【巩固练习】
一、选择题
1.下列说法中，正确的个数为( )．
①对于任何有理数m，都有m2＞0；
②对于任何有理数m，都有m2＝(－m)2；
③对于任何有理数m、n(m≠n)，都有(m－n)2＞0；
④对于任何有理数m，都有m3＝(－m)3．
A．1 B．2 C．3 D．0
2. 已知(－ab)·(－ab)·(－ab)＞0，则( )．（ ）
(A)ab＜0 (B)ab＞0 (C)a＞0，b＜0 (D)a＜0，b＜0
3.设，，，则a、b、c的大小关系为（ ）．
A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜b＜c
4．计算：31+1＝4，32+1＝10，33+1＝28，34+1＝82，35+1＝244，…，归纳计算结果中的个位数字的规律，猜测的个位数字是（ ）．
A．0 B．2 C．4 D．8
5．现规定一种新的运算“*”，a*b＝ab，如3*2＝32＝9，则等于（ ）．
A． B．8 C． D．
6．计算的结果是（ ）．
A．-33 B．-31 C．31 D．33
二、填空题
1.已知, 则n的值为 ．
2．对于大于或等于2的自然数n的平方进行如下“分裂”，分裂成n个连续奇数的和，则自然数82的分裂数中最大的数是________________．
3. 若，则x是 ；若，则x是 ；
4.若，则 ；若，则 ．
5.若，则 ．
6.当x= 时，有最大值是 ．
7.如果有理数m、n满足，且，则 ．
8. 瑞士中学教师巴尔米成功地从光谱数据中得到巴尔米公式，从而打开了光谱奥妙的大门，请你按这种规律写出第7个数据是 ，第n个数据是 ．
三、解答题
1. 计算：
(1) (2)
(3) (4)-9+5×(-6)-(-4)2÷(-8)
(5)
2.用简便方法计算：
(1)；
(2)．
3.水葫芦是一种水生漂浮植物，有着惊人的繁殖能力．据报道，现已造成某些流域河道堵塞，水质污染等严重后果．据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用．若在适宜的条件下，1株水葫芦每5天就能繁殖1株(不考虑植株死亡、被打捞等其他因素)．
(1)假设江面上现有1株水葫芦，填写下表：
第几天 5 10 15 … 50 … 5n
总株数 2 4 … …
(2)假定某流域内水葫芦维持在33万株以内对水质净化有益．若现有10株水葫芦，请你尝试利用计算器进行估算探究，照上述生长速度，多少天时水葫芦约有33万？此后就必须开始定期打捞处理水葫芦．(要求写出必需的尝试、估算!)
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】B
【解析】①错：当m为0时，不满足；②③对；④错：次数为3，互为相反数的两个数的奇数次方的结果也互为相反数.
2.【答案】A
【解析】(－ab)·(－ab)·(－ab)＞0，则－ab＞0，所以ab＜0. 选A
3.【答案】 B
【解析】a＝-3×42＝-48，b＝(-3×4)2＝144，c＝-(3×4)2＝-144．故c＜a＜b．
4.【答案】C
【解析】3n+1的个位数是以4为周期进行规律变化，2009＝4×502+1．因此32009+1的个位数字与31+1的个位数字相同．
5.【答案】A
【解析】．
6.【答案】C
【解析】原式=．
二、填空题
1.【答案】11
【解析】都化为同底数，表示2个2相乘与9个2相乘，即11个2相乘，所以为.
2.【答案】15
【解析】每组数中，左边的幂的底数与最下方的数的关系是：.
3.【答案】非正数；0；
4.【答案】-9,9；-5
【解析】平方为某正数的数有两个，而立方为某数的数只有一个.
5.【答案】0
【解析】绝对值与平方均具有非负性，，所以，代入计算即可.
6.【答案】1， 4
【解析】因为平方均有非负性，所以当，即时，原式有最大值为4.
7.【答案】.
【解析】由m+2n=0 得：m=-2n，所以
8.【答案】
【解析】分子是一个完全平方数，且分母都比分子小4.
三、解答题
1.【解析】
（1）
（2）
（3）
（4）-9+5×(-6)-(-4)2÷(-8)=-9-30+2=-37；
（5）
2.【解析】（1）原式
；
（2）原式
．
3.【解析】(1)8 ， 1024 ，
(2)当n＝13时，有10×213＝81920株；当n＝14时，有10×214＝163840株，当n＝15时，有10×215＝327680株；当n＝16时，有10×216＝655360株．所以当n＝15时，10×215＝327680株≈33(万)即75天时水葫芦约为33万株．【巩固练习】
一、选择题
1.下列说法中，正确的个数为( )．
①对于任何有理数m，都有m2＞0；
②对于任何有理数m，都有m2＝(－m)2；
③对于任何有理数m、n(m≠n)，都有(m－n)2＞0；
④对于任何有理数m，都有m3＝(－m)3．
A．1 B．2 C．3 D．0
2.下列说法中，正确的是（ ）
A．一个数的平方一定大于这个数； B．一个数的平方一定是正数；
C．一个数的平方一定小于这个数； D．一个数的平方不可能是负数.
3.下列各组数中，计算结果相等的是 ( )．
A．-23与(-2)3 B．-22与(-2)2 C．与 D．与
4．式子的意义是 （ ）
A. 4与5商的立方的相反数 B.4的立方与5的商的相反数 C.4的立方的相反数除5
D.的立方
5．(2010·浙江杭州)计算(-1)2+(-1)3＝( )
A．-2 B．- 1 C．0 D．2
6．观察下列等式：71=7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝117649…由此可判断7100的个位数字是( ) ．
A．7 B．9 C．3 D．1
7．一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此下去，第6次后剩下的绳子的长度为( ) ．
A．米 B．米 C．米 D．米
二、填空题
1．在(-2)4中，指数是________，底数是________，在-23中，指数是________，底数是________，在中底数是________，指数是________．
2．一个数的平方等于它本身的数是____；一个数的立方等于它本身的数是 ．
3. ； ；= ； ．
4. ,
5． ， ， ，……，
从而猜想：…….
6.
三、解答题
1. 计算下列各式：
(1)-23+(3-6)2-8×(-1)4；
(2)；
(3)；
(4)．
2. 已知x的倒数和绝对值都是它本身，y、z是有理数，并且，求的值．
3. 探索规律：观察下面三行数，
2, -4， 8， -16， 32， -64，… ①
-2， -8， 4， -20， 28， -68，… ②
-1， 2， -4， 8， -16， 32，… ③
(1) 第①行第10个数是多少？
(2) 第②③行数与第①行数分别有什么关系？
(3) 取每行第10个数，计算这三个数的和.
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】B
【解析】①错：当m为0时，不满足；②③对；④错：次数为3，互为相反数的两个数的奇数次方的结果也互为相反数.
2.【答案】 D
【解析】一个数的平方与这个数的大小不定，例如：；而；，从而
A，C均错；一个数的平方是正数或0，即非负数，所以B错，只有D对.
3.【答案】A
【解析】-23=-8, （-2）3= -8．
4.【答案】B
【解析】表示4的立方与5的商的相反数
5.【答案】C
【解析】 (-1)2＝1，(-1)3＝-1
6.【答案】D
【解析】个位上的数字每4个一循环，100是4的倍数，所以的个位数字应为1.
7.【答案】C
二、填空题
1.【答案】4 ， -2 ， 3 ， 2， 2， 2
【解析】依据乘方的定义解答
2.【答案】0,1；0,1,-1;
3.【答案】3, -32,
4.【答案】-27，72
5.【答案】
【解析】 ， ，， ……
从而猜想：每组数中，右边的幂的底数与左边的最后一个数的关系是：.
所以…….
6.【答案】
【解析】
三、解答题
1.【解析】
(1)-23+(3-6)2-8×(-1)4＝-8+9-8＝-7；
(2)
；
(3)
；
(4)
．
2.【解析】因为x的倒数和绝对值都是它本身，
所以x＝1，又因为|y+3|+(2x+3z)2＝0，所以y+3＝0且2x+3z＝0．
所以y＝-3．当x＝1时，2x+3z＝0，.
把x＝1，y＝-3，代入得：．
3.【解析】（1）2, -4， 8， -16， 32， -64，… ①
第①行可以改写为：2， ,,，……,,……
由-2的指数规律，可以知道n=10时，即 =-1024为第 ①行第10个数.
（2）第②行数是第①行相应的数减4；第③行数是第①行相应的数的-0.5倍；
（3）第②行第10个数为-1024-4=-1028
第③行第10个数为（-0.5）（-1024）=512
所以第①行、第②行、第③行第10个数字之和为-1024+（-1028）+512=-1540.有理数的乘方及混合运算（提高）
撰稿：孙景艳 审稿：赵炜
【学习目标】
1．理解有理数乘方的定义；
2. 掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；
3. 进一步掌握有理数的混合运算.
【要点梳理】
要点一、有理数的乘方
定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．
即有：.在中，叫做底数， n叫做指数.
要点诠释：
（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．
（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．
（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．
要点二、乘方运算的符号法则
（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即 ．
要点诠释：
(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．
(2)任何数的偶次幂都是非负数．
【高清课堂：有理数的乘方及混合运算 356849 有理数的混合运算】
要点三、有理数的混合运算
有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
要点诠释：
(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；
（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．
(3)在运算过程中注意运算律的运用．
【典型例题】
类型一、有理数的乘方
1. 计算：
（1）
（2）
【答案与解析】由乘方的定义可得： (1)3 4＝3×3×3×3＝81；
-3 4＝-（3×3×3×3）＝-81；
；
(2)； ；
；
【总结升华】注意与的意义的区别．（n为正整数），（n为正整数）．
举一反三：
【变式1】比较(-5)3与-53的异同．
【答案】相同点：它们的结果相同，指数相同；
不同点：(-5)3表示-5的3次方，即(-5)×(-5)×(-5)＝-125，而-53表示5的3次方的相反数，即-53＝-(5×5×5)．因此，它们的底数不同，表示的意义不同．
【变式2】已知，且，则的倒数的相反数是 ．
【答案】
类型二、乘方运算的符号法则
2．不做运算，判断下列各运算结果的符号．
(-2)7，(-3)24，(-1.0009)2009，，-(-2)2010
【答案与解析】根据乘方的符号法则判断可得：
(-2)7运算的结果是负；(-3)24运算的结果为正；(-1.0009)2009运算的结果是负；运算的结果是正；-(-2)2010运算的结果是负．
【总结升华】 “一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0，指数不为０时，结果是0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负．
举一反三：
【变式】当n为奇数时， ．
【答案】0
类型三、有理数的混合运算
3.计算：
（1）-(-3)2+(-2)3÷[(-3)-(-5)]
（2）[73-6×(-7)2-(-1)10]÷(-214-24+214)
（3）；
（4）
【答案与解析】（1）-(-3)2+(-2)3÷[(-3)-(-5)]
＝-9+(-8)÷(-3+5)
＝-9+(-8)÷2
＝-9+(-4)＝-13
（2） [73-6×(-7)2-(-1)10]÷(-214-24+214)
＝(7×72-6×72-1)÷(-214+214-24)
＝[72×(7-6)-1]÷(-24)
＝(49-1)÷(-24)
＝-2
（3）有绝对值的先去掉绝对值，然后再按混合运算.
原式
（4）将带分数化为假分数，小数化为分数后再进行运算.
【总结升华】有理数的混合运算，确定运算顺序是关键，细心计算是运算正确的前提．
举一反三：
【高清课堂：有理数的乘方及混合运算 356849 典型例题1】
【变式】计算：（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）原式
或原式=（1-1+）（2-9）
（2）原式
(3) 原式=-32-3+66-9=22
(4) 原式
4.计算：
【答案与解析】逆用分配律可得：
【总结升华】灵活运用运算律，简化运算.另外有
举一反三：
【变式1】计算：
【答案】原式
=
【变式2】计算：
【答案】
类型四、探索规律
5. 下面是按一定规律排列的一列数：
第1个数：；
第2个数：；
第3个数：；
…
第n个数：．
那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（ ）．
A．第10个数 B．第11个数 C．第12个数 D．第13个数
【答案】A
【解析】第1个数结果为；第2个数结果为；第3个数结果为；…；发现运算中在后边的各式为，分子、分母相约为1，所以第n个数结果为，把第10、11、12、13个数分别求出，比较大小即可．
【总结升华】解答此类问题的方法一般是：从所给的特殊情形入手，再经过猜想归纳，从看似杂乱的问题中找出内在的规律，使问题变得有章可循．
举一反三：
【变式】观察下面三行数：
①-3，9，-27，81，-243，729，…
②0，12，-24，84，-240，732，…
③-1，3，-9，27，-81，243，…
(1)第①行数按什么规律排列
(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系
(3)取每行数的第10个数，计算这三个数的和．
【答案】 (1)第①行数的规律是：-3，(-3)2，(-3)3，(-3)4，…；
(2)第②行数是第①行数相应的数加3，即：-3+3，(-3)2+3，(-3)3+3，(-3)4+3，…；第③行数是第①行数相应的数的，即，，，，…；
(3)每行数中的第10个数的和是：59049+59052+19683＝137784．有理数的乘方及混合运算（基础）
撰稿：孙景艳 审稿：赵炜
【学习目标】
1．理解有理数乘方的定义；
2.掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；
3. 进一步掌握有理数的混合运算.
【要点梳理】
要点一、有理数的乘方
定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．
即有：.在中，叫做底数， n叫做指数.
要点诠释：
（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．
（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．
（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．
要点二、乘方运算的符号法则
（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即 ．
要点诠释：
(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．
(2)任何数的偶次幂都是非负数．
要点三、有理数的混合运算
有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
要点诠释：
(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；
（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．
(3)在运算过程中注意运算律的运用．
【典型例题】
类型一、有理数乘方
1. 把下列各式写成幂的形式：
(1)；
(2)(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×5×5；
(3)．
【答案与解析】 (1)；
(2)(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×(-3.7)×5×5＝(-3.7)4×52；
(3)
【总结升华】乘方时，当底数是分数、负数时，应加上括号.
【高清课堂：有理数的乘方及混合运算 356849 有理数乘方的性质】
2．计算：
（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7） （8）
【答案与解析】
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）
【总结升华】与不同，，而表示的n次幂的相反数．
举一反三：
【变式1】计算：(1)(-4)4 (2)23 (3) (4)(-1.5)2
【答案】 (1)(-4)4=(-4)×(-4)×(-4)×(-4)=256；
(2)23＝2×2×2=8； (3)
(4) (-1.5)2=(-1.5)×(-1.5)=2.25
【变式2】比较(-5)3与-53的异同．
【答案】相同点：它们的结果相同，指数相同；
不同点：(-5)3表示-5的3次方，即(-5)×(-5)×(-5)＝-125，而-53表示5的3次方的相反数，即-53＝-(5×5×5)．因此，它们的底数不同，表示的意义不同．
类型二、乘方的符号法则
3．不做运算，判断下列各运算结果的符号．
(-2)7，(-3)24，(-1.0009)2009，，-(-2)2010
【答案与解析】根据乘方的符号法则直接判断，可得：
(-2)7运算的结果是负；(-3)24运算的结果为正；(-1.0009)2009运算的结果是负；运算的结果是正；-(-2)2010运算的结果是负．
【总结升华】“一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0时，结果是0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负．
举一反三：
【变式】（南充）计算：(-1)2009的结果是( )．
A．-l B．1 C．-2009 D．2009
【答案】A
类型三、有理数的混合运算
【高清课堂：有理数的乘方及混合运算 356849 典型例题1】
4.计算： （1）
（2）
（3）
（4）
【答案与解析】
（1）法一：原式＝；
法二：原式=
（2）原式
(3) 原式=-32-3+66-9=22
(4) 原式
【总结升华】有理数的混合运算，确定运算顺序是关键，细心计算是运算正确的前提．
举一反三：
【变式1】计算：
【答案】原式
【变式2】计算：
【答案】原式
【高清课堂：有理数的乘方及混合运算 356849 典型例题2（2）】
5. （ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】逆用分配律可得：，所以答案为：C
【总结升华】当几项均为幂的形式，逆用分配律提出共同的因数时，要提指数较小的幂的形式.
举一反三：
【变式】计算：
【答案】
类型四、探索规律
6.你见过拉面馆的师傅拉面吗？他们用一根粗的面条，第1次把两头捏在一起抻拉得到两根面条，再把两头捏在一起抻拉，反复数次，就能拉出许多根细面条，如下图，第3次捏合抻拉得到 根面条，第5次捏合抻拉得到 根面条，第次捏合抻拉得到 根面条，要想得到64根细面条，需 次捏合抻拉.
第1次 第2次 第3次
【答案】8; 32; ; 6
【解析】由题意可知，每次捏合后所得面条数是捏合前面条数的2倍，所以可得到：
第1次：；第2次：；第3次：；…；第次：.
第3次捏合抻拉得到面条根数：，即8根；第5次得到：，即32根；第次捏合抻拉得到；
因为，所以要想得到64根面条，需要6次捏合抻拉.
【总结升华】解答此类问题的方法一般是：从所给的特殊情形入手，再经过猜想归纳，从看似杂乱的问题中找出内在的规律，使问题变得有章可循．
举一反三：
【变式】(2009·肇庆)已知21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，观察上面的规律，试猜想22008的末位数字是________．
【答案】6
