辽宁省辽阳市2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题(含答案)

高二考试数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第三册、必修第一册、必修第二册第四章结束。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则（ ）
A． B．3 C． D．4
4．“”是“是幂函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．在数列中，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，则（ ）
A．2 B． C． D．
7．函数的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
8．某公司开发新项目，今年用于该新项目的投入为10万元，计划以后每年用于该新项目的投入都会在上一年的基础上增加，若该公司计划对该项目的总投入不超过250万元，则按计划最多能连续投入的时间为（ ）（参考数据：）
A．9年 B．10年 C．11年 D．12年
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知一次函数满足，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
10．等差数列的前项和为，公差为，若，则（ ）
A． B．
C．当时，取得最大值 D．当时，取得最大值
11．已知，且，则（ ）
A．的最小值是 B．的最小值是4
C．的最小值是8 D．的最小值是
12．已知，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数的定义域为，则函数的定义域为________．
14．等差数列的前项和为，若，则________．
15．如图，在墙角处有一根长3米的直木棒紧贴墙面，墙面与底面垂直．在时，木棒的端点以的速度垂直墙面向右做匀速运动，端点向下沿直线运动，则端点在这一时刻的瞬时速度为________．
16．已知函数是定义域为的奇函数，则________，关于的不等式的解集为________．（本题第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
在等比数列中，，且是和的等差中项．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
18．（12分）
已知函数．
（1）当时，求在上的最值；
（2）讨论的单调性．
19．（12分）
从①，②两个条件中任选一个填入横线上，并解答下列问题．已知正项等差数列的前项和为，且________．
（1）证明：数列为等差数列．
（2）若，证明：．注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．
20．（12分）
已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）若在上恰有1个极值点，求的取值范围．
21．（12分）
已知数列的前项和为且．
（1）求的通项公式；
（2）为满足的的个数，求使成立的最小正整数的值．
22．（12分）
已知函数．
（1）若，求的图象在处的切线方程；
（2）若有两个极值点，证明：．
高二考试数学试卷参考答案
1．D 因为，所以．
2．C 因为函数是增函数，所以．
3．B ．
4．A 若是幂函数，则，解得或，故“”是“是幂函数”的充分不必要条件．
5．B 由题意可得．当时，，当时，．因为，所以，则．
6．D 因为，所以，则，解得．由，解得，则．
7．A ，所以是奇函数，排除C，D．当时，，则，，排除B．故选A．
8．A 设该公司第年用于该新项目的投入为万元，则是首项为10，公比为的等比数列，从而，即，即，即．因为，所以的最大值是9．
9．AC 设，则，故．因为，所以解得或则或．
10．BC ，所以，故，当时，取得最大值．
11．BC 因为，且，所以，所以，当且仅当时，等号成立，则A错误．由题意可得，当且仅当时，等号成立，则B正确．因为，所以，当且仅当时，等号成立，则C正确．由题意可得，此时，．因为，所以不存在，使得则D错误．
12．ABC 令，则，当时，单调递增，所以，则，故．令，则，则在上单调递减，则，则，即．故选ABC．
13． 由题可知解得．
14．15 设，则，则，解得．
15． 设端点运动的路程为，所以，因为，所以，所以，则，当时，，即端点在这一时刻的瞬时速度为．
16．1； 因为是奇函数，所以，则，则．因为，所以，则在上单调递减．由，得，则，解得．
17．解：（1）设的公比为，因为是和的等差中项，所以，
则，解得或．
当时，．
当时，．
（2）因为，所以．
，
则，
则．
故．
18．解：（1）因为，所以．
当时，，当时，，故的单调递增区间为和，单调递减区间为．
因为，
所以在上的最大值为32，最小值为．
（2）因为，所以．
令，得或．
当，即时，由，解得或，由，解得．
当，即时，恒成立．
当，即时，由，解得或，由，解得．
综上所述，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为．
19．证明：（1）选①
设的公差为，由，得，
则，则．
，
所以数列是首项为，公差为的等差数列．
选②
设的公差为，由，得，
则，则．
，
所以数列是首项为，公差为的等差数列．
（2）．
因为，所以，解得．
，
所以
．
20．解：（1）因为，所以．
令，得或，且当时，，当时，，故的单调递减区间为，单调递增区间为．
从而的极小值为，无极大值．
（2）因为，所以．
因为在上恰有1个极值点，所以在上恰有一个变号零点．
令，则，
显然在上单调递增，且，所以在上恒成立，
则在上单调递增．
要使在上恰有一个变号零点，则，
即，故的取值范围为．
21．解：（1）因为，所以，
所以，
累乘得，所以．
因为符合上式，所以．
当时，，两式相减得，
所以．
因为符合上式，所以．
（2）由题意知，
则．
令，
则，
所以单调递增．
因为，所以的最小值是11．
22．（1）解：因为，所以，
则，
故的图象在处的切线方程为，即．
（2）证明：因为，所以．
由有两个极值点，得方程有两个不相等的正实数根，
即方程有两个不相等的正实数根．
令，则，当时，单调递减；当时，单调递增．当时，，当时，．
由有两个不相等的正实数根，可得，即有两个不相等的正实数根．
由，得．
要证，需证，需证．
不妨令，则等价于，即
令，则，
则，从而．