2022-2023学年湖北省十堰市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省十堰市高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在等比数列中，，，则( )
A. B. C. D.
2. 函数的导数( )
A. B. C. D.
3. 若随机变量，则( )
A. B. C. D.
4. 已知，则( )
A. B. C. D.
5. 记，，，为，，，的任意一种排列，则使得为偶数的排列种数为( )
A. B. C. D.
6. 的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
7. 若存在直线，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足，则称此直线为和的“隔离直线”已知函数，，若和存在唯一的“隔离直线”，则( )
A. B. C. D.
8. 已知有编号为，，的三个盒子，其中号盒子内装有两个号球，一个号球和一个号球；号盒子内装有两个号球，一个号球；号盒子内装有三个号球，两个号球若第一次先从号盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则在两次取球编号不同的条件下( )
A. 第二次取到号球的概率最大 B. 第二次取到号球的概率最大
C. 第二次取到号球的概率最大 D. 第二次取到，，号球的概率都相同
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 设数列，都是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是( )
A. B. C. D.
10. 某同学求得一个离散型随机变量的分布列为
则( )
A. B. C. D.
11. 为研究如何合理施用有机肥，使其最大限度地促进某种作物的增产，同时减少对周围环境的污染，某研究团队收集了组某种有机肥的施用量和当季该种作物的亩产量的数据，并对这些数据进行了初步处理，得到如表所示的一些统计量的值，其中，有机肥施用量为单位：千克，当季该种作物的亩产量为单位：百千克．
现有两种模型可供选用，模型为线性回归模型，利用最小二乘法，可得到关于的经验回归方程为，模型为非线性经验回归方程，经计算可得此方程为，另外计算得到模型的决定系数和模型的决定系数，则( )
A.
B. 模型的拟合效果比较好
C. 在经验回归方程中，当解释变量每增加个单位时，响应变量一定增加个单位
D. 若组数据对应七个点，则至少有一个点在经验回归直线上
12. 已知定义域为的函数的导函数为，且，则下列不等式恒成立的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ______ ．
14. 设等比数列的前项和为，若，则 ______ ．
15. 的展开式中系数最大的项是第______ 项
16. 法国数学家蒙德尔布罗的文章英国的海岸线有多长？标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃他将具有分数维的图形称为“分形”，并建立了以这类图形为对象的数学分支分形几何分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明它是描述和探索自然界大量存在的不规则现象的工具下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图，线段的长度为，在线段上取两个点，，使得，以为一边在线段的上方作一个正三角形，然后去掉线段，得到图中的图形；对图中的线段，做相同的操作，得到图中的图形依此类推，
则第个图形中新出现的等边三角形的边长为______ ；第个图形图为第一个图形中的所有线段长的和为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知等比数列的前项和为，且．
求的通项公式；
设，求数列的前项和．
18. 本小题分
已知函数．
若是的极值点，求；
当时，在区间上恒成立，求的取值范围．
19. 本小题分
世界卫生组织建议成人每周进行至小时的中等强度运动已知社区有的居民每周运动总时间超过小时，社区有的居民每周运动总时间超过小时，社区有的居民每周运动总时间超过小时，且，，三个社区的居民人数之比为：：．
从这三个社区中随机各选取名居民，求至少有名居民每周运动总时间超过小时的概率；
从这三个社区中随机抽取名居民，求该居民每周运动总时间超过小时的概率；
假设这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量单位：小时，且，现从这三个社区中随机选取名居民，求该居民每周运动总时间为至小时的概率．
20. 本小题分
已知数列的前项和为，且．
求的通项公式；
为满足的的个数，求使成立的最小正整数的值．
21. 本小题分
湖北省教育厅出台全省学校安全专项治理工作方案，加强校园“十防”、“七全”安全教育和防范工作为了普及安全教育，增强学生安全意识，武汉市准备组织一次安全知识竞赛某学校为了选拔学生参赛，按性别采用分层抽样的方法抽取名学生进行安全知识测试，记“性别为男”，“得分超过分”，且．
完成下列列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生了解安全知识的程度与性别有关？
性别 了解安全知识的程度 合计
得分不超过分的人数 得分超过分的人数
男
女
合计
学校准备分别选取参与测试的男生和女生前两名学生代表学校参加竞赛，已知男生获奖的概率为，女生获奖的概率为，记该校获奖的人数为，求的分布列与数学期望．
附参考公式：．，其中下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．
22. 本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
若与函数的图象有三个不同的交点，求的取值范围参考数据：
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意，在等比数列中，，，
则，变形可得．
故选：．
根据题意，由等比中项的性质可得，变形可得答案．
本题考查等比数列的性质，涉及等比中项的性质，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由，
得．
故选：．
根据函数的求导公式即可求解．
本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：随机变量，
，
．
故选：．
根据已知条件，结合二项分布的方差公式，以及方差的线性公式，即可求解．
本题主要考查二项分布的方差公式，以及方差的线性公式，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由于，
令，解得；
令，解得，
所以．
故选：．
直接利用二项展开式和赋值法求出结果．
本题考查的知识要点：二项式的展开式，赋值法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意可知，任意排列共种，
由已知得前两位和一奇一偶，有种排法，
后两位和一奇一偶，有种排法，
根据分步计数原理，使得为奇数的排列个数为种，
故使得为偶数的排列种数为．
故选：．
根据分步乘法计数原理，分前两位一奇一偶，后两位一奇一偶安排，利用先取后排的原则作答即可得到使得为奇数的排列个数，再根据总体剔除法计算即可．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，
即含有的项为，
即展开式中的系数为．
故选：．
根据多项式乘积的性质进行分类求解即可．
本题主要考查多项式展开式系数的计算，根据多项式乘积的性质进行分类讨论求解是解决本题的关键，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：当与相切时，只有唯一的“隔离直线”，
且“隔离直线”为公切线．设切点为，
则，即，所以．
故选：．
设出切点坐标，由公切线列出等量关系，求解即可．
本题考查公切线问题，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：两次取球编号不同的条件下，第二次取到号球的概率；
两次取球编号不同的条件下，第二次取到号球的概率；
两次取球编号不同的条件下，第二次取到号球的概率．
故两次取球编号不同的条件下，第二次取到号球的概率最大．
故选：．
分别计算出两次取球编号不同的条件下，第二次取到号球，号球，号球的概率，比较大小即可．
本题考查分类加法计数原理，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，数列，都是等比数列，设的公比为，的公比为，
依次分析选项：
对于，当时，数列不是等比数列，不符合题意；
对于，数列，都是等比数列，，同时有，则数列一定是等比数列，符合题意；
对于，当时，，数列不是等比数列，不符合题意；
对于，对于数列，且，数列一定是等比数列，符合题意．
故选：．
根据题意，由等比数列的定义依次分析选项是否正确，综合可得答案．
本题考查等比数列的判定，注意等比数列的性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由，得，所以A正确；
因为，所以B正确；
因为，所以不正确；
因为，所以D正确．
故选：．
对于，由概率和为列方程可求出的值，对于，由期望公式求解即可，对于，利用方差公式求解，对于，利用标准差公式计算即可．
本题考查离散型随机变量的应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：，
，
把代入，得，故A正确；
模型的决定系数，模型的决定系数，且，
模型的拟合效果比较好，故B正确；
在经验回归方程中，当解释变量每增加个单位时，响应变量近似增加个单位，故C错误；
若组数据对应七个点，可能任何一个点都不在经验回归直线上，故D错误．
故选：．
由已知数据求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求解判断；由决定系数与拟合效果间的关系判断；由线性回归方程的性质判断与．
本题考查线性回归方程，考查决定系数与拟合效果间的关系，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：令，则，
因为，
所以，
所以，
所以在上单调递增，
对于：因为，
所以，
所以，
所以，
所以，故A错误；
对于：因为，
所以，
所以，故B正确；
对于：因为，
所以，
所以，
所以，故C正确；
对于：因为，
所以，
所以，
所以，故D正确，
故选：．
令，求导分析的符号，的单调性，逐项分析，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：已知，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，，
又，，
所以，，
则．
故答案为：．
由题意，对函数进行求导，利用导数得到的单调性和极值，结合端点值即可得到在区间上的最大值和最小值，进而即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理和运算能力．
14.【答案】
【解析】解：设，
，
则，
数列为等比数列，
，，，也为等比数列，
，
，，
，
．
故答案为：．
根据已知条件，结合等比数列的性质，即可求解．
本题主要考查等比数列的前项和公式，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：根据二项展开式，
所以，解得，
由于，
故，
故系数的最大项为第项．
故答案为：．
直接利用二项展开式和组合数及不等式组的解法求出的值，进一步求出系数的最大项．
本题考查的知识要点：二项展开式，不等式组的解法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：当，设第个等边三角形的边长为，则，所以是以为公比的等比数列，
又，，所以；
设第个图形图为第一个图形中的所有线段长的和为，
则，，，，
所以当，有，
令，则，
--，化简得，
又，所以当，，
也满足上式，所以，又，所以．
故答案为：；．
构造数列进行计算即可．
本题主要考查通过递推法求数列通项公式，属中档题．
17.【答案】解：由题意，设等比数列的公比为，
由，可得，
即，
解得，
，．
由可得，，
则，
，
两式相减，
可得，
，
，
．
【解析】先设等比数列的公比为，再根据题干已知条件列出关于首项与公比的方程组，解出与的值，即可计算出等比数列的通项公式；
先根据第题的结果计算出数列的通项公式，再运用错位相减法即可计算出前项和．
本题主要考查等比数列的基本运算，以及数列求和问题．考查了方程思想，转化与化归思想，等比数列的通项公式与求和公式的运用，错位相减法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
18.【答案】解：已知，函数定义域为，
所以，
若是的极值点，
此时，
解得，
当时，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
则是的极小值点，
综上，；
易知，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，
因为在区间上恒成立，
所以，
解得，
又，
所以，
综上，的取值范围为．
【解析】由题意，对函数进行求导，因为是的极值点，可得，代入即可求出的值，将的值代入函数解析式中对其进行检验，进而即可得到答案；
对函数进行求导，利用导数得到的单调性，将在区间上恒成立，转化成，结合，即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
19.【答案】解：设从，，三个社区中各选取的名居民的每周运动总时间超过小时分别为事件，，，
则．
设选取的名居民中至少有名居民每周运动总时间超过小时为事件，
则事件的对立事件为选取的名居民每周运动总时间都没有超过小时，
所以，
故选取的名居民中至少有名居民每周运动总时间超过小时的概率为．
设，，三个社区的居民人数分别为，，，
则社区每周运动总时间超过小时的人数为，
社区每周运动总时间超过小时的人数为，
社区每周运动总时间超过小时的人数为，
所以，
故从这个社区中随机抽取名居民且每周运动总时间超过小时的概率．
因为，所以．
因为，所以，
所以．
【解析】根据概率公式，先算出该居民是各社区且每周运动时间没有超过小时的概率，由对立事件的概率公式求解即可；
由于，，三个社区的居民人数之比为：：，设出三个社区的居民人数，计算出各社区每周运动总时间超过小时的人数，然后由频率估计概率即可；
由正态分布的性质结合条件求解即可．
本题考查离散型随机变量的应用，属于中档题．
20.【答案】解：由题意，，，，，，
，，，
所以，
又，，都符合上式，所以，
所以当，，
又符合上式，所以；
结合可知，，
设数列的前项和，则，
因为每一项都为正，所以是单调递增的，
又，，
所以所求最小正整数为．
【解析】先求出数列的通项公式，而后求出的通项公式；
求出数列的前项和，而后根据的增减性得出不等式的解．
本题主要考查递推法求数列通项公式，属中档题．
21.【答案】解：因为，
，，，
所以，
即，
所以，
所以人中男生有人，女生有人，
测试成绩超过分的有人，其中男生人，女生人．
列联表如下：
性别 了解安全知识的程度 合计
得分不超过分的人数 得分超过分的人数
男
女
合计
零假设为：该校学生了解安全知识的程度与性别没有关联．
根据列联表中的数据，经计算得到，
根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，
即认为了解安全知识的程度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于．
可能取，，，，．
，，，，
，
所以的分布列为：
所以．
【解析】根据概率公式以及独立性检验的方法求解即可；
根据概率的乘法公式和分布列的概念求解即可．
本题考查离散型随机变量的应用，属于中档题．
22.【答案】解：因为，
所以，
当时，恒成立，在上单调递增，
当时，令得，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减．
因为函数与函数的图象有三个不同的交点，
所以关于的方程有三个不同的根，
令，则有三个不同的零点，
，
当时，，单调递增，
所以至多有一个零点，不合题意，
令，
则，
当时，，即，
所以，单调递减，
所以至多有一个零点，不合题意，
当时，令，得，，且，
当，即时，，，单调递增，
因为是连续函数，且，，
所以，
所以在上只有一个零点，
当或，即或时，，，
所以在，上单调递减，
令，
则，
所以在上单调递增，
因为，
所以，
因为，
所以，
因为函数是连续的函数，
所以在上只有一个零点，
设在上的零点为，且，
因为，，
所以为奇函数，
所以，
因为函数是连续函数，
所以在上只有一个零点，
综上所述，的取值范围为
【解析】求导分析的符号，的单调性，即可得出答案．
将两函数图象的交点个数问题转化为函数零点的个数问题，再用导数求解．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
第1页，共1页