八年级数学下册试题 1.1 等腰三角形同步练习-北师大版（含答案）

1.1 等腰三角形
一、单选题
1．△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，以下结论：（1）AD⊥BC； （2）∠B=∠C；（3）AD平分∠BAC，其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．若等腰三角形的两边长为3和7，则该等腰三角形的周长为（　　）
A．10 B．13 C．17 D．13或17
3．等腰三角形的底角等于，则该等腰三角形的顶角度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
4．如图，在中，为BC边上的中线，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，△是等边三角形，是边上的高，且，是的中点，是上的一个动点，则与的和最小是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
6．如图，中，，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．下列结论中：①有一个外角是的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④三个内角都相等的三角形是等边三角形．其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在△中，，为钝角．按下列步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，交BC于点D，交AB于点E；②以点为圆心，长为半径作圆弧，交于点；③以点为圆心，长为半径作圆弧，交②中所作的圆弧于点；④作射线交于点．下列说法不正确的是( )
A．= B．=∠ACB
C．∠CHB=∠A+∠B D．=∠HCB
9．如图所示，在中，，是边上任意一点，过作于，于，若，，则AB=（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．在网格中作出点P，使△ABP以AB为腰的等腰三角形，且点P要在格点上，则这样的点P的个数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、填空题
11．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，腰长为6，则这个等腰三角形的底角度数是____________．
12．已知等腰三角形的一边等于8 cm，另一边等于6 cm，则此三角形的周长为 _____________．
13．如图①是一张Rt△ABC纸片，如果用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个正三角形，如图②，那么在Rt△ABC中，BC＝6，则AB＝_____．
14．中，，则______．
15．如图，在中，， ，BD平分，交AC于点D，，则点 D到BC的距离是 ________ ．
16．如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于点，交于点，若，，则的长为________．
17．如图：在中，，，平分，若，则_____．
18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．点D在斜边AB上，以CD为直角边作等腰直角三角形CDE，∠DCE=90°，连结BE．若AD=5，DB=12，则DE的长为_________．
19．如图，是等边三角形，，、相交于点，于，，，则的长是______．
20．如图，是等边三角形，是边上的高，是的中点，是上的一个动点，当与的和最小时，则的度数是______．
21．如图，在中，，点在延长线上，于点，交于点，若，，则的长度为________．
三、解答题
22．如图，．
（1）写出图中所有的等腰三角形；
（2）选其中一个等腰三角形加以证明．
23．如图，在中，点是上一点，，，求的度数．
24．如图1，在边长为6的等边△ABC中，点D从点A开始在射线AB上运动，速度为1个单位/秒，点F同时从C出发，以相同的速度沿射线BC方向运动，过点D作DE⊥AC，连接DF交射线AC于点G，设点D的运动时间为t秒；
（1）当DF⊥AB时，求t的值；
（2）当点D在线段AB上运动时，是否始终有DG=GF？若成立，请说明理由；
（3）小扬同学通过测量发现，当点D在线段AB上时，EG的长始终等于AC的一半，他想当点D运动到图2的情况时，EG的长是否发生变化？若改变，说明理由；若不变，求出EG的长．
25．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（8，0）．动点P从A出发以每秒2个单位长度的速度沿线段AO向终点O运动，同时动点Q从O出发以相同速度沿y轴正半轴运动，点P到达点O，两点同时停止运动，设运动时间为t．
（1）当∠OPQ=45°时，请求出运动时间t；
（2）如图2，以PQ为斜边在第一象限作等腰Rt△PQM，设M点坐标为（m，n），请探究m与n的数量关系并说明理由．
26．如图，已知直角梯形OABC的A点在x轴上，C点在y轴上，OC＝6，OA＝OB＝10，交AC于D点，且∠ODQ＝90°，求D点的坐标．
27.如图，和均为等腰直角三角形，，E在上，P为的中点，交射线于F，连接．
求证：（1）
（2）．
答案
一、单选题
D.C．B．B．C．C.C．D．A．D．
二、填空题
11．65°或25°
12．22cm或20cm
13．12
14．50°
15．2
16．5
17．
18．13
19．7
20．60°
21．10
三、解答题
22．（1）解：图中共有个等腰三角形，即.
理由：在中，，
∴，
∴，
∴，
∴ 是等腰三角形；
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形.
综上所述，图中共有个等腰三角形.
（2）证明：在中，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰三角形.
23．解：∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴．
24．解：（1）由题意得：AD=t，则BD=6－t，BF=6+t，
∵DF⊥AB，△ABC是等边三角形，
∴∠BDF=90°，∠B=60°，
∴∠F=30°，
∴BF=2BD，
即，解得：t=2；
（2）始终有DG=GF成立；
理由如下：如图1，过点D作DH∥BC交AC于点H，则∠DHG=∠FCG，∠ADH=∠ABC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ADH=∠B=∠A=60°，
∴△ADH是等边三角形，
∴DH=AD，
又∵AD=CF，
∴DH=FC，
在△DGH和△FGC中，
∵∠DHG=∠FCG，∠DGH=∠FGC，DH=FC，
∴△DGH≌△FGC（AAS），
∴DG=GF；
（3）如图2，过点F作FH⊥AC于点H．
在△ADE和△CFH中，
∵∠AED=∠FHC=90°，∠A=∠FCH=60°，AD=CF，
∴△ADE≌△CFH（AAS），
∴DE=FH，AE=CH，
∴AC=EH，
在△GDE和△GFH中，
∵∠DEG=∠FHG=90°，∠DGE=∠FGH，DE=FH，
∴△GDE≌△GFH（AAS），
∴EG=GH，
∴EG=EH=AC=3．
25．（1）由题意可知，AP=2t，OQ=2t，
∵A（8，0），OA=8，
∴，
∴OP=，
在Rt△POQ中，
∵∠POQ=90°, ∠OPQ=45°，
∴∠OQP=45°
∴OP=OQ，
∴，
∴，
∴当∠OPQ=45°时，运动时间为2秒；
（2）．
理由：如图，过点M作MB⊥x轴于B，作MC⊥y轴于C，则MC=m，MB=n．
∵MB⊥x轴，MC⊥y轴，
∴∠MBP=∠MCQ=90°．
∵∠POQ=90°，
∴∠BMC=90°，
∵△PMQ是等腰直角三角形，
∴MQ=MP，∠PMQ=90°,
∴∠CMQ=∠BMP，
在△MCQ和△MBP中，
，
∴△MCQ≌△MBP（AAS），
∴MC=MB，
∴．
26． 解：连接BO，延长OD，交AB于E，如图：
∵，OD⊥PQ，
∴OE⊥AB，
∵OA＝OB＝10，OC＝6，四边形OABC是直角梯形，
∴CB8，
∴B点坐标（8，6），
又∵A（10，0），点E是AB中点，
∴AB的中点E点坐标为（9，3），
设直线DO的解析式为：y＝ax，
即：3＝9a，
解得：a，
∴OD的表达式为：，
∵将A（10，0），C（0，6），代入一次函数y＝kx+b可列方程：
，
解得：
∴AC的表达式为：，
∵AC、OD交于点D，可得：
解得：，
∴点D的坐标为（，）．
27．（1）∵P为的中点，
∴AP=EP，
∵，
∴∠A=∠FEP，
又∵∠APC=∠FPE，
∴ APC FPE，
∴AC=EF；
（2）∵和均为等腰直角三角形，
∴AC=BC，ED=BD，
∵AC=EF，
∴EF=BC，
连接CD，FD，
∵∠DBC=90°，∠ACB=90°，
∴AC∥DB，
∵，
∴AC∥DB∥EF，
∴∠FED=90°，
∵ED=BD，EF=BC，
又∵，，
∴DF=DC，即 DCF是等腰三角形，
∵CP=FP，
∴．