辉三角中共出现了次
D. 在杨辉三角中共出现了次
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 设事件，，且，，，则 ______ ．
14. 若函数的图象都不在直线的下方，则 ______ ．
15. 设随机变量，已知，，则 ______ ．
16. 我国的国宝大熊猫丰腴富态，头圆尾短，头部和身体毛色黑白相间分明，形态可掬，呆萌可爱现有福多多、滚滚、芝士、芝麻、热干面和蛋烘糕只大熊猫，其中芝士和芝麻是双胞胎，热干面和蛋烘糕是双胞胎，现要给它们安排山月、秋月、云月三个场馆入住，要求每个场馆至少入住只大熊猫，双胞胎熊猫要住在同一个场馆，则不同的分配方案有______ 种用数字作答．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知二项式的展开式的二项式系数之和为．
求展开式中项的系数；
求展开式中项的系数最大的项．
18. 本小题分
设函数在处取极值，．
求的值；
求的极值，并写出的单调区间．
19. 本小题分
中医药，是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称，反映了中华民族对生命、健康和疾病的认识，具有悠久历史传统和独特理论及技术方法的医药学体系，是中华民族的瑰宝某药材市场的某种中药材至每年月每克的价格单位：元的数据如表：
年份
年份代号
每克的价格
求关于的线性回归方程；
利用中的回归方程，预测年该药材市场该种中药材每克的价格精确到．
附：参考公式：，参考数据：
20. 本小题分
重庆某中学为探究高二学生性别与选课的关系，在高二男、女学生中分别随机抽取了名样本学生来了解选课情况在女生样本中任取名学生，记选历史学生人数为；在男生样本中任取名学生，记选物理学生人数为；已知女生样本中人选物理，且．
完成如表的列联表；
选物理 选历史 合计
女生 _____ _____
男生 _____ _____
合计 _____ _____
依据的独立性检验，能否认为该中学高二学生性别与选课有关联；
直接写出，，之间的关系．
附：．
21. 本小题分
足球运动是世界上第一运动，它不仅体现了力量和速度的完美结合，还诠释了团队配合的重要性现甲、乙两队进行一场足球比赛根据以往数据统计，比赛常规时间内，甲队获胜的概率为，踢平的概率为；若常规时间内两队踢平，则进入加时赛，加时赛中，乙队获胜的概率为，踢平的概率为；若加时赛中两队踢平，则进入点球大战，点球大战中没有平局，两队获胜的概率均为．
哪一队获胜的概率大，请用数据说明；
在同一赛季中，甲乙两队相遇次，且只进行常规比赛，胜一场计分，平一场计分，输一场计分，设甲队三场比赛得分总数为，求的分布列及数学期望．
22. 本小题分
已知函数，为自然对数的底数，．
判断的零点个数；
设，是的两个零点，证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意，随机变量，则，
故E，解可得．
故选：．
根据题意，有二项分布的性质可得，又由，可得关于的方程，解可得答案．
本题考查二项分布的性质，涉及随机变量的期望计算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：选项A，汽车越重，每公里耗油量越多，成正相关，正确；
选项B，锻炼时间越长，体重越轻，成负相关，错误；
选项C，花费在体育活动上面的时间长，则期末数学成绩有可能会降低，不为正相关，错误；
选项D，两者没有任何关系，错误．
故选：．
根据正相关的定义，逐一检验选项，得出答案．
本题考查变量间的相关关系的应用，考查学生逻辑推理能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由的图象
在上，单调递减，
在上，单调递增，
在上，单调递减，
在上，单调递增，
所以，是函数的两个极小值点，
是函数的极大值点，
函数有两个单调递减区间，
，，的符号无法确定，故零点个数无法确定，
故选：．
由的图象可得的符号，的单调性，极值，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：线性回归直线方程为，
当时，，
可得样本点的残差为．
故选：．
由已知求得时的预测值，再由残差的定义求解．
本题考查线性回归方程的应用，考查残差的求法，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：，
则，
故．
故选：．
根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由题意，问题可等价于从数学、物理、化学、生物门学科中任选门的全排列种数，．
故选：．
将问题等价于从数学、物理、化学、生物门学科中任选门的全排列种数．
本题考查排列组合的应用，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：子二代基因配型有种情况，分别记为事件，，，，，，
“子三代基因型为高茎”记为事件，则：
事件
配型


．
故选：．
利用列举法，列举出所有的可能结果，再利用全概率公式能求出子三代中高茎的概率．
本题考查列举法、全概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
8.【答案】
【解析】解：因为当时，，
所以当时，，
所以当时，，
所以当时，，
所以当时，，
所以当时，，
令，则当时，，
所以在单调递增，
对于：，故A错误；
对于：，则，故B正确；
对于：，则，故C错误；
对于：，则，，
所以，故D错误．
故选：．
根据题意可得当时，，则当时，，令，则在单调递增，逐项判断，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由题意，或，
解得或，
检验：当时，成立；
当时，成立．
故选：．
根据组合数的性质列方程，解出并检验即可．
本题考查组合数的运算，考查学生分类讨论思想，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：，即，
，即，
则，，
所以新的样本中心为，故A正确；
又过点，即，解得，
即相关变量与具有正相关的关系，故B正确；
，即，
化简得：，
，
可知新的线性回归方程与线性回归方程中的与不相等，故C错误；
由线性回归方程为直线方程可知随着变量的增加，变量的增加速度不变，故D错误．
故选：．
由原样本中心点为，即可求出新样本中心点；由线性回归方程过样本中心点即可求出，由此即可判断选项；由线性回归方程中的计算公式即可判断选项；由直线的性质可判断选项．
本题考查回归方程的应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于选项A：因为，
不妨设，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极大值，极大值，
当时，函数取得极小值，极小值，
当，即时，
设函数在上的零点记为，
若时，，
此时函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数取得极大值；
当，即时，
设函数有三个零点，，，且，
此时函数在和处取得极大值；
当，即时，作出函数图象如下所示：
可得函数在上存在零点，
此时函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数取得极大值，
综上所述，必有一个极大值，故选项A正确；
对于选项B，不妨令，函数的定义域为，
因为，且在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在和上单调递减，故选项B错误；
对于选项C：令，
此时，
因为函数的极大值为，极小值为，
当，即时，，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
此时方程在上无实数根，
又函数在上单调递增，
所以方程在上最多有一个实数根，
即方程不可能有三个实数根，故选项C错误；
对于选项D：因为函数在上单调递减，
所以，
解得，
则的单调递减区间为，故选项D正确．
故选：．
由题意，根据所给导函数得到函数的单调性，进而可判断选项B；作出函数的图象，对，和这三种情况进行逐一分析，结合极值点的定义即可判断选项A；利用复合函数的单调性即可判断选项B和选项D．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、转化思想、分类讨论和运算能力．
12.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，归纳可得：第行的第个位置的数为，A错误；
对于，根据题意，第一个位置和最后一个位置的数都是，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和，
分析可得，则数列的奇数项与前一项奇偶性相反，偶数项与前一项奇偶性相同，
又由为奇数，则为奇数，为偶数，为偶数，为奇数，是奇数项且为奇数，这与情况一致，从而奇偶性产生循环，B正确；
对于，由于，
不妨设，令，
当时，，，
当时，，无正整数解，
当时，，
而递增，从而无解；当时，，
当时，，由于是第行中最中间的数，杨辉三角中以该数为顶点的下方三角形区域中的数都大于，
当时，，故共出现次，C正确；
对于，类似于前，
以为顶点的下方三角形区域中的数都大于，D正确．
故选：．
根据题意，结合杨辉三角的性质以及组合数公式，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
本题考查合情推理的应用，涉及二项式定理的应用，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：因为，，，
解得，
所以．
故答案为：．
由条件概率公式计算得，再利用条件概率公式计算得出答案．
本题考查条件概率计算公式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：函数的图象都不在直线的下方，
则为函数的最小值，
，
，
令，解得，即在区间上单调递减，
令，解得，即在区间上单调递增，
故．
故答案为：．
由题意可知，为函数的最小值，再利用导数研究函数的单调性，即可求解．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化能力，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
，
所以．
故答案为：．
由正态分布曲线的对称性，即可求出答案．
本题考查正态分布的应用，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：将芝士和芝麻看成一个整体，热干面和蛋烘糕看成一个整体，即相当于四个对象分配给三个场馆，每个场馆至少一个对象，
故必有一个场馆含有两个对象，其余场馆各一个对象，
可先选出有两个对象的场馆进行对象分配，再将其余对象进行分配，
根据分步乘法计数原理可知，共有种方案．
故答案为：．
利用捆绑法，计算即可得出答案．
本题考查排列组合的应用，属于中档题．
17.【答案】解：由二项式的展开式的二项式系数之和为得，可得，
则第项为，
令得，可得展开式中项的系数为．
由知第项的系数为，
当，，时，，故应该为偶数，而，
第项是项的系数最大，该项为．
【解析】由题意，利用二项式展开式的通项公式，求出展开式中项的系数．
由题意，利用二项式展开式的通项公式，可得应该为偶数，检验可的结论．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于中档题．
18.【答案】解：因为，
所以，
由题意得，
所以．
由得，
令得或，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
在上，单调递增，
所以当时，的极大值为，
当时，的极小值为，
综上可得，在，上单调递增，在上单调递减，
的极大值为，极小值为．
【解析】求导得，由题意得，即可解得答案．
由得，分析的符号，的单调性，极值，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
19.【答案】解：根据题意可知，，
，
根据公式可知，，
回归方程为．
将代入，得，
所以年该药材市场该种中药材每克的价格为元．
【解析】求出，，利用回归系数公式求出，再利用回归直线过样本中心点，求出，即可得到线性回归方程；
直接把代入回归方程求解即可．
本题考查回归方程的应用，属于中档题．
20.【答案】解：设男生样本中有人选择历史，
由题意可得
又，
，
解得，
完成列联表如下：
选物理 选历史 合计
女生
男生
合计
由中列表得，
根据小概率值的独立性检验，可以认为高二学生性别与选课的有关联；
．
【解析】由古典概型的概率公式求出，，再结合求出的值，进而完成列联表；
根据列联表计算的值，再与临界值比较即可得出结论；
根据题意直接写出结论．
本题主要考查古典概型的概率公式，考查了独立性检验的应用，属于中档题．
21.【答案】解：设甲队获胜为事件则，甲队获胜的概率大；
比赛常规时间内，甲队获胜的概率为，踢平的概率为；
若常规时间内两队踢平，则进入加时赛，
加时赛中，乙队获胜的概率为，踢平的概率为；若加时赛中两队踢平，
则进入点球大战，点球大战中没有平局，两队获胜的概率均为，
由题意，甲队的胜负平场次、积分和概率如下表：
胜 平 负 积分 概率
所以，随机变量的概率分布列为：
故随机变量的数学期望：
．
【解析】根据题意计算出甲队获胜的概率，即可得出答案；
分别计算出甲队胜，胜平，胜负，胜平，胜负，胜平负，胜平，胜负，胜平负，胜平负时对应的积分与概率，即可列出的分布列，求出数学期望．
本题考查了离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．
22.【答案】解：函数的定义域为，，
当时，，函数在上是增函数；
当时，令，解得，令，解得，
故函数在上是减函数，在上是增函数，
此时，
令，即，解得：，
令，即，解得：，
故当时，有两个零点；
当或时，有一个零点；
当时，没有零点．
证明：，是的两个零点，
结合得：，不妨设，得：，
为了证明，而，问题转化为证明即可，
即证明，又，，
而在上是减函数，即证明即可，
而，设，
，
，在上是增函数，由，
，而，，
，，即，
，即．
【解析】求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，判断函数的零点个数即可；
将问题转化为证明即可，而，设，根据函数的单调性证明即可．
本题考查了函数的单调性，最值，零点问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是难题．
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