七年级数学下册试题 1.5平方差公式 -北师大版（含答案）

1.5平方差公式
第一课时
一、选择题
1．下列多项式乘以多项式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
2.如图①，阴影部分是边长为的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形．若将阴影部分通过割、拼，形成新的图形②．则下列等式能够正确表示该图形面积关系的是（　　）
A． B．
C． D．
3.如图所示，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A． B．
C． D．
4.化简得（ ）
A． B． C． D．
5.已知，则的值是（ ）
A．9 B．12 C．18 D．27
6.若，则等于（ ）
A． B． C． D．
7.如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8.计算：______；______．
9.若，则=_____．
11.如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形，根据图形能验证面积的等式为（用含a、b的式子表示）_____________．
12.从前，有一个狡猾的地主，把一块边长为x米的正方形土地租给张老汉栽种．过了一年，他对张老汉说：“我把你这块地的一边减少3米，另一边增加3米，继续租给你，你也没吃亏，你看如何 ”张老汉一听，觉得好像没吃亏，就答应了．其实我们知道张老汉吃亏了．请运用本学期相关知识分析一下张老汉租用的土地面积比之前少了___________平方米．
13.计算______．
14.若，，则的值为___________
15.阅读材料后解决问题：小明遇到下面一个问题计算经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：
．
请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：_____．
三、解答题
16.简便计算：
(1)； (2)．
17.计算：
(1) (2)
(3)先化简，再求值：，其中
18.探究活动：
(1)如图①，可以求出阴影部分的面积是 　 　．（写成两数平方差的形式）
(2)如图②，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是 　 　．（写成多项式乘法的形式）
(3)比较图①、图②阴影部分的面积，可以得到公式 　 　．
19.在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2021年11月份的日历．如图所选择的两组四个数，分别将每组数中相对的两数相乘，再相减，例如：______，______，不难发现，结果都是______．
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27
28 29 30
(1)请将上面三个空补充完整；
(2)请你再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律；
(3)请你利用整式的运算对以上的规律加以证明．
第二课时
一、选择题
1．在2021，2023，2026，2028这四个数中，不能表示为两个整数平方差的数是（ ）
A．2021 B．2023 C．2026 D．2028
2．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．化简的结果为（ ）
A．-1 B． C． D．
4．如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为x的小正方形，将余下部分对称剪开，拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a，x的恒等式是（ ）
A． B．
C． D．
5．计算，结果的个位数字是（　　）
A．6 B．5 C．8 D．7
6.有依次排列的两个整式：，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减左边的整式，将所得之差写在这两个整式之间，可以得到一个新的整式串：，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推．通过下列实际操作，
①第二次操作后的整式串为：；
②第二次操作后，当或时，所有整式的积为正数；
③第四次操作后的整式串共有19个整式；
④第2022次操作后，所有整式之和为；上述结论中，正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
7．对于任何实数，我们规定符号的意义是：．按照这个规定请你计算：当时，的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
8．如图，把一块面积为100的大长方形木板分割成2个大小一样的大正方形①，1个小正方形②和2个大小一样的长方形③后，如图摆放，且每个小长方形③的面积为16，则标号为②的正方形的面积是（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
9．已知，那么______．
10．已知，，，，…，，则=________．
11．若，则的值为________．
12．某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式计算：．仿照该同学的计算方法，求得的值为_________．
13．观察下列各式
……
则的结果为______．
14．已知，实数满足，则_______．
15．丽丽在做一道计算题目的时候是这样分析的：这个算式里面每个括号内都是两数和的形式，跟最近学的乘法公式作比较，发现如果添加两数的差作为新的因式，就可以运用平方差公式进行运算，她尝试添了因式，很快得到计算结果．
①______________；
请参考丽丽的方法进行运算：
②的值为____________．
16．如图，用大小相同的小正方形拼图形，第1个图形是一个小正方形；第2个图形由9个小正方形拼成；第3个图形由25个小正方形拼成，依此规律，若第n个图形比第（n-1）个图形多用了72个小正方形，则n的值是___________.
三、解答题
17．简便计算：
(1)； (2)．
18．乘法公式的探究与应用：
(1)如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形；请你写出阴影部分面积是___________；
(2)小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图，则长方形的长是___________，宽是___________，面积是___________；（写成多项式乘法的形式）
(3)比较两图阴影部分的面积，可以得到恒等式___________；
(4)应用你从（3）中选出的等式，完成下列各题：
①已知，，则的值为___________；
②计算：…．
19．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)通过表示阴影部分面积，可得数学等式为___________．
(2)已知，，则的值为_________．
(3)应用（1）得到的数学等式进行简便运算：．
20．你能求的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手，先分别计算下列各式的值．
①
②
③
…
(1)由此我们可以得到： ．
(2)请你利用上面的结论，再完成下面两题的计算：
①
②若求x2020的值．
第一课时答案
一、选择题
A．D．A．C．A．B．B．
二、填空题
8.，．
9.．
10.2．
11.．
12.9．
13.
14.
15.
三、解答题
16.（1）解：
；
（2）解：
．
17.（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
，
当时，原式．
18.（1）解：根题意可得，
．
故答案为：；
（2）解：根据题意可得，
长方形的长为，宽为，
故答案为：；
（3）解：，
即．
故答案为：
19.（1）解：，，
不难发现，结果都是：48；
（2）选择如下数据计算如下：
，
．
所以符合（1）中的规律．
（3）设四个数围起来的中间的数为x，则四个数依次为，，，，
则
．
第二课时答案
一、选择题
C．D．B．D．B．C．A．C．
二、填空题
9．17．
10．6066
11．．
12．2
13．22023 1
14．2022
15．
16．．
三、解答题
17．（1）解：
（2）解：
．
18．（1）由第一个图可知：阴影部分的面积为，
故答案为：；
（2）由第二个图可知：长方形的长为：；宽为：；面积为：
故答案为：；；；
（3）由（1）（2）可得：或；
故答案为：或（填其中一个即可）；
（4）①∵，
∴，
又∵，
∴
故答案为：；
②
．
19．（1）解：图①阴影部分面积为，
∵图②中的长方形的长为，宽为，
∴图②阴影部分面积为，
则数学等式为，
故答案为：；
（2）解：∵，，
∴
，
故答案为：；
（3）解：
．
20．
（1）
解：∵①
②
③
∴．
故答案为：
（2）
解：①
②∵，
∴
∴