2023 年上学期高二期末考试
数 学 试 题
考试时量：120 分钟 分值：150 分
（本大题共 8 小题，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要
求的。）
1.记复数 z i(1 i) 的共轭复数为 z，则 z 在复平面内所对应的点在
A．第四象限 B．第三象限
C．第二象限 D．第一象限
2.在含有 3 个白球，2 个黑球（它们除颜色外，其余均相同）的箱子里不放回地抽取 2个球，恰
好一个为黑球的概率为
2 1
A． B．
5 2
3 7
C． D．
5 10
6
2x 1 3. 3 的展开式中 x 的系数为
x
A． 240 B． 240
C．120 D． 160
4.随机变量 X 的分布列如表，则E 2X 3 的值为
X 1 2 3
P 0.2 a 0.4
A．4.4 B．7.4
C．21.2 D．22.2
5.已知正四棱锥的底面边长和侧棱长都为 2，则该四棱锥的表面积为
A． 4 3 B． 4 5
C． 4 3 4 D． 4 5 4
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6. 已知 tan 4，则 sin cos
2 4
A． B．
5 17
4 4
C． D．
9 17
7.山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹
果(把苹果近似看成球体)的直径 X (单位:mm )服从正态分布 N 80,52 ，则估计苹果直径在
(75,90] 内的概率为
（附:若 X ~ N , 2 ，则 P( X ) 0.682 7,P( 2 X 2 ) 0.954 5 .）
A. 0.6827 B.0.8413
B. 0.9545 D.0.8186
8.已知 y 4x 3 2x 3的值域为 1，7 ，则 x的取值范围为
A．[2,4] B．[ ,0)
C. (0,1) [2,4] D. ( ,0) [1,2]
二、多选题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分。）
9．某种产品的价格 x（单位：元 / kg）与需求量 y（单位： kg）之间的对应数据如下表所示：
x 10 15 20 25 30
y 11 10 8 6 5
数据表中的数据可得回归直线方程为 y b x 14.4，则以下结论正确的是
A.变量 y与 x呈负相关 B.回归直线经过点 (20，8)
C.b 0.32 D.该产品价格为 35元 / kg时，日需求量大约为3.4kg
10.在 ABC中，下列命题正确的是
A. 若 A B，则 sin A sinB
B. 若 sin 2A sin 2B，则 ABC定为等腰三角形
C. 若 acosB bcosA c，则 ABC定为直角三角形
D. 若三角形的三边的比是 3:5:7，则此三角形的最大角为钝角
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11.二次函数 y ax2 bx c的图象如图所示，则下列结论中正确的是
A.b 2a B． a b c 0
C． a c b D． abc 0
x 3
1
12.已知函数 y 的值域为集合 A，函数 y lg(x
2 4x)的定义域为 B，则下列说法正确的
2
是
A. A B x x 0或4 x 8
B. A B x x 0
C. “ x CRB”是“ x A”的充分不必要条件
D.函数 y lg(x2 4x)的增区间是 (4, )
三、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。）
3 4
13．已知 x 0 ， y 0 ，且 x y 1，则 x y 的最小值为 ．
14.为了贯彻落实党史学习教育成果，某校名师“学史力行”送教井冈山中学.现有理科语文 数
学 英语 物理 化学 生物 6名理科老师要安排在该中学理科 1 到 6 班上一节公开示范课，每个班
级只安排一名老师上课且每个老师只在一个班上一节课，要求数学老师不能安排在 1班，化学老
师不能安排在 6 班，则不同的安排上课的方法数为 .
x3 1 (x 0) a
15. 已知函数 f (x) 为偶函数，则 2 b .
ax
3 b (x 0)
7 2
16．记 3 (1 x) a0 a1 (1 x) a2 (1 x) a7 (1 x)7 ，则
a0 a1 a2 a6 .
四、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步）
17．（本题满分 10 分）
2 2
3
化简与计算： 3
3
log 3
log9 5 3 3 35 7 log7 3
8
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18．（本题满分 12 分）
cos B C
在 ABC 中，角 A、B a、C所对的边分别为a、b、 c，且 ．
cosC 2b c
(1)求角 A；
(2)若b 1， cosC 2 7 ，求 a、 c
7
19．（本题满分 12 分）
常言说“病从口入”，其实手才是罪魁祸首，它担任了病菌与口之间的运输工具．洗手是预
防传染病最简便有效的措施之一，保持手的清洁卫生可以有效降低感染新型冠状病毒的风险．正
确的洗手应遵循“七步洗手法”，精简为一句话就是“内外夹弓大立腕”，每一个字代表一个步骤．某
学校在开学复课前为了解学生对“七步洗手法”的掌握程度，随机抽取 100 名学生进行网上测试，
满分 10 分，具体得分情况的频数分布表如下：
得分 4 5 6 7 8 9 10
女生 2 9 14 13 11 5 4
男生 3 5 7 11 10 4 2
(1)现以 7分为界限，将学生对“七步洗手法”的掌握程度分为两类，得分低于 7 分的学生为
“未能掌握”，得分不低于 7分的学生为“基本掌握”．完成下面 2 2列联表，并判断是否有 95%
的把握认为学生对“七步洗手法”的掌握程度与性别有关？
未能掌握 基本掌握 合计
女生
男生
合计
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(2)从参与网上测试且得分不低于 9 分的学生中，按照性别以分层抽样的方法抽取 10 名同学，
在 10 人中随机抽取 3人，记抽到女生的人数为 X，求 X 的分布列与期望．
2 n(ad bc)
2
附： （n a b c d）
(a b)(c d)(a c)(b d)
临界值表：
P K 2 k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
20.（本题满分 12 分）
如图,四棱锥P ABCD中,底面 ABCD是梯形, AB//CD, BC CD ,△PAB是等边三角
形, E是棱 AB的中点, AB PD 2, BC CD 1．
(1)证明： PE 平面 ABCD；
(2)求直线 PA与平面PCD所成角的正弦值．
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21.（本题满分 12 分）
已知函数 f (x) 3 sin 2x 2sin2 x .
(1)求 f x 的对称中心
(2)求 f x 的最小正周期和单调递增区间；
(3)若 x ,0
，求 f x 的最小值及取得最小值时对应的 x的取值.
2
22．（本题满分 12 分）
已知定义在 0, 上的函数 f x 满足:①对任意的 x, y 0, ,都有 f xy f x f y ;
②当且仅当 x 1时, f x 0成立.
(1)求 f 1 ;
(2)用定义证明 f x 的单调性;
x 1,2 f x2 1 1 (3)若对 使得不等式 2 f m x 4 恒成立,求实数m的取值范围. x x
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{#{QQABKQAEgggIAAJAARACQwVACAEQkgEACAgGxEAYMEIAyANABCA=}#}数学参考答案
一、单选题（本大题共8小腿，共40分，在每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C A B C B D D
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
题号 9 10 11 12
答案 ABC ACD ACD BD
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13. 14. 504 15. 16. 129
四、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步）
17.（本题满分10分）
解：（1）
10分
18.（本题满分12分）
(1)解：因为，
所以．
由正弦定理得，
所以，
所以，
即．
因为，所以，
因为，所以． 6分
(2)解：若，，
则．
则．
由正弦定理，得，
解得，． 12分
19. （本题满分12分）
解：
(1)由得分情况的频数分布表得列联表如下：
未能掌握 基本掌握 合计
女生 25 33 58
男生 15 27 42
合计 40 60 100
故，因为，
所以没有95%的把握认为学生对“七步洗手法”的掌握程度与性别有关． 6分
(2)
由得分情况的频数分布表可知，参与网上测试且得分不低于9分的学生中，女生9人，男生6人，从而分层抽样抽取的10人中，女生6人，男生4人．在10人中随机抽取3人，记抽到女生的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，
所以，，，，
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以． 12分
20. （本题满分12分）
(1)为等边三角形，，为中点，
且；
，，
四边形为平行四边形，
，
又，，
，
又，平面，
平面. 5分
(2)，四边形为平行四边形，
，
则以为坐标原点，正方向为轴，
可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的法向量，
，
令，解得：，，，
，
即直线与平面所成角的正弦值为. 12分
（本题满分12分）
解：（1）
所以对称中心 4分
(2)依题意得：
的最小正周期为；
由得：
单调递增区间为： 8分
（3），
即：，此时. 12分
（本题满分12分）
解：（1）对任意的,都有,
令,则,. 2分
（2）任取,且,
由,可知,
则,
,,,
故函数在上是减函数. 6分
（3）由(2)知函数在上是减函数,
当时,恒成立,
即.令，则,
当时,恒成立,
即当时,,
设,则函数在时为增函数,
,,
又当时,恒成立,,
在时为减函数,,,
综上,实数m的取值范围为. 12分
