甘肃省天水市2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题（Word版含答案）

天水市2022-2023学年高二下学期期末考试
数学
本试卷满分150分，考试时间120分钟．
考生注意：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．在数列中，，，若，则等于（ ）
A．671 B．673 C．674 D．675
3．若的展开式中，所有的二项式系数之和为64，则该展开式中的常数项为（ ）
A． B．20 C． D．10
4．对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据：，，…，，则下列说法中不正确的是（ ）
A．由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心
B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
C．用相关指数来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越好
D．若变量和之间的相关系数，则变量与之间具有线性相关关系
5．已知，，（其中为自然对数的底数），则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平行六面体中，，，，，，，则用表示及线段的长为分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．某班有甲、乙等5个学生分配到人工智能、航天、生物科技三个竞赛活动的社团服务，其中甲、乙两同学必须在一个组，每组至少1人参加，则不同分组方法有______种
A．48 B．36 C．24 D．18
8．对于函数图象上任意一点处的切线，函数的图象上总存在点，处的切线，使得，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知复数，则（ ）
A． B．
C． D．复数在复平面内对应的点在第二象限
10．产品的质量是企业的根本，产品检测是生产中不可或缺的重要工作．某工厂为了保证产品质量，利用两种不同方法进行检测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工甲从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工乙从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品．设员工甲抽取到的3件产品中次品数量为，员工乙抽取到的3件产品中次品数量为，．则下列判断正确的是（ ）
A．随机变量服从二项分布 B．随机变量服从超几何分布
C． D．
11．某市为丰富青少年憵假生活，推出多项益智游乐项目．小乐与好朋友一起选择了该市的甲、乙两个儿童乐园游乐场去打卡．小乐与好朋友第一天去甲、乙两家游乐场游玩的概率分别为0.3和0.7．如果他们第一天去甲游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.7；如果第一天去乙游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.6，则小乐与好朋友（ ）
A．第二天去甲游乐场的概率为0.63
B．第二天去乙游乐场的概率为0.45
C．第二天去了甲游乐场，则第一天去乙游乐场的概率为
D．第二天去了乙游乐场，则第一天去甲游乐场的概率为
12．已知点为内的一点，，分别是，的中点，则（ ）
A．若为中点，则
B．若为中点，则
C．若为的重心，则
D．若为的外心，且，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．如果，，那么______．
14．直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围______．
15．2023年6月4日神舟十五号载人飞行任务取得圆满成功．费俊龙、邓清明、张陆这三位航天员在空间站上工作了186天，此次神船十五号载人飞船返回，是我国空间站转人应用与发展阶段后的首次返回任务，掀开了中国航天空间站的历史新篇章．某航空机械公司的研究院研发了一款新零件用于航天器，若这批零件的质量指标（单位：毫米）服从正态分，且，现从该批零件中随机取3件，用表示这3件产品的质量指标值不位于区间的产品件数，则______，______．
16．已知椭圆：（），双曲线：．若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆与双曲线的离心率之积为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）已知函数，且．
（1）求的值和的最小正周期；
（2）求在上的单调递增区间．
18．（本题满分12分）已知等差数列满足，，等比数列满足，．
（1）求与的通项公式；
（2）若，设，求的前项和．
19．（本题满分12分）蘑菇是日常常见的食材，由于蘑菇能够为机体补充丰富的多糖类物质，而多榶类的物质能够促进免疫活性物质的增多，蘑菇能够发挥出提高机体免疫力的作用．同时蘑菇能够健脾开胃等功效，经常食用蘑菇有很好的健脾开胃、提高消化能力、提高身体免疫力的作用．蘑菇的生长过程中品质与产量均与温度和湿度有关，为了提高蘑菇品质与产量需要严格控制温度与湿度，某企业为了了解生产平均温度（单位：℃）对某品种蘑菇的产量（单位：吨）和时段投入成本（单位：万元）的影响，为此，该企业收集了7个蘑菇房的时段控制温度和产量（）的数据，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值．
17.40 82.30 3.6 140 9.7 2935.1 35.0
其中，．
（1）根据散点图判断，与哪一个更适宜作为该品种蘑菇的时段产量关于时段控制温度的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）若用作为回归方程模型，根据表中数据，建立关于的回归方程；
（3）已知时段投入成本与，的关系为，当时段控制温度为18℃时，磨菇时段产量及时段投入成本的预报值分别是多少？（精确到0.01）
附：①对于一组具有线性相关关系的数据（），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
②
0.08 0.47 2.72 20.09 90.01 1096.63
20．（本题满分12分）如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，，分别为，的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，二面角的大小为45°，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．求的长．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
21．（本题满分12分）已知函数．
（1）求函数在处的切线方程；
（2）求在的最大值和最小值，并说明函数零点个数；
（3）求证：曲线在抛物线的上方．
22．（本题满分12分）已知椭圆：（）的右焦点为，过点的直线与椭圆交于，两点，当直线垂直于轴时．
（1）求椭圆的方程；
（2）作轴于点，作轴于点，直线交直线于点．
①求证：，，三点共线；
②求与的面积之比．
2023年高二第二学期期末学业质量监测卷
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】B
2．【答案】C
解：由，得：，即是以为首项，为公差的等差数列，故，由，解得：．故选：C．
3．【答案】A
解：根据题意可得，解得，
则展开式的通项为，
令，得，
所以常数项为：．故选A．
4．【答案】C
解：对于A，样本中心点在直线上，故A正确；
对于B，残差平方和越小的模型，拟合效果越好，故B正确；
对于C，越大拟合效果越好，故C不正确：
对于D，变量和之间的相关系数，表示两个变量具有线性负相关关系，
故D正确．故选C．
5．【答案】D
解：因为，所以；
因为，；
因为，．
∴，故选：D．
6．【答案】C
解：在平行六面体中，，，，，，
∵，
∴
∴．故选C．
7．【答案】B
解：按甲乙两人组，和甲乙三人组分成两类
若甲乙两人组，其它组2人和1人：一共有，
若甲乙三人组，其它各组各1人，一共有
所以一共种
8．【答案】D
解：切线的斜率
切线的斜率
（1）当时，在上增函数
，，使；
（2）当时，在上减函数
（3）当时，不符合题意．
综上所述，，故选D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．【答案】ABD
解：，
，故A正确；
，故B正确；
，故C不正确；
复数在复平面内对应的点为，该点位于第二象限，故D正确．
故选：ABD
10．【答案】ABD
解：对于A，B选项，由超几何分布和二项分布的概念可知两个选项均正确；
对于D选项，该批产品有件，则，
，因此D正确；
对于C选项，假若C正确可得，则D错误，矛盾！故C错误．
11．【答案】AC
解：设：第一天去甲游乐场，：第二天去甲游乐场，
：第一天去乙游乐场，：第二天去乙游乐场，
依题意可得，，，，
∴，A正确；
，B错误；
，C正确；
，∴D错误
故选AC．
12．【答案】ABD
【分析】由为中点，结合平面向量的加法法则即可判断A，B；由重心的性质即可判断C；由三角形外心性质结合数量积公式判断D．
【详解】对于A，因为为中点，所以，故A正确；
对于B，由为中点，则，故B正确；
对于C，由为的重心，则根据三角形重心的性质得，所以，故C错误；
对于D，若点为的外心，，则根据三角形外心的性质得，故，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．【答案】
【解析】因，，则，
所以．
故答案为：
14．【答案】
解：因为直线分别与轴，轴交于，两点，
所以，，因此．
因为圆的圆心为，半径，
所以若设圆心到直线的距离为，
则，
因此直线与圆相离．
又因为点在圆上，
所以点到直线距离的最小值为，
最大值为，即，
又因为面积为，
所以面积的取值范围为．
15．【答案】；
解：由正态分布的性质得，
则1件产品的质量指标值不位于区间的概率为，
所以，故，，
16．【答案】
解：不妨设，，可设椭圆的焦点坐标，，
正六边形的一个顶点，
由，即，
解得椭圆的；
双曲线的渐近线的斜率为，即，
可得双曲线的离心率为．
即有椭圆与双曲线的离心率之积为．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）
解：（1）由，得．
所以，
．
所以，的最小正周期
（2）由得（），
所以的单调递增区间为（）．
当时，的单调递增区间为，
当时，的单调递增区间为，
所以在上的单调递增区间为，．
18．（本题满分12分）
解：（1）设的公差为，因为，，
所以，解得，从而，
所以．
设的公比为，因为，
则有
，，解得或，
当时，因为，所以，所以．
当时，因为，所以，所以．
（2）若，．
因为，所以，
所以，
所以．
19．（本题满分12分）
（1）根据散点图可知，利用函数更适宜．
（2）由得．
令，，，
由图表中的数据可知，，
∴，
∴关于的回归方程为．
（3）时，由回归方程得，
，
即蘑菇房的温度为18℃时，蘑菇的时段产量的预报值为，投入成本的预报值为11.58万元．
20．（本题满分12分）
证明：（1）取中点，连接，．
在中，，分别为，的中点，所以，．
在菱形中，因为，，
所以，．
所以四边形为平行四边形，因此．
又因为平面，平面，
所以平面．
（2）选择条件①：
因为平面，，平面，
所以，．
又因为，，所以平面，
又平面，所以．
所以建立如图空间直角坐标系．
又因为，．
又为中点，所以，即为正三角形．
因为，所以．
设（），．
，．
平面的法向量为．
设平面的法向量为，则
得取，则，．
所以
由题意，二面角的大小为45°
所以．
解得（舍负）．
因为是的中点，所以的长为12．
经检验符合题意．
选择条件②：因为平面，，，平面，
所以，，．
又因为，，且
所以，在菱形中，，即为正三角形．
又因为为中点，所以
建立如图空间直角坐标系．
又因为，．
因为为正三角形．且，所以．
设（），，．
，．
平面的法向量为
设平面的法向量为，
则，得取，则．
所以．
由题意，二面角的大小为45°
所以
解得（舍负）．
因为是的中点，所以的长为12．
经检验符合题意．
21．（本题满分12分）
解：（1），切点
，
切线方程为．
（2），，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
因为，，
所以函数的最大值为；最小值为．
，，所以函数有2个零点．
（3）证明：由题意只要证，即证，
令，则，
令，则，
则单调递增，，，
所以在内有唯一解，设为，即，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
故，，
根据二次函数的性质可知，，
故曲线在抛物线的上方．
22．（本题满分12分）
解：（1）由题设，，所以．
又因为，，所以，解得
即解得，．
所以椭圆的方程为．
（2）①设，，，
直线方程为：
，．
直线的方程为
令，得，
所以
，
所以，，三点共线
（2）因为
与的面积之比1:1
【以上评分细则仅供参考，可以根据学生实际情况调整】