江西省九江市德安县2022-2023学年高二下学期7月期末考试数学试题（Word版含答案）

德安县2022-2023学年高二下学期7月期末考试
数学试题
一、单选题（每题5分，共40分）
1．已知全集，集合，则下列关系正确的是( )
A． B．
C． D．
2．若点，在直线l上，则直线l的一个方向向量为（ ）
A． B． C． D．
3．已知三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．
4．若是等差数列的前项和，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．在等比数列中，若，则公比（ ）
A． B． C．2 D．3
6．已知实数，且，则（ ）
A． B．
C． D．
7．近几年，我国在电动汽车领域有了长足的发展，电动汽车的核心技术是动力总成，而动力总成的核心技术是电机和控制器，我国永磁电机的技术已处于国际领先水平.某公司计划今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装 人工等费用24万元，从第二年起，包括人工 维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元.则引进该生产线后总盈利的最大值为（ ）
A．204万元 B．220万元 C．304万元 D．320万元
8．已知函数，若不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题5分，共20分）
9．直线运动的物体，从时刻到时，物体的位移为，那么关于的下列说法错误的是（ ）
A．从时刻到时物体的平均速度
B．从时刻到时位移的平均变化率
C．当时刻为时该物体的速度
D．该物体在时刻的瞬时速度
10．关于切线，下列结论正确的是（ ）
A．过点且与圆相切的直线方程为
B．过点且与抛物线相切的直线方程为
C．过点且与曲线相切的直线l的方程为
D．曲线在点处的切线方程为
11．四边形内接于圆， ，，，下列结论正确的有（ ）
A．四边形为梯形
B．四边形的面积为
C．圆的直径为7
D．的三边长度可以构成一个等差数列.
12．已知函数，其中且，则下列说法正确的有（ ）
A．的对称中心为
B．恰有两个零点
C．若方程有三个不等的实根，则
D．若方程的三个不等实根分别为，则
三、填空题（共20分）
13．在直线上有不同的两点，，则的长度为______（用k和表示）．
14．小王逛书店，他买甲书和买乙书相互独立，若小王买甲书不买乙书的概率为，甲和乙两本书都买的概率为，则小王买乙书的概率为__________.
15．在区间上的最大值为_______.
16．已知数列满足，下列说法正确的是________．
①；
②都是整数；
③成等差数列；
④．
四、解答题（共70分）
17．在无穷数列中，，，．
(1)若是等差数列，求的前n项和；
(2)若，求的通项公式．
18．某企业拥有甲、乙两条零件生产线，为了解零件质量情况，采用随机抽样方法从两条生产线共抽取200个零件，测量其尺寸（单位：）得到如下统计表，其中尺寸位于的零件为一等品，位于和的零件为二等品，否则零件为三等品．
生产线
甲 4 9 23 28 24 10 2
乙 7 16 15 28 17 15 2
(1)完成列联表，依据的独立性检验能否认为零件为一等品与生产线有关联？
生产线 产品等级 合计
一等品 非一等品
甲
乙
合计
(2)将样本频率视为概率，从甲、乙两条生产线中分别随机抽取2个零件，每次抽取零件互不影响，以表示这4个零件中一等品的数量，求的分布列和数学期望；
参考公式和数据：
，
19．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为菱形，，.点E，F分别在棱PA，PB，且.
(1)求证：；
(2)若直线PD与平面CEF所成的角的正弦值为.
（i）求点P与到平面CEF的距离；
（ii）试确定点E的位置.
20．已知数列满足，且（）.
（1）求的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求证：.
21．已知椭圆的左 右焦点分别为，，为椭圆上一点的周长为，最大时的余弦值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若和为轴同侧的两点，且，求四边形面积的最大值及此时直线的方程.
22．已知函数，.
（1）当时，直线与相切于点，
①求的极值，并写出直线的方程；
②若对任意的都有，，求的最大值；
（2）若函数有且只有两个不同的零点，，求证：.
1．B
因为，解得或，
所以或，
由元素和集合的关系可知，，故A错误；
由集合间的包含关系和交集运算可知，B正确，D错误；
由补集运算可知，，故C错误.
故选：B.
2．A
由，l的方向向量与平行，只有选项A满足题意，
故选：A
3．D
由题知：
①当直线与直线平行时，三条直线不能构成三角形.
即.
②当直线与直线平行时，三条直线不能构成三角形.
即.
③当直线过直线与直线交点时，
三条直线不能构成三角形.
所以，解得，
将代入，解得.
所以实数的取值集合为.
故选：D.
4．C
由题意可得.
故选：C.
5．C
因为，
所以，
所以，
解得.
故选：C
6．D
构造函数，则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
由，，即，同理，
因为在上单调递增，
所以，故，
因为在上单调递减，，故．
因为，故，即，
因为在上单调递减，，故，从而.
故选：D
7．A
设引进设备年后总盈利为万元，设除去设备引进费用，第年的成本为万元，
则由题意，知为等差数列，前年成本之和为万元，
故，，
所以当时，，
即总盈利的最大值为204万元.
故选：A.
8．C
令，，
所以是偶函数，成立，
所以考虑的情况即可，
当时，，
恒成立，即恒成立，
分离参数，即恒成立，
令，，
则，，
，即，解得，
，解得，所以在上单调递减，
，解得，所以在上单调递增，
所以在处取得极大值即最大值，，
又因为恒成立，所以.
故选：C
9．ABC
表示到时，物体的位移的平均变化率，即速度，而表示时刻时的瞬时速度，只有D正确，ABC均错误，
故选：ABC．
10．ABD
对于A，点在圆上，设切线斜率为，则，所以，
切线方程为，即，A正确；
对于B，设切线斜率为（），切线方程为，与联立，
得，则，解得，
所以切线方程为，即，B正确；
对于C，对求导得，设切点为，切线斜率，则，解得，切点为，斜率，
所以切线方程为，即，C错误；
对于D，对求导得，点处的切线的斜率，切线方程为，即，D正确.
故选：ABD.
11．ABD
+
连接，由可得，又因为，所以
显然不平行即四边形为梯形，故正确；
在中，=49
在中由余弦定理可得
解得或（舍去）
故B正确
在中由余弦定理可得
圆的直径不可能是，故C错误；
在中，，，，满足
的三边长度可以构成一个等差数列，故D正确.
故选：ABD
12．ABD
对于A中，由，可得，所以对称中心为，所以A正确；
对于B中，因为且，即，所以，
由，令时，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以为极小值点，为极大值点，
且，
当时；当时，
两种情况下均只有两个零点，所以B正确；
对于C中，要使得方程有三个不等的实根，即和图象有三个交点，
当时，可得， 则满足，
当时，可得，则满足，所以C错误；
对于D中，由的三个零点分别为，可设，
即，
可得
因此，所以D正确.
故选：ABD
13．
.
故答案为：
14．
设购买甲书的概率为，购买乙书的概率为，
则由题意可得解得.
故答案为:.
15．
解：，令得，，
令得，或，∴在和上单调递增；令得，，∴在上单调递减，∴函数在上单调递增，在上单调递减，
∴函数在上的最大值为.
故答案为：.
16．②③
解：，故①错误；
因为，即
则，
两式相减得：，
所以，
令，
则有，
又，，
所以，
所以，
又因均为整数，
所以都是整数，故②正确；
当n为奇数时，则为偶数，为奇数，
，即，
即，所以成等差数列，故③正确；
因为，
所以当为奇数时，，
所以当为偶数时，，
故④错误.
故答案为：②③.
17．(1)
(2)
(1)
设公差为d，则，
故．
(2)
设，由，，，
得，解得
故的通项公式为．
18．(1)填表见解析；认为零件为一等品与生产线之间有关联
(2)分布列见解析；期望为.
（1）
生产线 产品等级 合计
一等品 非一等品
甲 75 25 100
乙 60 40 100
合计 135 65 200
生产线与产品等级之间无关联
根据小概率值的独立性检验，
我们推断不成立，即认为零件为一等品与生产线之间有关联．
（2）由已知任取一个甲生产线零件为一等品的概率为，任取一个乙生产线零件为一等品的概率为．
的所有可能取值为0，1，2，3，4．
，
，
，
，
，
所以的分布列为
0 1 2 3 4
P
．
19．(1)证明见解析；
(2)(i)；(ii)E为PA的中点.
（1）由题意知，
因为，所以；
（2）因为为菱形，，连接AC，则为正三角形，
取AC的中点H，连接AH，则，所以，
由平面，平面，所以，，
以、、所在直线分别为x、y、z轴，建立如图空间直角坐标系，
设，其中，由，得，
则，
有，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
所以，设直线PD与平面的夹角为，
则，
化简，得，由，得，
此时，即E为PA的中点；有，
取AB的中点O，则OF=OE=EF=1，，有平面PAB，
所以，而，
在中有，所以，所以，
由，设点P到平面的距离为h，
则，即，得.
(i)点P到平面的距离为；
(ii)点E为AP的中点.
20．（1）；（2）证明见解析.
（1）对式子取倒数得：，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以，
即；
（2）
（），
故
，
另一方面：
，
从而，即，
综上得：.
21．（1）；（2）面积的最大值，方程为.
（1）设椭圆的焦距为.
由椭圆的定义可知.①
由椭圆的几何性质可知，当为短轴的顶点时，最大，为，
则有.
联立①②可得，，
所以，
故椭圆的方程为.
（2）因为，所以.
延长，交椭圆于点.
设，.
由（1）可知，可设直线的方程为.
联立消去可得，
所以，.
由对称性可知.
设与间的距离为，
则四边形的面积
.
令，则.
因为，当且仅当时取等号，
所以，
此时，解得，
因此直线的方程为．
22．（1）①极小值为，没有极大值，线的方程为；②最大值为；（2）证明见解析.
（1）①解：当时，，
，，令，解得.
当变化时，，的变化情况如下表：
— 0 +
↘ 极小值 ↗
所以的极小值为，没有极大值.
又因为，，
所以，直线的方程为，即.
②解：对任意的都有，
即恒成立.由，故，所以.
由①知在单调递增，因此，可得，即.
当时，的最小值为，所以的最大值为.
（2）证明：要证明，只需证明即可.
依题意，，是方程的两个不等实根，因为，
所以
① ②相加得：，
① ②相减得：，
消去，整理得，
.
不妨设，令，则.
故只需证明当时，，即证明.
设，则.
于是在单调递增，从而，因此.
所以，.
3