辽宁省锦州市2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题（Word版含答案）

锦州市2022-2023学年高二下学期期末考试
数学
注意事项：
1．本试卷考试时间为120分钟，满分150分。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答题标号；答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域内，超出答题区域或写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．等差数列中，，则数列的公差为（ ）
A．2 B．6 C．1 D．14
2．一箱产品中有6件正品和2件次品．每次从中随机抽取1件进行检测，抽出的产品不再放回．已知前两次检测的产品均是正品，则第三次检测的产品是正品的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数y＝f（x）的导函数的图象如图所示，则f（x）的图象可能是（．．．）
A． B． C． D．
4．某商场为了了解毛衣的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如表：
月平均气温x（℃） 17 13 8 2
月销售量y（件） 24 33 40 55
由表中数据算出线性回归方程中的b＝－2，气象部门预测下个月的平均气温约为8℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（ ）件．
A．40 B．42 C．46． D．48
5．康托（Cantor）是十九世纪末二十世纪初德国伟大的数学家，他创立的集合论奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间［0，1］均分为三段，去掉中间的区间段，当记为第一次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使“康托三分集”的各区间长度之和小于，则需要操作的次数n的最小值为（ ）（参考数据：）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．已知，设曲线在x＝k（k＞0）处的切线斜率为f（k），则（ ）
A．f（c）＜f（b）＜f（a） B．f（a）＜f（c）＜f（b）
C．f（c）＜f（a）＜f（b） D．f（a）＜f（b）＜f（c）
7．某班举行航空知识闯关活动，共设置A，B，C三个问题．答题者可自行决定答三道题的顺序．甲有60%的可能答对问题A，80%的可能答对问题B，50%的可能答对问题C．记答题者连续答对两题的概率为p，要使得p最大，他应该先回答（ ）
A．问题A B．问题B C．问题C D．问题A，B和C都可以
8．若过点P（t，0）可以作曲线y＝（1－x）ex的两条切线，切点分别为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分有选错的得0分。
9．已知5个成对数据（x，y）的散点图如下，且y与x线性相关，若去掉点D（4，3），则下列说法正确的是（ ）
A．变量x与变量y呈负相关．
B．变量x与变量y的线性相关关系变强
C．残差平方和变小
D．样本相关系数r变大
10．已知递减的等差数列的前n项和为，则（ ）
A． B． C． D．最大
11．已知函数，则（ ）
A．f（x）有一个零点 B．f（x）在上单调递减
C．f（x）有一个极值点 D．若，则
12．一种疾病需要通过核酸检测来确定是否患病，检测结果呈阴性即没患病，呈阳性即为患病，已知7人中有1人患有这种疾病，先任取4人，将他们的核酸采样混在一起检测．若结果呈阳性，则表明患病者为这4人中的1人，然后再逐个检测，直到能确定患病者为止；若结果呈阴性，则在另外3人中逐个检测，直到能确定患病者为止，则（ ）
A．最多需要检测4次可确定患病者 B．第2次检测后就可确定患病者的概率为
C．第3次检测后就可确定患病者的概率为 D．检测次数的期望为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数，则______．
14．某城市每年6月份的平均气温t近似服从，若，则可估计该城市6月份平均气温低于24摄氏度的天数为______．
15．设口袋中有白球3个，黑球若干个，从中任取2个球，设抽到的球中白球个数为x个，且，则口袋中共有黑球______个．
16．已知函数，则______；设数列满足，则此数列的前2023项的和为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）
已知数列满足．
（1）证明：是等比数列；
（2）证明：存在两个等比数列，使得成立．
18．（本题满分12分）
已知函数．
（1）若x＝1是函数f（x）的极小值点，求a的值；
（2）讨论f（x）的单调性．
19．（本题满分12分）
青少年时期是视觉发育的敏感期与关键期，这个阶段的视觉发育容易受环境因素影响，某校为研究学生每天使用手机时长与近视率的关系，从全校学生中随机抽取600名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据：有20%的学生每天使用手机超过1h，这些人的近视率为50%；每天使用手机不超过1h的学生的近视率为37.5%．
（1）若从该校学生中随机抽取一人，请根据以上数据估计该同学近视的概率；
（2）请完成2×2列联表．并根据调查数据回答：在犯错误的概率不超过5%的前提下．可以认为该校学生每天使用手机时长与近视有关吗？
视力 每天使用手机时长 合计
超过1h 不超过1h
近视
不近视
合计 600
附：．
下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
20．（本题满分12分）
已知等比数列的公比q＞0，且满足，数列的前n项和．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前2n项和．
21．（本题满分12分）
某商场为庆祝六一儿童节，举办了一场赢取小熊挂件的“定点投篮”活动，方案如下：
方案一：共投9次，每次投中得1分，否则得0分，累计所得分数记为Y；
方案二：共进行三轮投篮，每轮最多投三次，直到投中两球为止得3分，否则得0分，三轮累计所得分数记为X．
累计所得分数越多，所获得奖品越多．现在甲准备参加这个“定点投篮”活动，已知甲每次投篮的命中率为p（0＜p＜1），每次投篮互不影响．
（1）若，甲选择方案二，求第一轮投篮结束时，甲得3分的概率；
（2）以最终累计得分的期望值为决策依据，甲在方案一，方案二之中选其一，应选择哪个方案？
22．（本题满分12分）
已知函数．
（1）若a＝2，求方程f（x）＝0的解集；
（2）若f（x）有两个零点且有两个极值点，记两个极值点为，
①求a的取值范围；
②证明：．
2022~2023学年度第二学期期末考试
高二数学（参考答案及评分标准）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有－项是符合题目要求的。
BADB BACD
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．ABC． 10．ACD． 11．BCD． 12．AB．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．6． 14．9． 15．4 16．；．（第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）
证明：（1）因为，所以，
又，数列是首项为3，公比为3的等比数列．
（2）存在两个等比数列，使得成立．
理由如下：由（1）知，．
所以，
因为，所以数列是首项为－2，公比为2的等比数列，
所以．所以．
令，则，
所以，存在两个等比数列，使得成立．
18．（本题满分12分）
解：（1）
令，得：，
由于x＝1是函数f（x）的极小值点，所以，即a＝1，
此时因为x∈（－∞，0）时，，f（x）在（－∞，0）上单调递增，
x∈（0，1）时，，f（x）在（0，1）上单调递减，
x∈（1，＋∞）时，，f（x）在（1，＋∞）上单调递增，
所以x＝1是函数f（x）的极小值点，故a＝1满足题意．
（2）时x＝0或x＝a，
a＜0时，的解为x＜a或x＞0，此时f（x）在（－∞，a］和［0，＋∞）上单调递增；
的解为a＜x＜0，此时f（x）在［a，0］上单调递减；
a＞0时，的解为x＜0或x＞a，此时f（x）在（－∞，0］和［（a，＋∞）上单调递增；
的解为0＜x＜a，此时f（x）在［0，a］上单调递减；
a＝0时，恒成立，此时f（x）在R上单调递增．
19．（本题满分12分）
解：（1）设事件A为“任选1名学生每天使用手机超过1h”，事件B为“任选1名学生近视”，则，
由全概率公式得，
所以从该校学生中随机抽取一名学生其近视的概率为0.4．
（2）2×2列联表为
视力 每天使用手机时长 合计
超过1h 不超过1h
近视 60 180 240
不近视 60 300 360
合计 120 480 600
根据列联表中的数据，经计算得到，
所以在犯错误的概率不超过5%的前提下．可以认为该校学生每天使用手机时长与近视有关联．
20．（本题满分12分）
解：（1）依题意，由，可得
，解得，
所以，
因为数列的前n项和，所以当n＝1时，，
当n≥2时，，
也满足上式，所以．
（2）由题意及（1），可知
当n为奇数时，，
当n为偶数时，，
令，则
，
，
所以，
两式相减，可得：
，
，
，
所以，
所以
．
21．（本题满分12分）
解：（1）设事件A为“甲3次投篮，前两球投进”；事件B为“甲3次投篮，最后一次才投进第2球”，则甲得3分为这两个事件的和事件，
所以，
所以第一轮投篮结束时，甲得3分的概率；
（2）选方案一，则，选方案一得分的数学期望为E（Y）＝9p，
选方案二，每一轮得分只有0和3，能得3分的概率为
，
进行三轮投篮，得3分的次数ξ为随机变量，则，
进行三轮总得分X＝3ξ，则选择方案二得分的期望为
，
所以，
当，两种方案期望相同，所以选方案一，二都可以，
当，方案二期望大，所以甲应该选方案二，
当，方案一期望大，所以甲应该选方案一．
22．（本题满分12分）
（1）解：若a＝2，则，定义域为（0，＋∞），
由f（x）＝0，可得x－1－lnx＝0，
设g（x）＝x－1－lnx，则，
由，可得0＜x＜1，g（x）在（0，1）上单调递减，
由，可得x＞1，g（x）在（1，＋∞）上单调递增，
所以，
故方程f（x）＝0的解集为．
（2）①解：令f（x）＝0，得，设，
由，可得0＜x＜1，故h（x）在（0，1）单调递增；
由，可得x＞1，故h（x）在（1，＋∞）单调递减，所以，
又当x∈（0，1）时，，当时，h（x）∈（0，1），
若f（x）有两个零点，则，故a∈（0，2），
，令，得，
设，则，由，可得，
由，可得，故H（x）在上单调递增；
由，可得，故H（x）在上单调递减，，
当时，，当时，，
若f（x）有两个极值点，则a∈（0，e），
综上，a∈（0，2），
②证明：不妨令，因为且H（1）＝2，得，
由为的两根得，
两式分别乘并整理得：
，
所以，
要证：，即证：，
即证：，
由于，所以，
所以只需证，
令，
，所以在上单调递减，
所以，故，
所以．